Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Transkrypt

1 Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α, β}] odcinek, przedził domknięty o krńcch α i β C n, b) kls funkcji o ciągłych pochodnych do n-tego rzędu i ciągłych n krńcch, b Grnic funkcji q p f) Def. Cuchy ego: ε>0 δ>0 p p < δ f) q < ε ) ) Def. Heinego: n) p n n p f n ) q n n Wzory:. lim p [ f) + g) ] p f) + lim g), przy złożeniu, że istnieją lim f), lim g). p p p. lim p [ ] f) g) 3. lim sin 0 lim f) p lim p g), przy złożeniu, że istnieją lim p, lim e ln + ) 0, lim 0. f), lim g) orz lim g) 0. p p Uwg: Aby mówić o grnicy lim f) funkcj f nie musi być określon w punkcie p; wystrczy p by funkcj f był zdn w sąsiedztwie p sąsiedztwo otoczenie p, z którego wyrzucono smo p ). Np. sin jest określon poz 0, le m w 0 grnicę. Ciągłość f jest ciągł w punkcie p Def. Cuchy ego: ε>0 δ>0 p < δ f) q < ε ) ) Def. Heinego: n) n n p f n ) fp) n n def. z pomocą grnicy) lim p f) fp). Uwg: W przeciwieństwie do grnicy nie wymgmy, żeby n p, czy p. f jest ciągł wszędzieciągł) def. redukcyjn ) jest ciągł w kżdym punkcie swej dziedziny ) globln def. Heinego ) lim f n ) f lim n ; n n słownie: opertor funkcji f jest przemienny z opertorem grnicy lim n przemienny możn zmienić kolejność wykonywni opercji ). Włsności:. f, g ciągłe [w p ] f + g ciągłe [w p ]

2 Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj ) b. f, g ciągłe w p gp) 0 fg ciągłe w p c. f ciągł [w p ] h ciągł [w fp) ] h f ciągł [w p ], h f) hf)) złożenie. twierdzenie Weierstrss: f : [, b] R ciągł przyjmuje wrtości ekstremlne njwiększą i njmniejszą),, [, b] f ) inf f), b f ) sup f) b 3. twierdzenie Drbou: f : [, b] R ciągł przyjmuje wszystkie wrtości pośrednie,, [,b] w f ), f ), w f ) ). Przykłd: φ) e ln C jest ciągł). Uzsdnienie: cos + 3, C c) + 3 C, + 3, ln C c) ln + 3 C, ln + 3, cos C e, ln cos b) e ln +3+cos 3 Pochodn f f 0 ) 0 + h) f 0 ) h ) ln cos C,, e C ) e C, φ) C. 0 f) f 0 ) 0, f f ), f n) f n ) ). Interpretcj geometryczn: f 0 ) tg α, α kąt nchyleni stycznej. Równnie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie 0, y 0 ) 0, f 0 ) ): y y 0 f 0 ) 0 ). Interpretcj mechniczn: f 0 ) położenie w chwili 0, f 0 ) prędkość w chwili 0. f różniczkowln w 0 istnieje pochodn w 0 ) f ciągł w 0 Wzory:. f ± g) f ± g,. f g) f g + f g, h f) 0 ) h f 0 ) ) f 0 ) fg ) f g f g g 5. c 0 c const.), λ ) λ λ, ) ln, e ) n) e, log ) cos ) sin, sin ) cos sin ) + π, sin ) n) sin ) + n π. Przykłdy:. ) ze wzoru λ ) ) ) ) λ ) ) b) ze wzoru ) f ) g ) c) z definicji) lim ) + h h + h) lim + h) + h) h + h) ln, h h + h)

3 Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj 3. z definicji) ln ) ln + h ln h ) ln + t t 0 t ) ln + t) t 0 t ), ln +h h h ln + h *) 0 h 0 0 t h ln+) 0; ***) wzór lim ; 0 **) + t + t dl t 0 np. gdy t < 0, 5). 3. ze wzorów n λ ) i h f) ) 5 e 3) e y ) y 5 5 3) 3 ey 5 y 3 ) 3 5 λ 3 5 e e 5 3 5, f) 5 3, hy) e y, h f)) hf)) e y yf) e f) e Przebieg zmienności m mleje rośnie punkt przegięci wklęsł mleje wypukł min Twierdzenie Fermt wrunek konieczny n ekstremum): f różniczkowln n, b) posid ekstremum loklne minimum lub mksimum) w punkcie 0, b) f 0 ) 0. Kryteri monotoniczności: f + f f f f > 0 n, b) f ściśle rosnąc n, b) f 0 n, b) f niemlejąc n, b) f < 0 n, b) f ściśle mlejąc n, b) f 0 n, b) f nierosnąc n, b) f zmieni znk w 0 f posid ekstremum w f + 0 f 0 + f m f min Kryteri wypukłości: f + f f f f > 0 n, b) f ściśle wypukł n, b) f < 0 n, b) f ściśle wklęsł n, b) f 0 ) 0 f zmieni znk w 0 f m punkt przegięci w 0 Uwg: f Przykłdy: mlejąc wklęsł f) rosnąc wypukł. Funkcje rosnące:, log przy > );, n n,,...).. Funkcje mlejące:, log przy 0 < < ); n 0, ).

4 4 Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj 3. Funkcje wypukłe:, 4, e,. 4. Funkcje wklęsłe:, 4, ln. 5. Uzsdnienie f < 0 f. Zł., że f < 0. Wówczs f ściśle mleje: < y f) > fy). Albowiem fy) f) Lgrnge f ξ) y ) < 0. <0 >0 5 Wzór Tylor f C n, b) tzn. m ciągłe pochodne do n-tego rzędu i jest ciągł n krńcch),, 0, b) n reszt w postci Lgrnge {}}{ f n) ξ) ξ 0, f k) 0 ) f) f 0 ) + 0 ) k + 0 ) n. k k! n! wielomin Tylor Dl 0 0 mmy wzór Mclurin. Przypdek n to twierdzenie Lgrnge o wrtości średniej: Przykłdy: f C, b) 0,, b) ξ 0, f) f 0 ) f ξ) 0 ). e z dokłdnością m{,e } 5 e ; w szczególności: e 65, Uzsdnienie: f) e f k) ), 0 0 f k) 0 ) k! 0 ) k e0 k! 0)k e e 0 + e0! 0)+e0! 0) + e0 3! 0)3 + e0 4! 0)4 + eξ 0)5, ξ 0, ξ. } 5! {{} reszt e +! +! + 3 3! + 4 4! + 5 5! + 6 6! + 7 7! +... sin ,4 z dokłdnością ; w szczególności: sin dl por.: sin π 0, Uzsdnienie: 0 0, f) sin, f k) ) sin ) + k π, f k) 0) sin ), dl k mod 4 k π, dl k 3 mod 4 0, dl k 0 k mod 4 sin sin sin π )! }{{ } 0! 3 + sin ξ + 6 π 6! + sin 4 π ) 3! }{{ } ) 0 } {{ } reszt 6, ξ 0,, 4 4! + 5 5! + Tylor 0, ; sin ) ξ + 6 π. sin! 3 3! + 5 5! 7 7! + 9 9!! +... cos + 4 4! 6 6! + 8 8! 0 0! +...

5 Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj 5 6 Cłk Cłk oznczon Riemnn b f) d I podziłu 0 < <... < n b ξ i [ i, i ] m i i i,...,n średnic podziłu f cłkowln n [, b] istnieje cłk b Interpretcj geometryczn: b 0 n fξ i ) i i ) n i sum cłkow f i jest skończon). I n f) d pole obszru pomiędzy wykresem y f) osią 0 frgmenty gdzie wykres f biegnie pod osią są brne ze znkiem ). fξ ) fξ ) fξ 3 ) fξ 4 ) 0 ξ ξ ξ 3 ξ Włsności:. b f ± g b f ± b g b. b λ f λ b f. b f w f + b 3. wrunek dostteczny n cłkowlność: f ciągł n [, b] f cłkowln n [, b]. Cłk nieoznczon F funkcj pierwotn dl f F f f) d F ) + C cłk nieoznczon zbiór funkcji pierwotnych nty-pochodn ) w f Cłk oznczon nieoznczon Funkcj górnej grnicy cłkowni Φ) ft) dt jest funkcją pierwotną dl f, Φ f: ft) dt f). Wzór Newton-Leibniz: Wzory b f) d F b) F ), gdzie F f ciągł.. liniowośćddytywność+jednorodność) f ± g f ± g, λ f λ f. cłkownie przez części) f g f g f g 3. cłkownie przez podstwienie) ft) dt ft)) t ) d

6 6 Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj 4. λ d λ λ+ + + C λ ), d ln + C, e d e + C, cos d sin + C, sin d cos + C. Uwg: Wzory n cłki nieoznczone powstją przez odwrócenie wzorów n pochodne. Uzsdnieni przykłdowe):. F f G g F + G) F + G f + g f + g) F + G f + g,. f g f g f g f g + f g) f g f g) f g + f g, 3. λ+) λ + ) λ ) λ+ λ+ λ λ d λ+ ; λ+ ozncz równość z dokłdnością do stłej cłkowni C. Przykłdy:. liniowość i λ ) ) d d d λ 6 5 λ C C. przez części) e d e ) d części e ) e ) d e + e d e e + C e + ) + C 3. przez podstwienie) sin5 ) d sin5 ) 0 d podst. 0 ) 0 cos t) + C 0, cos5 ) + C, *) t t) 5, dt t ) d 0 d, ft) sin t 4. cłk niewłściw) ) b) 0 3 d b b [ ] 3 d b b [ 4 d 4 d λ ] ) b b b) ) sin t dt ) ) Niewłściwość wiąże się z nieogrniczonością przedziłu cłkowni lub nieogrniczonością funkcji podcłkowej. Równni różniczkowe y ) f), dy d f, ẏ f, y f różne zpisy) y) f) d. Słownie: Jk funkcj y m pochodną f? Odp.: Funkcj pierwotn dl f cłk nieoznczon). Przykłd formlizm rozdzielni zmiennych): y ) 5 y)) 3 dy d 5 y 3 y 3 dy 5 d y 3 dy 5 d y C C + C y C y Poprwność rchunku: cłkownie przez podstwienie. 0 ) C C.