PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

Transkrypt

1 PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac tablcy:, d a c b w górym werszu - elemety zboru X w dowole oleośc, w dolym werszu - pod elemetem x X wypsuemy f (x). Jeśl uporząduemy elemety w górym werszu tablcy, to dae permutac odpowada edozacze wetor z dolego wersza, sładaący sę z elemetów zboru X: ( d, a, c, b ) Zatem dowoly wetor -elemetowy, zaweraący róże elemety zboru X (dla X = ), możemy taże azywać permutacą zboru -elemetowego. Przymuemy dla uproszczea, że X = {, 2, 3,, } S - zbór wszystch permutac zboru {, 2,, } f S detyfuemy z wetorem (a,, a ), gdze a = f () lub zapsuemy w postac tablcy: 2 a a2 a Defca Złożeem permutac f g azywamy permutacę f g, taą że f g () = f( g() ) Przyład złożea permutac , g = fg= Defca Permutacę e = 2 azywamy permutacą detyczoścową 2 Dla ażde permutac f zachodz: e f = f e = f Defca Permutacą odwrotą do f S azywamy permutacę f - S, taą że f - f = e f = Dla ażde permutac f zachodz: f - f = f f - = e Rozważmy trzy dowole permutace f, g, h S :, g = l, h = f( gh) = ( fg) h = l l zatem zachodz f ( g h ) = ( f g ) h (łączość złożea) MATEMATYKA DYSKRETNA (2) J.Sors Stroa / 6

2 Dla dowolych permutac f, g, h S spełoe są zależośc: f ( g h ) = ( f g ) h f e = e f = f f - f = f f - = e Zbór permutac S est grupą ze względu a dzałae złożea (grupą symetryczą stopa ) Dowoly podzbór G S spełaący waru: f, g G f g G f G f - G azyway est grupą permutac stopa Przyłady grup permutac stopa G = ,,,,, 3 2 G 2 = , 2 3 GRAFICZNA REPREZENTACJA PERMUTACJI Permutaca przedstawaa est w forme grafu o zborze werzchołów X = {,, }: z werzchoła l X wychodz dołade ede łu do werzchoła f (l), do werzchoła l X dochodz dołade ede łu z werzchoła f - (l). cyl -ty o długośc : a a 2 a f ( a ) = a, f ( a ) = a,, f a a ( )= po uzupełeu f ( l ) = l dla l X { a a } ozaczee cylu - f = [ a a ],, powstae permutaca f zwaa cylem ;,, p. f = [, 5, 4] f 2 = [2, 3] ROZKŁAD PERMUTACJI NA CYKLE Każdą permutacę f S moża przedstawć w postac złożea cyl ( ) o długoścach,, ( + + = ): f = [ a a a 2, 2,, ] [ a, a 2 2,, a 2 2 ] [ a, a2,, a ] Przyład rozładu permutac a cyle f = f f 2, gdze f = f = permutaca f odpowada cylow 5 4 permutaca f 2 odpowada cylow 2 3 Zapsuemy: f = [, 5, 4 ], f 2 = [ 2, 3 ] f = [, 5, 4 ] [ 2, 3 ] Defca Mówmy, że permutaca est typu (λ, λ 2,, λ ), eśl zawera w rozładze a cyle dołade λ cyl o długośc dla =, 2,,. λ λ2 λ Typ permutac zapsuemy: 2 λ ( symbol pomamy w zapse, eśl λ = 0 ) MATEMATYKA DYSKRETNA (2) J.Sors Stroa 2 / 6

3 Przyład ozaczaa typu permutac ; rozład a cyle: f = [, 7, 6, 3 ] [ 2, 5 ] [ 4 ] [ 8, 9 ] typ permutac: Defca Parę ( a, a ), dla <, azywamy wersą w permutac ( a, a 2,, a ), eśl a > a. Lczbę wszystch wers w permutac f S ozaczamy I( f ) Defca I Zaem permutac f S azywamy lczbę sg( f ) ( ) ( f = ). Przyład wyzaczaa zau permutac ; werse w f : (5, 3), (5, 2), (5, ), (5, 4), (3, 2), (3, ), (2, ) I( f ) = 7 ; za permutac sg( f ) = ( ) 7 = g = ; werse w g : (3, ), (3, 2), (4, 2), (5, 2) I( g ) = 4 ; za permutac sg( g ) = ( ) 4 = Defca Permutacę f S azywamy parzystą, eśl sg( f ) =, albo eparzystą, eśl sg( f ) =. Defca Permutacę, tóra est cylem o długośc 2, azywamy traspozycą. Przyład traspozyc = [ 3, 5 ] Dowolą permutacę f S moża przedstawć w postac złożea I( f ) traspozyc sąsedch elemetów (tz. traspozyc postac [, + ] ) Przyład rozładu a traspozyce, I( f ) = 4 : f = [2, 3] [3, 4] [4, 5] [, 2] [, 2] [4, 5] [3, 4] [2, 3] Dla dowolych permutac f, g S sg( f g ) = sg( f ) sg( g ). Za dowolego cylu o długośc est rówy ( ) Każda traspozyca est permutacą eparzystą. (bo est cylem o długośc 2) MATEMATYKA DYSKRETNA (2) J.Sors Stroa 3 / 6

4 Przyład wyzaczaa zau permutac ; rozład a cyle: f = [, 7, 6, 3 ] [ 2, 5 ] [ 4 ] [ 8, 9 ] za poszczególych cyl: sg([, 7, 6, 3]) = ( ) 3 =, sg([2, 5]) = ( ) =, sg([4]) = ( ) 0 =, sg([8, 9]) = ( ) = za permutac sg( f ) = ( ) ( ) ( ) = permutaca est eparzysta Twerdzee Za dowole permutac f S, tóra est typu 2 sg( f ) = ( ) 2 λ2 = λ λ 2 λ wyraża sę wzorem Przyład wyzaczaa zau permutac z twerdzea o type ; = 9, 2 = 45, = 4 rozład a cyle: f = [, 7, 6, 3 ] [ 2, 5 ] [ 4 ] [ 8, 9 ]; typ permutac: λ2 sg( f ) = ( ) = ( ) 4 = λ2+ λ4+ λ6+ λ8 = ( ) 2+ = permutaca est eparzysta. PODZBIORY ZBIORU X = { x,, x }, P(X) - zbór wszystch podzborów zboru X dla dowolego podzboru Y P(X) wyzaczamy ego wetor charaterystyczy ξ( Y ) = ( b, b 2,, b ) według wzoru: eśl x Y b =, dla =,, 0 eśl x Y dowoly wetor ( b, b 2,, b ), gdze b { 0, }, edozacze wyzacza pewe podzbór zboru X wetor charaterystyczy może być utożsamoy z fucą f : {, 2,, } { 0, } P(X) = 2 Geerowae podzborów zboru X wetorow charaterystyczemu ( b, b 2,, b ), gdze b { 0, }, odpowada lczba z przedzału [ 0; 2 ] Przyład X = { a, b, c, d, e }, Y = { b, d, e } X, = 5 ; ξ( Y ) = ( 0,, 0,, ) 00 = = = [ 0; 3 ] Zatem wypsuąc po ole wszyste lczby z przedzału [ 0; 2 ] zapsuąc e w systeme dwóowym moża wsazać wszyste podzbory zboru -elemetowego. Bary od Grey a rzędu służy do geerowaa wszystch podzborów zboru -elemetowego w ta sposób, że ażdy oleo wyzaczoy podzbór powstae z poprzedego przez dodae lub odęce tylo edego elemetu. Í,, m = 2 Kod Grey a powstae reurecye: dla = mamy dwa edoelemetowe wetory bare: C = ( 0 ) C 2 = ( ) MATEMATYKA DYSKRETNA (2) J.Sors Stroa 4 / 6

5 eśl dla > mamy cąg wetorów barych C, C 2,, C m -elemetowych, w tórych dwa sąsede wetory różą sę dołade a ede pozyc, to tworzymy cąg wetorów barych (+)-elemetowych według schematu: (C, 0), (C 2, 0),, (C m, 0), (C m, 0), (C m, ), (C m, ),, (C, ) Przyład = : 0 = 2 : = 3 : = 4 : = 5 : td PODZBIORY -ELEMENTOWE X = { x,, x }, Przymmy ozaczee: - lczba wszystch podzborów -elemetowych zboru -elemetowego (współczy dwumaowy) Symbol używay w rozwęcu dwumau: ( x+ y) = xy = 0 Twerdzee [ ] = =! ( )( + ) =!!( )! 2 Dowód Każda fuca różowartoścowa f : A X, gdze A =, wyzacza -elemetowy podzbór zboru -elemetowego X: f : A X Tach fuc est [ ]. Ale! różych fuc wyzacza te sam podzbór - obraz zboru A w ażde z ch est ta sam. Stąd lczba podzborów -elemetowych zboru X wyos [ ]!.! Tożsamośc zwązae ze współczyam dwumaowym: 2 = 2 = 0 + = 0 Tróąt Pascala: wersze są umerowae 0,, 2, -ty wersz zawera oleo elemety 0,,, MATEMATYKA DYSKRETNA (2) J.Sors Stroa 5 / 6

6 = = I eszcze la tożsamośc dla współczyów dwumaowych: m+ = s= 0 m s s 2 = s= 0 s 2 m = m + m MATEMATYKA DYSKRETNA (2) J.Sors Stroa 6 / 6