3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
|
|
- Janusz Świderski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N 0 = {0, 1, 2,...} zbiór liczb całkowitych: Z = {, N} {0} { N} = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} zbiór liczb wymierych: Q = { p, p Z, q N} q ułamek zwykły: 5 2 ułamek zwykły skrócoy: ułamek dziesięty: 2, 5 12, 8 0, ułamek dziesięty skończoy - gdy miaowik jest postaci 2 p 5 q, p, q N ułamek dziesięty ieskończoy - gdy miaowik w rozkładzie iloczyowym posiada ie czyiki Liczby iewymiere pojawiają się jako graice pewych rówań lub jako graice pewych ciągów. Każda liczba iewymiera rozdziela zbiór Q a dwie części: klasę dolą, tj. zbiór wszystkich liczb wymierych miejszych od iej, oraz klasę górą, tj. zbiór wszystkich liczb wymierych większych od iej. Mówimy więc, że każda liczba iewymiera jest przekrojem liczb wymierych. Dzięki temu liczby iewymiere moża przybliżać liczbami wymierymi. Przykład. Liczba π może być defiiowaa jako graica ciągu obwodów -kątów foremych wpisaych w koło o średicy 1. Wykoać stosowe obliczeia. liczby wymiere ależące do klasy dolej 3 < π < 4 3, 1 < π < 3, 2 3, 14 < π < 3, 15 3, 141 < π < 3, 142 itd. liczby wymiere ależące do klasy górej
2 zbiór liczb iewymierych: IQ zbiór liczb rzeczywistych: R = Q IQ Przykład. Wykazać, że 2 ie jest liczbą wymierą. Dowód. Moża wykazać, że Twierdzeie 3 Pierwiastek m-tego stopia z liczby aturalej iebędącej m-tą potęgą liczby aturalej, jest liczbą iewymierą. Ozacza to, że liczby postaci: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, , 3 3, 3 4, 3 5, 3 6, 3 7, 3 9, 3 10, ,... są iewymiere. Wprowadza się też iy podział zbioru R a dwa podzbiory: liczb algebraiczych i liczb przestępych. Mówimy, że liczba jest algebraicza, jeśli jest pierwiastkiem wielomiau o współczyikach całkowitych. Liczba, która ie jest algebraicza, azywaa jest liczbą przestępą. Wszystkie liczby wymiere oraz pierwiastki z liczb wymierych dodatich są algebraicze gdyż dla m, N W 1 (x) = x m ma pierwiastek m oraz W 2 (x) = x p p m m ma pierwiastek, m, > 0. Twierdzeie 4 Liczba π jest liczbą iewymierą. Uwaga. Niewymierość liczby π udowodił w 1767 Joha Lambert. Wykazał o twierdzeie mówiące, że jeśli liczba x jest wymiera i róża od zera, to przyajmiej jeda z liczb cos x, si x jest iewymiera. Skoro cos π = 1 oraz si π = 0, zatem π ie może być wymiera. W 1882 Ferdyad Lidema udowodił podobym sposobem, że π jest liczbą przestępą. Narzędziem do tego celu było twierdzeie mówiące, że jeśli liczba x jest algebraicza i róża od zera, to przyajmiej jeda z liczb cos x, si x jest iewymiera. Stosując powyższe rozumowaie otrzymujemy przestępość liczby π.
3 Twierdzeie 5 Liczba e jest liczbą iewymierą. Dowód. Zadaie. Wyrazić liczbę 78, (1016) jako ułamek zwykły. 3.2 Kresy zbiorów. Niech A będzie pewym iepustym zbiorem liczbowym. Defiicja 1 Liczbę ależącą do zbioru A, która jest większa od wszystkich pozostałych liczb tego zbioru, azywamy elemetem ajwiększym zbioru A i ozaczamy max A. Defiicja 2 Liczbę ależącą do zbioru A, która jest miejsza od wszystkich pozostałych liczb tego zbioru, azywamy elemetem ajmiejszym zbioru A i ozaczamy mi A. W każdym skończoym zbiorze liczbowym istieje elemet ajwiększy i elemet ajmiejszy. W zbiorze ieskończoym takie elemety mogą ie istieć. Przykłady. mi{x R : x 2 2x 3 0} =, max{x R : x 2 2x 3 0} = mi{x R : x 2 2x 3 < 0} =, max{x R : x 2 2x 3 < 0} = mi{x + 1 : x > 0} = x, max{x + 1 : x > 0} = x Defiicja 3 Liczbę taką, że wszystkie liczby zbioru A są iewiększe od iej, azywamy ograiczeiem górym zbioru A. Defiicja 4 Liczbę taką, że wszystkie liczby zbioru A są iemiejsze od iej, azywamy ograiczeiem dolym zbioru A. Defiicja 5 Zbiór A azywamy ograiczoym od góry, jeśli istieje ograiczeie góre zbioru A. Defiicja 6 Zbiór A azywamy ograiczoym od dołu, jeśli istieje ograiczeie dole zbioru A. Defiicja 7 Zbiór A azywamy ograiczoym, jeśli jest ograiczoy zarówo z dołu, jak i z góry.
4 Przykłady. Zbiory {x R : x 2 2x 3 0} = [ 1, 3], {x R : x 2 2x 3 < 0} = ( 1, 3) mają ograiczeia zarówo dole jak i góre. Zbiór {x + 1 : x > 0} = [2, ) posiada tylko x ograiczeie dole. Defiicja 8 Najmiejszą liczbę spośród wszystkich ograiczeń górych zbioru A azywamy kresem górym zbioru A i ozaczamy sup A. Defiicja 9 Największą liczbę spośród wszystkich ograiczeń dolych zbioru A azywamy kresem dolym zbioru A i ozaczamy if A. Powyższe defiicje elemetów ajwiększego i ajmiejszego oraz kresów górego i dolego w zadaym zbiorze A moża wyrazić za pomocą kwatyfikatorów: Przykłady. x = max A ( x A x A x x ) ( x = mi A x A ) x x x A x = sup A x x x 0 > x ε x A ε>0 x 0 A x = if A x x x 0 < x + ε x A ε>0 x 0 A mi( 1, 3) =, max( 1, 3) = if( 1, 3) =, sup( 1, 3) = if{2, N} =, mi{2, N} = sup{2, N} =, max{2, N} =
5 3.3 Wartość bezwzględa. a, a 0 a = a, a < 0 Własości wartości bezwzględej. 1. a b b a b, 2. a = a, 3. a a a, 4. a + b a + b, ierówość trójkąta 5. a b a b a + b, 6. ab = a b, 7. jeśli a c i b d, to a + b c + d Dowód własości 1. Dowód własości 4. Dowód własości 5.
6 3.4 O liczbach aturalych i całkowitych. Defiicja 10 Liczba aturala m dzieli ( jest podziele przez m) jeśli iloraz m jest liczbą całkowitą. Piszemy wtedy m. Zatem m k Z = m k. Defiicja 11 Największą liczbę całkowitą, która dzieli dwie dae liczby całkowite m i azywamy ajwiększym wspólym dzielikiem tych liczb i ozaczamy ją NW D(m, ) lub (m, ). Defiicja 12 Najmiejszą liczbę aturalą, której dzielikami są dwie dae liczby aturale m i azywamy ajmiejszą wspólą wielokrotością tych liczb i ozaczamy ją NW W (m, ) lub [m, ]. Zatem dla m, Z : NW D(m, ) = max{k Z : k m i k }, dla m, N : NW W (m, ) = mi{l N : m l i l}. Przykład. 1 NW W (16, 12) = 48 stąd p. NW D(16, 12) = = = Metoda obliczaia NWD algorytm Euklidesa. 1. Weź dwie liczby aturale m,. 2. A := max{m, }, a := mi{m, }. 3. Oblicz resztę r z dzieleia A przez a. 4. Jeśli r 0, to (A := a, a := r, przejdź do kroku 3.) 5. NW D(m, ) = a.
7 Przykład. NW D(735, 126). Twierdzeie 6 Dla m, N mamy NW D(m, ) NW W (m, ) = m. 3.5 Liczby pierwsze i złożoe. Defiicja 13 Liczba aturala p azywa się liczbą pierwszą jeśli ma dokładie dwa dzieliki: 1 oraz p. Defiicja 14 Liczba aturala, która ie jest liczbą pierwszą azywa się liczbą złożoą. Uwaga. Przyjmuje się, że 1 ie jest liczbą pierwszą. Koleje liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... Podstawowe twierdzeie arytmetyki. Każda liczba aturala może być jedozaczie przedstawioa w postaci gdzie p j są liczbami pierwszymi. m = p j j, j 0, j=1 Na przykład 1452 = = =... =
8 Twierdzeie 7 (Euklides) Liczb pierwszych jest ieskończeie wiele. Dowód. Nie zay jest żade wzór geerujący dowolie duże liczby pierwsze. Metoda elemetara wyzaczaia liczb pierwszych sito Eratosteesa Twierdzeie 8 (Wilso) Liczba p jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy (p 1)! + 1 jest podziela przez p. Największe zae a przestrzei ostatich 2 wieków liczby pierwsze zawsze były tzw. liczbami Mersee a postaci 2 p 1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Jedak ie każda liczba tej postaci musi być pierwsza! k p k M k pierwsza/złożoa uwagi p p p p z 2047 = p Największa zaa obecie (I 2013) liczba pierwsza M 48 = ma 17,5 milioa cyfr. Dziesięć ajwiększych zaych dziś liczb pierwszych to liczby Mersee a. Istytucja Electroic Frotier Foudatio ustaowiła agrodę 100 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej iż 10 milioach cyfr oraz agrodę 150 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej iż 100 milioach cyfr. π(x) - fukcja Eulera, ilość liczb pierwszych miejszych od x
9 π(x) gęstość rozmieszczeia liczb pierwszych π(100) = 25 1/4 π(1000) = 168 1/6 π(10000) = /8 Zae są przybliżeia fukcji π(x) p. lub l x 3/2 < x π(x) π(x) x l x < l x 1/2 dla x 67. Pierwszy ze wzorów ozacza, że biorąc duże x, p. x = i wybierając losowo liczby bliskie x średio po l = 16 l 10 = 36, 8... próbach trafimy a liczbę pierwszą. Zastosowaie dużych liczb pierwszych algorytmy szyfrujące (p. RSA) 3.6 Dwumia Newtoa. Dla, k N 0 mamy! = { 1, = , 1 oraz ( ) = k! ( k)!k!. Uwaga. Dla N 0 mamy ( ( ( ) ( ) 0) = 1 = ) oraz 1 = = 1. Twierdzeie 9 ( ) ( ) + = k k + 1 ( ) + 1 k + 1,, k N 0, > k.
10 Dowód. Zadaia. Wykazać, że 1. ( ) ( k = +1 k+1 2. ( m)( m k ) = ( k ) k+1, +1 )( k m k ),, m, k N0, m k. Z ww. twierdzeia wyika kostrukcja trójkąta Pascala ( 0 0) ( ) ( 1 1 ( ) 0 ( ) 1) ( ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2) ( ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3) ( ) Twierdzeie 10 Dla dowolego N i dowolych a, b R mamy (a + b) = k=0 ( ) a k b k = k ( ) a 0 b + 0 ( ) a 1 b ( ) a b 0. wzór dwumiey Newtoa W szczególości (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3. Dowód. Ze wzoru dwumieego Newtoa moża uzyskać wiele wzorów. 1. k=0 ( k) = 2, 2. k=0 ( 1) k( ) k = 0,
11 3. p k=0 ( k )( k p k ) = 2 p ( p ), p 0, 4. /2 k=0 ( 2k) = 2 1 dla P ar, 5. ( ) /2 1 k=0 2k+1 = 2 1 dla P ar, 6. ( ) ( 1)/2 k=0 2k = 2 1 dla NP ar, 7. ( ) ( 1)/2 k=0 2k+1 = 2 1 dla NP ar.
I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoArytmetyka pierścienia liczb całkowitych (w tym podzielność)
Arytmetyka pierścieia liczb całkowitych (w tym podzielość). Pojęcie pierścieia. Defiicja. Zbiór A z dwoma operacjami wewętrzymi o symbolach + i azywa się pierścieiem, jeżeli spełioe są waruki: ) A z operacją
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO
Wrocław, 2 grudia 203 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia 2. INDUKCJA MATEMATYCZNA 2.. Wprowadzeie 2.2. Lista zadań
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Ciągi liczbowe 1.1. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowola fukcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym (ciąg skończoy), albo wszystkim (ciąg ieskończoy) liczbom aturalym.
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoRównoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.
16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Podstawowe struktury algebraicze Defiicja 1. Działaiem dwuargumetowym(biarym) określoym a iepustym zbiorze X azywamy fukcję f, która każdej parze uporządkowaej(a, b) elemetów zbioru X przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoKongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac
Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych W starożytości okazało się, że zbiór liczb wymierych jest iewystarczający, bo ie ma takiej liczby
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia
Bardziej szczegółowoO podzielności liczb
Spis treści: I. Rys historyczy... 2 II. Podzielość liczb całkowitych... 4 1. Podzielość... 4 2. Dzieleie liczb całkowitych... 5 3. Największy wspóly dzielik i ajmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowopitagorejskie, równanie Pella i jedno zadanie z XVI Olimpiady Matematycznej
pitagorejskie, rówaie Pella i jedo zadaie z XVI Olimpiady Matematyczej Wszyscy, którzy mieli do czyieia ze szkoła poadpodstawowa słyszeli iewatpliwie określeie twierdzeie Pitagorasa To twierdzeie było
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 06/7 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trochę trudiejsze. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoZadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
. Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoTematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa
Tematy zadań razy przykładowe zadaia maturale Matura podstawowa Porówaj liczby: 54 + 5 oraz 4 W klasie jest 9 ucziów o średiej wieku 6 lat Średia wieku wzrośie o rok, jeżeli doliczy się wiek wychowawcy
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2013/14
Wykład: zad. 35-43 Kowersatoriu 8..03: zad. 44-6 Ćwiczeia 9..03: zad. 6-340 Kolokwiu r 6 5..03 (poiedziałek, 3:5-4:00: ateriał z zad. -384 Kresy zbiorów. Defiicja: Zbiór Z R azyway ograiczoy z góry, jeżeli
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowo