MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część

Transkrypt

1 WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego puktu wdzea wadą krzywej Bezera był fakt, że apulacja położee jedego puktu kotrolego powodowała zaę kształtu całej krzywej. Moża tą edogodość usuąć, budując krzywą z segetów połączoych (sklejoych) tak, że pukty ch połączea e są dla obserwatora wdocze. Krzywa paraetrycza zbudowaa z segetów y x y z f f f z x y u u u s u u u s dzedza paraetrycza u z (x, y, z) przestrzeń -D x 1

2 x( u, v ), y( u, v ), z( u, v ) Fukcje f x (u), f y (u), f z (u) zostaą zapsae teraz w trochę bardzej skoplkoway sposób f x f... f... f x1 xk xs u u u k 1 s 1 u < u 1 u < u u u s k f y ( u ), f z podobe Dzedzę paraetryczą, czyl przedzał [u o, u s ] podzeloo a podprzedzały [u o, u 1 ), [u 1, u ) [u s-1, u s ] dla każdego z ch zdefowao fukcje f x (u), f y (u), f z (u) osobo. ukty u o, u 1, u,,u s-1, u s azyway węzła krzywej. rzykład: u x( u ) ( u ) u y( u ) ( u ) u < 1 1 u u < 1 1 u z x( u ) f y f x y

3 x y f f x y u Cągłość ędzy segeta krzywej: Krzywa opsaa jest rówae Q( u ) T [ x y z] u u us ochoda Q (u) zwaa jest paraetryczy wektore styczy do krzywej Q T [ x ( u ) y z ] u u us Jak zachowuje sę paraetryczy wektor styczy krzywej w pukce połączea segetów ( dla poprzedego przykładu w pukce u 1 )? Cągłość geoetrycza: 1. Jeżel dwa segety krzywej łączą sę ze sobą, to krzywa a cągłość geoetryczą G.. Jeżel keruk (lecz ekoecze długośc) wektorów styczych segetów w pukce połączea są rówe, to krzywa a cągłość geoetryczą G 1. Cągłość paraetrycza: 1. Jeżel wektory stycze dwóch segetów w pukce połączea są rówe (keruk długośc wektorów są rówe), to krzywa a w ty pukce cągłość paraetryczą C 1.

4 . Jeżel keruk długośc wektorów styczych segetów d du [ Q] są do -tej pochodej rówe, to krzywa a cągłość paraetryczą C.. Jedorode krzywe B-sklejae (B-sple) Day jest zbór +1 ( ) puktów kotrolych k ( ) k,1.,,,. k kx ky kz gdze kx, ky, kz są współrzędy x, y, z puktu kotrolego. Krzywa B-sklejaa składa sę z -segetów weloaowych trzecego stopa Q, Q,...,Q,...,Q 4 przy czy, każdy seget Q (u) zdefoway jest w przedzale zeośc paraetru u u < u +1 dla. ukty u pukty u u połączea segetów Q (u) Q +1 (u) oraz azywa sę węzła krzywej. Krzywa B-sklejaa jest jedoroda jeśl węzły są w jedakowych odstępach, czyl u oraz u + 1 u 1 4

5 Kostrukcja krzywej B- sklejaej: Każdy seget krzywej określoy jest przez cztery pukty kotrole: seget Q (u), przez pukty, 1,, dla u < 1, seget Q 4 (u), przez pukty 1,,, 4 dla 1 u <, seget Q (u), przez pukty -, -, -1, dla - u <. Macerz geoetr dla - tego segetu krzywej B- sklejaej oża zapsać jako G B [ ] 1 Q( u) GB MB U u u < u+1 Jeżel zdefuje sę wektor, U [( u u ) ( u u ) ( u u ) ] T 1 to ty seget krzywej oża zapsać w postac Q ( u ) GB M B U u u < u+ 1 Określee krzywej B-sklejaej oża sprowadzć teraz do wyzaczea acerzy M B (podobe jak to ało ejsce dla krzywej Herte a). rzy wyzaczau acerzy M B ależy przyjąć, że w puktach połączea segetów spełoe są astępujące waruk: krzywa a cągłość geoetryczą G, krzywa a cągłość paraetryczą C. 5

6 rzy przyjęcu tych waruków oża pokazać, że rozwązae zadaa poszukwaa acerzy M B, jest acerz M B Tak węc, ty seget krzywej jest opsay teraz, (po zastąpeu u u przez u) wzore Q ( u u ) G + B 1 M B U 4 ( 1 u ) u 6u u + u + u + 1 u u < 1 Własośc jedorodych krzywych B-sklejaych: 1.. Krzywa dla pewego układu puktów kotrolych, Krzywa zbudowaa z dwóch segetów, 4 6

7 . Krzywa zbudowaa z trzech segetów, 5 4. odwójy pukt kotroly, 4 5. odsuowae: Zakęty układ puktów kotrolych, 5 1. Krzywa B - sklejaa jest określoa przy poocy weloaów -go stopa.. Jako dae, projektat podaje pukty kotrole.. Mapulacja pukte kotroly e zea kształtu całej krzywej (w przypadku wększej lczby puktów). 4. Krzywa e zaczya sę e kończy w perwszy w ostat pukce kotroly (wada!). 7

8 . ejedorode krzywe B-sklejae (B-sple) Day jest zbór +1 ( ) puktów kotrolych k k,1.,,,. ( ) k kx ky kz gdze kx, ky, kz są współrzędy x, y, z puktu kotrolego. ejedoroda krzywa B- sklejaa, zbudowaa z weloaów stopa t zadaa jest rówaa x y z k k k kx ky kz u t + przy czy, weloay bazowe k,t (u) określoe są rekurecyje k,1 1 uk u < uk + 1 w przypadku przecwy u uk uk + t u 1 + k+ 1,t 1 u u u u k+ t 1 k k+ t k+ 1 Wartośc paraetru u j (węzły krzywej) geerowae są atoast według reguły u j j t + 1 t + t j < t j j > j, 1,..., + t 8

9 , ( u) rzykład: ęć puktów kotrolych 4. Weloay trzecego stopa t. Układ węzłów, geeroway a podstawe powyższej zależośc a postać { 7 u,u1,...,u } {,,, 1,,,, } Oblczoe dla tych węzłów a podstawe zależośc rekurecyjej, weloay bazowe ają astępujący przebeg, 1,,, Moża zauważyć, że 4,, + 1, + 1,( u ) + 1,( u ) + 4, 1 9

10 Własośc ejedorodych krzywych B-sklejaych: (ceką lą zazaczoo krzywą Bezera ) 1.. Krzywa dla weloaów trzecego stopa,, t R 1 Krzywa dla weloaów czwartego stopa,, t Krzywa dla pęcu puktów kotrolych, 4, t Zeoo położee puktu kotrolego 1 1

11 5. Dzałae podwójego puktu kotrolego 6. Zakęty układ puktów kotrolych odsuowae: 1. Stopeń weloaów opsujących ejedorodą krzywą B-sklejaą jest doberay (dodatkowy stopeń swobody).. Jako dae, projektat podaje pukty kotrole, pukt początkowy, końcowy pukty pośrede.. Krzywa rozpoczya sę w pukce początkowy kończy w pukce końcowy. 4. Sterowae przebege krzywej odbywa sę przez apulacje położee puktów kotrolych. 5. rzeeszczae puktu kotrolego powoduje lokalą zaę kształtu krzywej. 6. Łatwo oża tworzyć krzywe gładko zakęte. 7. Wzory opsujące ejedorode krzywe B-sklejae są stosukowo skoplkowae. 8. Isteją specjale algoryty uerycze przyspeszające oblczae puktów a krzywej. 11

12 4. owerzche Bezera,, powerzche B-sklejae URBS rzy kostruowau krzywej Bezera, projektat jako dae podawał cąg puktów kotrolych, 1,, 1 ( x, y, z ) W przypadku budowy powerzch Bezera, jako dae podawać ależy satkę puktów kotrolych, 1, 1, jk ( jkx, jky, jkz ) owerzcha Bezera: Daa jest satka zbór (+1) x (+1) puktów kotrolych jk j,1,..., k,1.,,,. ( ) jk jkx jky jkz gdze jkx, jky, jkz są współrzędy x, y, z puktu kotrolego. owerzcha Bezera opsaa jest układe rówań x( u,v y( u,v z( u,v ) ) ) j k j k j k jkx jky jkz B B B j, j, j, B B B k, k, k, u 1 v 1 gdze B j,, B k, -weloay Berestea 1

13 rzykład: Daa jest satka 5 x 5 5 puktów kotrolych [ ] jk (,,4 ) ( 1,,4 ) (,,4 ) (,,4 ) ( 4,1,4 ) (,,) ( 1,1,) (,1,) (,1, ) ( 4,1,) (,1, ) ( 1,, ) (,6, ) (,,) ( 4,1,) (,,1 ) ( 1,1,1 ) (,1,1 ) (,1,1) ( 4,1,1 ) (,, ) ( 1,, ) (,, ) (,, ) ( 4,1, ) (, 6, ) z y (,, 4) (1,, 4) (4, 1, ) (4, 1, 1) (4, 1, ) (,, 4) (,, ) x (,, ) (,, ) (,, 1) (1,, ) (,, ) owerzcha Bezera rozpęta a satce wygląda tak: 1

14 ejedoroda powerzcha B-sklejaa (B-sple): Daa jest satka zbór (+1) x (+1) puktów kotrolych jk j,1,..., k,1.,,,. ( ) jk jkx jky jkz gdze jkx, jky, jkz są współrzędy x, y, z puktu kotrolego. ejedoroda powerzcha B -sklejaa opsaa jest układe rówań x( u,v y( u,v z( u,v ) ) ) j k j k j k jkx jky jkz j,s j,s j,s k,t v t + u s + gdze s t są stopa weloaów j,s (u) k,t (v) rzykład: Te sa, co w poprzed przykładze układ 5 puktów kotrolych (, 6, ) z y (,, 4) (1,, 4) (4, 1, ) (4, 1, 1) (4, 1, ) (,, 4) (,, ) x (,, ) (,, ) (,, 1) (1,, ) (,, ) 14

15 ejedoroda powerzcha B-sklejaa rozpęta a satce wygląda tak: orówae: owerzcha Bezera ejedoroda powerzcha B - sklejaa 15

16 owerzche URBS (o-ufor Ratoal B-Sple): x( u,v y( u,v z( u,v ) ) ) w w j k w jk j k jk j k w j k w jk j k w j k jk jk jk jkx jky jkz j,s j,s j,s j,s j,s j,s k,t u s + v t + w jk -wag puktów kotrolych jk Rówaa paraetrycze 5 4 x(u,v ) ( 9u + 5u 7u + 18u 45u)cos(pv ) 4 y(u,v ) 16u u + 16u 5 4 z(u,v ) ( 9u + 5u 7u + 18u 45u )s(pv ) u 1 v 1 16

17 Obraz powerzch po przetworzeu w satkę trójkątów 17