Spis treści ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Spis treści ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5"

Transkrypt

1 Ss treśc SPIS TREŚCI WYKŁAD 5 ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5 WYKŁAD 9 TESTY PIERWSZOŚCI I LICZBY PSEUDOPIERWSZE 9 LICZBY PSEUDOPIERWSZE EULERA WYKŁAD 3 4 ALGORYTM LEHMANA 4 TEST PIERWSZOŚCI AKS 5 ALGORYTM AKS: 9 WYKŁAD 4 KONSTRUKTYWIZM W PROBLEMIE DZIELNIKÓW I ALGORYTM FELLOWSA-KOBLITZA ALGORYTM FELLOWSA-KOBLITZA WYKŁAD 5 3 PROTOKOŁY PODZIAŁU TEJEMNICY I SCHEMATY PROGOWE 3 SCHEMAT PODPISU CYFROWEGO Z PEŁNOMOCNICTWEM 5 WYKŁAD 6 8 LOGARYTM DYSKRETNY I METODA INDEKSU. 8 LOGARYTM DYSKRETNY 8 METODA INDEKSU (IDEA 8 ALGORYTM POHLIGA-HELLMANA 9 METODA POHLIGA-HELLMANA DLA * 3 G Z ELEMENTY GŁADKIE W KRYPTOGRAFII 3 WYSOKOŚĆ ELEMENTU I ODWZOROWANIA REDUKCJI. 3

2 BAZA ROZKŁADU (ASPEKT ILOŚCIOWY 3 METODA INDEKSU 3 WYKŁAD 7 34 KRZYWE ELIPTYCZNE 34 CIAŁA SKOŃCZONE F 36 KRZYWE ELIPTYCZNE F q E 37 ( q PORÓWNANIE PODPISÓW CYFROWYCH I ARYTMETYKA NA KRZYWEJ E( F q 38 PODPIS EL-GAMALA 38 ALGORYTM DSA 39 ALGORYTM ECDSA 39 PORÓWNANIE SCHEMATÓW PODPISU CYFROWEGO 4 ASPEKTY BEZPIECZEŃSTWA 4 WYKŁAD 8 4 HIERARCHICZNE STRUKTURY DOSTĘPU 4 PRZYKŁAD STRUKTURY MILITARNE, RZĄDOWE, KORPORACYJNE. 4 WŁASNOŚCI (POSTULOWANE 4 Q-ASPEKT 43 WYKŁAD 9 44 ELEMENTY TEORII PRAWDOPODOBIEŃSTWA I ALGORYTMÓW 44 PRZESTRZEŃ PRODUKTOWA Z ROZKŁADEM ŁĄCZNYM. 45 ITERACJA ROZKŁADÓW ŁĄCZNYCH 47 ALGORYTM PROBABILISTYCZNY, ROZSZERZENIE DETERMINISTYCZNE, MODELE MONTE CARLO. 48 RODZINY FUNKCJI JEDNOKIERUNKOWYCH 5 RODZINA FUNKCJI WYKŁADNICZYCH 5 RODZINA RSA FUNKCJI ZAPADKOWYCH 5 RODZINA FUNKCJI RABINA 5 ROZRÓŻNIALNOŚĆ RESZT I NIERESZT KWADRATOWYCH 5 WYKŁAD 54 BEZPIECZEŃSTWO WSPÓŁCZESNYCH SYSTEMÓW KTYPTOGRAFICZNYCH 54 DEFINICJE BEZPIECZEŃSTWA 54 MODEL PRZECIWNIKA 55 SZYFROWA MAPA DROGOWA 55 FUNKCJE JEDNOKIERUNKOWE SILNE I SŁABE 55 FUNKCJA JEDNOKIERUNKOWA NIEZUNIFORMANIZOWANA 57 FUNKCJE ZAPADKOWE (JEDNOKIERUNKOWE Z ZAPADKĄ 57

3 WYKŁAD 58 DOBRE SCHEMATY SZYFRUJĄCE 58 BEZPIECZNY SCHEMAT SZYFRUJĄCY W MODELU Z LOSOWANĄ WYROCZNIĄ. 58 DOBRE SCHEMATY SZYFROWANIA 59 WYKŁAD 63 PODPISY WIELOGRUPOWE 63 PODPISY GRUPOWE: DEFINICJE, WYMAGANIA I OGÓLNA KONSTRUKCJA 65 DEFINICJE BEZPIECZEŃSTWA SCHEMATÓW PODPISÓW GRUPOWYCH. 66 PEŁNA WYTRAPIALNOŚĆ 68 WYKŁAD 3 7 SYSTEMY KRYPTOGRAFICZNE WYKORZYSTUJĄCE KRZYWE ELIPTYCZNE I HIPOTEZY O LICZBACH PIERWSZYCH. 7 KRYPTOSYSTEMY ELIPTYCZNE: 7 KODOWANIE WIADOMOŚCI NA PUNKTY KRZYWEJ 7 LOGARYTM DYSKRETNY NA KRZYWEJ E F 7 ( q METODA INDEKSU DLA KRZYWEJ E( F q 74 DZIAŁANIE WEILA 75 WYBÓR KRZYWEJ I PUNKTU W KONSTRUKCJI KRYPTOSYSTEMU 78 PODSUMOWANIE 78 ( SYSTEMY KRYPTOGRAFICZNE WYKORZYSTUJĄCE KRZYWE r q E F 79 ZNAJDYWANIE PUNKTÓW NA KRZYWEJ E( F q 79 BEZPIECZEŃSTWO 8 WYKŁAD 4 8 REDUKCJA KRZYWEJ. TWIERDZENIA NAGELLA-LUTZA I HASSE- WEILA 8 REDUKCJA E, P - TWIERDZENIE NAGELLA-LUTZA 8 TWIERDZENIE HASSEGO 84 TWIERDZENIE WEILA 84 WYKŁAD 5 85 SCHEMATY PŁATNOŚCI INTERNETOWYCH I MODEL PIENIĄDZA CYFROWEGO 85 POSTAĆ CERTYFIKATU 86 REJESTRACJA (ASPEKT PŁATNOŚCI 86 ANONIMOWOŚĆ W ASPEKCIE PŁATNOŚCI 87 KRYPTOGRAFIA CYFROWEGO PIENIĄDZA (IDEA 87 3

4 SYSTEMY ANONIMOWE Z CERTYFIKACJĄ 88 WYKŁAD 6 9 MIKROPŁATNOŚCI. 9 SYSTEM BANKOWOŚCI INTERNETOWEJ PLANET 9 SYSTEM MICROMINT (MENNICA ELEKTRONICZNA 9 SYSTEM PAYWORD 9 SYSTEM PLANET BANKOWOŚCI INTERNETOWEJ 9 WYKŁAD 7 94 BEZPIECZEŃSTWO SYSTEMU RSA I FAKTORYZACJA LENSTRY 94 SYSTEM RSA 94 METODA LENSTRY 95 WYKŁAD 8 98 WYBRANE ASPEKTY HANDLU ELEKTRONICZNEGO 98 ROZSZERZONE PROTOKOŁY UZGADNIANIA KLUCZA 98 ROZSZERZONE PROTOKOŁY UZGADNIANIA KLUCZA ODPORNE NA ATAKI BLOKADY USŁUG 98 ROZSZERZONY PROTOKÓŁ TYPU DIFFIE-HELLMANA 99 KONTRAKTY ELEKTRONICZNE PROTOKOŁY NIEDETERMINISTYCZNE 4

5 Wyład Złożoość olczeń Powemy, że algorytm wyoujący ewe olczee dla lczy aturalej jest c efetywy czas jego dzałaa jest rzędu L ( gdze L ( l(. Prolem jest (olczeowo łatwy jeśl steje dla ego efetywy algorytm. Będzemy załadać, że lcza zadaa jest w uładze ozycyjym rzy odstawe g tj. c g. Elemety teor złożoośc olczeowej rolem dzelów Będzemy rozróżać dwa rodzaje rolemów: TAK - decyzyje: odowedź NIE - oszuwawcze: rozwązae zawera coś węcej. Przyład : G(V,E. Czy steje f : V {,,3} tae, że (, j E f ( f ( j (trójolorowae grafu. Przyład : Day zór utów, A,..., A }. Zaleźć ajrótszą drogę od A ochodzącą { A m wszyste uty owracającą do A. (rolem omwojażera. Przyład 3: Dla daego N zaleźć zór D( wszystch dzelów aturalych lczy N. (eły rolem dzelów. Przyład rolem decyzyjy Przyład rolem oszuwawczy Przyład 3 rolem oszuwawczy W owyższych rzyładach rolemy moża sformułować ta ay yły oszuwawcze lu decyzyje. Co węcej ędą oe w stoce rówoważe. Przyład: Dae N K, M aturale. Czy steje dzel N w rzedzale [K,M]? Rozwązae rolemu decyzyjego rzy użycu daego algorytmu moża wyrazć w termach języa rozozawalego rzez te algorytm. * Nech -alfaet, -zór wszystch sończoych cągów elemetów alfaetu. * Języ L to ewe odzór. 5

6 Powemy, że algorytm acetuje języ L odowada TAK ( dla L oraz NIE ( dla L Defcja: Fucja f : X Y jest olczaa w czase welomaowym weloma oraz algorytm, tóry dla dowolego X olcza y Y rzy użycu co ajwyżej ( oeracj a tach ( -ozacza rozmar daej wejścowej tj. lość tów w rerezetacj arej. Defcja: Języ L ależy do lasy złożoośc P jeśl fucja charaterystycza L jest olczala w czase welomaowym (steje algorytm determstyczy rozstrzygający rzyależość dowolego słowa do języa L. Defcja: L NP jeśl steje algorytm edetermstyczy rozstrzygający rzyależość słowa do języa. W ategorach rolemu ozacza to (eformale, że dysoując eograczoą mocą olczeową możemy e tylo odowedzeć a ytae rolemu decyzyjego (TAK/NIE, lecz w rzyadu gdy odowedź rzm TAK dostarczyć dowodu orawośc odowedz (certyfatu o czase welomaowym. Przyład: Czy daa lcza aturala jest złożoa? Odowedź TAK Dowód N l, l Ta certyfat złożoośc lczy srawdza sę w czase welomaowym. UWAGA: Zacze trudej jest zaleźć (rót certyfat erwszośc daej lczy. Wose: Prolem dzelów jest rolemem lasy NP gdyż odowadający mu rolem decyzyjy jest w lase NP. Przyład: Pytae: Czy N ma dzel w rzedzale [,]? Odowedź: TAK. Certyfat: lcza aturala l o własośc: l [,], l dzel N. Srawdzee orawośc odowedz srowadza sę do stwerdzea, że l N jest lczą całowtą oraz, srawdzea erówośc l. Uwaga: Ne wadomo czy rolem dzelów ależy do (otecjale mejszej lasy P. To, że lasa P jest mejsza od NP jest treścą hotezy P NP. Kryterum erwszosc Defcja: 6

7 P ( - ajmejszy dzel erwszy lczy. Kryterum P : Lcza jest erwsza, wtedy tylo wtedy gdy ( P. Jeśl ajmejszy dzel erwszy rówa sę samej lcze to lcza ta jest erwsza. Kryterum Kratch a Lehmer a: Lcza jest erwsza, wtedy tylo wtedy gdy steje tae a N, tórego rząd w grue Z jest rówy. Dowód: : - erwsze to Z jest cylcza. Zatem steje w ej geerator a, tórego rząd jest rzędem tej gruy Z {,, K, } ( : Rząd dowolego elemetu dzel rząd gruy Z ϕ. Wemy że rząd a jest rówy, ale ϕ ( gdy ( > oraz, że dzel rząd gruy a rząd gruy to ϕ ( ( ϕ ( to. Z tego mamy że oraz ϕ ϕ ( zatem ( mus yć erwsze. Twerdzee (Pratt: Perwszość jest rolemem lasy NP. ϕ, a jeśl Szc dowodu: Załóżmy, że jest lczą erwszą. Przyuśćmy, że zamy elemet masymaly a (mod α q (geerator Z * rozład Π q. Poażemy ja sostruować welomaowy certyfat erwszośc dla lczy (dowód erwszośc. q Podzelmy go a 3 ro: I. Srawdzamy, że rz a - stosując ryterum Kratcha-Lehmera α q II. Srawdzamy orawość rozładu Π q III. Dowodzmy, że rozład α q q q jest stote rozładem - a loczy otęg q Π lcz erwszych. W tym rou odwołujemy sę do rocedury reurecyjej tyu: Perwszość -> erwszość q -. Pozostaje udowodć, że lość odwołań ędze welomaowa. Zorazujemy to a modelu drzewa. Wystarczy oazać, że lość werzchołów drzewa zależy welomaowo od L L. rozmaru tj. jest ograczoe rzez ( 7

8 q q qm q q. q m q td. Nech T( ędze loścą werzchołów drzewa o orzeu w uce. Mamy T( dalej reurecyje, T ( + T ( + T ( q. Poażemy ducyje, że ( < log. < q T Dla, T(< jest rawdzwe. Załóżmy, że zachodz dla wszystch q<, tj. T ( q < log q Mamy: T ( + T ( q < + T ( q < + log ( + log < q log < q log < log Przyład: Certyfat erwszośc lczy 67 ( jest geeratorem dla, 5, 3 jest geeratorem modulo dla 7,

9 Wyład Testy erwszośc lczy seudoerwsze PROBABILISTYCZNE (testy erwszośc. Klasyfacja TESTY PIERWSZOSCI OGÓLNIE Hstora : Eratostees (5..e. sto Foacc (3 we(metoda olejych dzałań do. Euler ( +y rer.jedoz. + 3 jest lczą erwszą Lucas (9 we wyorzystał twerdzee Fermata dla celów erwszośc Fatoryzacja Perwszośc Kratch, Lehmer (99 rozwęl deę odzału Lucasa Dzś : testy moża odzelć a. DETERMINISTYCZNE / NIEDETERMISTYCZNE. UNIWERSALNE / SPECYFICZNE dla wszystch dla ewych W asece wydajośc testy determstycze 3. BEZWARUNKOWE / WARUNKOWE czas dzałaa a ogół e welomaowy czas dzałaa welomaowy (o le zachodz ewa hoteza.hoteza Remaa WARUNKI : Szyość, Ogólość, Porawość SCHEMAT : (testu erwszośc Załóżmy, że otrafmy udowodć twerdzee tyu : Jeśl jest lczą erwszą to Wtedy druga część mlacj (teza może yć tratowaa jao warue oeczy erwszośc. PRZYKŁAD : Jeśl - erwsze to lu rówae : Jeśl -erwsze to 9

10 α (mod tw. Fermata a ( Ta test azywamy testem Fermata. Jest szy, ogóly ale e orawy o e moża doweść, że lcza o rzejścu rzez test jest erwsza. KONTRPRZYKŁAD (z ustaloym śwadem a 4 Mamy 4 4 (mod KONTRPRZYKŁAD ( dla dowolego śwada a a 56 ( mod 56 DEF. Lczę azywamy seudoerwszą rzy odstawe a jeśl jest złożoa zachodz warue Fermata ze śwadem a. DEF. Lczę złożoą, tóra rzechodz omyśle test Fermata dla wszystch śwadów a ( * azywamy lczą Carmchaela. Z TWIERDZENIE : (Heath - Brow 98 s # { : jest lczą Carmchaela } TWIERDZENIE : DOWÓD : Nech P ech r- R S,gdze S jest earzyste. Wtedy dla ażdego a * zachodzą waru : Z. a - (mod. a S S (mod lu steje tae r < R,że a a r - (mod Warue wya z twerdzea Fermata. Dla dowodu drugego zauważmy że erwszość ocąga za soą, że /7 R S a a ± (mod S a r Zatem w cągu otęg modulo r R-,R-,.. alo ędze otęga dająca resztę - modulo alo a S (mod co dowodz tezy. Na owyższych argumetach oarty jest astęujący algorytm (Test erwszośc Mllera -Raa.

11 Szc algorytmu. Dla losowo wyraego a * (a Z Olcz a - (mod Jeśl wy (mod to algorytm daje a wyjścu odowedź P. W rzecwym raze rzechodzmy do drugego rou.. Zasz - R S, S earzyste. Jeśl a S (mod lu steje tae r < R,że a - (mod to Algorytm daje a wyjścu odowedź P. W rzecwym rzyadu algorytm daje odowedź P. UWAGA Z owyższego twerdzea wya,że odowedź P jest ewa. Natomast P jest oarczoa (rawdoodoym łędem. Ja oazal Mller Ra rawdoodoeństwo omył e rzeracza jeda /4. Zatem rzy l - teracjach algorytmu rawdoodoeństwo omył jest /4 l, tz. mamy : WNIOSEK : Jeśl rzechodz omyśle test Mllera-Raa l razy, to jest lczą erwszą z rawdoodoeństwem. 4 l a Z r S DEFINICJA: -azywamy lczą sle seudoerwszą rzy odstawe a waru... -złożoe seła Lczy seudoerwsze Eulera * * Nech g geerator Z, lcza erwsza. Wtedy ażde a ( jest ostac a g (mod * Jeśl jest arzyste to a azywamy resztą wadratową (mod, w rzecwym Z rzyadu eresztą wadratową (mod. Z Łatwo zauważyć, że * a Z jest resztą wadratową (mod rówae a y (mod ma rozwązae y Z.

12 WNIOSEK : Zory reszt ereszt wadratowych (mod mają tę samą moc. DEFINICJA : a Symol Legedre a defujemy astęująco: gdy a reszta wadratowa (mod a gdy a ereszta wadratowa gdy a WNIOSEK 3: Jeśl g -geerator g (mod * Z to Warue Eulera: * a a Z mamy a (mod Dowód: Jeśl a -reszta wadratowa (mod to oe stroy są rówe (mod. Jeśl a -ereszta wadratowa (mod to y+ y a g sąd a ( g g g (mod taże, co ależało doweść. lewa stroa Defcja: Lczę azywamy lczą seudoerwszą Eulera rzy odstawe a -złożoe seła warue: a a (mod Twerdzee: (charaterystya lcz złożoych rzechodzących omyśle test Mllera-Raa Lcza 3(mod 4 jest lczą seudoerwszą Eulera (rzy odstawe a jest lczą sle seudoerwszą (rzy odstawe a. Dowód: omjamy Mamy zatem lasyfację;. Lczy seudo-erwsze rzy odstawe a sełają warue Fermata : a - (mod. Lczy sle seudo-erwsze sełają warue Mllera-Raa : j.w.

13 3. Lczy seudo-erwsze Eulera sełają warue Eulera : ( a (mod a a gdze ( jest symolem Jacoego. Jeśl dla O(log losowych śwadectwo a możemy wosować, że P. * Z rzy założeu hotezy RIEMANNA Odowed test azywamy testem SOLOVAYA STRASSENA. Powyższy symol Jacoego jest uogóleem symolu Legere a,a maowce jeśl r α α K α r (założee a, earzyste to a a a K r α α r Dalej jeśl : s a q β K q β to s s a q q s K β β Pozostaje umeć olczać, q lczy erwsze,q e arzyste q Prawo wzajemośc Gaussa oazuje zwąze symol Legedre a q maowce ( ( ( q q q q Jeśl to olczamy ( ( q oraz ( ( q q WNIOSEK : Powyższe wzory ozwalają a efetywe olczee symolu Jacoego w osewecj otrzymujemy welomaowy, determstyczy test erwszośc Solovay a Stressea. 3

14 Wyład 3 Algorytm Lehmaa Twerdzee (ryterum erwszosc Lehmaa efetywe olczeowo: Lcza N jest erwsza wtedy tylo wtedy, gdy zór a ( mod, a Z {,} (* Dowód: Jeśl jest erwsze to mod ( Z jest całem rozwązaa: mod ( Kładąc a a mocy twerdzea Fermata. Co węcej -elemetowym. Węc rówae ±. a tym cele ma dołade dwa a otrzymujemy, że mod ( zatem a {, } dla dowolego a Z tz a, a Z {, } Ale mamy, że ( mod. Z drugej stroy: oeważ Z jest cylcza to orąc a Z a ( mod rówe geeratorow otrzymujemy, że ajmejszy wyład ta, że jest rówy wtedy a mod ( a węc ( mod. Załóżmy, że P, gdze P to zór lcz erwszych. Poażmy, że e zachodz astęująca rówość (* I, Załadamy że e zachodz (* Isteje Nech (taże Wtedy (, > a Z tae że a mod ( Z ędze rozwązaem uładu ourecj. ( mod ( a mod steje a mocy twerdzea chńsego o resztach gdyż ( a mod ( a mod 4

15 Zatem ± mod ( wrew założeu (* II α, -lcza erwsza Gdy α gdze α, to w grue Z α tórej rząd rówy jest steje elemet a rzędu. Nech a ędze tym elemetem, wtedy: ( ( a mod a mod Otrzymaa srzeczość dowodz mlacj. c..d. oeważ węc rzad a co emożlwe. ϕ α α ( ( Algorytm Lehmaa: Dla losowo wyraych a j, j,, K, olczamy ( mod a j, wtedy: jeżel steje j, ± mod ( to odowedź: P. a j jeśl j aj mod ( to odowedź: P 3 w rzecwym wyadu odowedź: P Odowedź jest ewa, odowedź z rawdoodoeństwem rawdoodoeństwem., 3 z Test erwszośc AKS Wymyśloy w rou rzez Agravala, Keyala Saeę. Algorytm AKS jest algorytmem determstyczym dzała w czase welomaowym(!!! od rozmaru lczy. Lemat : Jeśl jest lczą erwszą earzystą, to ( a a(mod, gdze a. Dowód: Dwuma Newtoa dla ( a ma ostać: ( a. Z twerdzea Fermata wya, że a a(mod. Tylo dwa wyrazy, erwszy ostat są róże od (mod. Wszyste ozostałe są rówe (mod o!.!(! Lemat : Jeśl zachodz rówość, że ( a a(mod (gdze jest earzyste, to jest lczą erwszą. Dowód: Nech q ędze ajwyższą otęgą lczy erwszej q, tóra dzel. Jeśl: q l, gdze l q, 5

16 to wtedy: q l ( q l( q l... ( q q q! ( q l q! q! l q q l. q q q q l ( q m l tylo te czy te astęe już e dzel sę rzez q o q e dzel q m q ( q m srzeczość!!! ( a ( a ( a Weźmy teraz q. Wtedy e jest welorotoścą q, węc taże e jest welorotoścą. Zatem różca ( a ( a (mod. Stąd jest lczą erwszą (a mocy dowodu e wrost. Twerdzee AKS: Załóżmy że N, q r są lczam erwszym, gdze q r, oraz sełoe są cztery oższe założea: r q (mod r {, } S - sończoy zór lcz całowtych ta, że ' S zachodz: ' q+ S 3 r > S r 4 S ( + + (mod,, tz. r ( + f ( ( + g(, gdze Wtedy jest otęgą lczy erwszej. Przyład: g( (mod r + f g Z[ ] r r r r r (mod,, gdyż ( + (,. Szc dowodu twerdzea AKS. I. Waru,, 3 moża tratować jao oszt sełea założea z lematu. r II. Jeśl zachodz ( + ( (mod,, to zachodz to taże dla lcz j w ostac m, gdze jest dzelem erwszym lczy, tz. m m r ( + + (mod, (jest to roagacja rówośc z waruu 4 a lczy ostac m. m a Berzemy m r. Otrzymamy wtedy ( + + (mod, 6

17 Dla dowodu zauważmy, że: ( ] [( ( ] [( ( + + ( 7. Berzemy tz. Zauważmy teraz, że, j., (mod ( r j j + +, (mod ( ( r + +, węc taże, gdyż, (mod ( ( r + + Mamy. (mod (mod ( Pozostałe wsółczy zą, gdyż są odzele rzez. Na mocy twerdzea Fermata mamy: Jeśl, to. (mod (mod Jeśl, to gdyż, (mod. Zatem ( ] [( ( (( ( j j j j j (mod. j + Udowodlśmy węc, że zachodz., (mod ( r j j + + Jest to o słaszy warue ż węc (mod, jeśl rówae jest rawdzwe, to jest też rawdzwe dla (mod., (mod r Połączee roów a , (mod (, (mod ( r r j j j m, (mod ( ] [ ] [( ( r j j j j j ro a ro III. Załóżmy, że Jeżel a. < (mod r a, to., (mod r a Dowód: ( a a. Poażemy, że jest welorotoścą ( a. r Połóżmy. lr a Wtedy ( ( ( l l l r lr y y y y y. C.N.D.... ( ( ( l r r r r IV. Zasada szufladowa Drchleta. Jeśl r j,, to wtedy steją ary tae, że, (, ( ' ' j j (mod ' ' r j j

18 (Są to lczy dające tą samą resztę. Dzeje sę ta dlatego, gdyż możlwośc wyoru ar (j jest o jede węcej ż steje reszt. V. Estraolacja rou II. Kro II moża zasać m m r że dla q ( + mamy rówość q q ( (mod,, ( m m r q ( q ( (mod, m r q( (mod, zachodz dla q q q. a dla q ( + mamy. m Wtedy rówość q( Dowód. q( (* q ( m m q( q ( m m mod( r mod( r,,? m m m q q ( q( q ( Ale lewa stroa owyższego rówaa jest rówa ma mocy (*. C.K.D. m m m m q ( q ( q( q ( r VI. Kostrucja elemetu dużego rzedu w Z[ ]/. VII. Rozważmy gruę G geerowaą rzez dwumay +, gdze S, w cele Z [] / h(, gdze ( jest welomaem erozładalym w [] dzelącym. r α Zatem G { ( +, α q, α }. S S Grua multlatywa cała [ ] / h( Z Z jest cylcza, zatem grua G też jest cylcza. q+ S Jeśl g jest jej geeratorem, to rząd g G S Zaończee dowodu. ' Nech g - geerator gruy G, oraz m,m ędą elemetam zoru j ' { :, j } tam, że m m (mod r, wtedy rawdzwe jest: m m r (* q( q( (mod, ' Jeśl q, q sełają (* q q też sełają (* Zatem rówae (* zachodz dla geeratora g w grueg, tj. m m r q( ( mod(,. ' m m r Poeważ m m (mod r węc ( + ( + (mod a mocy ' α m α m r multlatywośc ( ( + ( ( + (mod,. Czyl m q ( q( ' m S S w grue G. Wtedy mamy ' 8

19 ' q S + G m m < G S Otrzymalśmy srzeczość z wosem łyącym z zasady szufladowej ' j j Drchleta, czyl srzeczość z m m. Srzecze węc jest, czyl j ' ' ' j j ' j α C.N.D Algorytm AKS: Zajdź lczę erwszą r rzędu L c (. Zajdź q ajwęszy dzel erwszy r lczy r ta, że q (mod r {, }. q + s Zajdź s, tae że r. s 3 Srawdź, czy ma dzel erwszy w zorze {,3,..., s}. 4 Jeśl e, to srawdź astęującą ogruecję: r ( + + (mod, 5 Srawdź jaą otęgą lczy erwszej jest. ' ' 9

20 Wyład 4 Kostrutywzm w roleme dzelów algorytm Fellowsa-Koltza a R, gdze R dzedza z jedozaczoścą rozładu ϖ a lość różych dzelów erwszych (z doładoścą do stowarzyszea ( Przyład: R Z Prolem: Przyład:, 6, a ( a { } ϖ #,3,5 3 Zaleźć etrywale oszacowae dla ϖ ( a Zaleźć ograczee tyu ϖ ( a ϖ ( a ϖ ( a t t t, gdze t R + Metoda ostrutywa ozwala wyzaczyć etrywaly dzel d a. Metoda ostrutywa ozwala oszacować ϖ ( a,ale e mluje zajomośc żadego etrywalego dzela d a. Dowód, że ϖ a ( etrywaly dzel d dzelący a. Dowodzmy teraz rolem PSM w ogólośc : Dae a K I α α α I jest ostrutywy jeśl wya z ego ja moża zaleźć Szuamy formacj a temat rozładu a,adając erśceń lorazowy S a, gdze S R[ ] a doładej jego gruę jedośc G ( S F G odgrua gruy G rówa, gdze G - rzemee a F S S S I K K I,

21 F F F I F F F F I F F F F I F 3 F 3 F 3 F I 3 F J... F J... F J... F I J... F j -gruy cylcze eoecze etrywale gdze I, j J ord H rząd H Mamy,że ω(a I S q (G q odgrua Sylowa gruy G (odgrua masymalego rzędu q α Dla oszacowaa I ędzemy rozważać ewe odgruy H G. Nech q ord F. ( Metoda dowodzea,że ord S q (H > ord S q (F. (metoda olumowa ( Metoda dowodzea,że ef j jest róży od ord Fj. (metoda werszowa Dla ewego j J e(h : e H wyład gruy H tz. e(h NWW ( ordh Zauważmy,że jeśl e(f j ord Fj to grua F j e jest cylcza, o gdyy yła to rząd geeratora yły rówy rzędow gruy. Wtedy oczywśce I Z,węc ω(a. Przyładem demostrującym metodę ( jest test erwszośc FEILOWSKA KOBLITZA,atomast metodę ( test Agravala,Keyala Saey. Przyade I : h H a ord F : S q ( H F > ord S q ( H F > r Jeśl tae H F steje to aturale ord S q ( H > ord q ( F Przyade II : (q ord F zachodz ord Sq ( H F ord S q ( H F > Twerdzee: S-/S Załóżmy, że zachodz Przyade II gdze H G ma rząd > (ord F oraz wszyste rzecęca H F są cylcze. Wtedy : e H > (ord F /s ω(a S-.

22 Dowód: Przy założeach Przyadu II.mamy,że q ord F, q -odgruy Sylowa gru H H F są tego samego rzędu. Zatem gruy H F H F mają te same rzędy, oeważ H F, I są cylcze,węc H F oraz H F są zomorfcze. Nech H F E, I. Wtedy mamy, że H H F H ( F F I (H F (H F I E E E I razy F Załóżmy, że e H > (ord F /s ω(a >s- tj. NWW I s Wtedy ( ord F /s < e H ord h < h > NWW h H NWW h H (H F ord E ord E (ord H /I (ord F /s. h H NWW h H Otrzymaa srzeczość dowodz, że ω(a jest s-.odwrotą mlacje dowodzmy aalogcze, zauważając,że z cylczośc H F wya.że e H (ord H /I węc wyład gruy jest duży jeśl tylo H ma duży rząd. Wose : Jeśl H jest odgruą cylczą F lu wszyste rzecęca (H F są cylcze to w Przyadu II mamy :. Jeśl e H > ( ord F / to ω(e.. Jeśl ω(a oraz ord H > ( ord F / to e H > ( ord F /. Wose : Jeśl zachodz Przyade II grua H jest duża to wyład e H rozstrzyga o erwszośc lu złożoośc elemetu a. Wose 3: Przyade II w odróżeu od Przyadu I staow eostrutywy elemet dowodu erwszośc lu złożoośc a R. Wose 4: (ALGORYTM F-K ozzej. Algorytm Fellowsa-Koltza (determstyczy,dzałający w czase O(log 6 oeracj - Daa wejścowa (Naturala załadamy, że q α q α K q α Dla a N z rzedzału [, log ]wyouj Jeśl a - (mod to zwróć odowedź złożoa. 3 Olcz ord a 4 Dla dowolego q ord a wyouj 5 Jeśl NWD(a ord a/q, > to zwróć odowedź - złożoa 6 Olcz l NWW ord a ( ( log a 7 Jeśl l < to zwraca odowedź złożoa w rzecwym rzyadu zwraca odowedź erwsza.

23 Wyład 5 Protooły odzału tejemcy schematy rogowe Podzał tajemcy strutura dostęu Rozważmy tróję ( K, P, S gdze: K - zór luczy, P - zór użytowów, S - zór udzałów. P Γ Z - rodza zorów urzywlejowaych (ażdy zór z tej rodzy ozwala a zreostruowae lucza K, a ostawe odowadających m udzałów. Taą rodzę azwemy struturą dostęu. Defcja. Systemem ezeczego odzału tajemcy, realzującym struturę dostęu Γ, azywamy metodę odzału lucza K omędzy użytowów ze zoru P w ta sosó, ay: Każda grua osó B P z rodzy Γ otrafła wyzaczyć wartość lucza K a odstawe swoch udzałów ze zoru S. Dowola grua osó soza rodzy Γ e yła w stae a odstawe swoch udzałów otrzymać żadej formacj a temat lucza K. Defcja. Załóżmy że P. Schematem rogowym tyu ( t, jest ta schemat ezeczego odzału tajemcy, że ażda grua osó B P, taa że B t, jest urzywlejowaa. Protoół Shamra Nech F - ustaloe cało, B P, B t. ( ędze ozaczać elemet zoru osó B, a taże detyfator daej osoy Twerdzee. Isteje dołade jede weloma f F[] (o wsółczyach w cele F stoa t wyzaczoy rzez węzły, y, gdze B. ( Przyład. y f ( Jeśl B to steje dołade jede lowy weloma f F[], ta, że. y f ( Dowód twerdzea. Weloma f moża oreślć astęującym wzorem (jao weloma terolacyjy Lagrage a: 3

24 f ( Stoeń B f y B ( y' f t. Poażemy że ' B B ' f ( y. ' y C.N.D ' (W owyższym wyrażeu jedyy wład ma ta wartość dla tórej gdyż dla ozostałych jede z czyów loczyu jest zerowy Schemat Protoołu Shamra. I. Faza wstęa. Mocodawca P (tzw. Dealer wyera różych (ezerowych elemetów II. cała F (gdze F + :,,...,. Mocodawca rzydzela lczy osoom P, gdze,,...,. Faza rozdzelaa udzałów (w schemace (t,. Nech K ędze rozdzelaym luczem. P wyzacza ( t losowych lcz a, a,..., at F defuje weloma t t f ( + a at. P rzydzela udzały f osoom P, gdze,,...,. ( Uwaga! Jeśl B t, to węzły (, f ( jedozacze wyzaczają weloma f (, a węc lucz K. y ' Poażemy, że jeśl B. B < t, to ażdy lucz K może yć otrzymay z udzałów osó Nech. t węzłów ochodzących od osó tworzy uład: a + a t a t a t t a + a + a + a t t t y y t t Rozszerzając owyższy uład o rówae a + a + a at y olczyć wartość lucza: t (,,,..., ( a, a,..., a y (,, (, t,,..., t t,..., ( a t t ( a, a,..., a t t , a,..., a y t y t możemy 4

25 Zasując w ostac macerzowej:... a y t... a y M M t t t... a t t y t Powyższy uład ma jedozacze rozwązae gdyż jego wyzacz wyos: ( ( < j t j < j t j C.N.D. Schemat odsu cyfrowego z ełomocctwem Twórcam tego schematu są (Ch-Che-Cha, Hu-Feg-Huag. Bazuje o a rotoole odzału tajemcy ochodzącym od Shamra (używa systemu RSA. Nowoścą jest to, że w tym odse wszyscy użytowcy są łatwo rozozawa (co wcześej e yło osągale. Poadto jest jest szy olczeowo. P, P,..., P - ełomoccy. I. Faza wstęa. Zaufay serwer (trusted authorty geeruje lucze RSA: ( e, N - ulczy, d - rywaty, gdze N q ( N jest loczyem dwóch lcz erwszych rzeazuje wartośc luczy odowedm ełomocom: ( e, N, d ϕ ( N dla P, ( e, N, d ϕ N dla P, gdze. ( II. Geerowae lucza ełomocctwa. P tworzy formację m N, m (zawerającą detyfator P czas udzelaego ełomocctwa olcza m D d mod( ϕ( N ED (mod ( N m ϕ E e mod( ϕ( N m m ( d e (modϕ( N Gdze D - lucz tajy ełomocctwa, E - lucz jawy ełomocctwa. d P uluje [,, ( d m E σ m m (mod N, σ ( E E (mod N ] oraz ezeczą fucję haszującą h. 3 Każdy użytow może zweryfować warygodość olczając rzy użycu σ ( m σ ( E eo e eo wartośc: m (mod N E(mod N P III. Podzał tajemcy. Wyór welomau odzału tajemcy. 5

26 P wyera losowe lczy całowte a [, N defuje t f ( D + a a Z[ ], wtedy f ma ostać t f ( f ( g (, gdze g ( Q[ ]. B P defuje weloma omocczy f (! sąd H ( f ( G (, gdze G (!, g ( Z[ ]. B Wyzaczae udzałów S omędzy użytowów P,...,. P olcza udzały dla B wzorem S f ( G ( f ( g (! Z e wysyła rytogramy ostac ( σ ( S (mod N do wszystch P. 3 Srawdzee warygodośc udzałów. e d P olcza (( σ ( S σ ( S (mod N, a astęe e ( σ ( S ( S (mod N (jest to weryfacja odsu dealera jego luczem ulczym. P IV. Tworzee odsu ełomocctwa. Wzajeme uwerzytelae gruy B. d Każdy P olcza y h(, M (mod N (jest to wartość ulcze zaej fucj haszujacej dla daej wadomośc z zawartą formacja o adresace rzesyła wy do ozostałych udzałowców. Każdy z ch weryfuje e autetyczość otrzymaego rytogramu olczając y h(, M(mod N. Sładae częścowego odsu. Użytow olcza wartość P d f ( G ( σ ( M h([ h(, M ], M (mod N B ( f ( G ( - to otrzymae od Dealera udzały ażdego użytowa wysyła d arę [ σ ( M, σ ( M ] do ażdego z ozostałych użytowów. 3 Weryfacja orawośc częścowych odsów. d e P srawdza, czy σ ( M σ ( M (mod N. ( Jeśl ta, to olcza wartość ( d ( d D! σ ( M h( yb, M f ( G ( h( yb, M gdze B ( d B y h(, M B d. 4 Olczae odsu z ełomocctwa. Każdy P olcza wsólą wartość σ (M B ja astęuje B! σ M σ ( M (mod N. B ( B B Podsem ełomocctwa od wadomoścą M jest trója ( σ ( M, R, B, gdze R jest rozwązaem uładu rówań: B d R h(, M (mod N, B. (rówań tach ędze tyle, lu jest użytowów czyl. V. Weryfacja odsu. Srawdzee warygodośc ełomocctwa. 6

27 Odorca weryfuje rawdzwość m Id( P, (gdze Id - ( t detyfator P, t czas ważośc ełomocctwa oraz E (gdze E lucz ulczy ełomocctwa olczając e e σ ( m (, ( E (. σ E Weryfacja warygodośc gruy a odstawe odsu ( σ ( M, R, B Odorca olcza R(mod N h(, M (mod N. Srawdza czy ( h (, M h (, M (mod N. ( d d Jeśl ta, to olcza y B h(, M srawdza czy B E σ B ( M h( yb, M (mod N. Jeśl ta, to ods ( σ ( M, R, B uzaje za rawdzwy. B B 7

28 Wyład 6 Logarytm dysrety metoda desu. Logarytm dysrety Prolem: (logarytmu dysretego dla G Daa jest grua G geerator g G oraz A G. Zaleźć (o le steje wartość log(a : g A(G. Metoda desu (dea Uwaga : Zamast szuać lg(a ędzemy szuać lg( A lg( AB lg( B gdze lg( B lg( AB wtedy B to rodzaj losowego zacza. Postulat : B jest efetywe geerowae rzez azę tj. zajdzemy rerezetację: (* B Π lg( Π g dla welu. Postulat : AB jest efetywe geeroway rzez azę tj. * y y lg( AB Π Π g * logarytmując uład (* rozwązując zajdzemy wartośc * rówaa otrzymamy: * lg( A ( y lg( lg( wstawając je do Koluzja: Rozce lg(a a lg( AB lg( B ozwala zastosować deę rzeątową (sracającą rzeszuwae rzestrze AB B,, 3,. 8

29 Algorytm Pohlga-Hellmaa ( G, grua sończoa (rzemea N a a 443 a a,... a a ( a w G razy Rozważmy rolem logarytmu dysretego a w grue G. Uwaga: Wyład jest oreśloy modulo G a ścślej modulo a a + G rz a a a a G + rz a a, a a rz a gdyż Dla arytmetyczych gru G e zamy algorytmu olczającego logarytm dysrety w czase welomaowym od rozmaru G. Uwaga: Nech G Πq q α q załóżmy, że a jest geeratorem gruy G Załóżmy, że otrafmy zaleźć (modq dla ażdego q G Wtedy rozwązując uład rówań α (mod q,, 3, 4,.. α (modq α Zajdzemy rozwązae (mod Π q (mod G tz. otrzymuję logarytm dysrety dla elemetu rzy odstawe a a (G Wose: Dla G Z dzel erwsze. Prolem: Ja wyzaczyć (mod q α α * algorytm jest efetywy, jeśl - jest lczą gładą, tj. mającą tylo małe + q + q +... gdze {,,... q } + q α α 9

30 Metoda Pohlga-Hellmaa dla G Z * Rozważmy rówae: Wtedy a α + q + q+... α q * q q q q q a ( (w grue G Z Załóżmy, że mamy talcę wszystch erwastów stoa q z jedośc w grue rerezetowaej rzez otęg geeratora a. Teraz mamy ( a α + q α q q q ( a q q ( a a ( a a q Odszuując odowede wartośc erwasta z jedośc zajdujemy wartość. Dla wyzaczea zauważmy, że ( a ( q q q q q stroy a a a wartość w aszej talcy zajdujemy oleje cyfry, 3,... α q jest erwastem stoa q z jedośc. Z drugej α + q α q q q ( a a, węc odszuując tę. Kotyuując tę rocedurę wyzaczamy wszyste Uwaga: Połączee metody Pohlga-Hellmaa Shasa daje wzmocee owyższego algorytmu algorytm Slvera-Pohlga-Hellmaa. Elemety głade w rytograf Systemy rytografcze są zdefowae a ogół a dostatecze dorych struturach algeraczych, gdze jest zdefowae dzałae o, a rzyład: ółgruy, gruy, erścee, cała. Wyorzystywaa jest jedoeruowość ewych aturalych fucj zwazaych z dzałaem o w daej struturze. Tyowym rzyładem są dzałaa możea (dodawaa w struturach multlatywych (addytywych odowedo. System rytografczy strutura algeracza jedoeruowość wyróżoych fucj Przyład: ( G, o - ółgrua trudość olczeowa zwązaa z rozwązaem rówaa o a w G, gdze N 3

31 Przyładam są astęujące strutury: ( Z, ( Z, E ( F q,, (, Prolem: Rozwązać rówae o a w ółgrue G (tz. zaleźć N czyące zadość tej rówośc Metoda rutala (srawdzee olejych możlwośc Metody wyrafowae (wyorzystujące azy rozładu elemety głade Defcja: ( G, o Nech ędze ółgruą. B G azwemy azą rozładu jeśl dużo elemetów G jest ostac o gdze B. Defcja: Elemet g G azwemy g o gdze N B -gładm wtedy tylo wtedy, gdy jest ostac Wysoość elemetu odwzorowaa reducj. Nech h: G N, wtedy ewą fucją. Wyorzystamy ją do merzea wysoośc elemetów ółgruy G. Przyład: ( Q,, h r ma ( r, s, gdze r jest w ostac esracalej. s s Będzemy sę do tego rzyładu odwoływać dalej. Fucję h zwyle defujemy a esończoych ółgruach. W ratyce ędzemy rozważać rówae o a w sończoych struturach lorazowych. Taą struturę moża otrzymać wyorzystując odwracalość reducj. red G G P red : G G P Przyład : Z,, + ( red : ( Z,, + Z red ( ( mod - erśceń g g Przyład : G E Q, red : ( ( ( E( F E Q 3

32 a c red, ( a, cd mod d a c oreśloe dla utu P, E( Q d Ozaczee a, G, a% red a, % red Baza rozładu (aset loścowy Zauważmy, że zamast szuać rozwązaa rówaa o a% % wystarczy zaleźć rozwązae a red o a, red a a red % o, gdyż ( %, ( Zatem ędzemy szuać rozwązaa rówaa o a w ółgrue (esończoej G. Defcja: Powemy, że B jest ( tu,, f -azą rozładu w G wtedy tylo wtedy, gdy #{ g G, h( g < t, g o, h( u} > f ( t, u Przyład: G N, o - ółgrua ( B u {,,, r u} Nech u O( log t l K, gdze Wtedy #{, : α, } (, u N t P B > f t t Metoda desu Prolem: Zaleźć wartość logarytmu dysretego w grue G Zaleźć tae Z, że a ( mod Wyeramy azę rozładu B { } α - oleje lczy erwsze. l Z tz. mając dae a, Z,, K r tae, że dużo elemetów w G jest ostac Wyeramy losowe a G dzelmy a α ( mod, jeśl tae rzedstawee e a a αloga j Podstawamy to dla welu y otrzymać uład r+ c, rówań z ewadomą Rozwązujemy te uład. drogą elmacj Gauss a. Przedstawamy a w aze B (jeśl e moża to zmeamy Ostatecze otrzymujemy (o zlogarytmowau: log δ log steje to wyeramy e. Logarytmując mamy log ( a ( + a a sąd zajdujemy: log δ ( mod Wose: a 3

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

T. Hofman, Wykłady z Termodynamiki technicznej i chemicznej, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Technologia chemiczna, sem.

T. Hofman, Wykłady z Termodynamiki technicznej i chemicznej, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Technologia chemiczna, sem. . Hofma Wyłady z ermodyam techczej chemczej Wydzał Chemczy PW erue: echologa chemcza sem.3 215/216 WYKŁAD 3-4. D. Blase reatorów chemczych E. II zasada termodyam F. Kosewecje zasad termodyam D. BILANE

Bardziej szczegółowo

Bajki kombinatoryczne

Bajki kombinatoryczne Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, 7.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu. W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz

Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty Zeo Zwerzewcz Szczec Zeo Zwerzewcz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty W artyle

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

Równania rekurencyjne

Równania rekurencyjne Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... 9

Spis treści. Przedmowa... 9 Spis treści Przedmowa... 9 1. Algorytmy podstawowe... 13 1.1. Uwagi wstępne... 13 1.2. Dzielenie liczb całkowitych... 13 1.3. Algorytm Euklidesa... 20 1.4. Najmniejsza wspólna wielokrotność... 23 1.5.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

Parametry systemów klucza publicznego

Parametry systemów klucza publicznego Parametry systemów klucza publicznego Andrzej Chmielowiec Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk 24 marca 2010 Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA

Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Grzegorz Bobiński Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń, 22.05.2010 Kodowanie a szyfrowanie kodowanie sposoby przesyłania danych tak, aby

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja Szereg czasowe, modele DL ADL, rzyczyowość, egracja Szereg czasowy, o cąg realzacj zmeej losowej, owedzmy y, w kolejych okresach czasu: { y } T, co rówoważe możemy zasać: = 1 y = { y1, y,..., y T }. Najogólej

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.

Wykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego. Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 4 Nieparametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 4 Nieparametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lecja 4 Nearametrycze testy stotośc ZADANIE DOMOWE www.etraez.l Stroa 1 Część 1: TEST Zazacz orawą odowedź (tylo jeda jest rawdzwa). Pytae 1 W testach earametryczych a) Oblczamy statystyę

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęca wyrówawcze AJD w Częstochowe; 2009/200 Irea Fdyte PODSTAWOWE WIADOMOŚCI Z KOMBINATORYKI Nech X { x x x } =, 2, będze daym zborem -elemetowym Z elemetów tego zboru a róże

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja

Bardziej szczegółowo

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011 Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY I ZASTOSOWANIA RACHUNKU TENSOROWEGO

PODSTAWY I ZASTOSOWANIA RACHUNKU TENSOROWEGO PRACE PP FR REPOR /007 Jaa Ostrowsa - Maceewsa PODAWY ZAOOWANA RACHUNKU ENOROWEGO (Wyład a tudach Dotoracch w PP PAN) NYU PODAWOWYCH PROBLEMÓW ECHNK POLKEJ AKADEM NAUK WARZAWA 007 BN 978-8-89687-0-9 N

Bardziej szczegółowo

5. Obiegi wielostopniowe (kaskadowe). Metoda obliczania obiegów kaskadowych.

5. Obiegi wielostopniowe (kaskadowe). Metoda obliczania obiegów kaskadowych. . Chrw, Pdtawy Krge, wyład 8.. Obeg weltwe (aadwe). etda blczaa begów aadwych. W ażdym, dwle mlwaym begu rgeczym mża wyróżć te, w tórych wytwarzaa jet mc chłdcza rzez realzację jedyczeg rceu termdyamczeg.

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera Magazie Kombiacje, permutacje czyli ombiatorya dla testera Autor: Jace Oroje O autorze: Absolwet Wydziału Fizyi Techiczej, Iformatyi i Matematyi Stosowaej Politechii Łódziej, specjalizacja Sieci i Systemy

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 10: Algorytmy teorii liczb Gniewomir Sarbicki Literatura A. Chrzęszczyk Algorytmy teorii liczb i kryptografii w przykładach Wydawnictwo BTC 2010 N. Koblitz Wykład z teorii liczb

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału 5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 9

Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś  Wykład 9 Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 9 Spis treści 14 Podpis cyfrowy 3 14.1 Przypomnienie................... 3 14.2 Cechy podpisu...................

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

4. ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH (MES) W AKUSTYCE

4. ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH (MES) W AKUSTYCE 4. ZAOOWAIE E W AUYCE Astya w bdowtwe. 4. ZAOOWAIE EODY ELEEÓW OŃCZOYCH (E) W AUYCE ożej zostae rzedstawoe sorłowae ateatyze słżąe do aalzy staów staloyh ja estaloyh, rzebeg al astyzej, zastosowayh w rograe

Bardziej szczegółowo

urządzenia: awaria układów ochronnych, spowodowanie awarii oprogramowania

urządzenia: awaria układów ochronnych, spowodowanie awarii oprogramowania Bezpieczeństwo systemów komputerowych urządzenia: awaria układów ochronnych, spowodowanie awarii oprogramowania Słabe punkty sieci komputerowych zbiory: kradzież, kopiowanie, nieupoważniony dostęp emisja

Bardziej szczegółowo

Funkcja wiarogodności

Funkcja wiarogodności Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza

Bardziej szczegółowo

Copyright by K. Trybicka-Francik 1

Copyright by K. Trybicka-Francik 1 Bezpieczeństwo systemów komputerowych Algorytmy kryptograficzne (2) mgr Katarzyna Trybicka-Francik kasiat@zeus.polsl.gliwice.pl pok. 503 Szyfry wykładnicze Pohlig i Hellman 1978 r. Rivest, Shamir i Adleman

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera AALIZA FOURIEROWSKA szybi trasformaty Fourira dowola fuję priodyzą F( w zasi lub przstrzi (tx, ors T) moża przdstawić jao () F( b o + [ a si( + b os( ] gdzi π / T lub ω zauważmy, ż ω, jst ajiższą zęstośią

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

Zasady wyznaczania minimalnej wartości środków pobieranych przez uczestników od osób zlecających zawarcie transakcji na rynku terminowym

Zasady wyznaczania minimalnej wartości środków pobieranych przez uczestników od osób zlecających zawarcie transakcji na rynku terminowym Załązn nr 3 Do zzegółowyh Zasad rowadzena Rozlzeń Transa rzez KDW_CC Zasady wyznazana mnmalne wartoś środów oberanyh rzez uzestnów od osób zleaąyh zaware transa na rynu termnowym 1. Metodologa wyznazana

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

BSK. Copyright by Katarzyna Trybicka-Fancik 1. Bezpieczeństwo systemów komputerowych. Podpis cyfrowy. Podpisy cyfrowe i inne protokoły pośrednie

BSK. Copyright by Katarzyna Trybicka-Fancik 1. Bezpieczeństwo systemów komputerowych. Podpis cyfrowy. Podpisy cyfrowe i inne protokoły pośrednie Bezpieczeństwo systemów komputerowych Podpis cyfrowy Podpisy cyfrowe i inne protokoły pośrednie Polski Komitet Normalizacyjny w grudniu 1997 ustanowił pierwszą polską normę określającą schemat podpisu

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadania teoretyczne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadania teoretyczne XXX OLIPIADA FIZYCZNA TAP I Zadana teoretczne Nazwa zadana ZADANI T1 Na odstawe wsółczesnch badań wadomo że jądro atomowe może znajdować sę tlo w stanach o oreślonch energach odobne ja dobrze znan atom

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP

WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP KATARZYNA BŁASZCZYK BOGDAN RUSZCZAK Poltecha Opolsa WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP Wstęp Esploraca daych (ag. data g) zaue sę efetywy zadowae ezaych dotychczas

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Wykład 11: Kryptografia z kluczem publicznym. Gniewomir Sarbicki

Matematyka dyskretna. Wykład 11: Kryptografia z kluczem publicznym. Gniewomir Sarbicki Matematyka dyskretna Wykład 11: Kryptografia z kluczem publicznym Gniewomir Sarbicki Idea kryptografii z kluczem publicznym: wiadomość f szyfrogram f 1 wiadomość Funkcja f (klucz publiczny) jest znana

Bardziej szczegółowo