Kombinatoryka - wyk lad z 28.XI (za notatkami prof.wojciecha Guzickiego)

Transkrypt

1 Kombiatorya - wy lad z 28XI (za otatami profwojciecha Guziciego) Kombiatorya zajmuje sie sposobami zliczaia elemetów zbiorów sończoych Liczbe elemetów sończoego zbioru A be dziemy ozaczać symbolem A 1 Dwie podstawowe regu ly zliczaia Regu la dodawaia: Jeśli zbiory sończoe A 1,, A sa parami roz la cze,to A 1 A A A Regu le stosujemy wtedy, gdy możemy wyoać czyości, przy czym pierwsza czyość daje jede z 1 wyiów, druga czyość daje jede z 2 wyiów itd aż do -tej czyości, tóra daje jede z wyiów oraz te wszystie wyii sa róże Wówczas wyoaie jedej (tórejolwie) z tych czyości daje jede z wyiów Regu la możeia: A 1 A A 1 A Regu le stosujemy wtedy, gdy daa czyość moża podzielić a etapów, z tórych pierwszy daje jede z 1 wyiów, drugi daje jede z 2 wyiów itd aż do -tego etapu, tóra daje jede z wyiów Wówczas wyoaie tej czyości daje jede z 1 2 wyiów 2 Zliczaie fucji a) Niech A, B m Ile jest wszystich fucji f: A B? Stosujemy regu le możeia: po olei przydzielamy ażdemu elemetowi a A jeda z m wartości ze zbioru B Zatem liczba wszystich fucji f: A B jest rówa B B B A m Przez aalogie do tego wzoru, zbiór fucji f: A B ozaczamy cze sto symbolem B A b) Ile jest fucji różowartościowych f: A B? Przypomijmy, że fucja f jest różowartościowa, jeśli różym argumetom a A odpowiadaja róże wartości b B; formalie: jeśli a 1 a 2, to f(a 1 ) f(a 2 ) Zów stosujemy regu le możeia: po olei przydzielamy ażdemu elemetowi zbioru A jede z dotychczas iewyorzystaych elemetów zbioru B Zatem liczba fucji różowartościowych f: A B jest rówa m(m 1) (m + 1) Ta sostruoway iloczy w ombiatoryce ozaczamy (m) Gdy A > B, to z oczywistych wzgle dów ie ma ai jedej różowartościowej fucji f: A B Zauważmy że powyższy wzór uwzgle dia ooliczość: gdy > m, to w iloczyie wysta pi liczba (m m) c) Ile jest fucji f: A B tóre przeszta lcaja zbiór A a zbiór B? Odpowiedź a to pytaie jest trudiejsza jej udzieleie od lożymy do czasu, gdy zdobe dziemy odpowiedie arze dzia Latwo to jeda uczyić w szczególym przypadu, gdy B A Wówczas ażda fucja, tóra jest a musi też być różowartościowa, zatem liczba taich fucji wyosi () ( 1) 2 1!

2 Klasycze azwy rozważaych powyżej przypadów dla A, B m: a) Wszystie fucje f: A B to -elemetowe wariacje z powtórzeiami ze zbioru m-elemetowego; b) Fucje różowartościowe f: A B to -elemetowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru m-elemetowego; c) Fucje różowartościowe (i jedocześie a ) f: A A to permutacje zbioru -elemetowego 3 Zliczaie podzbiorów Niech P (A) ozacza zbiór, tórego elemetami sa wszystie podzbiory zbioru A; formalie P (A) {B : B A}, Ile elemetów ma zbiór P (A), jeśli A? Aby wsazać podzbiór B zbioru A, ależy dla ażdego elemetu a A udzielić odpowiedzi Ta lub Nie a pytaie: czy a ma być elemetem B? Podzbiór B jest zatem wyzaczoy jedozaczie przez pewa fucje f: A { Ta, Nie } Już wiemy, że taich fucji jest { Ta, Nie } A 2 A, zatemjeśli A, to P (A) 2 Dla 0,, iech P (A) ozacza zbiór, tórego elemetami sa wszystie -elemetowe podzbiory zbioru A; formalie P (A) {B P (A) : B } Przy lady: P 0 (A) { }, P (A) {A}; P 1 (A) {{a} : a A} Niech symbol ( ) ozacza liczbe -elemetowych podzbiorów -elemetowego zbioru A; formalie ( ) : P (A) Na mocy przytoczoych powyżej przy ladów, mamy ( 0) ( ) 1, ( 1) 11 Stwierdzeie Zachodzi rówość Dowód Przypiszmy ażdemu -elemetowemu poddzbiorowi B zbioru A jego dope lieie A \ B, tóre s lada sie z elemetów Otrzymamy w te sposób wzajemie jedoza odpowiediość mie dzy zbiorami P (A) oraz P (A), zatem ( ) P (A) P (A) ( ) 1 12 Stwierdzeie Dla 1,, zachodzi wzór 1 Dowód Podamy dowód ombiatoryczy, tóry polega a poazaiu, że ażda ze stro powyższej rówości wyraża a swój sposób liczbe elemetów tego samego zbioru Za lóżmy że w pewej firmie pracuje osób Za lóżmy dalej, że chcemy dać agrody pracowiom, a jeda spośród osób agrodzoych awasować Na ile sposobów moża to uczyić? Opisaa czyość moża roz lożyć a dwa etapy: ajpierw wybrać osób agrodzoych spośród osób moża to zrobić a ( ) sposobów, a aste pie wybrać jeda spośród tych osób do awasu mamy tu możliwości Z regu ly możeia otrzymujemy la czie ( ) możliwości Moża też posta pić iaczej: ajpierw wsazać jeda spośród osób do awasu ( sposobów), agrodzić ja, a as pie dobrać spośród pozosta lych 1 pracowiów brauja ce 1 osób do agrody (tu mamy ( ) 1 1 sposobów) Na podstawie regu ly możeia otrzymujemy la czie ( 1 1) sposobów Poieważ dwurotie liczyliśmy to samo (choć ie ta samo), to oba otrzymae wyrażeia opisuja sama liczbe

3 ( ) 13 Wiose 1, zatem () 1!!!( )! 14 Uwaga Dla 0 otrzymujemy 1 ( ) 0! 0!!, co s laia as do przyje cia umowy, że 0! 1 15 Uwaga Wzór ( ) ( 1 ( 1) moża rówież zapisać w postaci ( 1)( ) 1 asuwa sie jego uogólieie: ( )( ) 16 Stwierdzeie m ( m )( ) m m )( 1 1) Wtedy latwo Dowód W firmie pracuje osób; chcemy osób agrodzić i m spośród agrodzoych awasować 17 Stwierdzeie ( ) ( ) ( 1 ) Dowód W firmie pracuje osób, w tym dyretor Chcemy wys lać w delegacje osób Dyretor jedzie lub ie 18 Stwierdzeie 0 ( ) 2 Dowód Stosujemy regu le dodawaia dla P 0 (A) P (A) P (A) Symbole Newtoa pojawiaja sie też w dwumiaie Newtoa 19 Stwierdzeie Zachodzi wzór (a + b) 0 ( ) a b Dowód Mamy (a + b) (a + b) (a + b) ( razy) Tworza c wszystie możliwe iloczyy, w ażdej parze awiasów dooujemy wyboru: a czy b? S ladi a b tworzy sie z taich wyborów, w tórych -rotie wsazaliśmy zmiea a Każdy tai wybór polega a wsazaiu pozbioru -elemetowego w -elemetowym zbiorze czyiów (a + b); mamy wie c do ladie ( ) taich podzbiorów Zatem, po wymożeiu wszystich awiasów, wyrażeie a b wysta pi do ladie ( ) razy ( ) 110 Wiose Podstawiaja c a b 1, otrzymujemy poowie rówość (1 + 1) 2 1 ( ) Natomiast podstawieie a 1, b 1 daje rówość ( 1) (1 1) 0 Wspó lczyii dwumiaowe moża ustawić w tzw trója t Pascala: 1 ( ) 0 0 ( ) 1 ( )

4 Zauważmy, że ad ażdym wyrazem postaci ( ), 1, zajduja sie w poprzedim wierszu elemety ( ) 1 1 oraz ( ) 1, tóre a mocy Stwierdzeia 17 sumuja sie do ( ) Daje to prosty przepis, pozwalaja cy szybo uzysiwać oleje wiersze trója ta Pascala 4 Zliczaie dróg w prostoa cie Kombiatorya poszuuje sposobów, ja wyzaczyć liczbe elemetów daego zbioru, zas puja c go iym zbiorem, dla tórego policzeie liczby elemetów jest latwiejsze Oto przy lady Rozważmy prostoa t zbudoway z wadratów, tóry ma wierszy i m olum Droga w tym prostoa cie azwiemy ażda liie lamaa, ida po liiach rate, la lewy doly róg wadratu z prawym górym tóra posuwa sie tylo w prawo lub do góry Ile jest taich dróg? Każda droga s lada sie z poziomych i pioowych odciów Zaodujmy droge za pomo cia gu symboli oraz ustawioych w taiej olejości, w jaiej odpowiedie odcii pojawiaja sie w lamaej Zauważmy, że w ażdym cia gu musi wysta pić do ladie rese pioowych, by lamaa mia la szase dojść a sama góre oraz do ladie m rese poziomych, by lamaa zda ży la dojść do prawej rawe dzi prostoa ta Otrzymujemy zatem cia gi d lugości m + Tai cia g jest oreśloy jedozaczie przez wsazaie spośród m + miejsc, a tórych stoja zai, jest ich zatem do ladie ( ) +m Wszystich dróg jest do ladie tyle, ile jest opisaych wyżej cia gów, a zatem taże ( ) m+ m 111 Zastosowaie Obliczyć m ( ) + 0 Rozwia zaie Rozważamy prostoa t o +1 wierszach i m olumach Ozaczmy przez A i B odpowiedio lewy doly i prawy góry wierzcho le tego prostoa ta Każda droga la ca A z B przechodzi w pewym pucie C (, ) a ( + 1)-szy poziom Wiemy, że liczba dróg od A do C jest rówa ( ) + Suma tych wyrażeń, a mocy regu ly dodawaia, jest rówa liczbie wszystich dróg od A do B, czyli ( ) m Wobec tego m + m Zastosowaie Wyazać, że 0 0 W wadracie o bou rozważmy puty C leża ce a g lówej przea tej, tj puty o wspó lrze dych (, ) dla 0,, Każda droga od A do B przechodzi przez do ladie jede z tych putów C Na mocy regu ly dodawaia: liczba dróg (A B) C liczba dróg (A C B) Każda droge A C B możemy ostruować w dwóch etapach: ajpierw droga A C, a as pie droga C B Na mocy regu ly możeia, otrzymujemy liczba dróg (A C B)[liczba dróg A C] [liczba dróg C B] Ale liczbe dróg A C w prostoa cie o wymiarach ( ) (odpowiedio C B w prostoa cie ( ) ) już umiemy policzyć Otrzymujemy liczba wszystich dróg A B 0 0 ( ) ( )

5 W obydwu zastosowaiach, zliczaliśmy a dwa sposoby drogi w pewym prostoa cie Nie jest to jedya możliwość oto przy lad zupe lie iego rozumowaia, prowadza cego do jeszcze ogóliejszej tożsamości 113 Stwierdzeie Zachodzi rówość j0 ( )( ) m j j ( m + Dowód W firmie pracuje m obiet i me żczyz; postaowioo wy loić -osobowa delegacje Istotie jest to uogólieie: dla m otrzymujemy rówość Zliczaie fucji mootoiczych Niech teraz A {1, 2,, } te szczególy zbiór w ombiatoryce ozacza sie zwyle [] Różica mie dzy tym zbiorem, a iymi zbiorami o elemetach jest taa, że jest o liiowo uporza doway: dla ażdej pary jego elemetów potrafimy powiedzieć, tóry jest wie szy Wyorzystuja c ooliczość, moża w szczególości wyróżić: a) fucja f: [] [m] jest rosa ca, jeśli dla ażdych i < j zachodzi f(i) < f(j) b) fucja f: [] [m] jest iemaleja ca, jeśli dla ażdych i < j zachodzi f(i) f(j) Na zaończeie wy ladu policzymy, ile jest fucji obu rodzajów Jeśli f jest fucja rosa, to mamy 1 f(1) < f(2) < < f() m, zatem f jest jedozaczie wyzaczoa przez wsazaie miejsc w zbiorze [m], a tórych ależy umieścić oleje wartości f Wobec tego liczba fucji rosa cych porywa sie z liczba podzbiorów -elemetowych w zbiorze [m], czyli ( m ) Zliczeie fucji iemaleja cych jest troche bardziej sompliowae; zów pomoże am zliczaie dróg, tym razem w prostoa cie o m 1 wierszach i olumach Każdej fucji iemaleja cej f: [] [m] przyporza dujemy cia g poziomych odciów w tym prostoa cie ja as puje W i-tej olumie umieścimy odcie d lugości 1 a wysoości f(i) 1 jedoste (a zatem a jedej z m liii poziomych tworza cych prostoa t) Dorysowuja c resi pioowe, la ce oleje ońce tych odciów, otrzymujemy droge w aszym prostoa cie Latwo dostrzec, że ażda droga jedozaczie wyzacza pewa fucje iemaleja f: [] [m] Zatem fucji tych jest tyle, ile jest dróg w prostoa cie o rozmiarach (m 1), czyli ( ) m+ 1 )