Niech Φ oznacza funkcję zmiennej x zależną od n + 1 parametrów a 0, a 1, K, a n, tj.
|
|
- Rafał Cichoń
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 III. INTERPOLACJA 3.. Ogóe zadae terpoac Nech Φ ozacza fucę zmee x zaeżą od + parametrów a 0, a, K, a, t. Defca 3.. Zadae terpoac poega a oreśeu parametrów a ta, żeby da + da- ych par ( x, f ( x ( 0,,..., czb rzeczywstych ub zespooych tach, że x x da, zachodzło Φ Φ( xa, 0, a, K, a. Φ( x, a, a, K, a f ( x,,, K,. 0 0 Puty x azywamy węzłam terpoac, f ( x wartoścam fuc w węz- łach x, a zbór π { x0, x, K, x } azywamy satą. W zaeżośc od rodzau fuc Φ wyróżamy terpoacę:! ową, w tym " weomaową, a w tym Lagrage a, Hermte a, " trygoometryczą, " fucam seaym,! eową, w tym " wymerą, " wyładczą. W terpoac owe fuca Φ zaeży w sposób owy od współczyów a, t. Φ( xa,, a, K, a aψ ( x. 0 Na przyład, da terpoac weomaowe mamy 0 Przyładem terpoac eowe est terpoaca wymera, w tóre Φ ( xa,, a, K, a ax. 0 0
2 22 III. Iterpoaca Φ ( xa,, a, K, a, b, b, K, b. 0 0 Iterpoaca est stosowaa m.. do oreśea wartośc fuc zadae tabcą wartośc (p. terpoaca weomaowa, do wyprowadzaa wzorów umeryczego całowaa, różczowaa, rozwązywaa rówań różczowych, przyspeszaa zbeżośc pewych cągów (p. terpoaca weomaowa wymera do aazy Fourera ser pomarów (terpoaca trygoometrycza. m 0 m 0 ax bx 3.2. Iterpoaca Lagrage a Defca 3.2. Zadae terpoacye Lagrage a poega a zaezeu da dae fuc f weomau L stopa e wyższego ż, tórego wartośc w + putach x są tae same, a wartośc terpoowae fuc, tz. L( x f ( x da 0K,,,, gdze x x da. (3. Twerdzee 3.. Zadae terpoacye Lagrage a ma dołade edo rozwązae, t. da dowoych + węzłów x wartośc fuc w tych węzłach f ( x stee dołade ede weoma stopa e węszego od, da tórego zachodz zaeżość (3.. Dowód. W perwsze częśc dowodu poażemy, że weoma, o tórym mowa w twerdzeu, stee, a astępe udowodmy ego edozaczość. Sostruumy astępuące fuce pomoccze: Są to weomay stopa, tae że, gdy, ( x δ 0, gdy ( ozacza symbo Kroecer a. Stąd weoma δ ( x, 0K,,,. 0 L ( x f ( x ( x f ( x x x (3.2 est weomaem stopa co awyże przymuącym w putach x wartośc f ( x, czy stee weoma spełaący zaeżość (3.. Przypuśćmy, że steą dwa weomay L ( x L 2 ( x stopa e węszego od, da tórych
3 3.2. Iterpoaca Lagrage a L ( x L ( x f ( x. Wówczas weoma L( x L( x est weomaem stopa e węszego od, tóry ma co ame + różych perwastów x ( 0,,...,. Ozacza to, że est to weoma tożsa- moścowo rówy 0, t. 2 L ( x L ( x 0, a węc 2 L ( x L ( x, co est sprzecze z przyętym założeem, że weomay L ( x L 2 ( x są róże. # Wzór (3.2 os azwę wzoru terpoacyego Lagrage a, a weoma L ( x azywa sę weomaem terpoacyym Lagrage a. Z wzoru tego wya, że weoma L ( x zaeży owo od wartośc f ( x. Da dużych wartośc wzór te est epratyczy. Przyład 3. Nech da 3 będze daa tabca wartośc x f ( x 3 2 Naeży wyzaczyć wartość weomau terpoacyego że L3 ( x f ( x da 0,, 2, 3. Mamy ( x ( x 3( x 4 x 0 x 3 x 4 0( x x ( 0 ( 0 3( 0 4, ( ( ( ( ( 0( 3( 4, ( x 0( x ( x 4 x 0 x x 3 2( x 3 x ( 3 0( 3 ( 3 4, ( ( ( ( ( 4 0( 4 ( 4 3 L 3 w puce x 2 przy założeu, a podstawe wzoru (3.2 otrzymuemy L ( ( + ( + ( + ( # Przy obczau wartośc weomau terpoacyego wygode est posługwać sę agorytmem Neve a, tóry sformułuemy w twerdzeu. Twerdzee 3.2. Nech da daych putów węzłowych ( x, f ( x, 0,,..., P 0 K ozacza weoma stopa e węszego od, ta że P ( x f ( x, 0,, K,. K 0 Wówczas zachodzą wzory reurecye:
4 24 III. Iterpoaca a P( x f ( x, ( P x x x P x 0 2K ( ( 0K ( b P x 0K (. 0 (3.3 Dowód. Wzór a est oczywsty. W ceu wyazaa wzoru b ozaczmy prawą stroę przez R(x. Poażemy, że weoma R ma własośc weomau P 0 K. Zauważmy, że stopeń weomau R est e węszy od. Z defc weomaów mamy P 2 K P 0 K Rx ( P ( x f ( x, Rx ( P ( x f ( x, K K a da, 2,...,! otrzymuemy ( x x f ( x ( x x f ( x 0 Rx ( 0 f ( x. Z twerdzea 3. wya edozaczość terpoac weomaowe, a węc R P # 0 K. Agorytm Neve a poega a tym, że za pomocą wzorów (3.3 ostruuemy tabcę symetryczą, tóra zawera wartośc weomau terpoacyego w ustaoym puce x: P 0 K x 0 f ( x P ( x 0 0 x f ( x P ( x x 2 f ( x P ( x 2 2 x 3 f ( x P ( x 3 3 P0( x P2 ( x P23 ( x P02 ( x P23 ( x P023 ( x W pratyce weoma P, +, K, + ozaczamy przez P +,, co ułatwa omputerowe zaprogramowae powyższe tabcy (ao tabcy dwuwymarowe. Przymue oa wówczas postać x 0 f ( x P 0 00 x f ( x P 0 x 2 f ( x P 2 20 x 3 f ( x P 3 30 P P 2 P 3 P 22 P 32 P 33 Stosuąc to ozaczee wzory (3.3 moża zapsać astępuąco:
5 3.3. Wzór terpoacyy Newtoa 25 P 0 P f ( x, ( x x P ( x x P,, P P P, + x x x x,,,, 0,, K. (3.4 Przyład 3.2 Da daych z przyładu 3. zadźmy wartość L 3 ( 2 stosuąc agorytm Neve a. Korzystaąc z wzorów (3.4 ostruuemy astępuącą tabcę: P 00 P P P 30 P 5 5 P 2 2 P P P 32 3 P 33 3 Zatem L ( 2 P # 3.3. Wzór terpoacyy Newtoa W przypadu wyzaczaa samego weomau terpoacyego ub obczaa weu terpoowaych wartośc orzysta sę z weomau terpoacyego Newtoa. W zapse tego weomau wyorzystue sę orazy różcowe. Defca 3.3. Iorazem różcowym rzędu fuc f opartym a param różych węzłach x, x, K, x, w tórych est oreśoa fuca f (t. zae są wartośc f ( x azywamy wyrażee postac f ( x [ x, x, K, x ; f ], ( (3.5 przy czym przez oraz różcowy rzędu zerowego oparty a węźe my wartość [ x ; f ] f ( x. Poże podaemy podstawowe własośc orazu różcowego. Ioraz różcowy est fucą symetryczą, t. rozumex
6 26 III. Iterpoaca gdze czby,,, są dowoą permutacą czb, +,..., +. K 2 Ioraz różcowy est fucoałem owym, t. gdze π ozacza satę. [ x, x, K, x ; f ] [ x, x, K, x ; f ], [ π ; αf + βg] α[ π ; f ] + β[ π ; g], 3 Jeś sata π est edostaa, t. x + x0 + ( + h, h cost, 0,,...,!, to f ( x [ π ; f ] 0, h! gdze ozacza operator różcy progresywe zdefoway astępuąco: 0 f ( x f ( x, f ( x f ( x f ( x+ h f ( x, f ( x ( f ( x, 23,, K. Poższe twerdzee podae zwąze reurecyy da orazów różcowych. Twerdzee 3.3. Da dowoego uładu param różych putów x, x, K, x do dzedzy fuc f zachodz zaeżość reurecya Dowód. Z wzoru (3.5 mamy [ x,,, ; ] [,,, ; ] [ x, x,, x ; f x 2 K x f x x K x f K ]. aeżących (3.6 [ x, x, K, x ; f ] [ x, x, K, x ; f ] 2 Ozaczaąc prawą stroę wzoru (3.6 przez P otrzymuemy f ( x P x ( x x f ( x ( f ( x ( f ( x + ( f ( x f x + ( x x x f ( x, ( (. ( x
7 3.3. Wzór terpoacyy Newtoa 27 + f ( x f ( x ( x x ( x x ( x x f ( x x x x + x + f ( x + x ( x x ( x x x f ( x + ( f ( x + ( Stąd, z uwag a wzór (3.5, otrzymuemy ewą stroę wzoru (3.6. # Możemy teraz zdefować weoma terpoacyy Newtoa. Defca 3.4. Nech π ozacza dowoą satę bez węzłów weorotych. Weomaem - terpoacyym Newtoa da fuc f a satce π azywamy weoma N ( x f ( x0 + [ x0, x; f ]( x x0 + [ x0, x, x2; f ]( x x0( x x (3.7 + K+ [ x0, x, K, x; f ]( x x0( x x K( x x, przy czym N( x f ( x da x π ( 0,,...,. Z twerdzea 3. wya, że zarówo weoma L ( x, a weoma N ( x są rozwązaem tego samego zadaa terpoacyego. Poeważ to rozwązae est edozacze, węc mamy Twerdzee 3.4. Weomay Lagrage a Newtoa są agebracze rówoważe, t. L ( x N ( x. f ( x Zauważmy, że wzór (3.7 est postacą Newtoa weomau (zob. p. 2.. Współczy tego weomau oreśa sę zwye z tabcy orazów różcowych postac ( x x f ( x ( x x f ( x. (
8 28 III. Iterpoaca x 0 f ( x [ x ; f ] 0 0 x f ( x [ x ; f ] x 2 f ( x [ x ; f ] 2 2 x 3 f ( x [ x ; f ] 3 3 M M [ x0, x; f ] [ x, x2; f ] [ x2, x3; f ] M [ x0, x, x2; f ] [ x, x2, x3; f ] M [ x0, x, x2, x3; f ] M przy czym odpowede orazy różcowe obczae są oeo ouma po oume z wyorzystaem zaeżośc (3.6. Współczy weomau (3.7 zaduą sę w awyższym uośym werszu. Agorytm te moża zreazować osztem tyo 2 mesc pamęc (szcząc dae wartośc fuc. Przyład 3.3 Da daych z przyładu 3. weoma terpoacyy Newtoa ma postać N3( x f ( x0 + [ x0, x; f ]( x x0 + [ x0, x, x2; f ]( x x0( x x + [ x0, x, x2, x3; f ]( x x0( x x( x x2 + [ 0, ; f ]( x 0 + [ 03,, ; f ]( x 0( x + [ 034,,, ; f ]( x 0( x ( x 3. Iorazy różcowe obczamy w tabcy: Szuay weoma est węc astępuący: Łatwo sprawdzć, że N3( x + 2x x( x + x( x ( x 3 + x N 3 ( 2 3. # 3.4. Iterpoaca Lagrage a da węzłów rówoodegłych Załóżmy, że węzły x, 0,,...,, są rzeczywste rówoodegłe (tz. sata π est e- dostaa, czy x x0 + h, gdze h ozacza stałą długość rou. Jeś we wzorze (3.2 podsta- wmy x x + th to otrzymamy 0,
9 3.4. Iterpoaca Lagrage a da węzłów rówoodegłych 29 Przy węzłach rówoodegłych szczegóe wygoda est postać weomau terpoacyego, tórego współczy są wyrażoe za pomocą tzw. różc sończoych fuc f. Wprowadźmy teraz odpowede poęca. Defca 3.5. Nech M(R ozacza asę fuc ograczoych a całe os rzeczywste, t. a Różcą zwyłą (progresywą fuc f M( R azywamy operacę, tóre wartoścą est f, zdefowaą wzorem gdze x R, h R, przy czym h cost. Podobe defuemy pozostałe operace. b Operaca przesuęca: Ef ( x f ( x + h. c Różca wstecza: f ( x f ( x f ( x h. d Różca cetraa: δf ( x f ( x+ h/ 2 f ( x h/ 2. Odpowede różce rzędu oreśamy ao różce z różc rzędu!, p.. przy czym 0 f ( x f ( x. Poże podao a podstawowych własośc różc sończoych. Ich udowodee pozostawamy Czyteow. f ( x ( E I f ( x Ef ( x If ( x (I ozacza operacę detyczośc: If(x f(x df 2 ( o f ( x ( f ( x ( f ( x 3 δ 2 f ( x ( f ( x 4 o f ( x o f ( x df m m 5 ( αf ( x + βg( x α f ( x + β g( x 6 ( f ( x g( x g( x f ( x + f ( x+ h g( x f ( x 7 gx ( gx ( f( x f( x gx (, gx (, gx ( + h 0 gxgx ( ( + h 8 E f ( x f ( x+ h f ( x t L( x L( x0 + th L( t f ( x. 0 Korzystaąc z poęca różcy progresywe różcy wstecze moża udowodć 0 f M( R sup f ( x <. x R f ( x f ( x+ h f ( x, 0 f ( x ( f ( x, 2K,,,
10 30 III. Iterpoaca Twerdzee 3.5. Jeże węzły są rówoodegłe, to gdze f ( x0 L( x0 + th L( t q (, t (3.8! 0 q ( t, q ( t ( t,, 2, K, 0 0 oraz f ( x0 L( x th L( t q~ 0 + (, t (3.9! 0 gdze q ~ ( t, q ~ ( t ( t +,, 2, K,. 0 0 Dowód. Udowodmy wzór (3.8 (dowód wzoru (3.9 przebega podobe. Stosuąc zasadę duc matematycze moża poazać, że da węzłów rówoodegłych mamy Jeś x x0 + th, to f ( x0 [ x0, x, K, x ; f ]. (3.0 h! 0 ( x x h ( t. 0 Stąd oraz z wzorów (3.7 (3.0 otrzymuemy wzór (3.8. # Przyład 3.4 Daa est astępuąca tabca wartośc fuc: x 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 f ( x 33,5 34,83 36,598 38,475 40,447 Naeży obczyć wartość weomau terpoacyego w puce x 3,58. Poeważ węzły są rówoodegłe, możemy użyć wzoru (3.8 ub (3.9. Wyberaąc perwszy z tych wzorów sporządzamy aperw tabcę różc progresywych:
i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM II PROGRAMOWANIE CELOWE, ILORAZOWE I MIN-MAX. min. min
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORAORIUM II PROGRAMOWANIE CELOWE, ILORAZOWE I MIN-MAX Probley prograowae celowego lorazowego to probley prograowae ateatyczego elowego, który oża sktecze zlearyzować
Bardziej szczegółowoPrzykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc
Bardziej szczegółowoZmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
Bardziej szczegółowo8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w
Bardziej szczegółowoFunkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
Bardziej szczegółowoDefinicja 3.9. Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernej W mn postaci
8 Iy wose z twerdzea. est Wose.. Jeśl ua a ągłą poodą rzędu a odu [a, b] zaweraąy węzły rzezywste x (,,..., ) put x, to stee wartość > [a, b], przy zy > >(x), że p ( x) rx ( ) ( )! ( ) W dowodze tego wosu
Bardziej szczegółowo( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ
Adrze Marcak ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ Wykłady dla studetów keruku formatyka Poltechk Pozańske Wykłady są przezaczoe wyłącze do dywdualego użytku przez studetów formatyk Poltechk Pozańske. Ne mogą być
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
WYKŁAD INTERPOLACJA WIELOMIANOWA /6 Sformułowaie problemu iterpolaci. Metoda Lagrage a Rozważmy zaday uład putów {(, y ),,,..., }, zwaych dale węzłami iterpolacyymi. Poszuuemy wielomiau iterpolacyego zadaego
Bardziej szczegółowoPortfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Bardziej szczegółowoJ. Wyrwał, Wykłady z mechaniki materiałów METODA SIŁ Wprowadzenie
J. Wyrwał Wykłady z mechak materałów.. ETODA SIŁ... Wprowadzee etoda sł est prostą metodą rozwązywaa (obczaa reakc podporowych oraz wyzaczaa sł przekroowych) statycze ewyzaczaych (zewętrze wewętrze) układów
Bardziej szczegółowoProjekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Bardziej szczegółowoAnaliza współzależności dwóch zjawisk zależności między tymi cechami
Aaza współzaeżośc dwóch zaws Badae zborowośc ze wzgędu a dwe cech ma zazwcza a ceu poszuwae zaeżośc mędz tm cecham. Poszuwae to ma ses to wted, gd mędz cecham może steć ogcze uzasado zwąze przczowo-sutow.
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoModelowanie i Analiza Danych Przestrzennych
Modelowae Aalza Daych Przestrzeych Wykład 8 Adrze Leśak Katedra Geoformatyk Iformatyk Stosowae Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe Jaką postać ma warogram daych z tredem? Moża o wylczyć teoretycze prostego
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowo11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD:
//4 Gry o sue zero - gry rozgrywae w strategach eszaych STRATEGIE IESZANE - OTYWACJA. ROZWAśY PRZYKŁAD: 5 DEFINICJA..6 Strategą eszaą π gracza P azyway kaŝdy rozkład prawdopodobeństwa określoy a zborze
Bardziej szczegółowoIV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej Defcja 4.. Uporządkowaą parę (X, Y) azywamy zmeą losową dwuwymarową, jeśl każda ze zmeych X Y jest zmeą losową. Defcja 4.. Fukcję
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoRegresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowop Z(G). (G : Z({x i })),
3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Bardziej szczegółowoTyp może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }
Idea: Wyzaczamy ameszy elemet w cągu tablcy zameamy go mescam z elemetem perwszym, astępe z pozostałego cągu wyberamy elemet ameszy ustawamy go a druge mesce tablcy zmeamy, td. Realzaca w C++ vod seleca
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE WIELOWYMIAROWE
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe ( ΩS P ZMIENNE LOSOWE WIELOWMIAROWE - ustaloa przestrzeń probablstcza. (... - zmea losowa - wmarowa (wetor losow cąg losow. : Ω R (fuca borelowsa P : Β R [0 - rozład zmee
Bardziej szczegółowo[ ] WSPÓŁCZYNNIK EKSCESU WEKTORA LOSOWEGO. Wprowadzenie. Katarzyna Budny =, (1)
Katarzya Budy Uwersytet Ekoomczy w Krakowe WSPÓŁCZYNNIK EKSCESU WEKTORA LOSOWEGO Wprowadzee Jedą z podstawowych mar spłaszczea czy też kocetrac rozkładu zmee losowe edowymarowe wokół średe est kurtoza
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Zaawasowae metod umercze Programowae lowe (problem dual, program low w lczbach całkowtch) Dualość est kluczowm poęcem programowaa lowego. Pozwala a udowodee że otrzmwae rozwązaa są optmale. Zagadee duale
Bardziej szczegółowoMODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część
WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego
Bardziej szczegółowoSprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych
Sprawdzee stateczośc skarpy wykopu pod składowsko odpadów koualych Ustalee wartośc współczyka stateczośc wykoae zostae uproszczoą etodą Bshopa, w oparcu o poższą forułę: [ W s( α )] ( φ ) ( φ ) W ta F
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Bardziej szczegółowoWykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
Bardziej szczegółowoPrzegląd wybranych testów
Statystya Wyład 7 Adam Ćmel A3-A4 3a cmel@agh.edu.pl Przegląd wybraych testów Testy dotyczące wartośc oczewae w rozładze ormalym problem testowaa rówośc średch w dwóch zależych populacach o rozładze ormalym.
Bardziej szczegółowoMałe drgania wokół położenia równowagi.
ałe rgana woół położena równowag. ałe rgana Anazuemy ułay a tórych potencał Vqq,q,..,q posaa mnmum a oreśonych wartośc współrzęnych uogónonych q,, -czba stopn swoboy. ożemy ta przesaować te współrzęne
Bardziej szczegółowok k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoR n. i stopa procentowa okresu bazowego, P wartość początkowa renty, F wartość końcowa renty. R(1 )
Maeayka fasowa ubezpeczeowa Ćwczea 4 IE, I rok SS Tea: achuek re oęce rey Warość począkowa końcowa rey ey o sałych raach ea o zeych raach ea uogóoa osawowe poęca rachuku re ea es o cąg płaośc okoywaych
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoMh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem
Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h )
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoPODSTAWY I ZASTOSOWANIA RACHUNKU TENSOROWEGO
PRACE PP FR REPOR /007 Jaa Ostrowsa - Maceewsa PODAWY ZAOOWANA RACHUNKU ENOROWEGO (Wyład a tudach Dotoracch w PP PAN) NYU PODAWOWYCH PROBLEMÓW ECHNK POLKEJ AKADEM NAUK WARZAWA 007 BN 978-8-89687-0-9 N
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Praca Domowa:.. ( α β ( α β α β ( ( α Γ( β α,,..., ~ B, Γ + f Γ ( α + α ( α + β + ( α + β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α α + β β α β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE
ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE Cel Przedstawee wybraych testów statystyczych zasad wyboru właścwego testu przeprowadzea go oraz terpretac wyów. Wprowadzee teoretycze Testem statystyczym azywamy metodę
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoVI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Iormaa - Wład 9 - dr Bogda Ćmel cmelbog@ma.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec
Bardziej szczegółowoPŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne (dualnośc w programowaniu liniowym)
Badaa Operacye (dualośc w programowau lowym) Zadae programowaa lowego (PL) w postac stadardowe a maksmum () c x = max, podczas gdy spełoe są erówośc () ax = b ( m ), x 0 ( ) Zadae programowaa lowego (PL)
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoSprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.
W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych
Bardziej szczegółowowyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
Bardziej szczegółowoPojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k
Statystya Wyład Adam Ćmel A4 5 cmel@agh.edu.pl Pojęce statysty Pojęce statysty w statystyce matematyczej jest odpowedem pojęca zmeej losowej w rachuu prawdopodobeństwa. Nech X(X,...,X ) będze próbą z pewej
Bardziej szczegółowoRelacyjny model danych. Relacyjny model danych
Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowo2. Wartości własne i wektory własne macierzy
Wartośc włase wektory włase macerzy Wprowadzee Dzałaa a modelach opsuących układy welowymarowe są zazwycza prowadzoe z zastosowaem poęć dotyczących algebry lowe, gdze podstawowym elemetam są: wektor oraz
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI
Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoModel Lesliego. Oznaczmy: 0 m i liczba potomstwa pojawiającego się co jednostkę czasu u osobnika z i-tej grupy wiekowej, i = 1,...
Model Lesliego Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Wyodrębiamy w populaci k grup wiekowych. Po każde edostce czasu astępuą arodziy i zgoy oraz starzeie (przechodzeie do astępe grupy wiekowe). Chcemy
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz
Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty Zeo Zwerzewcz Szczec Zeo Zwerzewcz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty W artyle
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH. Uwagi o rozkładzie funkcji zmiennej losowej jednowymiarowej.
L.Kowals Fucje zmeych losowych FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH Uwag o rozładze fucj zmeej losowej jedowymarowej. Jeśl - soowa, o fucj prawdopodobeńswa P( x ) p, g - dowola o fucja prawdopodobeńswa zmeej losowej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 10 KORELACJA
Ćwczea 0 KORELACJA Zadae W odażu przeprowadzom przed wboram prezdecm aazowao poparce da addatów A B W zaprezetowao w tabe: Y addat X płeć A B M 0 40 K 0 30 00 a Naeż prawdzć cz wbór addata a prezdeta zaeż
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X
Lsta 6 Kaml Matuszewsk 9..205 2 3 4 5 6 7 9 0 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X X X X X X Zadae Lewa stroa: W delegacj możemy meć od do osób. Wyberamy ( k) osób a k sposobów wyberamy przewodczącego. k =.. węc
Bardziej szczegółowoBadania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników
Badaa ezawodoścowe statystycza aalza ch wyków. Co to są badaa ezawodoścowe jak sę je przeprowadza?. Metody prezetacj opsu daych pochodzących z eksperymetu 3. Sposoby wyzaczaa rozkładu zmeej losowej a podstawe
Bardziej szczegółowo