Lista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X

Transkrypt

1 Lsta 6 Kaml Matuszewsk X X X X X X X X X X X X Zadae Lewa stroa: W delegacj możemy meć od do osób. Wyberamy ( k) osób a k sposobów wyberamy przewodczącego. k =.. węc mamy k ( ) k Prawa stroa: a sposobów możemy wybrać przewodczącego. Zostaje am osób, dla każdej decydujemy, czy jest oa w delegacj czy e, mamy węc 2 sposobów. k= Zadae 2 Postawmy k jedyek, a pomędzy m k zer. Mamy węc cąg zostało am l (k ) zer. Możemy je wstawć w k mejscach - k po jedykach jedo a końcu (ewetuale a k +, jeśl możemy wstawć także a początku). Z poprzedch ćwczeń wemy, że dowolą lstę erozróżalych elemetów możemy podzelć a k lst (włącze z lstam pustym) a ( ) +k k sposobów. Tu robmy to samo: dzelmy lstę pozostałych zer a k lst (k + ), dopuszczając też lsty puste, umeszczamy -tą lstę po -tej jedyce, dostajemy dzęk temu wszystke kombacje. Mamy lstę długośc l k + musmy ją podzelć a k lst (k + ), podstawając do wzoru mamy ( ) ( l k++k k = l ) ( k jeśl e dopuszczamy zer a początku, bądź l k++k+ ) ( k+ = l+ ) k jeśl dopuszczamy zera a początku. Zadae 3 Nasze A to lczby podzele przez 2, B to lczby podzele przez 3, C to lczby podzele przez 5 D to lczby podzele przez 7. W rzeczywstośc chcemy polczyć (A B), jedak e chcemy, by w tej sume zalazły sę lczby podzele przez 5 lub 7. Dlatego odejmjmy od sumy lczby podzele przez 2 5 lub 7, oraz lczby podzele przez 3 5 lub 7. Chcemy węc polczyć (A B) ((A (C D)) (B (C D)) Wemy, że lczb aturalych pomędzy podzelych przez a jest dokłade a. Stąd asz wyk to: ( ( ) (( 2 5 )) ) + ( )

2 Zadae 4 Z zasady włączeń wyłączeń. Wszystkch permutacj mamy! Nech A - układ, w którym a -tej pozycj jest -ta lczba. Iteresuje as! A A 2... A k Możemy zauważyć, że: A = ( )!, bo jedą pozycję mamy ustaloą, a pozostałe wyberamy. Aalogcze: A A j A k = ( 3)!... A... A j = ( j)!... A... A k = ( k)! = A = ( k)! - to ozacza, że jest k lczb takch, że -ta lczba jest a -tej pozycj. Podstawając do wzoru z zasady włączeń wyłączeń otrzymujemy wyk:! k ( ) +( k = ) ( )! Zadae 6 Poowe, z zasady włączeń wyłączeń: Wszystkch opcj mamy 20. Nech A ozacza, że - ta szafa jest pusta. W takm raze mamy (20 4) opcj (bo 4 szuflady są puste). Tym samym sposobem, A A 2 = (20 4 A... A = (20 4 ) A teresuje as: 20 A A 2 A 3 A 4 A 5, a podstawając pod wzór włączeń wyłączeń mamy: 20 5 ) (20 4 ) ( ) +( 5 = 2

3 Zadae 9 Mamy par wrogów, czyl 2 osób. Mamy okrągły stół, węc musmy wybrać jakś pukt odesea (p cąg abcde bcdea są teoretycze róże ale przy okrągłym stole są take same), ustawamy węc osobę względem ej a (2 )! sposobów ustawamy resztę osób. Teraz rozpatrzymy A - take ustawee, że -ta para wrogów sedz obok sebe. Podobe A A j ozaczać będze, że -ta j-ta para sedz obok sebe. Szukamy (2 )! A A 2... A A ozacza węc, że k par wrogów sedz koło sebe. Pozostałych osób jest węc 2 2k te = osoby sedzą dowole. Możemy je ustawć a (2 2k )! sposobów (patrz wyżej). Pomędzy m musmy ustawć k par osób. Obok każdego posadzoego przy stole możemy posadzć parę - perwszą parę możemy węc usadzć a jedym z 2 2k mejsc, drugą a jedym z 2 2k + mejsc (bo pary e możemy rozdzelć), k-tą - 2 2k + (k ) mejsc. Mamy węc loczy (2 2k )! (2 2k) (2 2k + )... (2 2k + k ) = (2 k )! sposobów, jedak, zwróćmy uwagę, że każdą parę wrogów możemy zameć wewątrz pary, co w tym loczye traktowalśmy jako jedą opcję, a w rzeczywstośc są to dwa róże ustawea (p: a b to wrogowe, możemy ch usadzć jako ab ba to są dwe opcje), musmy węc pomożyć tą lczbę przez 2 k (bo jest k par). Otrzymujemy węc, że: A = (2 k )! 2 k = Podstawając to pod wzór z zasady włączeń wyłączeń otrzymujemy: (2 )! ( ) +( ) (2 )! 2 = Węc jest to asz wyk. Zadae 2 a) b) tak, zbory są zamkęte a dzałaa składaa fukcj a brae elemetu odwrotego c) - e, twerdzee Lagrage a mów, że w grupe skończoej, rząd podgrupy jest dzelkem rzędu grupy, rząd aszej podgrupy to 7 a rząd grupy S 5 to 20. Zadae 3 Z algebry wemy, że O x G x = G, gdze O x - lczba orbt elemetu x, G x - lczba stablzatorów el. x, oraz, z treśc, że G = 2 k, że X jest eparzysta. Ze wzoru, wemy, że albo O x = albo O x = 2 l, gdze l > 0 l N Stąd, dla każdego x, O x jest dzelkem G. Poadto X jest rozłączą sumą takch orbt (róweż algebra), stąd mus steć orbta jedoelemetowa, bo aczej wszystke orbty małyby parzystą lczbę elemetów, węc X byłaby parzysta, a przeceż e jest. Zadae 4 Mamy O x G x = G, gdze O x = 2 (2 śca), musmy polczyć G x, ale symetr pęcokąta mamy 0 (5 obrotów 5 symetr) węc G x = 0, mamy węc 2 0 = 20 = G, co jest aszą odpowedzą. 3

4 Zadae 5 Mamy śca, dla dowolej ścay możemy przypsać jedą lczbę:, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lub. Mamy węc! możlwośc. Do tego mamy O x G x = G, gdze O x = ( śca), musmy polczyć G x. Ale ośmośca foremy ma w podstawe trójkąt rówoboczy, który możemy obrócć a 3 sposoby, węc G x = 3, mamy węc 3 = 24 = G, co jest aszą mocą grupy. Przy wybrau! możlwośc uwzględlśmy też kostk detycze (czyl take które możemy przekształcć a sebe przez obrót), węc asze! musmy podzelć przez moc grupy obrotów, mamy węc! 24 możlwośc. Teraz le mamy kostek prawdłowych? Perwszą ścaę możemy wybrać a sposobów, a przecwko będze kokreta lczba (suma a przecwych ścaach mus być 9), koleją a 6(bo 2 już postawlśmy), potem 4 potem 2. Mamy węc 6 4 2, ale podobe jak w poprzedm przypadku, musmy odjąć obroty, dlatego musmy podzelć a moc grupy. Stąd asz wyk to Zadae 6 Nasza karta to kwadrat 3x3. Naszą grupą obrotów jest: G={d, o90, o0, o270,, \, /, }, G =. Używając Lematu Bursde a, wyzaczamy lczbę puktów stałych przekształceń. fx(d) = ( 9 bo wyberamy 2 dzurk z 9 możlwych mejsc, a puktem stałym detyczośc jest każde ustawee. fx(o90) = fx(o270) = 0 bo e waże jak ustawmy kropk, obrót o 90 w prawo/lewo e da am tego samego. fx(o0) = 4 bo umeszczamy jedą kropkę, a koleją dajemy tam, gdze zajdze sę asza kropka po obroce o 0. fx( ) = fx(\) = fx(/) = fx( ) = 6 bo możemy albo umeścć 2 kropk gdześ a środku ( ( 3 = 3), albo poza osą symetr, jedak kolejy pukt będze zależał od poprzedego os symetr, węc zów mamy ( 3 = 3, a 3+3=6, co daje am wyk. Teraz, ze wzoru: fx(g) G Te karty fx(g) = ( = 64 =, a to jest to co chcelśmy pokazać. 4

5 Zadae Z Lematu Bursde a mamy G fx(g). Naszą grupą jest grupa symetr kwadratu: G={d, o90, o0, o270,, \, /, }, G =. fx(d) =!, bo perwszy wersz możemy wybrać a sposobów, drug a 7 trzec a 6 td. f x(o0) = 6 4 2, podzelmy sobe plaszę a pół, stawajmy weże a jedej z połówek. Musmy postawć 4 weże (pozostałe 4 powstaą przez odbce), a mamy 4 wersze. Musmy węc postawć po jedej w każdym werszu. Tak węc mamy sposobów a wybrae mejsca w werszu perwszym, w którym ma stać perwsza weża. Ale ta weża odbje sę o 0 stop, przez co usuą sę am 2 kolumy. Koleją weżę możemy węc postawć a 6 sposobów. Koleją - z tego samego powodu - a 4. Koleją już a 2 sposoby. Stąd wyk fx(o90) = fx(o270) = 2, bo e możemy stawać weż w puktach a skose szachowcy (bo po obroce by sę bły). Le a których e możemy stawać weż tworzą am 4 częśc, po 2 pól każda(6 werszy 3 kolumy). Poowe stawamy weże tylko a jedym z pól, a resztę weż stawamy zgode z obrotem. Po obroce o 90/270 pojawą sę am 4 weże, usuą sę węc 4 wersze, poza przypadkam, kedy postawmy weżę tak, by jej odbce usuwało jede z eaktywych werszy (patrz obrazek), ale wtedy usuą sę am 2 z 3 kolum. Po wyborze jedego z 2 mejsc, zawsze pozostaą am 2 mejsca do wyboru, mamy węc 2 2, jedak kolejość mejsc e ma zaczea, a my polczylśmy dwukrote tą samą sytuację, musmy węc wyk podzelć przez 2. fx( ) = fx( ) = 0, bo e waże jak ustawmy weże, po symetryczym odbcu będze oa w tym samym werszu/kolume, a chcelśmy ebjące sę weże.. f x(/) = f x(\). Tu mamy jakąś oś symetr, względem ej rozstawamy weże. Rozpatrzmy astępujące przypadk: Gdy 0 weż a os: bo perwszy wersz wyberamy a 7 sposobów, po symetryczym odbcu usuą am sę dwa wersze dwe kolumy, węc astępy wersz możemy wybrać a 5 sposobów, kolejy a 3, kolejy a. Gdy 2 weże a os: ( bo wyberamy z mejsc a os 2 a które postawmy weże, usuwają sę am 2 wersze 2 kolumy, węc koleją weżę stawamy a jedym z 7 2 = 5 mejsc, zów pojawają sę am 2 weże, usuwają 2 wersze 2 kolumy, mamy węc 3 mejsca potem zostaje am. Gdy 4 weże a os: ( 4) 3 - aalogcze do powyżej. Gdy 6 weż a os: ( 6) - aalogcze do powyżej. Gdy weż a os: ( ) - aalogcze do powyżej. Zauważmy, że a os symetr e może być eparzysta lczba weż, bo weże a os sę e odbjają symetrycze (czyl stawamy tylko jedą), musmy dostawć eparzystą lczbę weż poza osą, co jest ewykoale (bo zawsze stawamy po 2 jeśl e stawamy a os). Ne możemy węc meć a a 3 a 5 a 7 weż a os. Suma tego daje am wyk. Mamy węc: fx(g) =! ( ( 5 3 +( 4) 3 +( 6) +( )) = = 522 Weże usuwają kolumy zostawają 2 pola (przypadek fx(o90)fx(o270)). 5