Bajki kombinatoryczne

Transkrypt

1 Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja udowodć, że 1! 1 + e gubąc sę w gąszczu oblczeń? Czy wyrażea e dałoby sę jaoś uproścć? 0! 3 1, W matematyce pojawają sę lcze problemy tego typu, steje też szereg metod radzea sobe z m. Przydate bywają żmude rachu, tradycyja ducja, wos z obserwacj trójąta Pascala, orzystae ze zaych już tożsamośc, ja róweż metody mej bezpośrede. Do tych ostatch zalczać moża tae, tóre wymagają pozorego somplowaa problemu, a przyład poprzez wprowadzee spryte dobraego welomau lub pomysłowe opowedzee pewej baj. Ja sę oazuje, trafe wymyśloa hstoryja może prowadzć do rozwązaa e tylo bardzo rótego, ale też elegacego wydobywającego ombatorycze zaczee zawłych wzorów. Klaaśce tach właśe baje pragę tu zaprezetować problemy postawoe a początu rozwążemy w przyładach Dowodzee rówośc metodą baje ombatoryczych słada sę z trzech podstawowych etapów: a opowedzee baj, b stwerdzee, co orete chcemy polczyć, c polczee tego dwoma różym sposobam z tórych jede prowadz do lewej stroy żądaej tożsamośc, a drug do prawej, a przyład w różej olejośc. Prześledźmy to ro po rou. Przyład 1. a Spośród dzec ma ść do a. b Na le sposobów możemy wybrać tę grupę? c Możemy wsazać dzec, tóre dą do a a sposobów lub możemy rówe dobrze wsazać dzec, tóre do a e dą a Przyład sposobów. Zapszmy powyższą tożsamość w postac polczmy, a le sposobów z grupy + 1 osób możemy wybrać + 1, z tórych jeda będze szefem. Po lewej stroe ajperw wyberamy epę, potem z ej wyłaamy szefa. Po prawej zaś ajperw typujemy szefa, potem doberamy mu resztę epy. Przyład 3. Udowodć, że!!! W olejce w stołówce szolej sto dzec, tóre będą sedzeć przy stolach -osobowych. Ne jest stote, to sedz przy tórym stolu, a to a tórym orete mejscu, atomast jest waże, to sedz z m przy stole. Na le sposobów mogą usąść? Isteje! różych ustaweń olej. Załóżmy, że perwszych dzec sada przy perwszym stolu, astępych przy drugm ta dalej. Poeważ e teresują as permutacje w ramach stolów a umery stolów, węc dla daej olej tae samo usadzee otrzymamy a!! sposobów. 13

2 Wobec tego różych usadzeń jest!!!, węc ta lczba jest aturala, co ończy dowód. Zadae 1. Wyazać, że Przyład 4.!!!. Spośród dzec z pewej lasy część dze weczorem do a być może 0 lub. Na le sposobów moża wybrać tę grupę? Lewa stroa: Zastaówmy sę ajperw, le osób pójdze do a. Następe wyberzmy te osoby spośród wszystch. Prawa stroa: Spytajmy po ole ażde z dzec, czy dze do a. Netóre tożsamośc dość łatwo modyfować rozbudowywać, otrzymując z ch oleje. Przyładowo w powyższej bajce, jeśl toś z zateresowaych up wcześej blety, otrzymujemy 1, jeśl poadto toś y zberze a e peądze, to mamy 1 1 ta dalej. Zadae. Jaą tożsamość otrzymamy w przypadu, gdy możlwe jest, aby ta sama osoba zberała peądze upowała blety? Przyład 5. Z powyższego przyładu moża też uzysać szereg tożsamośc dla baj o dwóch lasach, A B, tóre wspóle wyberają sę do a. Załóżmy, że w ażdej jest uczów, a do a wybera sę połowa z całej grupy osób. Jeśl z lasy A dze uczów, a z lasy B pozostałych, to orzystając z przyładu 1 otrzymujemy. Tu róweż możemy omplować baję: jeśl toś z zateresowaych z lasy A up wszystm blety, to 1, 1 a jeśl toś z lasy B zberze od wszystch peądze, to ta dalej. Przyład 6. Jeszcze ą tożsamość otrzymamy rozważając, czy wśród + 1 osób wyberających sę do a jest wychowawca lasy: Przyład Na zebrae rodzców od ażdego z dzec przychodz mata, ojcec albo e pojawa sę t. Ile różych waratów zebraa może sę odbyć? 14

3 Lewa stroa: Nech ozacza lczbę rodzców obecych a zebrau 0, czyl lczbę reprezetowaych uczów wtedy a sposobów decydujemy, tóre z rodzców przychodz. Środe: Nech dodatowo ozacza lczbę obecych a zebrau mate wtedy to lczba ojców. Wyberamy mat, a astępe spośród ojców pozostałych uczów wyberamy resztę uczestów zebraa. Prawa stroa: Każde dzeco a trzy sposoby decyduje, czy to będze je reprezetował a zebrau. Przyład !! 1 Tym razem załóżmy, że w lase jest dzec. Wychowawczy chce usadzć je w ławach, wsazując ażdemu dzecu, z m sedz w tórej ławce. Pozostawa uczom decyzję, to z ch sądze po lewej, a to po prawej stroe. L: Wybera spośród wszystch dzec dwóję wsazuje m perwszą z brzegu ławę, astępe z pozostałych dzec wybera oleją dwóję do drugej z ole ław ta dalej, aż wreszce z ońcowej czwór wsazuje dwoje do przedostatej ław, a pozostałych dwoje będze sedzeć w ostatej ławce. Ś: Ustawa uczów w szeregu przydzela olejym parom ław, w ramach ław uczowe sadają a sposoby. P: Wyczytuje według lsty. Perwsze dzeco wybera, z m chce sedzeć w ławce, ma do wyboru 1 osób. Koleje wyczytywae dzec, jeśl jeszcze e mają pary, wyberają ją sobe olejo a 3, 5,...,5, 3, 1 sposoby. Zatem możlwych sposobów dobraa w pary jest Następe a! sposobów przydzela parom ław. Tożsamość podobą do częśc ŚP powyższego przyładu możemy też udowodć aczej. Przyład 9.! 1 Na lecj WF tych samych dzec ścga sę w parach. Nauczycel chce zaotować wy to z m begł to w ażdej parze wygrał. Ne teresuje go olejość wyścgów. Ile różych zestawów rezultatów może zaotować? L: Może ajperw spsać azwsa tych dzec, tóre wygrały ma możlwośc. Następe, mając już lstę wygraych, może przy ażdym dopsać azwso osoby, tóra z m przegrała rob to a! sposobów. P: Może ajperw zapsać pary wemy, że jest sposobów dobraa ch, bez ustalaa olejośc, a astępe w ażdej parze podreślć azwso osoby, tóra wygrała możlwośc. Przyład 10. 1! 1 +! 3 1 Załóżmy teraz, że mamy tę samą baję, co w poprzedm przyładze, ale możlwe są remsy. L: Jeśl e było remsów, to już wemy, że jest! możlwych zestawów wyów. Jeśl były remsy, to ech ozacza lczbę begów rozstrzygętych, 1. Spośród wszystch uczów treer spsuje tych, tórzy e zremsowal, astępe a tej lśce podreśla tych, tórzy wygral ze swom 15

4 parteram, a a oec przy ażdym wygraym zazacza, z m sę ścgał spośród przegraych a! sposobów. Potem otuje, to z m begł wśród graczy, tórzy zremsowal ja już wemy z, możlwośc jest 1. P: Ta ja w poprzedm przyładze: doberamy uczów w pary, dla ażdej pary mamy 3 możlwe rezultaty wyścgu. Czasem warto, opowadając prostą baję, pozore bardzo ją omplować. Moża, ja w poższym przyładze, jedocześe porządować elemety pewego zboru u as uczów wyróżać orety elemet. Przyład 11. m m P: Spośród + 1 osób uczów + wychowawca wyberamy + 1 osób. L: Uczowe są uporządowa według lsty, wychowawca ma umer 0. Ustalamy ajwęszy umer doberamy resztę epy. Dla ustaloego masymalego m mamy m oraz m możlwośc wyboru. Następujące zadae z Olmpady Matematyczej to eco trudejszy przyład sumowaa po pomysłowo wybraym elemece. Przyład 1. Rozważamy wszyste r-elemetowe podzbory zboru {1,..., } dla ustaloego 0 < r. W ażdym podzborze wyberamy ajmejszą lczbę. Wyazać, że średa arytmetycza tych lczb jest rówa +1 r+1. Wszystch r-elemetowych podzborów zboru -elemetowego jest r. Wystarczy zatem oblczyć sumę S wyróżoych lczb. Ozaczmy przez l lczbę zborów, w tórych elemet jest ajmejszy. Wtedy S l. Oblczmy l : spośród elemetów węszych od trzeba wybrać wszyste pozostałe elemety podzboru, czyl r 1 lczb. Zatem l r 1. Stąd S. r 1 Zterpretujmy tę lczbę aczej, opowadając ową baję. Spośród + 1 lczb 0, 1,..., wyberamy podzbór złożoy z r + 1 lczb. Uporządujmy wszyste tae podzbory według drugej co do welośc wartośc. Dla ustaloego mamy wtedy możlwośc wybraa ajmejszej lczby bo od 0 do 1 oraz r 1 możlwośc wybraa pozostałych r + 1 węszych od elemetów zboru. Wobec tego wszystch aszych podzborów jest S. r 1 Jedocześe oczywśce jest ch +1 r+1, zatem S +1 r+1. Szuaa średa arytmetycza jest węc, a mocy przyładu, rówa +1 r r + 1, czego ależało doweść. r Oto jeszcze y przyład zlczaa po odpowedo wybraym elemece. Przyład 13. r + + r + 1 r Powróćmy do dzec w szole, tóre tym razem przygotowują uład baletowy a zblżający sę wel bal. W długm szeregu tańczyć będze r chłopców 16

5 + 1 dzewcząt. Paą choreograf teresuje wyłącze to, a tórych mejscach będą tańczyć chłopcy, a a tórych dzewczęta w ramach jedej płc e rozróża oa dzec. P: Oczywśce mejsca dla chłopców może wsazać a +r+1 r sposobów. L: Może też postąpć aczej: wsazać umer mejsca, a tórym tańczyć będze ostata, lcząc od początu szeregu, dzewczya dalej będą już tylo chłopcy. Załóżmy, że przed tą dzewczyą pojawa sę w szeregu spośród wszystch chłopców pozostałych r staow ońcówę. Wtedy ostata z dzewcząt tańczy a mejscu o umerze Spośród wcześejszych + mejsc możemy a + sposobów wsazać te, a tórych tańczą chłopcy w te sposób mamy już jedozacze wyzaczoe całe r ustawee. Stąd wszystch ustaweń jest. + Następujące dwa przyłady poazują, że czasam luczowa oazuje sę olejość, w jaej wprowadza sę oreśloy podzał zboru. Przyład 14. m m + Przed balem odbywa sę oleje zebrae rodzców, a tórym obecych jest m mate ojców. Wychowawczy zacząco sugeruje, że przydałoby sę aurat osób do orgazacj balu. L: Zgłasza sę tyle właśe osób, ale eoecze są to sam ojcowe. W tam wypadu wychowawczy pros pozostałych ojców o pomoc przy plowau porządu podczas balu etórzy z ch sę zgadzają. P: Najperw zgłaszają sę wszyscy ojcowe sło w jaolwe sposób pomagać jest ch, astępe spośród ch oraz zawsze chętych do pomocy mate wychowawczy wybera osób, tóre pomogą przed balem. Pozostal chęt do pracy ojcowe będą plować porządu. Przyład 15. j j j Tym razem baletc przygotowuje somploway uład taeczy a bal. L: Pa choreograf wybera spośród ch do tańczea w dwóch rzędach, wsazuje do perwszego rzędu oraz j z drugego, tóre będą meć dywduale role. Każdej z pozostałych dzewcząt przydzela mejsce po lewej lub po prawej stroe scey. 17

6 P: Baletce ćwczą w sal z welm lustrem a całą ścaę. Na począte pa choreograf wybera tych j dzewcząt, tóre będą meć dywduale role. Następe przygląda sę ażdej z pozostałych dwurote osobo baletcy, osobo jej lustrzaemu odbcu. Spośród tych j ezależych postac wsazuje. Zauważmy, że dzewcząt, tóre zostały wsazae dwurote zarówo osobśce, ja w lustrze jest tyle samo, co dzewcząt, tóre e zostały wsazae wcale bo już mają dywduale role lub bo e przypadły pa choreograf do gustu, bowem w sume wsazao tyle samo postac, le jest wszystch baletc. Jeśl zatem dzewczęta wsazae dwurote będą tańczyć w perwszym rzędze, a dzewczęta e wsazae wcale w drugm, razem z dywdualstam, to rzędy te będą lczyć po tyle samo baletc. Każda z pozostałych dzewcząt została wsazaa a jede z dwóch sposobów tylo w lustrze lub tylo osobśce. Zatem ta sposób wyzaczaa baletcom ról prowadz do tego samego rezultatu, co sposób L. Udowodjmy a oec, orzystając z olejej baj o balu, wzór a sumę wadratów olejych lczb. Przyład Do balu pozostało + 1 d, łącze z dzsejszym. Baletce mają do przećwczea dwuczęścowy uład. Całodowa próba geerala ma być ostatą, wcześej trzeba zaplaować po jedej próbe ażdej z częśc uładu. Te dwe wcześejsze próby mogą odbyć sę obe jedego da choćby dzś, w tam wypadu ch olejość jest estota. Na le sposobów moża rozplaować graf prób? L: Zaczyamy od ustalea termu próby geeralej: ech odbędze sę oa za d. Wtedy a ażdą z wcześejszych prób jest do wyboru termów lcząc łącze z dzsejszym. P: Decydujemy ajperw, czy a próby potrzebujemy trzech różych d, czy tylo dwóch. Jeśl trzech, to wyberamy je a +1 3 sposoby potem jeszcze a sposoby ustalamy, tórą z częśc uładu ćwczymy a tórej z perwszych dwóch prób. A jeśl próby zajmą am tylo dwa d, to wyberamy te d a +1 sposoby już o czym węcej e musmy decydować. Zadae 3 rozwązaa e zam, chęte pozam. Zterpretować ombatorycze ą zaą postać wzoru a sumę wadratów: Zadae 4. Wyazać, że oraz że + 1 3

7 Zadae 5. Zauważmy, że +1 to lczba wszystch prostoątów a szachowcy o boach wzdłuż l podzału rate. a Zterpretować ta samo lczbę 3. b Udowodć ombatorycze, że suma pól wszystch tach prostoątów jest rówa +. 3 W powyższych zadaach o sume sześcaów raz opowadamy baję o grafu prób, a raz o prostoątach. W przyładze 1 róweż pojawały sę dwe róże hstoryj terpretujące to samo wyrażee. Uro sła baje ombatoryczych polegają mędzy ym właśe a welej różorodośc pomysłów a swobodze doberaa ajwygodejszej w daym momece terpretacj. O tym, ja bują wyobraźę mają matematycy ja wele baje moża wymyślć a jede temat, śwadczyć mogą lczby Catalaa. Cąg lczb Catalaa zaday jest wzorem c , jego początowe wyrazy to c 0 0, c 1 1, c 1, c 3, c 4 5, c Lczby Catalaa spełają dla warue c c 1 c 1 + c c c 1 c 1. W lczych bajach terpretujących lczby Catalaa występują mędzy ym: asjera wydająca resztę letom w olejce do a, żołerze w dwuszeregu, ajrótsze drog w meśce, pasma górse o ustaloej sume wysoośc gór, wybory z jedą partą stale prowadzącą, tragulacje weloąta, płase drzewa bare, erzyżujące sę uścs dło rycerzy przy orągłym stole wele, wele ych. O lczbach Catalaa, powyższych bajach oraz o jeszcze ludzesęcu dalszych terpretacjach przeczytać moża w sążce [1]. Zadaa. Udowodć ombatorycze astępujące tożsamośc: Zadae 6. Zadae Zadae 8. Wzór dwumaowy Newtoa a + b! 1!!...! 0 a b Zadae 9. Tożsamość Vadermode a m + m Zadae 10. Zadae 11. Zadae 1. Lteratura 0 m 1 0 m + m + 4 1! 1 [1] Rchard P. Staley, Eumeratve Combatorcs, tom II, str. 1, fragmet o lczbach Catalaa dostępy też a stroe www autora rsta/ec/ [] Marta Sved, Coutg ad Recoutg, The Mathematcal Itellgecer, vol. 5. o. 4, 1983, str