ZMIENNE LOSOWE WIELOWYMIAROWE
|
|
|
- Nadzieja Lis
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe ( ΩS P ZMIENNE LOSOWE WIELOWMIAROWE - ustaloa przestrzeń probablstcza. (... - zmea losowa - wmarowa (wetor losow cąg losow. : Ω R (fuca borelowsa P : Β R [0 - rozład zmee losowe. ( ] Dstrbuata (... ( < F P... < azwam zmeą losową soową eśl e zbór wartośc est sończo lub przelczal. azwam zmeą losową cągłą eśl e dstrbuata da sę przedstawć w postac F (... L f ( u... u du dla pewe eueme fuc f zwae gęstoścą. Uwaga.. W putach cągłośc fuc f zachodz: ( F( f (.... Dla A Β( R mam P ( A... f (... d... d. A... du Fuca charaterstcza zmee losowe - wmarowe. t ϕ t ϕ( t... t E e E ep( ( t... t. ( ( ( Rozład waruowe. Jeśl P... 0 to rozład zmee losowe soowe ( -... ( > wmarowe oreśloe wzorem: P ( P P (... ( azwam rozładem waruowm zmee losowe (... (.... pod waruem że Jeśl gęstość f 0 to rozład zmee losowe cągłe ( - wmarowe oreśloe wzorem:... > f ( f ( f (......
2 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe azwam rozładem waruowm zmee losowe (... (.... pod waruem że Nezależość zmech losowch. Zmee losowe... są ezależe eśl F(... F ( F (... F ( dla dowolch... R. gdze F - dstrbuat rozładów brzegowch edowmarowch. Dla zmech losowch soowch odpowed warue ma postać: P... P (... P ( ( dla dowolch... R Dla zmech losowch cągłch odpowed warue ma postać: f... f ( f (... f ( ( dla dowolch... R. Przpade. Dwuwmarowa zmea losowa ( ma rozład soow eśl zmee losowe maą sończo lub przelczal zbór wartośc. Rozład zmee losowe ( (łącz rozład zmech oreśla sę za pomocą fuc prawdopodobeństwa lub dstrbuat. Fucą prawdopodobeństwa soowe zmee losowe ( przmuące wartośc ( est prz czm p 0 oraz p p P(... Dstrbuatą F( soowe zmee losowe ( est fuca rzeczwsta F ( < < Fucę prawdopodobeństwa soowe zmee losowe ( przmuące wartośc ( moża zapsać w postac tablc: p... l p. p p... p l p. p p... p l p p p... p l p. p. p. p.... p. l gdze... wartośc zmee losowe... l wartośc zmee losowe
3 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe p. sum prawdopodobeństw w olumach p. p. sum prawdopodobeństw w werszach p. Uwaga. p. Rozładem brzegowm zmee losowe azwam rozład oreślo fucą prawdopodobeństwa: p p.... p. p. p.... p. Rozładem brzegowm zmee losowe azwam rozład oreślo fucą prawdopodobeństwa:... l p. p. p.... p. l Jeśl zmea losowa ( est soowa to zmee losowe są ezależe gd dla ażde par ( (... speło est warue: Warue te moża róweż zapsać w postac P( P( P( p p. p. Przład. Rzucam dwa raz ostą. - lczba parzstch ocze w perwszm rzuce tz. 0 lub. - lczba ede w obu rzutach tz. 0 lub lub. Fuca rozładu prawdopodobeństwa te zmee losowe daa est tabelą: 0 p. 0 0/6 7/6 /6 8/6 5/6 /6 0 8/6 p. 5/6 0/6 /6 Rozład brzegowe wzaczoe są przez brzegowe wartośc te tabel. Rozład brzegow zmee losowe : 0 p. 8/6 8/6. Rozład brzegow zmee losowe : 0 p. 5/6 0/6 /6
4 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Przład. Fuce rozładu prawdopodobeństwa dae tabelam: 0 p. 0 /8 0 /8 /8 / / 0 /8 p. /8 / /8 0 p. 0 /8 0 /8 /8 0 / / /8 p. /8 / /8 maą detcze rozład brzegowe. Wose. Na ogół rozład brzegowe e wzaczaą rozładu łączego edozacze. W przpadu zmech losowch ezależch rozład brzegowe wzaczaą rozład łącz edozacze. ( azwam zmeą losową cągłą eśl e dstrbuata da sę przedstawć w postac F ( f ( s t dsdt dla pewe eueme fuc f zwae gęstoścą. Uwaga.. f ( dd. W putach cągłośc fuc f zachodz: F( f ( 5. Dla A Β( R mam P ( ( A f ( dd. A Maąc gęstość rozładu łączego gęstośc rozładów brzegowch wzaczam astępuąco. Jeśl f( est gęstoścą zmee losowe ( to fuce f ( f ( d; f ( f ( d są gęstoścam odpowedch rozładów brzegowch. Jeśl łącz rozład ( est cągł to zmee losowe są ezależe wted tlo wted gd dla dowolch rzeczwstch f( f (f (
5 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Przład. Fuca f( est gęstoścą zmee losowe (. c dla 0 0 f ( 0 dla ch Przez całowae lub z terpretac geometrcze wa że c 05 (bo pole rozpatrwaego wadratu wos. Przez całowae lub z terpretac geometrcze wa że dstrbuata tego rozładu ma postać < 0 < F ( 05 0 < > 05 0 < > > > Rozład brzegowe to rozład edostae a przedzale [0 ]. Zauważm że zmee losowe są ezależe. Przład. Fuca f( est gęstoścą zmee losowe (. 05 dla 0 0 f ( 0 dla ch gęstość rozładu waruowego ma dla 0 < < postać 05/05 05; zatem 0 ( 0 f ( 05 ( 0 Parametr (mogą e steć Wartość oczewaa E ( [ E E... E ]. D ( D D...D. Waraca [ ] Momet (zwcza rzędu l l... l l l l m l l... l E(... Momet cetral rzędu l l... l Macerz owarac cov( E l l ( E ( E µ E... l l... l K [ ] gdze E E [( ( ] E( E( E( Uwaga D est waracą - te sładowe. Macerz K est wadratowa smetrcza słabo dodato oreśloa ( w szczególośc ma wzacz euem. 5
6 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe cov( Macerz orelac R [ρ ] gdze ρ D D Uwaga ρ. Przpade zmee losowe dwuwmarowe Kowaracą zmech losowch ( azwam welość Cov( E[( E( E] E( E(E( Dla zmee losowe soowe ( mam: l E( l Cov( p Dla zmee losowe cągłe ( mam: p E E E( f ( dd Cov( f ( dd E E Uwaga a Dla zmech losowch ezależch Cov( 0 zatem zmee losowe ezależe są esorelowae (odwrota własość e zachodz patrz przład b Cov( D c D ( D D Cov( dowole zmee losowe Uormowaą owaracę azwam współczem orelac mędz zmem : Cov( ρ ρ( ( D ( D Współcz orelac merz słę zależośc lowe mędz zmem. Własośc współcza orelac: a ρ ( b dla ezależch zmech losowch współcz orelac est rów zero c eżel współcz orelac est dodat to mędz zmem stee zależość lowa dodata co ozacza że ze wzrostem wartośc ede zmee rosą średe wartośc druge zmee d eżel współcz orelac est uem to mędz zmem stee zależość lowa uema co ozacza że ze wzrostem wartośc ede zmee maleą średe wartośc druge zmee e eżel współcz orelac est rów lub to mędz zmem stee fuca zależość lowa Jeżel współcz orelac est rów 0 to mówm że zmee losowe są esorelowae. 6
7 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Macerz D K Cov( azwam macerzą owarac Cov( D Przład Fuca rozładu prawdopodobeństwa zmee losowe dwuwmarowe ( daa est tabelą: p. /6 /6 / 0 / 0 / /6 /6 / p. / / Oblczm współcz orelac mędz tm zmem. Rozład brzegow zmee losowe : 0 p. / /0 / Rozład brzegow zmee losowe : p. / / E 0 E / Poeważ E( ( ( /6 /6 ( /6 /6 0 E E 0; Cov( 0 to ρ 0. Zatem zmee są esorelowae. Uwaga. Zauważm że powższe zmee losowe chocaż są zależe to są esorelowae. Załadam że macerz owarac K stee. Regresa I rodzau względem zbór putów ( E(. Regresa I rodzau względem zbór putów (E(. Gdze E( E( to waruowe wartośc oczewae. Le regres I rodzau tlo w szczególch przpadach są lam prostm. Twerdzee. E(( ϕ( osąga wartość ameszą gd ϕ ( E( z prawdopodobeństwem. Jeśl poszuuem fuc lowe mmalzuące wrażee E(( ϕ( to otrzmam prostą regres zwaą prostą regres II rodzau. 7
8 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Regresa II rodzau względem to prosta Regresa II rodzau względem to prosta ρ m ρ m. ρ m ρ m. Powższe poęca regres moża uogólć a przpade - wmarowch zmech losowch. W szczególośc hperpłaszczza regres II rodzau Zmee względem zmech... ma rówae - E a ( - E... a ( - E gdze K są dopełeam algebraczm elemetów macerz owarac K. a K K Welowmarow rozład Beroullego. Dla dach N p [p p...p ] T taego że 0 p < oraz [... ] T gdze {0... } oreślam P( p!!!...! 0! 0 0 p... p gdze p0 p ; 0. Przład. Badae sstemu teleomuacego polega a welorotch próbach uzsaa połączea. Rozpatruem trz możlwe w ażdego połączea: - A 0 - połączee bez załóceń - A - połączee z załóceam - A - bra połączea. Wadomo że P(A 0 07; P(A 0; P(A 0. Woao 50 prób łączośc oblczć prawdopodobeństwo tego że w tch próbach co awże raz e uzsam połączea co awże raz uzsam połączee z załóceam. - lczba prób z braem łączośc - lczba prób z połączeam z załóceam. 50! P(!!(50! gdze ; 50. 8
9 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Zatem P( P( P( P( P( Welowmarow rozład welomaow. Jeśl w defc rozładu Beroullego mam p o 0 azwam rozładem welomaowm. to otrzma rozład Welowmarow rozład Possoa. Dla daego λ [λ λ... λ ] T oraz [... ] T gdze {0... } oreślam P( λ λ... e!! λ 0 gdze 0 λ λ. Rozład ormal - wmarow. K - macerz owaraca ech detk 0. Zmea losowa - wmarowa ma rozład ormal - wmarow gd gęstość te zmee losowe wraża sę wzorem: L f ( f (... ep ( / l L ( / ep ( T m L( m ( m ( gdze m E( dla... L [l ]... est macerzą odwrotą do K. Dla warue K 0 est rówoważ waruow ρ. Poeważ macerz K ma wted postać ρ K to ρ ρ L ( ρ ρ Zatem gęstość rozładu ormalego -wmarowego N(m m ρ moża zapsać astępuąco: ( ( ( ( ( m m m m f ( ep ρ ρ ρ Powższa fuca gęstośc ma stałą wartość f( h a elpse: m ( m ( m ( m ( m ρ cost λ 9
10 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe o środu w puce (m m gdze λ ( ρ l( ρ Dla ρ 0 ose główe maą rówaa: m ± h. ρ ( ρ ( m Dla ρ 0 ose rozpatrwae elps są rówoległe do os uładu współrzędch. Zauważm że gd ρ to eda oś sę wdłuża a druga sraca zależość mędz zmem stae sę ścśle lowa. Ose powższe elps tworzą z osą O ąt α α / gdze ρ tg α Fuca charaterstcza: T T ϕ ( t ep m t t Kt gd to ϕ ( t t ep ( tm tm ( t ρ tt t Twerdzee. Dowol rozład brzegow ormalego rozładu -wmarowego est rozładem ormalm. Twerdzee. Jeśl sładowe ormalego rozładu -wmarowego są param esorelowae to są ezależe. Twerdzee. Dowol rozład waruow ormalego rozładu -wmarowego est rozładem ormalm. Waruowa wartość oczewaa waruowa waraca są rówe: E (... K K gdze K - dopełee algebracze elemetu macerz K. K D (... K Uwaga. Dla gęstość rozładu waruowego est rówa: f ( f ( ep m ρ ( m f ( ( ρ ρ oraz E( m ρ ( m D ( ( ρ Przład. - ezależe zmee losowe o rozładze ormalm E E D D 9. Wzaczć gęstość rozładu zmee losowe ( oblczć 0
11 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe a P( < < ; < < b P( >. ( ( 9 ep ( f a P( < < ; < < ( ( 9 ep dd ep ep d d / 0 / / du e dt e u t [Φ(/ - Φ(0] [Φ(/ - Φ(-/] ( ( ( b P( > ( ( 9 ep dd ep ep d d dt e t Φ( - Φ( Przład. Wzaczć gęstość rozładu ormalego ( Z eśl rozład te ma zerow wetor wartośc oczewach macerz owarac: K Rozwązae. detk. 5 K zatem ( / 5 ep ( z z z z f. Uwaga. Dla rozładu ormalego wmarowego ( taego że E E 0 D D tórego sładowe są esorelowae (ażd rozład ormal może meć taą postać po obroce uładu współrzędch o ąt α prawdopodobeństwo że wartośc zmee losowe ( ależą do elps est rówe e
12 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe ZADANIA Zadae. Zmea losowa ( ma rozład oreślo tabelą: Wzaczć macerz orelac. Oblczć współcz orelac mędz tm zmem. Cz są sorelowae? Cz są ezależe? Zadae. Zmea losowa ( ma rozład oreślo tabelą: Wzacz rozład zmee losowe. Wzacz rozład zmee losowe. Oblczć współcz orelac mędz tm zmem. Cz są sorelowae? Cz są ezależe? Zadae. Dla zmee losowe z poprzedego zadaa wzacz arsu a le regres I rodzau b proste regres II rodzau.
13 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Zadae. Zmea losowa ( ma rozład oreślo tabelą: a wzaczć F(; F(6; F(7; b oblczć ( 6; P c wzacz rozład waruowe ; 5 d oblczć wartośc oczewae zmech z putu c. Zadae.5 ( est zmeą losową o gęstośc c dla ( D f ( 0 dla ( D gdze D est tróątem o werzchołach (0; 0; (; 0; (;. a wzaczć c b wzaczć F(; 05 c wzaczć gęstośc rozładów brzegowch d wzaczć gęstość rozładu 0 5 e oblczć E E f oblczć cov( g oblczć współcz orelac h Cz są esorelowae? Cz są ezależe? wzacz prostą regres względem Zadae.6 Zmea losowa ( ma macerz owarac: K. 9 Ile wos współcz orelac mędz?
14 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Zadae.7 Fuca f( z est gęstoścą zmee losowe (Z. a wzaczć c c f ( z 0 dla 0 0 dla ch z b wzaczć gęstośc brzegowe edo dwuwmarowe c wzaczć gęstość rozładu waruowego Z d wzaczć gęstość rozładu waruowego ( Z e cz Z są ezależe? f wzacz wetor wartośc oczewach te zmee losowe. Zadae.8 0 z Wzaczć wartość parametru c ab fuca f ( c ep ( 5 bła gęstoścą wmarowego rozładu ormalego. Wzaczć parametr m m ρ. Zadae.9 ( ma rozład o gęstośc ( 0 ( 0 f ( ep Cz są sorelowae? Cz są ezależe? Zadae.0 Zmea losowa ( ma stałą gęstość a zazaczom zborze / / Sprawdź że rozład brzegowe maą rozład edosta a przedzale (0. Sprawdź że są zależe.
15 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Zadae. Zmee losowe są ezależe maą rozład edostae odpowedo w przedzałach [0 ] [- ]. Wzacz gęstość rozładu łączego (. Zadae. ( ma rozład o dstrbuace F( e e e dla > 0 > 0 0 dla ch Wzacz gęstość zmee losowe (. Zadae. Gęstość wmarowego rozładu ormalego wraża sę fucą f ( 5 ( ep Zapsać gęstość rozładu brzegowego f ( oreślć ego parametr. Zapsać gęstość rozładu waruowego f ( oreślć ego parametr. Zadae. Wzaczć wartość parametru c ab fuca ( f ( c ep bła gęstoścą wmarowego rozładu ormalego. Wzaczć macerz owarac te zmee losowe. 5
16 L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Zadae.5 Wzaczć gęstość rozładu ormalego ( Z eśl rozład te ma wetor wartośc oczewach E( Z [ - 0] T macerz owarac: K Zadae.6 Fuca ( 9 6 6z 6z f ( z ep 8z 0 0 est gęstoścą wmarowego rozładu ormalego. Wzaczć wetor wartośc oczewach macerz owarac te zmee losowe. Zadae.7 Rzucam raz moetą. - lczba orłów uzsach w tch rzutach - lczba ser orłów. a Wpsać wszste zdarzea elemetare w tm dośwadczeu losowm. b Wzaczć rozład zmee losowe ( c Wzaczć rozład brzegowe ch wartośc oczewae d Wzaczć arsować le regres I rodzau e Wzaczć arsować proste regres II rodzau. f Cz są ezależe? cz są sorelowae?
opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Zmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ
Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB WYKŁAD 2 BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB Przkład.
Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Ćwiczenia 10 KORELACJA
Ćwczea 0 KORELACJA Zadae W odażu przeprowadzom przed wboram prezdecm aazowao poparce da addatów A B W zaprezetowao w tabe: Y addat X płeć A B M 0 40 K 0 30 00 a Naeż prawdzć cz wbór addata a prezdeta zaeż
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Iormaa - Wład 9 - dr Bogda Ćmel cmelbog@ma.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec
( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Indukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Linie regresji II-go rodzaju
Lam regresj II-go rodzaju zmeej () względem () azwam zadae krzwe g(;,, ) oraz h(;,, ) gd spełają oe odpowedo waruk: E E Le regresj II-go rodzaju ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) g ;,,... g ;,,... f, dd m,,... (
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Zaawansowane metody numeryczne
Zaawasowae metod umercze Programowae lowe (problem dual, program low w lczbach całkowtch) Dualość est kluczowm poęcem programowaa lowego. Pozwala a udowodee że otrzmwae rozwązaa są optmale. Zagadee duale
ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE
ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE Cel Przedstawee wybraych testów statystyczych zasad wyboru właścwego testu przeprowadzea go oraz terpretac wyów. Wprowadzee teoretycze Testem statystyczym azywamy metodę
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Funkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
Analiza współzależności dwóch zjawisk zależności między tymi cechami
Aaza współzaeżośc dwóch zaws Badae zborowośc ze wzgędu a dwe cech ma zazwcza a ceu poszuwae zaeżośc mędz tm cecham. Poszuwae to ma ses to wted, gd mędz cecham może steć ogcze uzasado zwąze przczowo-sutow.
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE
OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Zmienna losowa. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Zmienna losowa ozszerzenie znaczenia funcji zmiennej rzeczwistej na przpadi, ied zmienna niezależna nie jest liczbą rzeczwistą: odległość to funcja par puntów, obwód trójąta, to funcja oreślona na zbiorze
Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka
Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej
METODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Materiały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4
ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?
Optymalizacja wielokryterialna
Porządowae Optmalzaca welorterala. Uporządowae zboru wg oreśloch reguł.. Wróżee możlwe ameszego podzboru prz doowau wboru.. Wbór oreśloe decz. U {u,...,u m }- sończo przelczal zbór dopuszczalch decz K
POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Statystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk
Statstka pwtórzee (II semestr) Rafał M. Frąk TEORIA, OZNACZENIA, WZORY Rdzae mar statstczch mar płżea - wzaczaą przecęta wartść cech statstcze mar zróżcwaa (lub zmeśc, rzprszea, dspers) - wzaczaą słę zróżcwaa
W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Matematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.
Wkład. Całka podwója. Zamaa a całkę terowaą. Oblczae pól obszarów objętośc brł.. Całka podwója w prostokące. Jak pamętam, całka ozaczoa z cągłej fukcj jedej zmeej wprowadzoa bła w celu oblczaa pola powerzch
Płaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2
Opis aalitcz wielkości podstawowch wersor e x, e Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B ) ) Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B )
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
max Wydział Elektroniki studia I st. Elektronika III r. EZI Technika optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic
Zadane rograowana lnowego PL dla ogranczeń neszoścowch rz ogranczenach: a f c A b d =n, d c=n, d A =[ n], d b =, Postać anonczna zadana PL a c X : A b, Postać anonczna acerzowa zadana PL a Lczba zennch
Równania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Matematyczny opis ryzyka
Aalza ryzyka kosztowego robót remotowo-budowlaych w warukach epełe formac Mgr ż Mchał Bętkowsk dr ż Adrze Powuk Wydzał Budowctwa Poltechka Śląska w Glwcach MchalBetkowsk@polslpl AdrzePowuk@polslpl Streszczee
STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część
WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego
Opracowanie wyników pomiarów
Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów
LABORATORIUM TEORII MECHANIZMÓW I MASZYN. Ćwiczenie TMM-3 ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMU Z SIŁOWNIKAMI HYDRAULICZNYMI
LBORTORIUM TEORII MEHNIZMÓW I MSZYN. el ćczea Ćczee TMM- NLIZ KINEMTYZN MEHNIZMU Z SIŁOWNIKMI HYDRULIZNYMI Wzaczee przebegó czasoch parametró ematczch og mechazmu z słoam hdraulczm.. Wproadzee teoretcze
Wyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Dokonajmy zestawienia wszystkich równań teorii sprężystości. 1. Różniczkowe równania równowagi (warunki Naviera)
Wyład 4 Blas rówań teor srężystośc Dooamy zestawea wszystch rówań teor srężystośc Gra rówań. Różczowe rówaa rówowag (war Navera Lczba rówań Lczba ewadomych X 6 (. Zwąz geometrycze (rówaa Cachy ego ( 6
r r r m dt d r r r r 2 dt r m dt dt
Twedee o wale: Roważm cąstę P o mase m a tóą dała sła : W ecalm ułade odesea: dv m / dv m ( Moża auważć że: d d dv dv m ( v m v m mv m dv d m m ( v mv gde v est modułem pędośc Podstawaąc to do ówaa ( mam:
f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Statystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statstka Katarza Chud Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ Aalza korelacj umożlwa stwerdzee wstępowaa zależośc oraz oceę jej atężea ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI: CECHY: ILOŚCIOWA ILOŚCIOWA CECHY: JAKOŚCIOWA
PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Portfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Typ może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }
Idea: Wyzaczamy ameszy elemet w cągu tablcy zameamy go mescam z elemetem perwszym, astępe z pozostałego cągu wyberamy elemet ameszy ustawamy go a druge mesce tablcy zmeamy, td. Realzaca w C++ vod seleca
RACHUNEK PRAWDOPODOBIESTWA wybrane zagadnienia
L.Kowals Wybrae zagadea z rachuu prawdopodobestwa RACHUNEK PRAWDOPODOBIESTWA wybrae zagadea PRAWDOPODOBIESTWO Przyład Rozpatrzmy jao dowadczee losowe jedoroty rzut szece ost. Choca e potrafmy przewdze
ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel
Własośi zbiorów otwarth i domięth Tw. a) Suma dowolej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. b) Iloz sońzoej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. Dow. a) Mam rodzię zbiorów otwarth: U A s {
FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH. Uwagi o rozkładzie funkcji zmiennej losowej jednowymiarowej.
L.Kowals Fucje zmeych losowych FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH Uwag o rozładze fucj zmeej losowej jedowymarowej. Jeśl - soowa, o fucj prawdopodobeńswa P( x ) p, g - dowola o fucja prawdopodobeńswa zmeej losowej
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
KORELACJA KORELACJA I REGRESJA. X, Y - cechy badane równocześnie. Dane statystyczne zapisujemy w szeregu statystycznym dwóch cech
KORELACJA I REGRESJA. KORELACJA X, Y - cech badae rówocześe. Dae statstcze zapsujem w szeregu statstczm dwóch cech...... lub w tablc korelacjej. X Y... l.... l.... l................... k k k... kl k..j......l
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
Spójne przestrzenie metryczne
Spóe pzeszee ecze De. Pzeszeń eczą zw spóą eżel e d sę e pzedswć w posc s dwóc zoów epsc owc ozłączc. - pzeszeń spó ~ owe Icze es zoe spó eżel dl dowolc pów czl see cągł c : : = = see dog łącząc Tw. ągł
STATYSTYKA. Zmienna losowa skokowa i jej rozkład
STATYSTYKA Wnosowane statystyczne to proces myślowy polegający na formułowanu sądów o całośc przy dysponowanu o nej ogranczoną lczbą nformacj Zmenna losowa soowa jej rozład Zmenną losową jest welość, tóra
Józef Beluch Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Wpływ wag współrzędnych na wyniki transformacji Helmerta
Józef Beluch Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe płw wag współrzędch a wk trasformacj Helmerta . zór a trasformację współrzędch sposobem Helmerta: = c + b = d + a + a b () 2 2. Dwa modele wzaczea parametrów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12
Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboratorum Ćw. Analza statystyczna grafczna danych pomarowych. Wprowadzene MATLAB dysponuje weloma funcjam umożlwającym przeprowadzene analzy statystycznej pomarów, czy
UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow UWAI O ROZKŁADZIE UNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. - d zm losow cągł o gęstośc. Y g g - borlows tz. g - B BR dl B BR Wzczć gęstość g zm losow Y. Jśl g - ścśl mootocz różczowl
Regresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Natalia Nehrebecka. Dariusz Szymański
atala ehreecka Darusz Szmańsk Wkład . MK przpadek welu zmech. Własośc hperpłaszczz regresj 3. Doroć ć dopasowaa rówaa regresj. Współczk determacj R Dekompozcjawaracj zmeejzależejzależej Współczk determacj
Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI
Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,
L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Praca Domowa:.. ( α β ( α β α β ( ( α Γ( β α,,..., ~ B, Γ + f Γ ( α + α ( α + β + ( α + β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α α + β β α β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β
dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7
![[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7](/thumbs/66/55630048.jpg "[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7")
6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki