LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

Transkrypt

1 LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę potrzeb! Zwyczajowo rozważa się astępujące rodzaje liczb: liczby aturale, liczby całowite, liczby wymiere, liczby algebraicze, liczby rzeczywiste, liczby zespoloe. Liczby to elemety wspólego (dla wszelich istot rozumych) abstracyjego myśleia. Początowe mało ważym jest czym są (lub mogłyby być) elemety abstracyjego myśleia. Powio wystarczać gdy taowe elemety zostaą oreśloe, czyli zostaą oreśloe właściwosci liczb. Soro liczby możemy tworzyć w miarę potrzeb, to lista wszystich właściwości liczb powia (!?!) być listą wzajemie wyluczających się własości. Stąd ażdy pomyślay rodzaj liczb będzie spełiał jedyie ietóre własości z taiej listy. Spiszmy fragmet listy wszystich właściwosci liczb. Dodawaie i możeie: x + y y + x; xy yx (przemieość). x + (y + z) (x + y) + z; (xy)z x(yz) (łączość). x(y + z) xy + xz (rozdzielość dodawaia względem możeia). Dwie róże liczby 0 oraz zawsze spełiają rówości x + 0 x oraz x x. Zawsze jedozaczie wyoywale jest odejmowaie, tz. rówaie a + x b ma doładie jedo rozwiązaie gdy liczby a oraz b są ustaloe iymi słowy: istieje doładie jeda liczba x taa, że x a b. Zawsze jedozaczie wyoywale jest dzieleie przez liczby róże od zera, tz. rówaie a x b ma doładie jedo rozwiązaie gdy ustalimy liczby a oraz b ta, aby a 0 iymi słowy: istieje doładie jeda liczba x b a. Uporządowaie: Dowole dwie róże liczby x oraz y są związae relacją miejszości x < y lub y < x. Przy czym: x < y oraz y < z zawsze pociąga x < z; Jeśli x < y, to ie zachodzi y < x; Jeśli x < z, to zawsze (dla dowolej liczby y) zachodzi x + y < z + y; Gdy 0 < y oraz x < z, to zachodzi xy < zy.

2 Gdy x < y to mówimy, że x jest miejsze iż y: czasami piszemy y > x oraz mówimy y jest więsze iż x; zaś gdy x < y lub x y, to piszemy x y (wtedy mówimy: x jest iewięsze iż y) albo y x (wtedy mówimy: y jest iemiejsze iż x). Zasada ciągłości: Jeśli wszystie liczby podzielimy a dwa rozłącze i iepuste zbiory A oraz B ta, aby zawsze x A oraz y B pociągało x < y, to do zbioru A ależy liczba ajwięsza w zbiorze A lub do zbioru B ależy liczba ajmiejsza w zbiorze B. Wyjaśijmy, że liczba x jest ajwięsza w zbiorze A gdy dowola liczba y A jest iewięsza iż x. Zaś liczba x jest ajmiejsza w zbiorze B gdy dowola liczba y B jest iemiejsza iż x. Zasada ciągłości wyorzystuje teorię zbiorów dwa rozłącze i iepuste zbiory ażdy może budować wedłud iych - przez siebie uzawaych za stosowe, praw teorii zbiorów. Soro ta, to początowo warto pomiąć docieaia czym oretym są liczby. Powio wystarczać omówieie własosci liczb, tóre zaistieją w myślach dowolego docieliwego ich badacza. Liczby aturale: ajmiejszy zbiór liczb zamięty ze wzglęgu a działaia dodawaia oraz możeia lecz tai, że ie udaje się oreślić a im działań odwrotych do dodawaia lub możeia, czyli odejmowaia oraz możeia. Liczby całowite: ajmiejszy zbiór liczb zamięty ze wzglęgu a działaia dodawaia, odejmowaia oraz możeia lecz tai, że ie udaje się oreślić a im działaia dzieleia przez liczby róże od zera. Liczby wymiere: ajmiejszy zbiór liczb zamięty ze wzglęgu a działaia dodawaia, odejmowaia, możeia oraz dzieleia przez liczby róże od zera. Liczby algebraicze: ajmiejszy zbiór liczb zawierający pierwiasti wielomiaów o współczyiach wymierych. Liczby rzeczywiste: zbiór liczb zawierający liczby wymiere oraz spełiający zasadę ciągłości. Liczby zespoloe: ajmiejszy zbiór liczb zawierający liczby rzeczywiste oraz wszystie pierwiasti wielomiaów o współczyiach rzeczywistych. Potęgowamie liczb: Gdy > 0 jest liczbą aturalą zaś x liczbą różą od zera, to ładziemy x x oraz x x x iymi słowy: x x x... x, gdzie

3 z prawej stroy rówości liczba x jest możoa -razy przez siebie; x x ; rozwiązaia rówaia x a ozaczamy a lub a (w liczbach rzeczywistych rozwiązaie ie zawsze musi istieć: gdy jest liczbą ieparzystą, to zawsze istieje jedo rozwiązaie; zaś gdy > 0 jest liczbą parzystą oraz a > 0, to istieją dwa rozwiązaia); a m m a. Potęgowaie liczb zostało oreśloe dla wyładiów wymierych. Gdy weźmiemy liczbę rzeczywistą a > 0 oraz liczbę rzeczywistą b, to przez a b ozaczamy ajwięszą liczbę ależącą do zbioru {a q : q < b oraz q jest liczbą wymierą} lub ajmiejszą liczbę ie ależącą do tego zbioru: liczby wymiere to wszystie liczby przedstawiale w postaci, gdzie przebiega liczby aturale, zaś m m przebiega liczby całowite róże od zera. W powyższej defiicji zasada ciągłości gwaratuje istieie liczby rzeczywistej a b! Zachodzi: a b a c a b+c ; Czy symbol 0 0 wyzacza liczbę? a b a b ; (a b ) c a bc ; a 0, o ile a 0. Logarytmowaie liczb dodatich: Gdy a > 0 oraz b > 0, to rówaie a x b ma doładie jedo rozwiazaie w liczbach rzeczywistych. Rozwiazaie to azywamy logarytmem liczby b przy podstawie a iymi słowy: x log a b. Zachodzi: a log a b b; log a (bc) log a b + log a c; log a b c log ab log a c; log a b c c log a b. Wartość bezwględa (moduł liczby): 3

4 Mamy { x, gdy x 0; x x, w pozostałych przypadach. a a ; ab a b ; a a ; a + b a + b ; a b a b. Dwumia Newtoa: Kładziemy oraz, gdy 0,!!( )!! 3... ( )... ( + ) Symbol Newtoa ( ) został dobrze oreśloy dla liczb aturalych oraz taich, że 0. Zachodzi ( ) ( ) ( ) + + : co sprawdzamy astępująco ( ) ( ) ( )... ( + ) Mamy taże (a + b) 0 w szczególości ( )... ( + ) ( + + ) 3... a b ( + x) a a b x + 4 ( )... ( + ) 3... ( ) + a b x. b,

5 Twierdzeie. Dla dowolych liczb rzeczywistych x, y oraz ażdej liczby aturalej > 0 zachodzi x y x y. Uzasadieie iymi słowy: dowód. Soro lewa stroa ierówości jest stale dodatia to przyjmijmy, że x a > y b > 0 oraz pomyślmy sobie, że twierdzeie jest fałszywe w jaimś szczególym przypadu czyli zachodzi a b + b < a. Podosimy ta pomyślaą ierówość stroami do tej potęgi. Według wzoru a dwumia Newtoa dostaiemy a b + (...) + b < a : otrzymamy absurd, gdyż suma liczb dodatich (...) zawsze bywa więsza iż zero. Iducja zupeła: Niech φ() będzie zdaiem orzeającym o jaiejś właściwości liczby aturalej. Asjomat. Jeśli zdaie φ(0) jest prawdziwe oraz z założeia prawdziwości zdaia φ() wyia prawdziwość zdaia φ( + ), to zdaie φ() jest zawsze prawdziwe. Nierówość a pociąga + a ( + a). Gdy 0, to mamy + 0a ( + a) 0. Gdy założymy + a ( + a), to - możąc taą ierówość stroami przez liczbę dodatią + a, dostajemy + ( + )a < + ( + )a + a ( + a)( + a) ( + a) +.. Gdy x 0, to zachodzi + cos x Dla 0 mamy si x si x. Soro - ze wzoru a różicę simusów, zachodzi si si x si x x si + x si x cos( + )x, 5.

6 to możemy wyliczyć, że + cos x + cos( + )x + si x si x + cos( + )x + si x + si x cos( + )x si x si + x + si +3 x si + x si x +3 si x si x. Rozważmy ierówość x 5x + 6 x 7x + 0 < ; (x )(x 3) (x )(x 5) < ; x 3 x 5 < ; (x 3) < (x 5) ; x < 4. Gdy rozważamy ierówość to wpierw zbadajmy rówości x 8x + 6 x + 6x + 5 <, x 8x + 5 x + 6x + 5 oraz x 8x + 5 x 6x 5; x 4x x + x + 0 0; x 5 7 bra rozwiązań. Soro wyrażeie z lewej stroy ierówości jao fucja ma wyres będący liią dotyającą iesończoość - dowolie wysoą, w putach 5 oraz, to ierówość ta ma rozwiązaia x > 5 : dla x sów dowolie wielich lewa stroa 7 przybliża się do, ale liczi jest stale miejszy od miaowia z powodu miusa przed 8x. 6