N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Transkrypt

1 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy z parametrem : P ( = ) = ( ), dla = 0,,, Wyzacz metodą mometów (ależy wyorzystać średą z próby) estymator parametru 33 Populacja geerala ma rozład o fucj gęstośc xe x = dla x 0 Wylosowao - elemetową próbę prostą otrzymao średą z próby rówą 0,5 Zaleźć putową oceę parametru za pomocą metody mometów 34 Nech, będze próbą prostą z rozładu wyładczego z parametrem Medaa z próby wyos 00l Zaleźć estymator parametru metodą watyl 35 Nech, będze próbą prostą z rozładu o gęstośc x x [0,] = 0 x [0,], gdze > 0 a) wyzacz metodą mometów estymator parametru wyorzystując perwszy momet zwyły; b) wyzacz metodą ajwęszej warogodośc estymator parametru polcz jego wartość oczewaą Czy uzysay estymator jest eobcążoy? (, ) będze próbą losową z rozładu Possoa z parametrem 36 Nech Wyzacz estymator ajwęszej warogodośc parametru Czy jest o estymatorem eobcążoym? Jaa jest waracja tego estymatora? 37 Nech, będą ezależym zmeym losowym z tego samego rozładu o gęstośc 5 4 x 4 x e = dla x (0, + ) Wyzaczyć estymator ajwęszej warogodośc parametru, wyzacz jego wartość oczewaą oraz warację 38 Nech, będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozładze jedostajym a przedzale [0, ], gdze jest ezaym parametrem (0, ) a) Wyzacz stałą a ta aby estymator a T (, ) = = był estymatorem eobcążoym parametru Wyzacz warację tego estymatora b) Wyzacz estymator ajwęszej warogodośc parametru Czy jest to estymator eobcążoy? 39 Dyspoujemy obserwacjam,, oraz Y,,, Y tóre są ezależym zmeym losowym Każda ze zmeych ma rozład wyładczy z parametrem, atomast ażda ze zmeych rozład wyładczy z parametrem Wyzacz estymator ajwęszej warogodośc parametru oparty a wszystch obserwacjach m Y ma 30 Pauje przeoae, że lczba T (całych) lat bezawaryjej pracy sprzedaej pral ma rozład t geometryczy: P( T = t) = ( ), gdze t = 0,, Obserwowao przez dwa lata próbę 400 prale wy były astępujące: Czas bezawaryjej pracy Lczba prale 0 lat 30 ro 40 lub węcej 40

2 Oblcz estymator ajwęszej warogodośc parametru,,, będą ezależym zmeym losowym z rozładu 3 Nech ozacza dystrybuatę empryczą a) Oblczyć wartość oczewaą warację F ˆ (0) b) Wyzaczyć rozład graczy dla ( Fˆ (0) ) N (0, ) Nech F ˆ ( t ) 3 Populacja geerala ma rozład ormaly ajwęszej warogodośc Czy uzysae estymatory są eobcążoe? N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ σ metodą 33 Nech, będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozładze jedostajym a przedzale [, + ], gdze jest ezaym parametrem Wyzacz estymator ajwęszej warogodośc parametru 34 Nech, będze próbą prostą z rozładu wyładczego z parametrem Zapropouj eobcążoy estymator wyrażea e Praca domowa: 3 Nech, będze próbą prostą z rozładu beta B( α, β ) o gęstośc = x ( x) Γ ( + β ) α β Γ( α ) Γ( β ) dla x [0,] Wyzacz estymatory parametrów α β metodą mometów, orzystając z dwóch perwszych mometów zwyłych w rozładze beta 3 Nech, będze próbą prostą z rozładu gamma ( α, β ) parametrów α β, wyorzystując średej waracj tego rozładu Γ Wyzacz estymatory metodą mometów 33 Nech, będze próbą prostą z rozładu Possoa z ezaym parametrem metodą mometów parametrów Czy steje tylo jede ta estymator? 34 Nech, będze próbą prostą z rozładu gęstośc xe x ajwęszej warogodośc parametru, polcz jego wartość oczewaą oraz warację Wyzacz estymatory = dla x 0 Wyzacz estymator 35 Nech, będą ezależym zmeym losowym z tego samego rozładu o gęstośc 3 x x e = dla x (0, + ) Wyzaczyć estymator ajwęszej warogodośc parametru, wyzacz jego wartość oczewaą oraz warację 36 Nech,,, będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozładze jedostajym a przedzale [0,] Nech F ˆ ( t ) ozacza dystrybuatę empryczą Oblczyć wartość oczewaą warację F ˆ ( ) 4 37 Wyoujemy ezależe dośwadczea, z prawdopodobeństwem sucesu w ażdym dośwadczeu, dopó e zaobserwujemy sucesów ( jest ustaloą lczbą) Wyzacz estymator ajwęszej warogodośc parametru 38 Nech, będze próbą prostą z rozładu wyładczego z parametrem Czy statystya jest eobcążoym estymatorem wyrażea? T = ( )

3 39 Nech, będze próbą prostą z rozładu Possoa z parametrem Zapropouj eobcążoy estymator wyrażea e 30* Nech, będze próbą prostą z rozładu o dystrybuace F a) Poazać, że ( ˆ P F( t) = ) = ( F( t)) ( F( t)) dla = 0,,,, b) Poazać, że dystrybuata gęstość zmeej losowej : wyoszą odpowedo P( : t) = ( F( t)) ( F ( t)) = f ( t) = f ( t)( F( t)) ( F( t)) : c) Załóżmy, że, [0,] Na podstawe wyu z podputu b) poazać, że : ~ Beta(, + ) są ezależym zmeym losowym z rozładu jedostajego a przedzale 3* Nech,, 9 będze próbą losową z rozładu oraz 9 = ( ) 8 = S µ wyrażea σ? S S = Czy statystya S N ( µ, σ ) Nech 9 9 = =, T = jest estymatorem eobcążoym dla 3* Nech L( ) będze fucją cągła, tóra ma perwszą drugą pochodą cągłą dla ( a, b) ( a, b R; w szczególośc może to być esończoość) Poadto załadamy, że lm L( ) lm L( ) a b L( ) > 0 dla ażdego ( a, b) Poazać, że ˆ ( a, b) jest masmum dla L( ), gdy jest masmum dla l L( ) są sończoe oraz wtedy tylo wtedy, 33* Zmea losowa ma rozład geometryczy z parametrem : P ( = ) = ( ), dla = 0,,, Oblcz wartość oczewaą zmeej losowej Przydate faty defcje Def (dystrybuata emprycza) Nech, będze próbą prostą z rozładu o dystrybuace F Statystyę azywamy dystrybuatą empryczą ˆ ( ) = Ι ( ) = F t t Def (statystya estymator) będze próbą z rozładu o dystrybuace F, gdze Θ Statystyą azywamy dowolą Nech, fucję wetora losowego (, ), tóra e jest fucją, czyl T = T (,, ) Estymatorem ezaego parametru azywamy dowolą statystyę T (,, ) o wartoścach w Θ, czyl T (,, ) : R Θ Def 3 (Estymator eobcążoy) ˆ = ˆ(,, ) będze estymatorem parametru uzysaym a podstawe próby, E ˆ(,, ) = Nech Powemy, że estymator ˆ jest eobcążoy, jeśl Metoda mometów Metoda mometów polega a przyrówau mometów rozładu teoretyczego (tóre zależą od ezaych parametrów) do odpowedch mometów empryczych Powstałe w te sposób rówaa rozwązujemy ze względu a ezae parametry Oczywśce ależy ułożyć tyle rówań, le jest szacowaych parametrów 3

4 Przyład Nech, będze próbą z rozładu wyładczego o ezaym parametrze Poeważ jest tylo jede ezay parametr węc wystarczy am tylo jedo rówae Posłużymy sę perwszym mometem zwyłym Nasze rówae przyjmuje węc postać = EY, gdze Y ~ Exp( ) Poeważ EY =, to estymator uzysay metodą mometów wyos ˆ = Metoda watyl Metoda watyl jest aalogcza do metody mometów polega a przyrówau watyl empryczych (wyzaczoe a podstawe prób) do teoretyczych Metoda ajwęszej warogodośc będze próbą z rozładu zmeej losowej zależącego od parametru R Nech, Przez p ozaczamy gęstość zmeej losowej, w przypadu, gdy jest oa cągłą zmeą losową lub fucję prawdopodobeństwa, jeśl jest dysretą zmeą losową Fucję warogodośc defujemy w astępujący sposób: L( ) = f (,, ), gdze f (,, ) jest łączą gęstoścą wetora losowego (, ) Estymator ajwęszej warogodośc parametru a podstawe próby losowej,, to tae ˆ = ˆ(,, ) dla tórego fucja warogodośc przyjmuje masmum, czyl: L( ˆ ) = sup L( ) W pratyce ˆ jest wyzaczae w oparcu o astępujący fat, tóry zacze upraszcza oblczea rachuowe: fucja L( ) osąga masmum w tych samych putach co fucja l L( ) Przyład Nech, będze próbą prostą z rozładu wyładczego o ezaym parametrze, gdze > 0 Metodą ajwęszej warogodośc wyzaczymy estymator parametru Zaczyamy od zdefowaa fucj warogodośc: L( ) f (,, ) f ( ) f ( ) ( e ) e = = = = = = Sorzystalśmy z założea, że zmee losowe, są ezależe rozład łączy rówa sę loczyow rozładów brzegowych Następe sorzystamy z fatu, że L( ) osąga masmum w tym samym puce co l L( ) Czyl zadae sprowadza sę do zalezea masmum fucj: = l( ) = l L( ) = l[ e ] = l = W tym celu lczymy pochodą fucj l( ) przyrówujemy ją do zera: ˆ l ( ) = = 0 = = Pozostaje uzasadć, ż rzeczywśce jest to masmum Moża to zrobć a dwa sposoby Perwszy polega a polczeu drugej pochodej sprawdzeu, że l ( ) l ( ) ( ) 0, l ( ˆ ) < 0 = = < bo > 0 jao średa arytmetycza z lczb dodatch ( pochodzą z rozładu wyładczego, tóry jest oreśloy a R + ) Poadto L( ) jest fucją cągła, L (0) = 0, lm L( ) 0, = co ozacza, że zalezoe masmum loale jest masmum globalym Moża też proścej: L( ) jest fucją cągła, L (0) = 0, lm L( ) = 0 oraz L( ) > 0 dla R + mus steć ta put R, Θ + Czyl w tórym fucja L( ) przyjmuje masmum globale Puty podejrzae to puty w tórych zeruje sę perwsza pochoda fucj l( ), a poeważ w aszym zadau jest tylo jede ta put, to mus być o masmum globalym! Warto podreślć, że metoda ajwęszej warogodośc bardzo łatwo uogóla sę a przypade welowymarowy (tz szacujemy wetor ezaych parametrów - R ) Rozwązae tego typu zadaa 4

5 sprowadza sę do przyrówaa do zera pochodych cząstowych logarytmu fucj warogodośc: l( ) = 0 dla j =,,, j Jeżel celem aszej aalzy jest wyzaczee estymatora ajwęszej warogodośc (ENW) dla g( ), gdze g ENW ( g( )) = g( ˆ ), gdze ˆ = ENW ( ) jest pewą zaą fucją, to 5