L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH"

Transkrypt

1 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze dotyczą p. typu rozkładu, WERYFIKACJA IPOTEZ PARAMETRYCZNYC TESTY DOTYCZĄCE JEDNEGO PARAMETRU X cecha populacj, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hpotezy: zerową podstawową θ = θ alteratywą, która ma ajczęścej jedą z astępujących postac θ >, θ <, θ θ θ θ Obok szacowaa ezaego parametru często teresuje as sprawdzee hpotezy dotyczącej tego parametru. potezę podstawową ależy postawć przed pobraem próby często wyka oa z wartośc ormatywej p. sprawdzae czy opakowaa cukru mają omalą wagę kg lub głoszoej op p., że 6% rozpatrywaej populacj weźme udzał w wyborach. Podstawową rolę odgrywa hpoteza zerowa θ = taką hpotezę azywamy prostą wskazuje θ a kokretą wartość parametru. Rola hpotezy alteratywej jest pomoccza też może być hpotezą prostą. Postępowae przy weryfkacj powyższych hpotez jest astępujące Wyberamy pewą statystykę U o rozkładze zależym od parametru θ oraz pewą lczbę α z przedzału, wyzaczamy podzbór K zboru lczb rzeczywstych tak by spełoy był waruek K θ = θ = α P U czyl aby prawdopodobeństwo, ż statystyka U przyjme wartość ze zboru K, przy założeu, że prawdzwa jest hpoteza zerowa było rówe α. Poberamy próbę oblczamy wartość u statystyk U 3 Podejmujemy decyzję gdy gdy Uzasadee: potezę odrzucamy gdy u K odrzucamy, u K przyjmujemy e ma podstaw do odrzucea. u K bowem prawdopodobeństwo zajśca zdarzea U K jest bardzo małe przy założeu, że prawdzwa jest hpoteza skoro take zdarzee dla pobraej próby zaszło, ależy sądzć, że założee o prawdzwośc hpotezy było esłusze przyjęte. Termologa U sprawdza statystyka testująca, K zbór krytyczy zbór odrzuceń, α pozom stotośc typowe wartośc α :,;,5;,. αˆ krytyczy pozom stotośc pozom stotośc przy którym astępuje zmaa decyzj.

2 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Błędy decyzj w teśce sprawdzającym hpotezę. Decyzja Przyjmujemy Odrzucamy - prawdzwa Decyzja właścwa Błąd I rodzaju - fałszywa Błąd II rodzaju Decyzja właścwa Prawdopodobeństwo popełea błędu I rodzaju wyos: Prawdopodobeństwo popełea błędu II rodzaju wyos: P U P U K = α K = β Testy do weryfkacj hpotez o wartośc oczekwaej I. Cecha X populacj ma rozkład ormaly Nm,, jest zae poteza zerowa m = m poteza SprawdzaU Zbór krytyczy K Wyzaczae Nr testu alteratywa lczby k m > m < k ; Φk = α m < m X m ; k > Φk = α m / ; k > < k ; α m Φ k = 3 II. Cecha X populacj ma rozkład ormaly Nm,, e jest zae. poteza zerowa m = m poteza Sprawdza Zbór krytyczy K Wyzaczae lczby k Nr testu alteratywa U m > m < k ; P T α k = 4 m < m X m ; k > P T k = α 5 S / m ; k > < k ; P T k = α 6 m III. Cecha X populacj ma dowoly rozkład, próba jest lcza > 6. poteza zerowa m = m poteza Sprawdza Zbór krytyczy K Wyzaczae Nr testu alteratywa U lczby k m > m < k ; Φk = α 7 X m m < m S / ; k > Φk = α 8 m m ; k > < k ; α Φ k = 9

3 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Test do weryfkacj hpotezy o prawdopodobeństwe sukcesu Cecha X populacj ma rozkład zerojedykowy P X = = p, P X = = p, p ; poteza zerowa p = Próba lcza > poteza p Sprawdza U Zbór krytyczy K Wyzaczae Nr testu alteratywa lczby k p > p W p < k ; Φk = α p < p p ; k > Φk = α p p p W średa lczba sukcesów ; k > < k ; Test do weryfkacj hpotez o odchyleu stadardowym Cecha X populacj ma rozkład ormaly Nm,. poteza zerowa = α Φ k = poteza Sprawdza Zbór krytyczy K Wyzaczae lczb Nr testu alteratywa U k l > < k ; P Y k = α 3 S < ; k > P Y k = α 4 Uwaga: dla >3 moża stosować statystykę o rozkładze N,. ; k > < l ; Y l = α / P P S U = Y k = α / 5 TESTY DO PORÓWNYWANIA PARAMETRÓW Testy do porówywaa wartośc oczekwaych Badae są dwe cechy X Y różych populacj. Zakładamy, że cechy te są zmeym losowym ezależym. Z populacj, w której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomast z drugej populacj pobrao próbę elemetową.. Cechy X Y mają rozkłady ormale odpowedo N m,, N m,, przy czym odchylea stadardowe są zae. poteza zerowa m = poteza alteratywa m Sprawdza U Zbór krytyczy K Wyzaczae lczby k Nr testu m > X Y < k ; Φ = α m + m < ; k > m k 6 Φk = α 7 m m ; k > < k ; α Φ k = 8 3

4 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE. Cechy X Y mają rozkłady ormale odpowedo N m,, N m,, przy czym odchylea stadardowe obu cech są sobe rówe e są zae. poteza zerowa m = m poteza U alteratywa Sprawdza Zbór krytyczy K m > X Y < ; m m < ; k > m S + S + + Wyzaczae lczby k P T = + k k α P T + k = α Nr testu 9 m m ; k > < k ; P T + k = α Welkość S + S = azywamy waracją populacj. + S p + 3. Cechy X Y mają rozkłady dowole o wartoścach oczekwaych m, m, przy czym próby są lcze,, > 8. poteza zerowa m = m poteza alteratywa Sprawdza U Zbór krytyczy K Wyzaczae lczby k Nr testu m > X Y < k ; Φ = α m S S + m < ; k > m k Φk = α 3 m m ; k > < k ; α Φ k = 4 4

5 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Test do porówywaa prawdopodobeństw sukcesu. Badae są dwe cechy X Y różych populacj o rozkładach zerojedykowych, P X = = p, P X = =, P Y = = p, P Y = =, p p Z populacj, której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomast z drugej populacj pobrao próbę elemetową. Obe próby są lcze, >. poteza zerowa: p = p poteza alt. Sprawdza U Zbór krytyczy K Wyzaczae p p p p p Nr testu lczby k p > W W < k ; Φk = α 5 < + ; k > Φk = α W W 6 ; k > < k ; α Φ k = 7 W, W średe lczby sukcesów w poszczególych próbach, W = k /, W = k /, W = k + k / + - średa lczba sukcesów w połączoych próbach, W = + W + W + Test do weryfkacj hpotez o porówywau waracj Cechy X Y mają rozkłady ormale odpowedo N m,, N m,. Z populacj, w której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomast z drugej populacj pobrao próbę elemetową. Tak doberamy ozaczea populacj aby Sˆ ˆ poteza zerowa = S poteza SprawdzaU Zbór krytyczy K Wyzaczae alteratywa lczby k S ˆ P F ; k = α > ˆ < k ; S F - rozkład Sedecora Nr testu 8 5

6 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Przykład Według daych produceta, określoy typ samochodu zużywał l /km. Po dokoau pewych uspraweń w tym type samochodu oczekuje sę, że zużyce palwa spade. Aby to sprawdzć dokoao pomaru zużyca palwa w 5 losowo wybraych samochodach tego typu po moderzacj otrzymao wyk x = 9, 5 3 l/km. Zakładając, że zużyce palwa ma rozkład ormaly Nm, sprawdzć czy moderzacja stote zmejszyła zużyce palwa. Przyjąć α =,5. Rozwązae Zastosujemy test. m =, m, < α =,5 zatem Φk = α =,95 stąd k =,64 Zbór krytyczy K = ;,64> Wartość statystyk 9,3 u = 5 =,75 terpretacja grafcza: Poeważ u K to hpotezę odrzucamy. Zatem zmay kostrukcyje stote zmejszyły zużyce palwa. Oblczymy dla jakch wartośc średej z próby 5 elemetowej decyzja byłaby taka sama: x 5 <,64 x < 9, 34 Zatem dla x < 9, 34 wartość u ależy do zboru krytyczego K. Wyzaczymy krytyczy pozom stotośc αˆ. Φ,75 = αˆ,96 stąd αˆ,4 Zatem dla α <,4 podjęlbyśmy ą decyzję. Zauważmy, że odrzucając hpotezę arażamy sę a popełee błędu I rodzaju prawdopodobeństwo jego popełea wyos,5. 6

7 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Przykład Dokładość pracy obrabark sprawdza sę wyzaczając odchylee stadardowe średcy toczoego detalu, powo oo wyosć =,. Zmerzoo średce mm losowo wybraych detal otrzymao:,6; 99,6;,;,;,3;,; 99,9;,;,4;,6;,5 Zakładając, że średce detal mają rozkład ormaly, sprawdzć a podstawe powyższych daych, że obrabarka ma pożądaą dokładość. Przyjąć pozom stotośc,5. Rozwązae Zastosujemy test 3. =,,,, α =,5 > Zbór krytyczy K = <8,37; Oblczamy: x =, s =,9 Wartość statystyk,9 u = = 5,4 terpretacja grafcza: Poeważ u K to hpotezę odrzucamy. Zatem ależy sądzć, że obrabarka ma gorszą dokładość ż pożądaa. Wyzaczymy krytyczy pozom stotośc αˆ. Y 5 αˆ,5 = Zatem dla α <,5 podjęlbyśmy ą decyzję. 7

8 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Przykład Dwe brygady produkują detale. Z part detal wyprodukowaych przez I brygadę wylosowao szt. wśród ch było braków. Z part detal wyprodukowaych przez II brygadę wylosowao 9 szt. wśród ch było 3 braków. Na pozome stotośc α =,5 sprawdzć hpotezę, że odsetek braków w I brygadze jest ż ższy ż w II brygadze. Rozwązae. Zastosujemy test 6. p = p, p <, α =, p Zbór krytyczy K = ;,33> Oblczamy: w = / ; w = 3 / 9 w = 5 /9 Wartość statystyk u =,8 terpretacja grafcza:, -,33 -,8 Poeważ u K to e ma podstaw do odrzucea hpotezy. Ozacza to, że w gracach błędu statystyczego obe brygady mają te sam odsetek braków. Wyzaczymy krytyczy pozom stotośc αˆ. Φ,8 = αˆ,96485 stąd αˆ,35. Zatem dla α >,35 podjęlbyśmy ą decyzję. 8

9 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY NIEPARAMETRYCZNE TEST ZGODNOŚCI Test zgodośc χ poteza zerowa Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuace F. poteza alteratywa Cecha X populacj e ma rozkładu o dystrybuace F. Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu χ przebega astępująco: Poberamy lczą próbę >8. Prezetujemy ją w szeregu rozdzelczym klasowym w r klasach. Oblczamy a podstawe próby wartośc estymatorów ajwększej warygodośc ezaych l parametrów. Np. dla rozkładu ormalego l =, dla rozkładu Possoa l =, dla rozkładu jedostajego w daym przedzale l =. 3 Przyjmujemy, że cecha X ma rozkład o dystrybuace F. 4 Dla każdego przedzału klasowego A a a =,,..., r oblczamy =< ; + prawdopodobeństwo p = P X A = P a X < a+ = F a+ F a perwszy przedzał rozcągamy w lewo do ; ostat w prawo do +. 5 Oblczamy r r p ˆ u = = = p = ˆ gdze jest lczeboścą klasy A, atomast ˆ = p jest jej lczeboścą teoretyczą wykającą z przyjęca, że hpoteza jest prawdzwa. Zauważmy, że r r = = = lczebośc zaobserwowae emprycze, ˆ = ˆ lczebośc oblczoe przy założeu, że jest prawdzwa, teoretycze, Gdy te lczebośc ewele różą sę od sebe względe to wartość statystyk będze ewelka, w przecwym przypadku ależy oczekwać dużej wartośc statystyk. 6 Wyzaczamy zbór krytyczy prawostroy K = < k ;, gdze k wyzaczamy z tablcy rozkładu χ z r l stopam swobody dla prawdopodobeństwa α rówemu pozomow stotośc. 7 Podejmujemy decyzję: odrzucamy hpotezę, gdy u K przyjmujemy hpotezę, gdy u K Uwaga. Perwsza ostata klasa szeregu rozdzelczego powy meć postać A = ; a, A r =< a r ; do każdej z ch powo ależeć co ajmej 5 elemetów próby. Do pozostałych klas powo ależeć co ajmej elemetów próby. Klas e może być mej ż 4. Przykład Badao lczbę awar systemu komputerowego cecha X populacj. W cągu tygod zarejestrowao astępujące lośc awar: Lczba awar 3 4 Lczba tygod Na pozome stotośc α =,5 sprawdź czy rozkład awar ma rozkład Possoa. hpotezy: 9

10 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Cecha X populacj ma rozkład Possoa Cecha X populacj e ma rozkładu Possoa. Nezaym parametrem jest λ l =. p p p p 4,3,3,89 3 3, ,47, ,5 5,, ,55,55, ,657 6,57, suma 5,949 Estymatorem parametru λ jest średa jej wartość to suma trzecej kolumy podzeloa przez lczebość próby; zatem przyjmemy, że λ,5, Jak wdać lczebośc teoretycze są zblżoe do lczebośc zaobserwowaych, możemy węc przewdywać, że e będze podstaw do odrzucea przypuszczea, że lczba awar ma rozkład Possoa. W podoby sposób moża by porówywać częstośc względe poszczególych waratów prawdopodobeństwa odczytae z tablcy. u =,3 suma ostatej kolumy. Wyzaczamy zbór krytyczy prawostroy K = < k;. Lczbę k odczytujemy z tablcy rozkładu stop swobody prawdopodobeństwa α =,5. Mamy k = 7,85, węc K = < 7, 85;. Iterpretacja grafcza: χ dla r l = 5 = 3

11 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Poeważ u =,788 K, węc hpotezę, że cecha ma rozkład Possoa przyjmujemy. Wyzaczymy krytyczy pozom stotośc αˆ. Ρ Y 3 >, 3 = αˆ,75 Zatem dla α >,75 podjęlbyśmy ą decyzję. TEST NIEZALEŻNOŚCI Test ezależośc χ Rozpatrujemy badae rówocześe dwe cechy X Y e muszą być merzale. Sprawdzamy hpotezę: X, Y są ezależe, α pozom stotośc. Próbę losową elemetową 8 zapsujemy w postac tablcy podzał a waraty powe być tak aby j 8: y y... y l x... l X x... l x k k k... kl k j... l Y sumy werszy, j sumy kolum, j lczebość -tego waratu dla cechy X oraz j-tego waratu dla cechy Y. Na podstawe próby oblczamy wartość statystyk * u = k l j ˆ j = j= rozpatrywaa statystyka ma rozkład Y k - l - gdze j suma - tego ˆj = = ˆ j wersza suma j - tej lczebość próby kolumy Zbór krytyczy ma postać K = k; ; gdze P Y k - l - k = α Jeśl u K to odrzucamy, w przecwym przypadku e ma podstaw do odrzucea.

12 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Uwaga W przypadku gdy cechy X Y mają tylko po dwa waraty to rozpatrywaa tablca ma postać tzw. tablca czteropolowa: Y X A B A+B C D C+D A+C B+D Statystyka U ma wtedy postać: ma rozkład Y. U = AD BC A + B A + C B + D C + D Uwaga Welkość T = U k l azywamy współczykem Czuprowa T < ; >. Welkość V = U m gdze m = mk, l azywamy współczykem Cramera V < ; >. Współczyk te mogą służyć do ocey sły zależośc mędzy cecham awet w przypadku cech emerzalych. Przykład W celu zweryfkowaa hpotezy, że studetk pewej uczel lepej zdają egzamy ż studec, wylosowao próbę = 8 studetek studetów otrzymao astępujące wyk zalczea letej sesj egzamacyjej: SESJA STUDENTKI STUDENCI ZALICZONA 75 5 NIEZALICZONA 55 5 Na pozome stotośc α =, sprawdzć hpotezę o ezależośc wyków egzamacyjych od płc. Rozwązae Wyzaczamy wartość statystyk korzystając z daych zawartych w tablcy czteropolowej: u =, 84 K =, 76; zatem e ma podstaw do odrzucea hpotezy o ezależośc.

13 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE ZADANIA Zadae Waga paczk mąk jest zmeą losową X o wartośc oczekwaej m odchyleu stadardowym. Z part mąk wybrao losowo paczek oblczoo, że x =,998 kg, s =,5 kg. Na pozome stotośc, sprawdź hpotezy m =,, m <,, Ile wyos krytyczy pozom stotośc? Zadae Na pudełkach zapałek jest aps: przecęte 48 zapałek. Z part zapałek pobrao próbę pudełek oblczoo, że średa lczba zapałek w pudełku jest rówa 47,5 szt. a odchylee stadardowe w tej próbe jest rówe 3 szt. Zakładamy, że rozkład lczby zapałek w pudełku jest Nm,. Na pozome stotośc α =, ustalć czy aps a pudełku jest zgody z rzeczywstoścą. Ile wyos krytyczy pozom stotośc? Zadae 3 Sodaż op publczej a temat frekwecj w zblżających sę wyborach wykazał, że w losowo wybraej grupe 5 osób 3 zamerza uczestczyć w głosowau. Czy a pozome stotośc rówym,5 moża przyjąć, że poad 6% ogółu osób zamerza wząć udzał w wyborach? Ile wyos krytyczy pozom stotośc? Zadae 4 Wadomo, że mesęcze zużyce eerg elektryczej w gospodarstwe rodzym pewego masta jest zmeą losową X o rozkładze ormalym Nm, 3 kwh. Na podstawe próby 5 elemetowej oblczoo, że x 5 = 86 kwh. a Na pozome stotośc, sprawdź hpotezy m = 7, m > 7 b Na pozome stotośc,5 sprawdź hpotezy m =, m < c Na pozome stotośc,5 sprawdź hpotezy m = 8, m 8 Zadae 5 Wysuęto hpotezę, że Studec AM palą paperosy rzadzej ż studec AWF. W celu jej sprawdzea wylosowao po studetów z każdej z uczel zapytao ch czy palą. W grupe studetów AM paperosy palło 34 osób, w grupe studetów AWF 38 osób. a a pozome stotośc rówym, zweryfkować prawdzwość postawoej hpotezy. b przy jakm pozome stotośc podjęta decyzja może ulec zmae? Zadae 6 Czas przepsywaa jedej stroy przez maszystkę cecha X jest zmeą losową o rozkładze ormalym. Wylosowao próbę 9 maszystek otrzymao średą 7 mut odchylee stadardowe muty. Czy a pozome stotośc α =, moża twerdzć, że śred czas przepsywaa jedej stroy przez maszystk jest wyższy ż 5 mut tyle wyos orma? Ile wyos krytyczy pozom stotośc? Zadae 7 Zakłada sę, że rozkład średcy produkowaych tów jest rozkładem ormalym o odchyleu stadardowym, mm. Dokoao pomarów średcy losowo wybraych tów, otrzymując warację,5 mm. Przyjmując pozom stotośc rówy,; 3

14 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE zweryfkować hpotezę, że faktycza waracja średcy tów jest zgoda z zakładaą ormą. Ile wyos krytyczy pozom stotośc? Zadae 8 Badaą cechą jest czas śwecea żarówek. Dwe detycze maszyy produkują żarówk. Wylosowao po żarówek z produkcj poszczególych maszy oblczoo, że: x = 63, = 59 x = x x =, x, x 86, 84 Zakładając, że badae cechy mają rozkłady ormale sprawdzć czy a pozome stotośc,5 moża uzać, że śred czas śwecea żarówek produkowaych przez obe maszyy jest tak sam. Ile wyos krytyczy pozom stotośc? wsk. moża przyjąć, że waracje są sobe rówe bo detycze maszyy. Zadae 9 W zbadaej losowo próbe pracowków frmy A średe dochody w cągu mesąca wyosły PLN z odchyleem stadardowym rówym 3 PLN. W -elemetowej próbe pracowków frmy B średe dochody wyosły 9 PLN, a odchylee stadardowe PLN. a Czy otrzymae wyk potwerdzają przypuszczee, że średe dochody w frme A są wyższe ż w frme B. Przyjąć pozom stotośc rówy,5. b Wyzacz krytyczy pozom stotośc. Zadae Ryzyko akcj merzymy waracją cey zróżcowae cey w określoym czase. Zbadao w cągu 5 otowań cey akcj frm F F oblczoo, że odchylee stadardowe w tym okrese wyos 6 zł dla F 5 zł dla F. Zakładając, że rozkład ce akcj jest ormaly, sprawdź a pozome stotośc,5, czy ryzyko dla akcj frmy F jest stote wększe ż dla F. Zadae Losowa próba = ezależych obserwacj mesęczych wydatków a żywość rodz 3-osobowych dała astępujący rozkład tych wydatków w tys. zł: Wydatk,,4,4,8,8,,,6,6 3, Lczba rodz Należy a pozome stotośc =,5 zweryfkować hpotezę, że rozkład wydatków a żywość jest ormaly. Wyzaczyć krytyczy pozom stotośc. Zadae Badae losowo wybraych czteroosobowych gospodarstw domowych pod względem mesęczych wydatków a żywość dostarczyło astępujących daych: x = 3 PLN s = 65 PLN;. 4

15 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Mesęcze wydatk Lczba gospodarstw ˆ ˆ ,6,64,, Oblczając brakujące dae, a pozome stotośc,5 zweryfkować hpotezę, że wydatk a żywość w 4 osobowych gospodarstwach domowych mają rozkład ormaly. Wyzaczyć krytyczy pozom stotośc. Zadae 3 W celu sprawdzea czy wyk testu mają rozkład ormaly wylosowao studetów wyzaczoo lczebośc teoretycze dla poszczególych klas wyków testu zestawoo je z lczeboścam zaobserwowaym: Lczebośc zaobserwowae Lczebośc teoretycze Czy a pozome stotośc α =, moża twerdzć, wyk testu mają rozkład ormaly? Przy jakm pozome stotośc podjęta decyzja ulege zmae? Zadae 4 Przez 5 d rejestrowao w pewym meśce lczbę pożarów : Lczba pożarów 3 4 Lczba d Na pozome stotośc,5 sprawdzć hpotezę, że lczba pożarów ma rozkład Possoa. Wyzacz krytyczy pozom stotośc. Zadae 5 W pewym meśce rejestrowao w cągu kolejych d tygoda lczbę kolzj drogowych: Poedzałek Wtorek Środa Czwartek Pątek Sobota Nedzela Na pozome stotośc, sprawdzć hpotezę, że lczba kolzj jest jedakowa w każdym du tygoda. Przy jakm pozome stotośc ależy podjąć decyzję przecwą? Zadae 6 W grupach studetów zarejestrowao astępujące lośc oce edostateczych po egzame ze statystyk: Nr grupy Lczba oce dst Na pozome stotośc,5 sprawdzć hpotezę, że rozkład oce edostateczych w tych grupach jest rówomery. Przy jakm pozome stotośc ależy podjąć decyzję przecwą? 5

16 L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Zadae 7 W celu sprawdzea hpotezy, że cecha X ma rozkład o fukcj prawdopodobeństwa 3 4,,,6, dokoao pomarów. Otrzymao astępujące dae x Na pozome stotośc α =,5 sprawdzć postawoą hpotezę. Przy jakm pozome stotośc podjęta decyzja ulege zmae? Zadae 8 W celu sprawdzea hpotezy, że młodzeż męska osząca kolczyk ma gorsze wyk w auce, wylosowao próbę 49 uczów otrzymao astępujące dae: WYNIKI W NAUCE MŁODZIEŻ MĘSKA ZŁE DOBRE NOSZĄCA KOLCZYKI 5 43 BEZ KOLCZYKÓW 95 3 Na pozome stotośc α =,5 sprawdzć hpotezę o ezależośc wyków w auce od oszea kolczyków przez młodzeż męską. Wyzacz krytyczy pozom stotośc. Oblcz współczyk Cramera. Zadae 9 Pewe produkt moża wytworzyć trzema metodam produkcj. Wysuęto hpotezę, że wadlwość produkcj e zależy od metody produkcj. Wylosowao ezależe próbę 7 sztuk wyrobu otrzymao astępujące wyk badaa jakośc dla poszczególych metod: METODA PRODUKCJI JAKOŚĆ I II III DOBRA ZŁA 6 Na pozome stotośc α =,5 sprawdzć hpotezę o ezależośc jakośc produkcj od metod produkcj. Wyzacz krytyczy pozom stotośc. Oblcz współczyk Cramera Czuprowa. Zadae Wykształcee wybraych pracowków frmy było astępujące: Wykształcee mężczyź kobety Wyższe Średe Podstawowe Czy moża stwerdzć, że mędzy wykształceem pracowków a ch płcą e ma stochastyczej ezależośc? Przyjąć pozom stotośc,5. Jak sly jest te zwązek? Wyzacz krytyczy pozom stotośc. Oblcz współczyk Cramera Czuprowa. L.Kowalsk.6. 6

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10) Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta

Bardziej szczegółowo

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2 Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7 6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o 1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s

Bardziej szczegółowo

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego

Bardziej szczegółowo

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np. Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce. Metody probablstycze statystyka Wykład 7: Statystyka opsowa. Rozkłady prawdopodobestwa wystpujce w statystyce. Podstawowe pojca Populacja geerala - zbór elemetów majcy przyajmej jed włacwo wspól dla wszystkch

Bardziej szczegółowo

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem

Bardziej szczegółowo

Średnia harmoniczna (cechy o charakterze ilorazu np. Prędkość, gęstość zaludnienia)

Średnia harmoniczna (cechy o charakterze ilorazu np. Prędkość, gęstość zaludnienia) Mary przecęte Średa arytmetycza Dla szeregu rozdzelczego cechy skokowej x k x k Średa harmocza (cechy o charakterze lorazu p. Prędkość, gęstość zaludea) x H k x Średa geometrycza x x x... G x średa arytmetycza

Bardziej szczegółowo

Nieparametryczne Testy Istotności

Nieparametryczne Testy Istotności Neparametryczne Testy Istotnośc Wzory Neparametryczne testy stotnośc schemat postępowana punkt po punkce Formułujemy hpotezę główną odnoszącą sę do: zgodnośc populacj generalnej z jakmś rozkładem, lub:

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna Aalza zależośc Rodzaje zależośc mędzy zmeym występujące w praktyce: Fukcyja wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej astępuje ścśle określoa zmaa wartośc drugej zmeej (p. w fzyce: spadek swobody gt s ) tochastycza

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii. TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja

Bardziej szczegółowo

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =? Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay

Bardziej szczegółowo

65120/ / / /200

65120/ / / /200 . W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Parametryczne Testy Istotności

Parametryczne Testy Istotności Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych przedziały ufności

Statystyczna analiza danych przedziały ufności 07-- Probablstyka statystyka Statystycza aalza daych przedzały ufośc Wykład 7 dr ż. Barbara Swatowska Wstęp Podstawowe cele aalzy zborów daych Uogóloy ops poszczególych cech/zeych statystyka opsowa; aalza

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

O testowaniu jednorodności współczynników zmienności

O testowaniu jednorodności współczynników zmienności NR 6/7/ BIULETYN INSTYTUTU HODOWLI I AKLIMATYZACJI ROŚLIN 003 STANISŁAW CZAJKA ZYGMUNT KACZMAREK Katedra Metod Matematyczych Statystyczych Akadem Rolczej, Pozań Istytut Geetyk Rośl PAN, Pozań O testowau

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version  WIII/1 Statystyka opsowa Statystyka zajmuje sę zasadam metodam uogólaa wyków otrzymaych z próby losowej a całą populację (czyl zborowość, z której została pobraa próba). Take postępowae azywamy woskowaem statystyczym.

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH

PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH INSTYTUT HODOWLI I AKLIMATYZACJI ROLIN PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH MATERIAY SZKOLENIOWE Dr hab. Zbgew Laudask, prof. adzw. Katedra Bometr Wydza Rolctwa Bolog SGGW Warszawa

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU Haa Dudek a, Moka Dybcak b a Katedra Ekoometr Iformatyk SGGW b studetka Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr e-mal: hdudek@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego

Bardziej szczegółowo

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2. Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

KARBOWNICZEK Dagmara doktorantka, mgr inż. ; LEJDA Kazimierz ; prof. dr hab. inż. Politechnika Rzeszowska, Katedra Silników Spalinowych i Transportu

KARBOWNICZEK Dagmara doktorantka, mgr inż. ; LEJDA Kazimierz ; prof. dr hab. inż. Politechnika Rzeszowska, Katedra Silników Spalinowych i Transportu НАЦІОНАЛЬНИЙ ТРАНСПОРТНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 1 013 KARBOWNICZEK Dagmara doktoratka, mgr ż. ; LEJDA Kazmerz ; prof. dr hab. ż. oltechka Rzeszowska, Katedra Slków Spalowych Trasportu ANALIZA WSKAŹNIKA GŁĘBOKOŚCI

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

Funkcja wiarogodności

Funkcja wiarogodności Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematycza Aa Jacka wykład II, 9.0.06 STATYSTYKA OPISOWA, cz. II WSTĘP DO STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Pla a dzsaj. Statystyka opsowa, cz. II: mary położea dokończee mary zróżcowaa mary asymetr

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE Cel Przedstawee wybraych testów statystyczych zasad wyboru właścwego testu przeprowadzea go oraz terpretac wyów. Wprowadzee teoretycze Testem statystyczym azywamy metodę

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo