Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Transkrypt

1 Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma, symbol to tzw wsaźi sumowaia, liczba to doly wsaźi sumowaia, a liczba to góry wsaźi sumowaia Prawdziwe są p rówości: 4 a , Wsaźi sumowaia moża ozaczać dowolą literą Mamy p a a i i a j j a r r Poadto wsaźii sumowaia doly m i góry mogą być dowolymi liczbami całowitymi taimi, że m Mamy p oraz 8 ( + ) ( ) 3 + ( ) Przeształcając wyrażeia zawierające sumy o dowolej liczbie sładiów, orzysta się z ważych własości taich sum Przedstawimy tu ajważiejsze z ich Własość Dla dowolych liczb a,, a, c zachodzi rówość c a ca Powyższa własość wyia z rozdzielości możeia względem dodawaia liczb Własość Dla dowolych liczb całowitych r, s, t spełiających warue r s < t zachodzi rówość t a r s a + r t a () s+

2 Przy powyższych ozaczeiach zachodzą bowiem rówości: t a (a r + + a s ) + (a s+ + + a t ) r s t a + a r s+ Własość 3 Dla dowolych liczb m,, r Z taich, że m zachodzi rówość a m +r m+r a r () Przy powyższych ozaczeiach zachodzą bowiem rówości: +r m+r a r a (m+r) r + a (m+r+) r + + a (+r) r a m + a m+ + + a a Rozpatrzmy astępującą prostoątą tablicę liczb czyli tzw macierz a a a a a a a m a m a m Liczby tworzące tę macierz azywamy jej elemetami Rzędy poziome tej macierzy azywamy wierszami, a rzędy pioowe azywamy olumami Każdy elemet tej macierzy ma dwa idesy Pierwszy jest umerem wiersza, w tórym zajduje się te elemet, a drugi jest umerem olumy Dla ażdego i {,, m} suma elemetów stojących w i-tym wierszu jest rówa a ij Wobec tego suma wszystich elemetów macierzy jest rówa j m ( ) a ij i Podobie dla ażdego j {,, } suma elemetów stojących w j-tej olumie jest rówa j m a ij, a suma wszystich elemetów aszej macierzy jest rówa i ( m ) a ij j i m

3 Porówując otrzymae sumy i opuszczając awiasy, otrzymujemy poiższą Własość 4 Dla dowolych liczb aturalych m i oraz liczb a ij, gdzie i {,, m}, j {,, } zachodzi rówość m a ij i j m a ij (3) j i Powyższy związe moża wyrazić astępująco: w sumach podwójych moża zmieiać olejość sumowaia Własość tę mają rówież sumy potróje i ogólie l-rote, gdzie l N \ {} Iloczy a a a zapisujemy w postaci (czytaj: iloczy od do a ) Za Π to duża greca litera pi, symbol to tzw wsaźi iloczyu, liczba to doly wsaźi iloczyu, a liczba to góry wsaźi iloczyu Mamy p 7 (3 + ) Prawdziwe są odpowiedii iloczyowe podaych wyżej własości,, 3 i 4 Zadaie Obliczyć: a) 5 ; b) 6 j4 j Odpowiedź: a) 6; b) a Zadaia obowiązowe Zadaie Za pomocą zau Σ zapisać astępującą sumę: a) ; b) 5! + 6! + 7! + 8! + 9! 8 Odpowiedź: a) Na przyład Zadaie 3 Daa jest macierz i Π: 9 ; b) p! 5 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Zapisać dae wyrażeie bez użycia symboli Σ 3

4 a) a ij ; b) a ij ; c) a ij i j j i j i4 j Szic rozwiązaia Ad a) Zgodie z przyjętymi umowami zachodzą rówości: ( 3 ) 3 a ij a ij (a i + a i + a i3 ) i j i j i (a + a + a 3 )(a + a + a 3 )(a 3 + a 3 + a 33 ) Ad b) Podobie ja wyżej otrzymujemy rówości: ( 3 ) 3 a ij a ij a j a j a 3j j i j i j a a a 3 + a a a 3 + a 3 a 3 a 33 Ad c) Mamy tu 3 3 a ij j i4 j 3 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) a ij a i a i a i3 j i4 j i3 i i a 3 (a + a 3 )(a 3 + a 3 + a 33 ) Zadaia domowe Zadaie 4 Obliczyć: a) 7 ( ); b) Odpowiedź: a) 49; b) i 8 i + ; c) ( ) i c) 37 Zadaie 5 Za pomocą zau Σ zapisać astępującą sumę: a) si x + si x + + si x; b) a + (a + ) + (a + ) (a + ) + Odpowiedź: a) Na przyład si x; b) p i 0 (a + ) + Zadaie 6 Za pomocą zau Π zapisać astępujący iloczy Odpowiedź: Na przylad 3 Zadaie 7 Sformułować i uzasadić iloczyowe odpowiedii własości,, 3 i 4 4

5 Zadaie 8 Daa jest macierz i Π: a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Zapisać dae wyrażeie bez użycia symboli Σ a) 3 i 3 a ij ; b) j 3 3 a ij ; c) j i 3 i i a ij ; d) j 3 3 a ij ; j ij e) 3 i 3 a ij ; f) ji 3 j a ij ; g) j i 3 4 i a ij ; h) i j 3 4 i a ij ; j i i) 3 3 a ij ; j) i j4 i 3 i a ij ; ) i j 3 j 3 a ij ; l) ij 3 3 a ij ; i j4 i ł) 3 j j a ij ; m) i 3 i 3 a ij ; ) Odpowiedź: a) a a a 3 + a a a 3 + a 3 a 3 a 33 ; b) (a + a + a 3 )(a + a + a 3 )(a 3 + a 3 + a 33 ); c) a + a a + a 3 a 3 a 33 ; d) (a + a + a 3 )(a + a 3 )a 33 ; e) a a a 3 + a a 3 + a 33 ; f) a (a + a )(a 3 + a 3 + a 33 ); g) a a a 3 + a a + a 33 ; h) (a + a + a 3 )(a + a )a 3 ; i) a 3 + a a 3 + a 3 a 3 a 33 ; j) a (a + a )(a 3 + a 3 + a 33 ); ) a a a 3 + a a 3 + a 33 ; l) a 3 (a + a 3 )(a 3 + a 3 + a 33 ); ł) a + a a + a 3 a 3 a 33 ; m) (a + a + a 3 )(a + a 3 )a 33 ; ) a a a 3 + a a + a 3 ; o) (a + a + a 3 )(a + a )a 3 ji 3 4 j a ij ; o) j i 3 4 i a ij i j Zadaie 9 Daa jest macierz Dae wyrażeie zapisać za pomocą sym- boli Σ i Π: a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a) (a + a + a 3 + a 4 )(a + a + a 3 + a 4 )(a 3 + a 3 + a 33 + a 34 ); b) (a + a + a 3 )(a + a + a 3 )(a 3 + a 3 + a 33 )(a 4 + a 4 + a 34 ); c) a a a 3 a 4 + a a a 3 a 4 + a 3 a 3 a 33 a 34 ; d) a a a 3 + a a a 3 + a 3 a 3 a 33 + a 4 a 4 a Odpowiedź: a) a ij ; b) a ij ; c) a ij ; d) i j j i i j 4 3 a ij j i 5

6 Zadaie 0 Daa jest astępująca trójąta tablica liczb: a a a a 3 a 3 a 33 a a a 3 a Sumując dwoma sposobami elemety tej tablicy, wyazać rówość i a ij i j j ij a ij Zadaie Daa jest astępująca tablica liczb: a, a a a 3, a 3, a 3 a a, a, a Sumując dwoma sposobami elemety tej tablicy, wyazać odpowiedią rówość Odpowiedź: a ij a ij i j i+ j i j+ Iducja matematycza Zasadę iducji matematyczej (lub też iducji zupełej) stosuje się w dowodach liczych twierdzeń Twierdzeie (Zasada iducji matematyczej) Niech ażdej liczbie aturalej przyporządowae będzie zdaie T() i iech spełioe będą warui: o zdaie T() jest prawdziwe, o dla ażdej liczby aturalej ze zdaia T() wyia zdaie T( + ) Wówczas zdaie T() jest prawdziwe dla ażdej liczby aturalej Zasadę iducji matematyczej moża sugestywie zilustrować za pomocą odpowiedio ustawioych tablicze domia Zadaia obowiązowe Zadaie Stosując zasadę iducji matematyczej, wyazać, że dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość ( + ) (4) 6

7 Szic rozwiązaia W przyładzie tym zdaiem T() przyporządowaym liczbie aturalej jest rówość (4) Dowód iducyjy słada się z dwóch roów, polegających a sprawdzeiu waruów o i o, występujących w zasadzie iducji Kro o Zdaie T() jest prawdziwe, gdyż jest oo rówoważe ze zdaiem Kro o Niech będzie dowolą ustaloą liczbą aturalą i iech zachodzi rówość (4) Sprawdzimy, że zachodzi wtedy rówość + ( + )( + ), (5) tórą uzysuje się w wyiu podstawieia + w rówości (4) Mamy tu + + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + )( + ) Zatem a mocy zasady iducji zupełej rówość (4) jest prawdziwa dla ażdej liczby aturalej Zadaie 3 Za pomocą iducji matematyczej wyazać, że dla ażdego N zachodzi rówość ( ) + ( ) 3 (6 3) (6) Szic rozwiązaia Kro o Poieważ (6 3), więc dla rówość (6) jest prawdziwa Kro o Weźmy dowolą ustaloą liczbę aturalą i załóżmy, że zachodzi rówość (6) Wyażemy, że wtedy zachodzi też rówość + ( ) + ( ) 3 ( + )[6( + ) 3] (7) Obliczeia mogą tu przebiegać astępująco: + L ( ) + ( ) 3 ( ) + ( ) 3 + (4 + ) 3 (4 + 3) 3 (6 3) + ( ) ( ) Sorzstaliśmy tu z oczywistej rówości a a + a + + a + Dalej mamy P ( + )[6( + ) 3] ( + )( )

8 Zatem L P Wyazaliśmy więc, że istotie z rówości (6) wyia rówość (7) Na mocy zasady iducji matematyczej rówość (6) jest prawdziwa dla ażdego N Zadaie 4 Wyazać, że dla dowolych N i x R \ {} zachodzi rówość Szic rozwiązaia Poieważ zachodzą rówości + x + x + + x x+ x (8) x x (x + )(x ) x x + + x, więc dla rówość (8) jest prawdziwa Weźmy dowolą ustaloą liczbę N i załóżmy, że zachodzi rówość (8) Wyażemy, że zachodzi wtedy rówość Mamy + x + x + + x + x + x+ x (9) + x + x + + x + x + ( + x + x + + x ) + x + x+ x + x+ x+ + x + x + x+ x x Zatem rówość (9) jest prawdziwa Na mocy zasady iducji zupełej rówość (8) jest prawdziwa dla ażdego N Zadaie 5 Wyazać, że dla ażdego 3 zachodzi ierówość > 3 5 (0) Szic rozwiązaia Kro o Jeśli 3, to dowodzoa ierówość przyjmuje postać > 3 5 czyli jest rówoważa z ierówością > 36 Zatem dla 3 ierówość (0) jest prawdziwa 60 Kro o Weźmy dowolą liczbę aturalą spełiającą warue 3 i załóżmy, że zachodzi ierówość (0) Wyażemy, że wtedy > 3 5 () 8

9 Korzystając z założeia iducyjego, otrzymujemy, że ( > ) + + ( + ) + ( + ) (4 + ) ( + )( + ) ( + )( + ) > 3 5 Zatem z ierówości (0) wyia ierówość () Z zasady iducji matematyczej wyia, że ierówość (0) zachodzi dla ażdego 3 Zadaie 6 Wyazać, że dla ażdej liczby aturalej prawdziwy jest związe 4 ( ) Szic rozwiązaia Ozaczmy zdaie 4 ( ) przez T() Kro o Sprawdzamy wpierw, że prawdziwe jest zdaie T(), czyli zdaie 4 ( ) Poieważ , więc zdaie T() jest prawdziwe Kro o Weźmy dowolą liczbę aturalą i załóżmy, że prawdziwe jest zdaie T() Wyażemy, że wówczas prawdziwe jest zdaie T( + ), czyli zdaie 4 ( ) Na mocy założeia iducyjego przy pewym N zachodzi rówość Wobec tego mamy ( ) (49 8 ) Zatem zdaie T( + ) jest prawdziwe Z zasady iducji zupełej wyia, że zdaie T() jest prawdziwe dla ażdego N Zadaie 7 Wyazać, że dla ażdego 3 liczba P wszystich przeątych -ąta wypułego jest rówa ( 3)/ Szic rozwiązaia Poieważ liczba przeątych trójąta jest rówa 0, więc dla 3 dowodzoa teza jest prawdziwa Weźmy dowolą liczbę N spełiającą warue 3 i załóżmy, że dla ażdego -ąta wypułego zachodzi rówość P ( 3)/ Rozpatrzmy teraz dowoly wieloąt wypuły A A A A + o + wierzchołach Wszystimi przeątymi tego wieloąta są przeąte -ąta A A A, odcie A A i przeąte wychodzące z wierzchoła A + (w przypadu, 9

10 gdy 5, sytuację przedstawia poiższy rysue) A A 3 A 4 A 6 A A 5 Zachodzą więc rówości: P + P + + ( ) ( 3) + ( + )( ) Zatem dowodzoa rówość jest prawdziwa rówież dla liczby + Na mocy zasady iducji matematyczej żądaa teza jest prawdziwa dla ażdego 3 Uwaga Rozważaą rówość moża też udowodić w astępujący sposób ieiducyjy Poieważ z ażdego spośród wierzchołów -ąta wypułego moża poprowadzić 3 przeąte i przy tym ażda z tych przeątych jest poprowadzoa z dwóch wierzchołów, więc zachodzi rówość P ( 3)/ Zadaia dodatowe Zadaie 8 Stosując zasadę iducji matematyczej, udowodić, że dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość ( + )( + ) () 6 Szic rozwiązaia Zdaiem T() przyporządowaym liczbie aturalej jest rówość () Kro o Zdaie T() jest prawdziwe, gdyż jest oo rówoważe ze zdaiem 6 3 Kro o Niech N i iech rówość () będzie prawdziwa Sprawdzimy, że wówczas prawdziwa też jest rówość + ( + )( + )( + 3) (3) 6 0

11 Mamy tu + + ( + ) ( + )( + ) + ( + ) 6 ( + )[( + ) + 6( + )] 6 6 ( + )( ) ( + )( + )( + 3) 6 Zatem a mocy zasady iducji zupełej rówość () jest prawdziwa dla ażdej liczby aturalej Zadaie 9 Stosując zasadę iducji matematyczej, udowodić, że dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość (7 3)(7 + 4) Szic rozwiązaia Kro o Teza T() jest rówoważa ze zdaiem (7 3)(7 + 4) 4(7 + 4) 4(7 + 4) (4) czyli zdaie T() jest prawdziwe Kro o Niech N i iech rówość (4) będzie prawdziwa Sprawdzimy, że wówczas prawdziwa też jest rówość Mamy + (7 3)(7 + 4) + 4(7 + ) (5) + (7 3)(7 + 4) (7 3)(7 + 4) + (7 + 4)(7 + ) 4(7 + 4) + (7 + 4)(7 + ) (7 + ) + 4 4(7 + 4)(7 + ) (7 + 4)(7 + ) ( + )(7 + 4) 4(7 + 4)(7 + ) + 4(7 + )

12 Zatem a mocy zasady iducji matematyczej rówość (4) jest prawdziwa dla ażdej liczby aturalej Uwaga Zauważmy, że dla zalezieia rozładu wyrażeia a czyii ie było trzeba zajdować pierwiastów wielomiau 7X + X + 4 Bowiem z góry wiadomo, że w rozładzie tego wyrażeia powiie wystąpić pozostający w licziu czyi + oraz mający ulec sróceiu czyi Istotie, zachodzi rówość ( + )(7 + 4) Zadaie 0 Metodą iducji zupełej wyazać, że dla ażdego N zachodzi rówość si x si + x si x si x Uwaga Tego typu zadaia moża przerabiać w ramach ursu trygoometrii, (x π) (6) Szic rozwiązaia Jeśli, to rówość (6) jest rówoważa ze związiem si x si x, a więc jest prawdziwa Weźmy dowolą ustaloą liczbę aturalą i załóżmy, że prawdziwy jest związe (6) Wyażemy, że zachodzi wtedy rówość Mamy + si x + si x Korzystając teraz z tożsamości i z wyiającego z iej związu otrzymujemy dalej rówości: + si x si x { + + si x si si x si x + si( + )x x + si x si x si x + si( + )x [ si x si + x si x + si( + )x si x ] cos x cos y si x + y si x y si α si β [cos(α β) cos(α + β)], (7) [cos x ( cos + ) ] x + [ ( cos + ) ( x cos + 3 ) ]} x si x [cos x ( cos + 3 ) ] x + + si x si si x x

13 Wyazaliśmy więc, że z rówości (6) wyia związe (7) Na mocy zasady iducji zupełej rówość (6) jest prawdziwa dla ażdego N Zadaie Wyazać, że jeśli x, to dla ażdej liczby aturalej zachodzi poiższa ierówość, zwaa ierówością Beroulliego ( + x) + x (8) Szic rozwiązaia Kro o Dla ierówość Beroulliego jest rówoważa z ierówością + x + x, czyli jest oa prawdziwa Kro o Weźmy dowolą ustaloą liczbę aturalą i załóżmy, że zachodzi ierówość (8) Możąc tę ierówość stroami przez ieujemą liczbę + x, otrzymujemy związi ( + x)( + x) ( + x)( + x) + ( + )x + x + ( + )x Zatem ierówość Beroulliego prawdziwa jest też dla liczby aturalej + Na mocy zasady iducji matematyczej wiosujemy stąd, że ierówość Beroulliego (8) jest prawdziwa dla ażdej liczby aturalej Zadaie Metodą iducji zupełej wyazać, że dla ażdego N {0} prawdziwy jest związe (X + X + ) [(X + ) + + X + ] (9) Szic rozwiązaia Jeśli 0, to związe (9) jest rówoważy ze zdaiem (X + X + ) (X + X + ), (0) czyli w tym przypadu jest o prawdziwy Weźmy dowolą ustaloą liczbę N {0} i załóżmy, że spełioy jest warue (9) Ozacza to, że przy pewym q(x) R[X] zachodzi rówość Wyażemy, że wówczas Zachodzą rówości: (X + ) + + X + (X + X + )q(x) () (X + X + ) [(X + ) +3 + X +3 ] () (X + ) +3 + X +3 (X + ) + (X + ) + X X + [(X + ) + + X + ](X + ) (X + X + )X + (X + X + )q(x)(x + ) (X + X + )X + (X + X + )[q(x)(x + ) X + ] Zatem istotie prawdziwa jest zależość () Na mocy zasady iducji zupełej związe (9) jest prawdziwy dla ażdego N {0} Zadaie 3 Poiższą rówość zapisać za pomocą zaów Σ i udowodić ją przez iducję:

14 Szic rozwiązaia Daą rówość moża zapisać w postaci ( ) + (3) A oto dowód iducyjy tej rówości Kro o Dla rówość (3) jest prawdziwa, gdyż przyjmuje oa wtedy postać Kro o Niech będzie dowolą ustaloą liczbą aturalą i iech zachodzi rówość (3) Wyażemy, że wówczas zachodzi rówość + ( ) + + (4) W tym celu dooujemy astępujących przeształceń: + ( ) + ( ( ( ) ) ( + + ) ( ) + + Zatem istotie rówość (4) jest prawdziwa Na mocy zasady iducji matematyczej rówość (3) jest prawdziwa dla ażdego N ) Zadaia domowe Zadaie 4 Wyazać, że dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość: a) (0 3) (5 + ); b) c) d) e) ( + ) ( + )( + ); 3 ( + )(3 + ) ( + )( + 3); [ ] 3 ( + ) ; (5 4)(5 + ) 5 + ; 4

15 f) g) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( ) + 3 (4 + 3); Zadaie 5 Metodą iducji matematyczej wyazać rówość: a) ( ) +, ( ) Zadaie 6 Wyazać rówość: ( a) x ( + x x) ) + + x b) 0 cos x si( + )x cos x cos x si x, ( x x ) (x π) ( x + ) ; x x Zadaie 7 Metodą iducji matematyczej wyazać ierówość: > Zadaie 8 Udowodić związe 5 ( ) 0 Zasada miimum (adprogramowe!) Poiższe twierdzeie jest rówoważe z zasadą iducji matematyczej Twierdzeie (Zasada miimum) W ażdym iepustym podzbiorze zbioru N liczb aturalych istieje liczba ajmiejsza Zadaia dodatowe Zadaie 9 Stosując zasadę miimum, wyazać, że ażda liczba aturala > jest iloczyem liczb pierwszych (Pojedyczą liczbę pierwszą tratujemy tu jao jedoczyiowy iloczy liczb pierwszych) Szic rozwiązaia Przypuśćmy, że zbiór liczb aturalych więszych od i iemających rozładu a iloczy liczb pierwszych ie jest pusty i iech będzie ajmiejszą taą liczbą Poieważ ie jest liczbą pierwszą, więc l przy pewych, l N taich, że < <, < l < Poieważ liczby aturale i l są więsze od i miejsze od, więc są oe iloczyami liczb pierwszych Zatem ich iloczy l też jest iloczyem liczb pierwszych Otrzymaa sprzeczość dowodzi tezy Zadaie 30 Udowodić astępujące twierdzeie : ażda liczba aturala jest cieawa Uwaga Poiżej dla ażdej spośród liczb aturalych od do 8 wsazujemy własość świadczącą o tym, że daa liczba aturala jest cieawa: ajmiejsza liczba aturala, jedya liczba aturala, tóra ie jest ai liczbą pierwszą, ai liczbą złożoą, 5

16 ajmiejsza liczba pierwsza, 3 ajmiejsza liczba pierwsza ieparzysta; ajmiejsza liczba aturala, tóra ie jest sumą dwóch wadratów liczb całowitych, 4 ajmiejsza liczba złożoa, 5 ajmiejsza liczba aturala będąca sumą wadratów dwóch różych liczb aturalych, 6 ajmiejsza liczba aturala będąca iloczyem dwóch różych liczb pierwszych, 7 ajmiejsza liczba aturala iebędąca sumą wadratów trzech liczb całowitych, 8 ajmiejsza liczba aturala będąca sześciaem liczby pierwszej Szic rozwiązaia Przypuśćmy, że zbiór tych liczb aturalych, tóre ie są cieawe jest iepusty Na mocy zasady miimum w zbiorze tym istieje liczba ajmiejsza Ozaczmy tę liczbę przez 0 Ale, czy liczba 0 przez fat, że jest oa ajmiejszą iecieawą liczbą aturalą, ie staje się cieawa? Otrzymaa sprzeczość dowodzi tezy 0 Symbol Newtoa Dla ażdej liczby aturalej liczbę! (czytaj: silia) oreślamy wzorem! Przyjmujemy poadto umowę, że 0! W szczególości mamy!,!, 3! 6, 4! 4, 5! 0, 6! 70, 7! 5040 Dla ażdej liczby aturalej i dowolej liczby całowitej taiej, że 0 wartość ( ) (czytaj: po ) symbolu Newtoa oreślamy wzorem!! ( )! Przyjmujemy poadto umowę, że jeśli N i jest liczbą całowitą ujemą, to ( ) 0 Dla dowolych N i {0,,, } liczba ( ) jest rówa liczbie wszystich -elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego Poieważ liczba wszystich podzbiorów zbioru -elemetowego jest rówa, więc zachodzi rówość 0 (5) Zadaia obowiązowe Zadaie 3 Sprawdzić, że jeśli 0, to zachodzi rówość (symetria) (6) Zadaie 3 Obliczyć: a) ; b) ; c) ; d) Odpowiedź: a) 560; b) 330; c) 98 80; d)

17 Zadaie 33 Wyazać, że jeśli, N i, to zachodzi rówość + + (7) Szic rozwiązaia Przy założeiach twierdzeia mamy +! ( )! ( + )! +!! ( )! [! ( )! ( )! + + ]! + ( )! ( )! ( + ) ( + )!! ( + )! + 03 Wzór dwumiaowy Newtoa Dobrze zamy poiższe wzory a wadrat sumy i sześcia sumy: (a + b) a + ab + b, (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Ich uogólieiem jest poiższy tzw wzór dwumiaowy Newtoa zachodzący dla dowolych liczb a, b R i N : (a + b) 0 a b (8) Rówość (8) moża też zapisać astępująco (a + b) a + a b + ( a b + + ) ab + b (9) Zadaia obowiązowe Zadaie 34 Metodą iducji matematyczej udowodić wzór (8) Szic rozwiązaia o Dla rówość (8) Przyjmuje postać a + b a + b Zatem asza teza jest prawdziwa dla 7

18 o Załóżmy, że rówość (8) jest prawdziwa dla liczby aturalej Wyażemy, że jest oa wtedy prawdziwa dla liczby + Mamy (a + b) + (a + b)(a + b) (a + b) a b 0 a + b + a b a + + a + b + a b + + b + 0 a + + a + b + a + b + b + [ ] a a + b + b + + a + + a + b + b a + b 0 Zatem istotie z prawdziwości wzoru (8) dla liczby wyia jego prawdziwość dla liczby + Na mocy zasady iducji zupełej rówość (8) jest prawdziwa dla ażdej liczby aturalej Uwagi metodologicze Wsazae jest, by prowadzący zajęcia sam przeprowadził powyższy dowód Uwaga Nie wyprowadza się oddzielego wzoru dla (a b), gdyż różica a b też jest sumą Miaowicie a b a + ( b) Zadaia dodatowe Zadaie 35 Rozpatrując wyrażeie ( + ), wyazać w sposób algebraiczy rówość (5) Szic rozwiązaia Z jedej stroy mamy ( + ) Z drugiej zaś, a mocy wzoru dwumiaowego Newtoa prawdziwe są rówości: ( + ) Porówując prawe stroy otrzymaych rówości, uzysujemy tezę Trójąt Pascala Współczyii występujące w rozwiięciach olejych potęg dwumiau moża ustawić w formie poiższej tablicy zwaej trójątem Pascala 0 0 8

19 Trójąt Pascala jest więc astępujący Na początu i ońcu ażdego wiersza stoi liczba Każdy iy współczyi jest a mocy rówości (7) rówy sumie dwóch współczyiów stojących tuż ad im Zadaia obowiązowe Zadaie 36 Korzystając z trójąta Pascala, rozwiąć wyrażeie: a) (a + b) 4 ; b) (a + b) 5 Odpowiedź: a) (a + b) 4 a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 ; b) (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + 0a 3 b + 0a b 3 + 5ab 4 + b 5 Zadaia domowe Zadaie 37 Korzystając z trójąta Pascala, rozwiąć wyrażeie (a + b) 6 Odpowiedź: (a + b) 6 a 6 + 6a 5 b + 5a 4 b + 0a 3 b 3 + 5a b 4 + 6ab 5 + b 6 9

20 05 Pewe wzory srócoego możeia Kolejymi zaymi am tożsamościami algebraiczymi są rówości: a b (a b)(a + b), a 3 b 3 (a b)(a + ab + b ) Ich uogólieiem jest zachodząca dla ażdego N \ {} rówość Mamy p a b (a b)(a + a b + a 3 b + + ab + b ) a 5 b 5 (a b)(a 4 + a 3 b + a b + + ab 3 + b 4 ) Zauważmy, że jeśli liczba aturala > jest ieparzysta, to z powyższej tożsamości oraz ze związu a + b a ( b) otrzymujemy rówość Mamy p a + b (a + b)(a a b + a 3 b ab + b ) a 3 + b 3 (a + b)(a ab + b ), a 5 + b 5 (a + b)(a 4 a 3 b + a b ab 3 + b ) Literatura Jeśmiaowicz L i Łoś J Zbiór zadań z algebry, Warszawa, PWN Musiela J Wstęp do matematyi, Warszawa, PWN 0