EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą."

Ewa Wieczorek
6 lat temu
Przeglądów:

1 Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy, że ukcja ma w pukce mmum lokale, gdy steje otoczee R puktu take, że oraz dla każdego zachodz. De. ówmy, że ukcja ma w pukce maksmum lokale, gdy steje otoczee R puktu take, że oraz dla każdego zachodz. De. ówmy, że ukcja ma w pukce mmum lokale właścwe, gdy steje otoczee R puktu take, że oraz dla każdego { } zachodz >. De. ówmy, że ukcja ma w pukce maksmum lokale właścwe, gdy steje otoczee R puktu take, że oraz dla każdego { } zachodz <. De. ówmy, że ukcja ma w pukce ekstremum lokale, gdy ma w pukce maksmum lub mmum lokale. De. ówmy, że ukcja ma w pukce ekstremum lokale właścwe, gdy ma w pukce maksmum lub mmum lokale właścwe. De. Lczba jest ajmejszą wartoścą ukcj w dzedze ukcj, jeżel steje pukt tak, że oraz dla każdego,. Lczbę globalym ukcj w. azywamy mmum De. Lczba! jest ajwększą wartoścą ukcj w dzedze ukcj, jeżel steje pukt tak, że " oraz dla każdego,. Lczbę " azywamy maksmum globalym ukcj w. De. mum maksmum globale azywamy ekstremam globalym. Tw. Weerstrassa ażda ukcja cągła a przedzale domkętym ma wartość ajmejszą ajwększą.

2 rzykłady: a mum lokale b aksmum lokale ' ' b Ekstremum globale ukcj mmum globale '* c Ekstremum globale ukcj maksmum globale ' # d Ad. Twerdzea Weerstrassa #, [,] '

3 Tw. Waruek koeczy stea ekstremum Nech R, : R będze ukcją różczkowalą w pukce +*,. Jeśl ukcja ma w pukce ekstremum lokale, to. Tw. Waruek wystarczający stea ekstremum I Nech : R będze ukcją cągłą w różczkowalą w \{ }, gdze. a Jeżel steje /> taka, że /, +/ oraz dla /, dla, +/, to ukcja ma w pukce mmum lokale. b Jeżel steje /> taka, że /, +/ oraz dla /, dla, +/, to ukcja ma w pukce maksmum lokale. rzykład: Wyzaczyć ekstrema lokale ukcj: 3 3, # Waruek koeczy: # 5 # # 5 # + zatem mejsca zerowe dla,,. Waruek dostateczy: ma brak ekstr - m rzykład: Jeżel ukcja to ma w pukce ekstremum lokale, to. Implkacja odwrota e zachodz, p., dla mamy, ale ukcja e ma ekstremum lokalego. 3

4 rzykład ukcj posadającej mmum lokale w pukce eróżczkowalej w. posada w pukce mmum lokale właścwe, ale e steje w tym pukce. Tw. Waruek wystarczający stea ekstremum II Nech :,8 R będze ukcją * -krote różczkowalą w przedzale,8, posadającą *-tą pochodą w pukce,8. Nech 9 ;< oraz ;. a Jeśl ; > * jest lczbą parzystą, to ukcja ma mmum lokale właścwe w pukce. b Jeśl ; < * jest lczbą parzystą, to ukcja ma maksmum lokale właścwe w pukce. c Jeśl * jest lczbą eparzystą, to ukcja e ma w pukce ekstremum lokalego. rzykład: waruek wystarczający stea ekstremum II Waruek koeczy: 4 Waruek dostateczy II: 4 # A 4 4 ukcja posada w pukce mmum właścwe lokale 4

5 ESTREA FUNCJI WIELU ZIENNYCH Nech : R, gdze R ; będze ukcją * zmeych. rzez otoczeu puktu E,, ; R ; rozumemy zbór {E,, ; R ; : G G < HI,,,*, gdze > jest pewą lczbą. Iym słowy, + ;, ; + De. Fukcja ma w pukce E,, ; mmum lokale, jeżel steje otoczee puktu E,, ;, take że dla każdego puktu E spełoa jest erówość: E E. De. Fukcja ma w pukce E,, ; maksmum lokale, jeżel steje otoczee puktu E,, ;, take że dla każdego puktu E spełoa jest erówość: E E. De. Fukcja ma w pukce E mmum lokale właścwe, jeżel steje otoczee puktu E, take że dla każdego puktu E E E spełoa jest erówość: E>E. De. Fukcja ma w pukce E maksmum lokale właścwe, jeżel steje otoczee puktu E, take że dla każdego puktu E E E spełoa jest erówość: E<E. ma maksma lokale azywamy ESTREAI LOALNY. De. Lczbę azywamy ajmejszą wartoścą ukcj a zborze, jeżel steje pukt E,, ;, tak że E dla każdego puktu E, E E. Lczbę azywamy mmum globalym ukcj a zborze. De. Lczbę " azywamy ajwększą wartoścą ukcj a zborze, jeżel steje pukt E,, ;, tak że E " dla każdego puktu E, E E ". Lczbę " azywamy maksmum globalym ukcj a zborze. mum maksmum globale azywamy ESTREAI GLOBALNYI. Tw. Waruek koeczy stea ekstremum ukcj welu zmeych Jeżel: to ma ekstremum w pukce E, steją pochode,,..., cząstkowe w pukce E.,,..., [,,...,] 5

6 6 De. ukt E, w którym przyajmej jeda pochoda cząstkowa e steje lub w którym wszystke pochode cząstkowe są rówe zero azywamy puktem krytyczym ukcj. ukt krytyczy, w którym jest spełoy waruek [,,,] azywamy puktem stacjoarym ukcj. Załóżmy teraz, że w pukce E steją wszystke pochode cząstkowe rzędu drugego ukcj. De. acerz : H O azywamy hesjaem ukcj w pukce. Nech,...,, : O Zauważmy, że, det H Tw. Waruek wystarczający stea ekstremum ukcj welu zmeych Załóżmy, że,...,,, gdze jest puktem stacjoarym ukcj. Jeżel >, dla,,,*, to w pukce ukcja ma mmum lokale właścwe, E <, # E >,, ; ; E >, to w pukce E ukcja ma maksmum lokale właścwe. rzykład Nech,' # ' #.

7 amy:,,, y oadto H,, czyl,,, 4 <. Zatem ukcja e ma ekstremum w pukce krytyczym,. rzykład Nech,',O # +' # +O # '++O. Wówczas: y +, y y, z +. z oeważ: y + 3 y y 3 z + z Wec,, jest puktem krytyczym ukcj. 3 3 H oraz >, 3 >, 3 6 >. Zatem ukcja ma w pukce,, mmum lokale, które wyos: m. 3 7

Podobne dokumenty

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f