RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek"

Transkrypt

1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęca wyrówawcze AJD w Częstochowe; 2009/200 Irea Fdyte PODSTAWOWE WIADOMOŚCI Z KOMBINATORYKI Nech X { x x x } =, 2, będze daym zborem -elemetowym Z elemetów tego zboru a róże sposoby możemy budować owe zbory lub cąg sończoe Cąg - wyrazowy ( Î ) o wyrazach w zborze X możemy tratować jao fucję f :,2,, X oreśloą a zborze -perwszych lczb aturalych o wartoścach w zborze X Defcja: Kombacją -elemetową (bez powtórzeń) ze zboru -elemetowego X azywamy ażdy zbór utworzoy z elemetów zboru X, przy czym dowoly elemet zboru X może występować w ombacj bez powtórzeń co ajwyżej raz Króto: - elemetowa ombacja bez powtórzeń ze zboru -elemetowego jest -elemetowym podzborem tego zboru Twerdzee Lczba C wszystch -elemetowych ombacj (bez powtórzeń) ze zboru -elemetowego wyos : æ ö C = ç gdze 0 è ø Przyład W zebrau wyborczym wzęło udzał 30 uczestów spośród tórych wybrao 4-osobowy zarząd Istało zarządu 4 æ C 30 = 30 ö ç = è4 ø możlwych sposobów wyboru Defcja Permutacją zboru X { x x } =,, azywamy ażdy - wyrazowy, różowartoścowy cąg utworzoy ze wszystch elemetów zboru X Iaczej : f :,2,, X permutacją zboru X azywamy ażdą wzajeme jedozaczą fucję Twerdzee Lczba P wszystch permutacj zboru -elemetowego, w tórym wszyste elemety są rozróżale, wyos: P =! Przyład Wsal wyładowej, w tórej zajduje sę 30 mejsc zasadło 30 studetów Isteje 30! różych możlwośc ch rozsadzea - -

2 Defcja Załóżmy, że -elemetowy zbór X podzeloy jest a m podzborów X, X2,, X m, z tórych ażdy zawera odpowedo, 2, m erozróżalych mędzy sobą elemetów, przy czym m = Każdą permutację taego zboru X azywamy permutacją z powtórzeam tego zboru Dwe tae permutacje są erozróżale, jeżel różą sę jedye mejscam erozróżalych elemetów W przecwym wypadu permutacje są rozróżale Twerdzee Lczba (, 2,, P m ) rozróżalych permutacj z powtórzeam zboru X wyos (, 2,, m )! P =!!! 2 m Przyład Z pęcu cyfr: 4, 4, 5, 5, 5 możemy zbudować lczb pęcocyfrowych ( 2,3) 5! P 5 = = 0 różych 2!3! Defcja Waracją -wyrazową ze zboru -elemetowego X azywamy ażdy - wyrazowy cąg o wyrazach w zborze X Jeżel wszyste wyrazy cągu są róże, to mówmy o waracj bez powtórzeń, jeżel atomast wyrazy cągu powtarzają sę, to mówmy, o waracj z powtórzeam Iym słowy: -wyrazową waracją z powtórzeam ze zboru - elemetowego X azywamy fucję f :{, 2,, } X = { x, x2, x } eoecze różowartoścową, atomast -wyrazową waracją bez powtórzeń ze zboru - elemetowego X azywamy różowartoścową fucję f :{, 2,, } X = { x, x2, x } Twerdzee Lczba V wszystch -wyrazowych waracj bez powtórzeń ze zboru -elemetowego wyos :! V =, gdze,, ( -)! Î Natomast lczba V wszystch -wyrazowych waracj z powtórzeam ze zboru - elemetowego wyos : V = gdze, Î Przyład Spośród 30 uczestów zebraa wyborczego ależy wybrać 4-osobowy zarząd złożoy z przewodczącego, wceprzewodczącego, seretarza sarba Moża to 4 30! zrobć a V 30 = = sposobów 30-4! ( ) Przyład Na parterze 0-pętrowego blou wsada do wdy 7 pasażerów Mogą o 7 7 wysąść a pętrach a V 0 = 0 sposobów - 2 -

3 Rachue prawdopodobeństwa Dośwadczee losowe, częstość względa wyu, prawdłowość statystycza Defcja Dośwadczeem losowym azywamy tae dośwadczee, tóre teoretycze moża powtórzyć esończee wele razy w tych samych waruach w olejych powtórach otrzymać rózące sę mędzy sobą wy Przyład Dośwadczee D Iteresujące as wy rzut moetą wypade orzeł czy resza 2 rzut oścą lość ocze, tóra wypade 3 rzut oścą parzysta, czy eparzysta lczba ocze, tóra wypade 4 losowae umerów w Toto-lotu ombacja lczb, tóra wypade 5 -rote strzelae do celu lczba trafeń 6 -rote strzelae do celu w tórym strzale cel został trafoy Defcja Załóżmy, że w pewym dośwadczeu losowym D teresuje as wy A p w rzuce oścą teresuje as, czy wypade parzysta lczba ocze Jeżel przy - rotym powtórzeu dośwadczea D w tych samych waruach teresujący as wy A otrzymamy A razy, to lczbę A ha = azywamy częstoścą względą wyu A Oczywśce ha Î 0; Moża zaobserwować, że częstość względa wyu ma pewą własość, tóra służy jao fudamet asjomatyczej defcj prawdopodobeństwa Maowce, moża zauważyć, że wraz ze wzrostem (lczby dośwadczeń) częstość względa h wyu A staje sę blsa pewej lczbe p, zwaej prawdłowoścą statystyczą wyu A Oczywśce, A róweż pa Î 0; Np częstość wyrzucea orła w rzuce moetą staje sę blsa 2, częstość wyrzucea 3 ocze w rzuce oścą staje sę blsa Celem rachuu 6 prawdopodobeństwa jest ustalee prawdłowośc statystyczej wyu A w dośwadczeu D, zwaej dalej prawdopodobeństwem zajśca zdarzea A, przy użycu stosowego modelu matematyczego A -3-

4 Nr dośw D 2 Przestrzeń zdarzeń elemetarych, zdarzee elemetare, zdarzee losowe Przestrzeń zdarzeń elemetarych zdarzee elemetare są pojęcam perwotym rachuu prawdopodobeństwa Przestrzeń zdarzeń elemetarych będzemy ozaczal lterą W, a zdarzee elemetare lterą w Dla daego dośwadczea losowego D teresującego as wyu A ustalamy przestrzeń zdarzeń elemetarych uwzględając astępujące zasady: Zdarzee elemetare w ma być matematyczym modelem pojedyczego, możlwego wyu dośwadczea D ; 2 Dwa róże zdarzea elemetare mają reprezetować wyluczające sę pojedycze wy dośwadczea D ; 3 Przestrzeń zdarzeń elemetarych W ma być zborem wszystch możlwych, pojedyczych, wyluczających sę wzajeme zdarzeń elemetarych Iteresujący as wy A może być reprezetoway przez pojedycze zdarzee elemetare lub przez pewe podzbór przestrze zdarzeń elemetarych zawerający węcej ż jedo zdarzee elemetare Defcja Jeżel przestrzeń zdarzeń elemetarych W jest zborem sończoym, to zdarzeem losowym azywamy ażdy podzbór A przestrze W Zbór pusty Æ azywamy zdarzeem emożlwym, a zbór W azywamy zdarzeem pewym Przyład Załadamy, że rozpatrujemy dośwadczea losowe teresujące as wy poumerowae w taej olejośc ja w poprzedm przyładze Przestrzeń zdarzeń elemetarych W moc W zboru W { or, } Objaśea zdarzeń elemetarych w W= ; W= 2 o - w rzuce moetą wypade orzeł, r - wypade resza W= w, w,, w ; W= 6 w - a ostce wypadło ocze dla Î {,2,,6} 2 3 { p, } 2 6 W= ; W= 2 4 {,,, }: {, 2,, 49 }, {,2,,6} W = Î Î ; W= C æ49ö = ç = è6 ø 5 { s, s,, s }: s { t, c}, {,2,, } W = Î Î ; 2 æ2+ - ö æ+ ö W= C 2 = ç = = ç + è ø è ø lub W= { w0, w,, w} 6 ( s, s,, s ) : s { t, c}, {, 2,, } W = Î Î ; 2 W= V 2 = 2 p - a ostce wypadła parzysta lczba ocze, - wypadła eparzysta lczba ocze,,, - w Toto-lotu wylosowao 2 6 lczby :, 2,, 6 t - strzelec trafł w pojedyczym strzale, c - strzelec chybł w pojedyczym strzale w - w ser - strzałów strzelec trafł do celu Î 0,,, - razy, s s = t ozacza, że strzelec trafł w -tym strzale, = c ozacza, że strzelec chybł w -tym strzale

5 Przyjmujemy astępujące owecje słowe: - Jeżel AÎS w Î A, to mówmy, że zdarzee elemetare w sprzyja zajścu zdarzea A - Zdarzee A zachodz wtedy tylo wtedy, gdy zachodz choć jedo ze zdarzeń elemetarych w ależących do A, tz wy dośwadczea jest reprezetoway przez jedo lub węcej zdarzeń elemetarych ależących do A - Suma AÈ A2È zdarzeń A, A2, zachodz wtedy tylo wtedy, gdy zachodz co ajmej jedo ze zdarzeń A, A 2, - Iloczy AÇ A2 Ç zdarzeń A, A 2, zachodz wtedy tylo wtedy, gdy zachodz ażde ze zdarzeń A, A 2, - Różca A\B zdarzeń A B zachodz wtedy tylo wtedy, gdy zachodz zdarzee A e zachodz zdarzee B - Mówmy, że zdarzee A pocąga zdarzee B lub, że z zajśca zdarzea A wya zajśce zdarzea B wtedy tylo wtedy, gdy AÌ B - Zdarzea A B wyluczają sę wzajeme wtedy tylo wtedy, gdy AÇ= B Æ - Dopełee A' =W \ A zdarzea A azywamy zdarzeem przecwym do A - Zbór pusty Æ azywamy zdarzeem emożlwym, a zbór W azywamy zdarzeem pewym Przyład Nr dośwd Ops zdarzea z opsaą przestrz W 2 A - a ostce wypadła parzysta lczba ocze B - a ostce wypadły co ajwyżej 4 ocza Zdarzee A= { w2, w4, w6} B = { w, w2, w3, w4} 3 A - a ostce wpadła parzysta lczba ocze A= { p} 6 A - strzelec trafł w perwszym strzale A= {( t, s2,, s) : sî{ t, c}, Î{ 2,3,, } } B - strzelec trafł w ostatm strzale C - strzelec trafł w perwszym ostatm B= {( s,, s-, t) : s Î{ t, c}, Î{,, -}} strzale AÇ B ( t, = s2,, s-, t) : sî{ t, c}, Î{ 2,, -} A= ( x, y) :0< x,0 y < x 9 A - wybralśmy put pożej prostej y = x 3 Prawdopodobeństwo Defcja Nech W będze przestrzeą zdarzeń elemetarych, a S - zborem wszystch zdarzeń losowych w tej przestrze Prawdopodobeństwem w W azywamy fucję P: S 0; spełającą astępujące waru: ) P( W ) = ; 2) jeśl A ÎS, A Ç A = dla,, Æ ¹ Î, to P( A A ) P( A ) P( A ) È È = Jeżel AÎ S, to lczbę PA ( ) azywamy wówczas prawdopodobeństwem zdarzea A - 5 -

6 Własośc prawdopodobeństwa: ) P ( Æ ) = 0 (prawdopodobeństwa zdarzea emożlwego wyos zero) 2) Jeżel zdarzea A, A2,, A m ( mî ) wyluczają sę param, tz A Ç= A Æ dla,,,2,, m P A ÈA È È= A P A + P A + + P A ¹ Î, to ( ) ( ) ( ) ( ) 2 m 2 3) Jeżel zdarzee A pocąga zdarzee B ( AÌ B), to PA ( ) PB ( ) 4) Dla dowolych zdarzeń A B zachodz warue: P( AÈ B) = P( A) + P( B) -P( AÇB) 4 Prawdopodobeństwo lasycze Defcja Mówmy, że w sończoej przestrze W (lczba elemetów zboru W jest sończoa) jest oreśloe prawdopodobeństwo lasycze P, jeżel ażde zdarzee elemetare w tej przestrze jest jedaowo prawdopodobe Uwaga Prawdopodobeństwo lasycze P ma astępujące własośc: ) Jeżel W,( =Î ), tz W= { w, w2,, w}, to P( { w } ) = dla Î {, 2,, } A 2) PA ( ) = AÌW W = ( Î ), to PA ( ) =, ", tz jeśl A, { 0,, 2,, } ( A - ozacza lczbę elemetów zboru A) Modele z lasyczym prawdopodobeństwem stosujemy wtedy, gdy waru dośwadczea wsazują a to, że ażdy wy opsyway przez pojedycze zdarzee elemetare jest jedaowo możlwy Przyład W ure jest N ul przy czym spośród ch jest bałych, < N, N, Î Losujemy bez zwracaa K ul Jae jest prawdopodobeństwo tego, że wśród wylosowaych K N, 0 m K,, N - ³ K -, czyl ul mamy dołade bałych? ( : = max{ 0, K - N + } m {, K} = : ) 2 Rozwązae Zdarzeem elemetarym jest ombacja wylosowaych K ul spośród æn ö N Zatem W=ç Wybór ażdej ombacj jest jedaowo możlwy, zatem stosujemy èk ø prawdopodobeństwo lasycze Nech Î,, będze zdarzeem polegającym A, 2 a tym, że wśród wylosowaych K ul mamy dołade bałych Zauważmy, że do ażdej ombacj bałych ul, wybraej spośród wszystch bałych ul, możemy dobrać a æn - ö ç sposobów pozostałe K - czarych ul Zatem zdarzeu A sprzyja èk - ø æöæn - ö A = ç ç zdarzeń elemetarych Wobec tego èøèk - ø m

7 æöæn -ö ç ç A K {,, 2} p PA ( ) è øè - ø " = = = Î W ænö ç èkø Przyład Weźmy pod uwagę opsae już wcześej dośwadczee polegające a - rotym strzelau do celu, przy czym teresuje as lczba trafeń Możemy tutaj zbudować dwe róże przestrzee zdarzeń elemetarych: W = { w0, w,, w}, gdze w j ozacza, że strzelec trafł dołade j-razy w ser -strzałów, { 0,,, } W = + ; ( s, s,, s ): s { t, c}, {, 2,, } jî, W = Î Î 2 2 s = t ozacza, że strzelec trafł w -tym strzale, s strzale; W = V 2 = 2 2 Nech = c ozacza, że strzelec chybł w -tym Aj ozacza zdarzee w przestrze W 2 polegające a tym, że strzelec traf dołade j-razy w ser -strzałów Zdarzee to ozacza to samo co zdarzee elemetare w j w przestrze W Poeważ przyjmujemy, że w ażdym pojedyczym strzale jest jedaowo możlwe osągęce celu ja jego chybee, to w przestrze W 2 ażde zdarzee elemetare reprezetuje wy jedaowo możlwy Wobec tego stosujemy prawdopodobeństwo lasycze w W 2 Poeważ æö A ç j j j { 0,,, } P( A è ø " Î j ) = =, W 2 to wdzmy, że prawdopodobeństwa zdarzeń A j są róże W przestrze W ozaczają oe prawdopodobeństwa zdarzeń elemetarych w j, a dołade: æö ç j { 0,,, } P j ( wj) P( A è ø " = Î j) = 2 æö æö ç 0 ç P w0 = è ø = < P w = è = ø, o le ³ Wdzmy teraz, że p ( ) ( ) - 7 -

8 5 Prawdopodobeństwo waruowe Defcja Nech W będze przestrzeą zdarzeń elemetarych, S - zborem wszystch zdarzeń losowych, a P: S 0; - prawdopodobeństwem w tej przestrze Załóżmy, że BÎ S jest zdarzeem losowym o dodatm prawdopodobeństwe, tz PB ( ) > 0 Prawdopodobeństwem waruowym azywamy fucję P( g B) : S 0; oreśloą wzorem: ( ÇB) P A " P( AB) : = AÎS PB ( ) Wartość P( AB ) azywamy wówczas prawdopodobeństwem zajśca zdarzea A pod waruem, że zaszło zdarzee B Twerdzee Fucja P( g B) : S 0; jest (owym) prawdopodobeństwem w W Twerdzee Jeżel A, A2,, A S, ( ) Î Î ( ) P AÇA2Ç Ç A ¹ 0, to ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P AÇ A2Ç Ç= A P A P A2 A P A3 AÇ A2 P A AÇ A2Ç Ç A - Dowód Stosując wzór a prawdopodobeństwo waruowe otrzymujemy, że P A P A A P A A Ç A P A A Ç A Ç Ç= A ( ) ( 2 ) ( 3 2) ( 2 -) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ç Ç Ç ) P A ( - ) ( ) ( ) ( ) P AÇ A2 P AÇ A2Ç A3 P AÇ A2Ç ÇA P AÇ A2Ç ÇA = P A P A Ç A P A Ç A Ç Ç A P A Ç A Ç Ç A P A A A Przyład Z tal 52 art wycągęto losowo artę Jae jest prawdopodobeństwo, że jest to sódema, jeżel wadomo, że wycągęta arta e jest fgurą a asem Rozwązae Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest sończoa { w, w52} {,2,,52} ( ) W=, gdze w Î ozacza wycągęce -tej arty Stosujemy prawdopodobeństwo lasycze Nech A będze zdarzeem polegającym a wycągęcu sódem Wówczas A = 4 Natomast przez B ozaczmy zdarzee polegające a wyborze blot Wówczas B = 36 AÇ B= 4 Teraz P( AB) ( Ç ) Ç W Ç 4 P A B A B A B = = = = = PB ( ) W B B 36 9 Zadae (do samodzelego rozwązaa) ) Z paperowej torby zawerającej 5 cuerów mętowych 7 owocowych wyberamy losowo, bez zwracaa trzy razy po jedym cueru Jae jest prawdopodobeństwo tego, że za perwszym drugm razem wyberzemy cuere owocowy, a za trzecm razem - mętowy? - 8 -

9 6 Prawdopodobeństwo całowte Twerdzee Nech W będze przestrzeą zdarzeń elemetarych, S - zborem wszystch zdarzeń losowych, a P: S 0; - prawdopodobeństwem w tej przestrze Jeżel B, B, ( Î ) są zdarzeam param wyluczającym sę ( ) (tz B Ç B =, dla,, {,, } Æ ¹ Î, o dodatch prawdopodobeństwach A jest tam zdarzeem, że AÌ B È È B, to zachodz wzór: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A = P A B P B + + P A B P B Dowód P( A) = P AÇ B È È B = P AÇB È È AÇ B = ( ( ) ) (( ) ( ) ) ( Ç ) + + ( Ç = ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) P A B P A B P A B P B P A B P B Przyład W pewej fabryce maszyy typu X, Y, Z dają odpowedo: 25%, 35% 40% producj daego wyrobu Maszyy te produują odpowedo: 5%, 4% 2% braów Wylosowao próbę tego towaru a) Jae jest prawdopodobeństwo, że wylosowalśmy towar dobry? b) Jae jest prawdopodobeństwo, że został o wyproduoway przez maszyę typu X soro oazał sę wadlwy? Rozwązae Ozaczmy przez: A- zdarzee polegające a wylosowau produtu maszyy typu X, B- typu Y, C - typu Z, D - zdarzee polegające a wylosowau produtu dobrego, W - wadlwego a) Oblczamy: P( D) = P( D A) P( A) + P( D B) P( B) + P( D= C) P( C) + + = 0, P AW Zgode ze wzorem a prawdopodobeństwo b) Naszym zadaem jest oblczyć : ( ) waruowe otrzymujemy, że P( AÇW) P( AW) = PW ( ) Z waruów zadaa wya, że PA ( Ç W) = PWAPA ( = ) ( ) 5 25 = Natomast ze wzoru a prawdopodobeństwo całowte otrzymujemy, że PW ( ) = PWAPA ( ) ( ) + PWBPB ( ) ( ) + PWC ( = ) PC ( ) + + = Iaczej : PW ( ) = - PD ( ) =- 0,9655 = 0,0345 Teraz P( AW ) = = = =

10 W ostatm zadau zastosowalśmy metodę, opartą a tzw wzorze Bayesa: Twerdzee Bayesa Nech W będze przestrzeą zdarzeń elemetarych, S - zborem wszystch zdarzeń losowych, a P: S 0; - prawdopodobeństwem w tej przestrze Jeżel B, B, ( Î ) są zdarzeam param wyluczającym sę ( ) (tz B Ç B =, dla,, {,, } Æ ¹ Î, o dodatch prawdopodobeństwach A jest tam zdarzeem, że AÌ B È È B, oraz PA> ( ) 0, to zachodz wzór: P,, ( B j A) P( A Bj) P( Bj) ( ) ( ) + + ( ) ( ) " = jî P A B P B P A B P B Dowód Dla dowole ustaloego j {,, } ( j A) P B Î mamy: ( j Ç ) ( Ç j) ( j) ( j) PA ( ) PA ( ) P( A B ) P( B ) + + P( A B ) P( B ) P B A P A B P A B P B = = = Występujące we wzorze Bayesa prawdopodobeństwa : P( B j ) dla jî K azywamy "prawdopodobeństwam a pror" (prawdopodobeństwa wyzaczoe a podstawe przyjętych z góry założeń przed formacją o zajścu zdarzea A), atomast prawdopodobeństwa waruowe: P( Bj A ) dla jî K azywamy "prawdopodobeństwam a posteror" (prawdopodobeństwa wyzaczoe po dośwadczeu, w oparcu o formację, że zaszło zdarzee A) Reguła ajwęszego prawdopodobeństwa a posteror Załóżmy, że w przestrze probablstyczej ( W, SP, ) mamy dae dwa cąg zdarzeń (sończoe lub e): A, A 2, oraz B, B 2,, przy czym zdarzea w ażdym cągu wyluczają sę param oraz suma zdarzeń ażdego cągu jest zdarzeem pewym Załóżmy poadto, że możemy zaobserwować, tóre ze zdarzeń A, A 2, zajdze, ale e możemy tego zrobć w odeseu do zdarzeń B, B 2, Jeżel po dośwadczeu oazuje sę, że zaszło zdarzee A, to oblczając prawdopodobeństwa a posteror ( j ) zdarzee P B A dla j Î{,2, } wyberając ajwęsze z ch domyślamy sę, że zaszło to B, dla tórego prawdopodobeństwo a posteror jest ajwęsze Przyład Przyjmjmy waru zadaa z poprzedego przyładu Załóżmy, że e moglśmy obserwować procesu producj, ale wybralśmy wadlwą próbę towaru Oblczając prawdopodobeństwa a posteror : P( AW), P( BW), P( CW ) wyberając ajwęsze z ch, przypuszczamy, tóry załad wyproduował wybraą próbę - 0 -

11 7 Zdarzea ezależe Defcja Nech W będze przestrzeą zdarzeń elemetarych, S - zborem wszystch zdarzeń losowych, a P: S 0; - prawdopodobeństwem w tej przestrze Mówmy, że dwa zdarzea A, BÎ S są ezależe, wtedy tylo wtedy, gdy P( AÇ B) PA = ( ) PB ( ) Mówmy, że zdarzea A, A2,, AÎS,( Î ) są wzajeme ezależe (lub, że tworzą zespół zdarzeń wzajeme ezależych) wtedy tylo wtedy, gdy dla dowolych desów j < j2 < < j mamy: (*) P( Aj Aj ) P( Aj ) P( Aj ) Ç Ç = g g Uwaga Dwa zdarzea A, BÎ S o dodatm prawdopodobeństwe są ezależe wtedy tylo wtedy, gdy: P( AB) = PA ( ) lub P( BA) PB ( ) = Przyład Bersteja Na płaszczyzę rzucamy symetryczy czworośca, tórego trzy ścay pomalowae są odpowedo a: czerwoo, ebeso zeloo, a czwarta ścaa zawera wszyste trzy olory Nech C ozacza zdarzee polegające a tym, że przy rzucau czworoścau, a płaszczyzę upadła ścaa zawerająca olor czerwoy, N -ebes, Z - zeloy W= czt,,,, gdze c - ozacza zdarzee elemetare Przestrzeą zdarzeń elemetarych jest : polegające a tym, że przy rzucau czworoścau, a płaszczyzę upadła ścaa czerwoa, - ebesa, z - zeloa, a t - trójolorowa Poeważ ażde zdarzee elemetare jest jedaowo możlwe, to w przestrze W P jest prawdopodobeństwem lasyczym Poadto, C c, t, N, t, Z z, t, C N C Z N Z C N Z = t = { = } = Ç = Ç = Ç = Ç Ç 2 PC ( ) = PN ( = ) = PZ ( = ), 4 2 P( CÇ N) = P( CÇ Z) = P( N Ç Z) = = = PCPN ( ) ( ) = PCPZ ( ) ( ) = PNPZ ( ) ( ), atomast PC ( N Z) æ ö Ç Ç =¹ ç = PCPNPZ ( = ) ( ) ( ) 4 8 è2ø Ozacza to, że zdarzea C, N, Z są param ezależe, ale e są wzajeme ezależe zespołowo Przyład Strzelec dwurote strzela do celu Nech {( tt, ),( tc, ),( ct, ),( cc, )} W=, gdze t - ozacza trafee w pojedyczym strzale, a c - ozacza chybee w pojedyczym strzale p Î 0;, Przyjmujemy, że strzelec trafa do celu w pojedyczym strzale z prawdopodobeństwem ( ) a chyba - z prawdopodobeństwem q = -p Poeważ wy pojedyczych strzałów są od sebe ezależe, to przyjmujemy, że prawdopodobeństwo zdarzea elemetarego reprezetującego wy dwurotego strzelaa do celu jest loczyem prawdopodobeństw wyów osągętych w pojedyczych strzałach Wobec tego przyjmujemy, że : () ( ) () () 2 2 P (, t t = p, P (, t c pq = P (, c t, P (, c c = q = - -

12 Nech A ÌW będze zdarzeem polegającym a trafeu w perwszym strzale, a B ÌW - a trafeu w drugm strzale Wówczas: A= (,),(, tt = tc), B (,),( tt ct,), AÇ B= (,) tt Zdarzea A B są ezależe, poeważ : 2 PA ( ) = p + pq= PB ( ) ( ) ( ) ( ) PAPB ( ) ( ) = p + pq = p + p( - p) = p + p- p = p= PA ( ÇB) 8 Schemat Beroull'ego Załóżmy, że dośwadczee D polega a - rotym powtórzeu tego samego dośwadczea D, przy czym za ażdym razem w dośwadczeu D teresuje as wy A Wówczas dośwadczee D azywamy schematem Beroull'ego, a ażdorazowe powtórzee dośwadczea D - próbą Beroull'ego Zdarzee polegające a otrzymau wyu A w dośwadczeu D azywamy sucesem w pojedyczej próbe Beroull'ego, zaś zdarzee polegające a otrzymau zdarzea przecwego A' - porażą Poeważ w dośwadczeu D teresują as tylo dwa wy: A A', to przestrzeń probablstyczą ( W, S, P) modelującą dośwadczee D oreślamy astępująco: W = s p { w w },, gdze s w ozacza suces w pojedyczej próbe Beroull'ego, zaś porażę; prawdopodobeństwo P w W oreśloe jest waruam: s p ( w ) ( w ) p w - P = p=, P= q - p, gdze p Î 0; ( p jest prawdopodobeństwem sucesu, q - prawdopodobeństwem poraż) Jeżel suces jest możlwy, ale e jest pewy, to pqî, (0;) Przyjmujemy, że przestrzeń W modelująca D jest postac : { (, 2,, ) : s {, p w w w w w w w }, {,2,, } } W = =Î Î, tz przestrzeń ta jest zborem - wyrazowych cągów, przy czym ażdy wyraz cągu jest sucesem lub porażą Teraz, mając a uwadze ezależość wyów olejych prób defujemy prawdopodobeństwo P w W astępująco: - " P( w) = P( w) P( w2) P( w) = pq, wîw gdze jest lczbą wszystch sucesów Ozaczmy, przez, E ( E,, 0 ) w s występujących w cągu w ( w, w2,, w ) = ÌW zdarzee polegające a tym, że w - próbach Beroull'ego otrzymamy dołade - sucesów Zdarzeu E, sprzyja tyle zdarzeń elemetarych w, a le sposobów moża ustawć sucesów w s w -wyrazowym cągu æö w = ( w,, E, = C = w ) ; wobec tego: ç èø Zatem: (, ) PE æö =ç pq èø

13 Przyład Ile razy ależy rzucać ostą, aby prawdopodobeństwo tego, że choć raz wypade "5" było emejsze ż 0,5? Rozwązae Próbą Beroull'ego jest pojedyczy rzut ostą, sucesem - wypadęce "5" w pojedyczym rzuce Prawdopodobeństwo sucesu wyos: p = Lczba prób jest ezaa 6 Przyjmując ozaczea z poprzedego paragrafu ależy ta wyzaczyć, aby P E + + P E ³ 0,5 Wówczas 0,5 = - 0,5³ (, ) (, ) æö ³ -P( E, È È E, ) = P( W\ ( E, È È E, )) = P( E,0 ) p ( p) - æ ö = ç - = 0 ç 6 è ø è ø æ ö Zatem ³ log 5 ç» 3,8 Wobec tego ależy rzucać ostą co ajmej 4 razy 6 è2 ø Masymale prawdopodobeństwo w schemace Beroull'ego Oblczymy teraz ajbardzej prawdopodobą lczbę sucesów w schemace - prób Beroull'ego Przyjmujemy za ajbardzej prawdopodobą tę lczbę sucesów -, dla tórej P E jest ajwęsze w zborze wszystch prawdopodobeństw : prawdopodobeństwo (, ) { P( E, ) : Î { 0,,, } } P( E, ) (a) (, ) (a) P E - ³ oraz (b) æö pq ç èø æ ö ç p q è-ø W tym celu rozwążemy erówośc: (, + ) (, ) P E P E ³ ; (b) dla Î{,2,, - }, o le ³ 2 æ ö ç p q è+ ø æö pq ç èø ;! p!( -)! ³ ;! q ( -)!( - + )!! p ( + )!( --)!! q!( -)! ;! ( -)!( - + )! p ³ ;!( -)!! q!!( -)! p ( + )!( --)!! q ; - + p -p ³ ; q + q ; p - p + p ³ q ; ( + ) p³ ( p+ q) ; ( + ) p³ p - p q + q ; p-( - p) ( p+ q) ; ( + ) p

14 Jeżel węc lczba { 0,,, } Î speła obydwe erówośc: ( + ) p- ( + ) p, to jest oa ajbardzej prawdopodobą lczbą sucesów w schemace - prób Beroull'ego, gdyż wartośc prawdopodobeństw ze zboru P( E, ) : { 0,,, } P( E,0 ) P( E, ) P( E, -) P( E, ) oraz P( E, ) ³ P( E, + ) ³ ³ P( E, -) ³ P( E, ) Î spełają erówośc: Dołada aalza rozwązań erówośc (a) oraz (b) poazuje, że zawsze steje jeda lub co ajwyżej dwe ( w przypadu, gdy ( + ) pî ) ajbardzej prawdopodobe lczby sucesów w schemace - prób Beroull'ego Przyład Oblcz ajbardzej prawdopodobą lczbę "szóste" przy 3 rzutach ostą Rozwązae Przyjmując ozaczea poprzedego paragrafu wosmy, że : = 3, p=, ( + ) p- =, ( + ) p= 2 Wobec tego = 2 jest ajbardzej prawdopodobą lczbą "szóste " przy 3 rzutach ostą - 4 -

15

( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1)

( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Funkcja określona wzorem f ( x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych A. nie ma miejsc zerowych. B. ma dokładnie

Bardziej szczegółowo

Copyright 2010-2011. http://www.informacja.pl/lotto. Zgoda na bezpłatne powielanie i rozpowszechnianie całości opracowania

Copyright 2010-2011. http://www.informacja.pl/lotto. Zgoda na bezpłatne powielanie i rozpowszechnianie całości opracowania Jak wygrać w LOTTO Copyright 200-20 http://www.informacja.pl/lotto Zgoda na bezpłatne powielanie i rozpowszechnianie całości opracowania Książka ta może być powielana i rozpowszechniana za pomocą dowolnych

Bardziej szczegółowo

Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra. v 1. v 2

Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra. v 1. v 2 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLVIII Szole atematyi Poglądowej, Sojarzenia i analogie, Otwoc Śródborów, styczeń 22. W przestrzeni Zofia IECHOWICZ, Zielona Góra Naturalna analogia? Nie mylił się,

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 6. Zasada zachowania pędu. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 6. Zasada zachowania pędu. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Dr hab. ż. Władysław Artr Woźak Wykład FIZYKA I 6. Zasada zachowaa pęd Dr hab. ż. Władysław Artr Woźak Istytt Fzyk Poltechk Wrocławskej http://www.f.pwr.wroc.pl/~wozak/fzyka.htl Dr hab. ż. Władysław Artr

Bardziej szczegółowo

Zasada włączeń i wyłączeń 1 ZASADA WŁACZEŃ I WYŁĄCZEŃ. Przypominamy, że w wykładzie 1 udowodniliśmy następujące dwie równości:

Zasada włączeń i wyłączeń 1 ZASADA WŁACZEŃ I WYŁĄCZEŃ. Przypominamy, że w wykładzie 1 udowodniliśmy następujące dwie równości: Zasada włączeń i wyłączeń 1 ZASADA WŁACZEŃ I WYŁĄCZEŃ 1. Przypomnienie Przyjmiemy również oznaczenie [n]{1,...,n} dlan>0, P (n){a [n]: A }. P (n){a [n]: A }. Przypominamy, że w wyładzie 1 udowodniliśmy

Bardziej szczegółowo

WERYFIKACJA ODPORNO-BAYESOWSKIEGO MODELU ALOKACJI DLA RÓŻNYCH TYPÓW ROZKŁADÓW PODEJŚCIE SYMULACYJNE

WERYFIKACJA ODPORNO-BAYESOWSKIEGO MODELU ALOKACJI DLA RÓŻNYCH TYPÓW ROZKŁADÓW PODEJŚCIE SYMULACYJNE Agneszka Orwat-Aceańska Unwersytet Ekonomczny w Katowcach WERYFIKAJA ODPORNO-AYESOWSKIEGO MODELU ALOKAJI DLA RÓŻNYH YPÓW ROZKŁADÓW PODEJŚIE SYMULAYJNE Wprowazene Nowoczesne metoy analzy portfelowej koncentrują

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

STAN DYNAMICZNY MASZYN

STAN DYNAMICZNY MASZYN ...le zaczte - le s koczy... ROZDZIAŁ II STAN DYNAMICZNY MASZYN 1. WSTP 2. POWSTAWANIE OBCIE DYNAMICZNYCH 3. STUDIUM DYNAMIKI MASZYN 4. IDEALIZACJA UKŁADÓW RZECZYWISTYCH 5. DRGANIA W BUDOWIE MASZYN 1.

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja dokumentów tekstowych w modelu przestrzeni wektorowej

Reprezentacja dokumentów tekstowych w modelu przestrzeni wektorowej POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI I TECHNIK INFORMACYJNYCH INSTYTUT INFORMATYKI Rok akademicki 2004/2005 PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Michał Kosmulski Reprezentacja dokumentów tekstowych w modelu

Bardziej szczegółowo

MAKSYMALNY OCZEKIWANY CZAS PRZEBYWANIA PORTFELA INWESTYCYJNEGO W ZADANYM OBSZARZE BADANIA EMPIRYCZNE

MAKSYMALNY OCZEKIWANY CZAS PRZEBYWANIA PORTFELA INWESTYCYJNEGO W ZADANYM OBSZARZE BADANIA EMPIRYCZNE Danel Iskra Unwersye Ekonomczny w Kaowcach MAKSYMALNY OCZEKIWANY CZAS PRZEBYWANIA PORTFELA INWESTYCYJNEGO W ZADANYM OBSZARZE BADANIA EMPIRYCZNE Wprowadzene Wraz z rozwojem eor nwesycj fnansowych, nwesorzy

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE PRÓBY I JEJ LICZNOŚCI W BADANIACH PEDAGOGICZNYCH DEFINITION OF THE SAMPLE AND ITS SIZE IN PEDAGOGICAL RESEARCH

OKREŚLENIE PRÓBY I JEJ LICZNOŚCI W BADANIACH PEDAGOGICZNYCH DEFINITION OF THE SAMPLE AND ITS SIZE IN PEDAGOGICAL RESEARCH General and Professional Education /011 pp. 33-39 ISSN 084-1469 OKREŚLENIE PRÓBY I JEJ LICZNOŚCI W BADANIACH PEDAGOGICZNYCH DEFINITION OF THE SAMPLE AND ITS SIZE IN PEDAGOGICAL RESEARCH Alla Matuszak Czelabiński

Bardziej szczegółowo

2. Teoria informacji. Kodowanie danych.

2. Teoria informacji. Kodowanie danych. 2. Teoria informacji. Kodowanie danych. 2.1 Elementy teorii informacji 1) Ilo informacji Twierdzenie Shannona (Claude Shannon, 1948). Wiadomo (znak, zdarzenie) zawiera tym wicej informacji, im mniejsze

Bardziej szczegółowo

Różne reprezentacje mapy feromonowej w problemie plecakowym

Różne reprezentacje mapy feromonowej w problemie plecakowym Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach Jarosław Dąbrowski 193207 Praca magisterska Różne reprezentacje mapy feromonowej w problemie plecakowym Promotor: dr inż. Mariusz Boryczka Sosnowiec, 2008 Spis

Bardziej szczegółowo

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy Część I Czas dyskretny Kursy otwarcia czy zamknięcia pojawiaja się w kolejnych ustalonych momentach czasu. Jeśli pominiemy dni wolne od handlu otrzymamy ciag kolejnych momentów pojawiania się notowań (0,

Bardziej szczegółowo

Brunon R. Górecki. Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii

Brunon R. Górecki. Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii Brunon R. Górecki Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii SPIS TREŚCI Wstęp CZĘŚĆ I. KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ.Wprowadzenie.. Czym jest ekonometria?.. Pojęcie modelu ekonometrycznego.3. Dane statystyczne.4.

Bardziej szczegółowo

RAPORT DLA DEPARTAMENTU ZARZĄDZANIA EUROPEJSKIM FUNDUSZEM SPOŁECZNYM

RAPORT DLA DEPARTAMENTU ZARZĄDZANIA EUROPEJSKIM FUNDUSZEM SPOŁECZNYM BADANIE PODSYTEMU INFORMATYCZNEGO EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO W CELU ZWIĘKSZENIA JEGO PRZYDATNOŚCI DO EWALUACJI SEKTOROWEGO PROGRAMU OPERACYJNEGO ROZWÓJ ZASOBÓW LUDZKICH RAPORT DLA DEPARTAMENTU

Bardziej szczegółowo

CZAS PRAWDZIWY [1947]

CZAS PRAWDZIWY [1947] CZAS PRAWDZIWY [1947] 25. Kazimierz Ajdukiewicz Streszczenie Dobrym zegarem może być każde zjawisko powtarzalne cyklicznie w sposób jednostajny, tzn. tak, że kolejne cykle zachodzą w równych odstępach

Bardziej szczegółowo

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07 MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ Leszek Wiatr Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 3[].Z.7 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do środowiska R

Wprowadzenie do środowiska R Łukasz Komsta 21 sierpnia 2004 Spis treści 1 Wstęp 3 2 Pierwsze kroki 3 2.1 Najprostsze obliczenia.................................. 4 2.2 Przykłady operacji na wektorach............................ 4

Bardziej szczegółowo

ROZWÓJ JAK WSPÓŁPRACOWAĆ Z ŁASKĄ?

ROZWÓJ JAK WSPÓŁPRACOWAĆ Z ŁASKĄ? ROZWÓJ JAK WSPÓŁPRACOWAĆ Z ŁASKĄ? Monika i Marcin Gajdowie ROZWÓJ Jak współpracować z łaską? Na okładce: Motyw z posadzki katedry pw. Najświętszej Marii Panny w Chartres (Francja) labirynt symbolizujący

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

Zasady pisania prac dyplomowych w Instytucie Technicznym PWSZ w Nowym Sączu

Zasady pisania prac dyplomowych w Instytucie Technicznym PWSZ w Nowym Sączu Zasady pisania prac dyplomowych w Instytucie Technicznym PWSZ w Nowym Sączu Instytut Techniczny PWSZ ul. Zamenhofa 1a, 33-300 Nowy Sącz tel. 018 547-32-36; pwsz-ns.edu.pl/it Spis treści CZĘŚĆ IV: STRUKTURA

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Alina Kalinowska. Pozwólmy dzieciom działać. mity i fakty o rozwijaniu myślenia matematycznego

Alina Kalinowska. Pozwólmy dzieciom działać. mity i fakty o rozwijaniu myślenia matematycznego Alina Kalinowska Pozwólmy dzieciom działać mity i fakty o rozwijaniu myślenia matematycznego Warszawa 2010 Publikacja współfinansowana przez UE w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest

Bardziej szczegółowo

Poradnik dla szukających pracy

Poradnik dla szukających pracy Poradnik dla szukających pracy PODZIEL SIĘ WIEDZĄ, TEN E-BOOK TO ŚWIETNY PREZENT DLA PRZYJACIÓŁ, KTÓRY NIC NIE KOSZTUJE! Możesz go wysłać jako specjalny prezent pocztą elektroniczną, możesz go również

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Podstawowe standardy edytorskie naukowych tekstów psychologicznych w języku polskim na podstawie reguł APA

Podstawowe standardy edytorskie naukowych tekstów psychologicznych w języku polskim na podstawie reguł APA Podstawowe standardy edytorskie naukowych tekstów psychologicznych w języku polskim na podstawie reguł APA Justyna Harasimczuk Jan Cieciuch Konsultacja edytorska i językowa: prof. Mirosław Bańko dr Adam

Bardziej szczegółowo

NAUKA JAK ZOSTAĆ BOGATYM. Wallace Wattles

NAUKA JAK ZOSTAĆ BOGATYM. Wallace Wattles NAUKA JAK ZOSTAĆ BOGATYM Wallace Wattles Niniejsza książka jest darmowa (wygasły na nią prawa autorskie) i powinna dotrzeć do jak największej ilości osób. Jeśli znasz kogoś, kogo mogłaby zainteresować

Bardziej szczegółowo