SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI"

Transkrypt

1 SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź

2 Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w zarządzau 4.. Wprowadzee 4.. Wybrae metody badań statystyczych 4.3. Prawdopodobeństwo loścowa mara epewośc 8.4. Zmea losowa jej rozład Zmea losowa soowa.4.. Zmea losowa cągła 5 Moduł Wybrae elemety teor podejmowaa decyzj 4 Moduł 3.. Wprowadzee 4.. Rola wartość formacj w procese podejmowaa decyzj 4.3. Podejmowae decyzj w waruach epewośc ryzya gry z aturą.3.. Gry z aturą w waruach epewośc Podejmowae decyzj w waruach ryzya 8.4. Cea gracza dosoałej formacj Wyorzystae dodatowej formacj 30 Wybrae zagadea z zaresu estymacj przedzałowej parametrów rozładu populacj geeralej 3.. Wprowadzee Estymacja parametrycza pojęca wstępe Przedzał ufośc dla wartośc przecętej Przedzał ufośc dla wsaźa strutury 39 Moduł 4 Weryfacja hpotez statystyczych Pojęca podstawowe Weryfacja (testowae) hpotez o wartośc przecętej Weryfacja hpotez statystyczych o rówośc wartośc przecętej w dwóch zborowoścach geeralych 4.4. Weryfacja hpotezy o rówośc dwóch wsaźów strutury Weryfacja hpotezy o rówośc dwóch wsaźów strutury Test ezależośc χ

3 Aes Statystycza aalza strutury zborowośc 56 A... Rodzaje szeregów statystyczych; sale pomarowe 56 A... Podstawowe charaterysty lczbowe strutury badaej zborowośc A..3. Badae zależośc mędzy cecham 6 Aes Rozłady wybraych statysty próbowych 66 Aes 3 Tablce wybraych rozładów cągłych 70 A.3.. Dystrybuata rozładu ormalego 70 A.3.. Rozład Studeta 7 A.3.3. Rozład χ

4 Moduł.. Wprowadzee Wprowadzee do metod loścowych w zarządzau W dobe rozwoju gospodar cyfrowej proces pozyswaa formacj staje sę coraz łatwejszy. Ogroma lczba formacj, dostępych często bezpłate przyczya sę do dyamczego rozwoju metod, za pomocą tórych możlwe jest przeprowadzee sytetyczej aalzy oreśloych zjaws. Metody te mają coraz częścej charater loścowy, co ozacza, że w procese aalzy wyorzystuje sę szeroo rozumae metody matematyczo-statystycze. Zajomość przyajmej częśc tych metod oraz śwadome ch zastosowae jest podstawą racjoalego fucjoowaa podmotów w gospodarce. Szeroe spetrum problemów zawązaych z właścwą oceą współczesego życa gospodarczego, wyających często z fatu, ż podmoty dzałają w waruach epełej formacj wymaga odwoływaa sę w sytuacjach pratyczych do loścowych metod aalzy tych problemów. Szczególą rolę pełą tu metody statystycze mające ogrome zastosowae w dzałalośc gospodarczej, to zarówo w odeseu do pojedyczego przedsęborstwa, grupy przedsęborstw, wybraej sfery dzałalośc gospodar, ja róweż gospodar jao całośc. Popularość metod statystyczych wya z samej specyf statysty, tóra jest dzedzą au badającą prawdłowośc zachodzące w zjawsach masowych (czyl tach, tóre występują w dużej lczbe przypadów). Z podstawowym metodam statystyczym stosowaym do opsu badaej zborowośc statystyczej Słuchacz powe sę zapozać sę a urse statysty opsowej. Przypomee wybraych metod, tóre są oecze z putu wdzea treśc zawartych w ejszym urse zaleźć moża w aese do modułu. W ejszym module uwaga socetrowaa zostae główe a podstawowych pojęcach statystyczych, wybraych metodach badań statystyczych oraz elemetach rachuu prawdopodobeństwa statysty matematyczej, tóre są ezbęde do zrozumea treśc zawartych w olejych modułach... Wybrae metody badań statystyczych Celem ażdego badaa statystyczego jest sytetyczy ops badaej zborowośc statystyczej, tóry może być podstawą do formułowaa szerszych wosów dotyczących populacj geeralej. Waże jest węc poprawe rozumee podstawowych pojęć statystyczych tach ja zborowość statystycza, jedosta statystycza, populacja geerala, cecha statystycza, etc. Pożej podajemy róte ch defcje. Węcej formacj moża zaleźć w opracowaach Sobczya (000, s. 3-8), Starzyńsej Mchalsego (996, s. 9-). Pod pojęcem zborowośc (populacj) statystyczej rozume sę zbór jedoste (osób, rzeczy lub zjaws) objętych badaem statystyczym. Elemety zborowośc statystyczej poddae bezpośredej obserwacj lub pomarow oreślae są maem jedoste statystyczych. Jeśl przedmotem badaa są wszyste jedost statystycze, co do tórych chcemy formułować wos ogóle, to taą zborowość azywamy zborowoścą (populacją) geeralą. Podzbór populacj geeralej wybray w oreśloy sposób os azwę zborowośc próbej (próby). Badae statystycze sprowadza sę główe do zebraa, odpowedego przetworzea aalzy formacj dotyczących badaej zborowośc statystyczej cech jedoste statystyczych. Do podstawowych etapów badaa statystyczego zalcza sę: ) Projetowae badaa. ) Obserwacja statystycza (zberae formacj). 3) Opracowae prezetacja zebraych formacj. 4

5 4) Aalza otrzymaych wyów (ops lub wosowae statystycze).. Projetowae badaa: a) Etap perwszy rozpoczyamy od oreślea celu badaa oraz hpotezy badawczej, tórą staramy sę zweryfować w tou badaa. b) Drugą czyoścą jest oreślee zaresu badaa, poprzez co rozumemy: b ) oreślee jedost zborowośc statystyczej, jao zboru jedoste posadających pewe wspóle właścwośc cechy stałe; b ) wybór zmeych cech statystyczych, czyl właścwośc jedoste, tórych pozom w badaej zborowośc jest zróżcoway zgode z celem badaa, będze podlegał obserwacj; c) oreślee rodzaju badaa (całowte, czy częścowe); d) oreślee źródeł formacj (perwote, czy wtóre jae); e) opracowae formularzy statystyczych maet tablc wyowych; f) sporządzee osztorysu badaa.. Obserwacja statystycza: Charater obserwacj statystyczej zależy od rodzaju badaa, lczebośc badaej zborowośc oraz częstotlwośc badaa (p. wypełee aety, czy formularzy spsowych, adsyłaa oresowych sprawozdań tp.). Opracowae prezetacja zebraych wyów. Perwszą czyoścą jest otrola zebraych wyów pod względem zupełośc materału (w badaach pełych czy wszyste jedost adesłały odpowedz, w badaach częścowych czy lczba uzysaych formacj jest dostatecze duża, aby móc przeprowadzć wosowae statystycze), pod względem zupełośc zapsów (czy a ażdym formularzu uzysao odpowedz a wszyste pytaa) oraz logczośc zapsów. Grupowae (porządowae) dywdualych formacj polega a podzale ogółu jedoste a podzbory według pozomu oreśloej cechy. Pozwol to a wyryce prawdłowośc twących w badaym zjawsu. Rozróża sę dwa sposoby grupowaa: mechacze typologcze. Perwsze polega a tworzeu podzborów w oparcu o ogóle przyjęte podstawy podzału; przy grupowau typologczym wydzeloe podzbory tworzą oreśloy typ jedoste (p. przy grupowau według weu wydzelamy grupy ludośc w weu: przedproducyjym, producyjym, poproducyjym). W wyu grupowaa otrzymujemy szereg statystycze szczegółowe, lub rozdzelcze: putowe lub przedzałowe (przedzał lasowy zawera wtedy węcej, ż jede warat badaej cechy). Zastosowae metody budowy szeregów zależą przede wszystm od celu badaa oraz od charateru daych. Prezetacja otrzymaych szeregów w postac tablc lub wyresów. Przy budowe publacj tablc prostych (jeda zborowość pogrupowaa według jedej cechy), złożoych (róże zborowośc pogrupowae według tej samej cechy), czy ombacyjych (jeda zborowość pogrupowaa według węcej, ż jedej cechy) trzeba zwrócć uwagę a właścwy tytuł tablcy, stosowae jedost pomaru podae źródła formacj. Prezetacja grafcza (wyresy) służy 5

6 przede wszystm celom publacyjym ułatwa porówaa oraz zaobserwowae prawdłowośc charateryzujących badaą zborowość. Dostępe programy omputerowe stadardowo już oferują wele różorodych typów wyresów. Aalza wyów obserwacj Aalza materałów statystyczych może być przeprowadzoa z różych putów wdzea, przede wszystm w zależośc od celu badaa. Przy badau całowtym otrzymujemy ops statystyczy, atomast badae częścowe przeprowadzoe metodą reprezetacyją daje materał lczbowy dla wosowaa o całej zborowośc (populacj geeralej) a podstawe wyów uzysaych z losowo dobraej próby. Najczęścej aalza dze w eruu badaa: strutury zborowośc, zależośc twących w zborowośc, tedecj rozwojowej zjawsa. Dobór odpowedej metody badaa zborowośc statystyczej zależy od welu czyów, wśród tórych wymeć ależy (Starzyńsa, Mchals, 996, s. 4): cel badaa; rodzaj zborowośc statystyczej; tematya badaa; stopeń szczegółowośc badaa. Powyższe czy oreśla sę maem czyów statystyczych. Rówe waże wydają sę taże czy pozastatystycze, tae ja: ograczoość środów a badaa; ograczoa lczba człoów zespołu przeprowadzającego badae; lmt czasu przezaczoego a przeprowadzee badaa. Główym ryterum podzału metod badań statystyczych, tóre wya z wymeoych wyżej czyów jest lczba elemetów zbadaej zborowośc statystyczej, tóre zostaą poddae bezpośredej obserwacj statystyczej. Według tego ryterum doouje sę podzału badań statystyczych a badaa pełe badaa częścowe. W badau pełym (ompletym, geeralym, całowtym, wyczerpującym) ażda jedosta tworząca zborowość statystyczą jest poddaa obserwacj statystyczej. Wos uzysae a podstawe prawdłowo przeprowadzoego (!) badaa pełego są zawsze ajbardzej dołade omplete. Rodzaje badań pełych zostały omówoe m.. w podręczu Starzyńsej Mchalsego (996, s. 5-7). W pratyce badań statystyczych badaa o charaterze pełym staową ewel odsete prowadzoych badań. Zdecydowae częścej prowadz sę badaa częścowe (eomplete, epełe, ecałowte), w tórych bezpośredej obserwacj statystyczej poddaje sę tylo część jedoste zborowośc statystyczej, tóry oreśla sę maem próby statystyczej. Często jeda prowadzący badae statystycze chcałby, aby wy uzysae a podstawe badaa częścowego moża było uogólć a całą populację geeralą. Jest to oczywśce możlwe, pod waruem jeda, ż próba objęta badaem ma charater próby reprezetatywej, czyl taej, tóra dobrze reprezetuje badaą populację. Próbę uzaje sę za reprezetatywą jeśl jest odpowedo lcza, a jedost dobrao do próby w sposób losowy. Pożej przedstawoo róże metody losowego doboru próby. 6

7 Przed przystąpeem do losowaa z reguły sporządzamy tzw. operat losowaa, czyl sps wszystch jedoste tworzących zborowość geeralą (p. artotea ogółu pracowów, wyaz budyów meszalych tp.). Dobór elemetów do próby może sę odbywać przy pomocy różych schematów. Do ajważejszych ależy podzał a: losowae ezależe (ze zwrotem) zależe (bez zwrotu). W perwszym przypadu wylosoway elemet wraca do zborowośc geeralej (p. do ury czy artote), strutura tej zborowośc e ulega zmae, a węc prawdopodobeństwo wylosowaa jedost o daym warace pozostaje stałe. Wy astępego losowaa e jest zależy od wyu przeprowadzoych losowań. W drugm przypadu e zwracamy wylosowaego elemetu, wy ażdego astępego losowaa zależy od poprzedch wyów. Słusze jest węc stosowae ezależego schematu; warto jeda dodać, że przy bardzo lczej zborowośc zależość ta jest ewela. Stosując ezależy schemat losowaa otrzymujemy tzw. próbę prostą. Według ego ryterum podzału schematów, stosujemy losowae dywduale zespołowe. W perwszym przypadu losujemy oddzele poszczególe elemety (p. z artote - artę poszczególego pracowa), a w drugm pewe aturale zespoły elemetów (p. wszyste gospodarstwa domowe w wylosowaych posesjach). Waży jest też podzał schematów losowaa a eograczoe warstwowe. Przy eograczoym losujemy elemety bezpośredo z całej próby, przy warstwowym atomast zborowość dzelmy ajperw a podzbory (warstwy) bardzej jedorode z oreśloego putu wdzea (p. ludość mast ws, pracowcy różych gałęz tp.) losujemy oddzele z ażdej warstwy. W zależośc od celu badaa wy aalzujemy oddzele dla ażdej warstwy lub łącze dla całej próby; w tym drugm przypadu strutura lczeba podzborów w próbe powa być proporcjoala do strutury całej zborowośc. W etórych przypadach stosoway jest tzw. welostopowy schemat losowaa (p. losowae trójstopowe). Na podstawe operatu losowaa wyberamy elemety do próby perwszego stopa (p. budy meszale w daej zborowośc), spośród ch losowo jedost drugego stopa (p. loale w wylosowaych budyach) wreszce jedost do próby właścwej (p. osoby w wylosowaych loalach). Sposób te może zwęszyć reprezetatywość prób. W pewych przypadach, zwłaszcza, gdy e mamy możlwośc sporządzea operatu losowaa, stosujemy tzw. losowae systematycze. Zadajemy p. (przy badau op) to samo pytae co dwudzestej (dzesątej, pątej tp.) osobe wychodzącej z loalu wyborczego, robącej zaupy w daym slepe tp. W oretych przypadach zwyle stosujemy ombację różych schematów losowaa (p. losowae ezależe może być warstwowe lub dywduale, welostopowe może być zależe lub ezależe tp.). Bez względu a zastosoway schemat losowaa, musmy sę lczyć z możlwoścą popełea błędu przy uogólau wyów z próby a całą zborowość. Przy badau częścowym zawsze taa możlwość steje. Wyróżamy tu dwa rodzaje błędów: przypadowe (losowe) systematycze (wyające p. ze śwadomego wyboru pewej grupy jedoste). Błędy losowe maleją wraz ze wzrostem lczebośc wybraego do obserwacj podzboru elemetów, atomast systematycze e maleją. Zastosowae losowego doboru jedoste pozwala a uęce błędów systematyczych, musmy sę jeda lczyć z możlwoścą wystąpea błędów losowych. 7

8 Wy otrzymae a podstawe badaa próby reprezetatywej są podstawą do wosowaa o całej populacj geeralej. W procese wosowaa statystyczego stosuje sę jeda reguły rachuu prawdopodobeństwa statysty matematyczej. Z tego też powodu w dalszej częśc modułu omówoe zostaą podstawowe pojęca z zaresu rachuu prawdopodobeństwa, tóre są ezbęde do zrozumea treśc zawartych w dalszej częśc ursu..3. Prawdopodobeństwo loścowa mara epewośc W potoczym języu bardzo często używa sę sformułowaa, że coś jest mało prawdopodobe, lub bardzo prawdopodobe, lub pewe albo emożlwe. Itucyje pojęce, że coś jest mało prawdopodobe rozumemy, ż ma małe szase a zajśce; jeśl jest bardzej prawdopodobe, to ma węsze szase zajśca, jeśl coś jest emożlwe, tz. że e ma szas, aby sę wydarzyło. Moża węc stwerdzć, ż prawdopodobeństwo to pewa loścowa (lczbowa) mara epewośc, czyl lczba tóra wyraża przeoae o tym, że zajdze pewe epewe zdarzee. Teora prawdopodobeństwa jest węc ezbędym arzędzem aalzy sytuacj, w tórych pojawa sę elemet epewośc. Jest oa taże podstawą do wosowaa o populacj geeralej a podstawe wyów próby losowej, a taże podstawą doceań, gdy ezbęde jest loścowe oszacowae szas zajśca oreśloych zdarzeń w tach dzedzach ja: otrola jaośc, aalza decyzj erowczych, etc. (Aczel, 000, s. 65). Podstawowym pojęcam w teor prawdopodobeństwa są pojęca dośwadczea losowego, zdarzea elemetarego oraz zdarzea losowego. Maem dośwadczea losowego oreśla sę ażdą czyość, tórej wyu e moża dołade przewdzeć w momece jej wyoywaa. Dośwadczeem losowym (zaym z ursu rachuu prawdopodobeństwa prowadzoego w szole średej) jest rzut moetą, ostą, losowae ul z ury zawerającej ule o różych olorach. W odeseu do badań statystyczych dośwadczeem losowym jest ażdy losowy dobór jedoste do próby. Najprostszy wy dośwadczea losowego oreśla sę maem zdarzea elemetarego. Zbór wszystch zdarzeń elemetarych zachodzących w daym dośwadczeu losowym oreśla sę maem przestrze zdarzeń elemetarych w teor prawdopodobeństwa oreśla symbolem Ω. Każdy podzbór przestrze zdarzeń elemetarych jest zdarzeem losowym. Jeżel AØ (tz. zdarzeu A e sprzyja żade zdarzee elemetare zbór zdarzeń sprzyjających jest pusty) to A azywamy zdarzeem emożlwym, jeżel A Ω (tz. zdarzeu A sprzyjają wszyste zdarzea elemetare), to A azywamy zdarzeem pewym. Na zdarzeach losowych możemy wyoywać tae same dzałaa, ja a zborach, tz. możemy oreślć sumę zdarzeń: A B, loczy zdarzeń A B różcę zdarzeń A\B. O zdarzeach A B, tórych loczy jest zdarzeem emożlwym mówmy, że wyluczają sę (są rozłącze). Dla zdarzea A oreślamy zdarzee do ego przecwe ( A Ω \A). Jest to zdarzee, tóre zachodz wtedy, gdy e zachodz zdarzee A. Dla zdarzeń losowych chcemy badać szasę ch zajśca. Marą tej szasy jest prawdopodobeństwo. Prawdopodobeństwo jest loścową marą epewośc; jest to lczba, tóra wyraża słę przeoaa o tym, że zajdze epewe zdarzee. Sposób oblczaa prawdopodobeństwa dla oreśloego typu przestrze zdarzeń elemetarych podaje p. lasycza defcja prawdopodobeństwa. 8

9 Klasycza defcja prawdopodobeństwa: Jeżel Ω jest zborem sończoym wszyste zdarzea elemetare są jedaowo możlwe, to prawdopodobeństwo dowolego zdarzea losowego A zawartego w Ω oreśla wzór: gdze: lczba zdarzeń elemetarych sprzyjających A, lczba wszystch zdarzeń elemetarych. P ( A) (.) Soro, węc dla dowolego zdarzea A mamy 0 P(A). Łatwo zauważyć, że prawdopodobeństwo zdarzea emożlwego jest rówe 0, tz. P(Ø)0 oraz, że dla zdarzea przecwego A mamy: P( A' ) P( A). Przyład. W pewej frme pracuje 5 osób: dyrecja osoby, seretarat osoby, formatycy 3 osoby, pracowcy techcz 5 osób, maretg osoba, pracowcy pomocczy osoby. Wyberamy losowo spośród pracowów tej frmy jedą osobę. Jae jest prawdopodobeństwo, że wylosoway zostae formaty (zdarzee A)? Zdarzeam elemetarym będą wybory poszczególych osób. Przestrzeń zdarzeń elemetarych słada sę węc z 5 elemetów. Wyberamy osoby w sposób losowy, czyl wybór ażdej z ch jest jedaowo możlwy. Zdarzee elemetare sprzyjające zdarzeu A to wybór jedego z formatyów, a tach wyborów jest tyle, lu formatyów pracuje w frme, tz. trzech. Zgode z lasyczą defcją prawdopodobeństwa: 3 P ( A) 0, 5 5 Prawdopodobeństwo waruowe (względe) Ja wspomao wcześej prawdopodobeństwo jest lczbową marą epewośc, jego wartość zależy węc od posadaej formacj. Przyładowo, oszacowae prawdopodobeństwa tego, ż astępego da acje spół X pójdą w górę zależy m.. od tego, jae formacje posadamy a temat odycj spół X. Moża węc stwerdzć, ż prawdopodobeństwo zajśca oreśloego zdarzea uwaruowae jest posadaem dodatowych formacj. Mówmy zatem o prawdopodobeństwe zajśca zdarzea A pod waruem zajśca zdarzea B. Prawdopodobeństwo to azywamy prawdopodobeństwem waruowym oreślamy je symbolem P ( A B). Oblczam je jao: P( A B) P( A B) (.) P( B) 9

10 Przyład.. Urzęd baowy we, że % redytoborców hpoteczych trac pracę przestaje spłacać pożyczę w cągu 5 lat. We taże, że 0% redytoborców hpoteczych trac pracę w cągu 5 lat. Jae jest prawdopodobeństwo tego, ż redytoborca przestae spłacać pożyczę, jeśl wadomo, że stracł o pracę? Nech zdarzea A ozacza, że redytoborca przestae spłacać pożyczę w cągu 5 lat, zaś B zdarzee, że redytoborca strac pracę. Zdarzee, że redytoborca trac pracę przestaje spłacać pożyczę w cągu 5 lat jest zdarzeem A B, stąd P ( A B) 0,. Jedocześe wadomo, że P ( B) 0, 0. Należy oszacować, jae jest prawdopodobeństwo, że redytoborca przestae spłacać, pod waruem (jeśl) stracł pracę, czyl P ( A B). NA podstawe wzoru (.) prawdopodobeństwo to jest rówe: 0, P ( A B) 0,6 0,0 Zatem urzęd może stwerdzć, że z prawdopodobeństwem 60% redytoborca, tóry stracł pracę przestae spłacać pożyczę. W rachuu prawdopodobeństwa stotą rolę odgrywa pojęce ezależośc zdarzeń. Zdarzea A B azywamy ezależym, gdy spełoy jest warue: P( A B) P( A) P( B) (.3) Warue te ozacza, że zajśce jedego ze zdarzeń e ma wpływu a prawdopodobeństwo zajśca drugego z ch. UWAGA: Jeśl w badau statystyczym próba została pobraa losowo w sposób ezależy lub gdy poberamy próbę losową z welej populacj, TO WYNIKI LOSOWAŃ SĄ OD SIEBIE NIEZALEŻNE..4. Zmea losowa jej rozład Wyobraźmy sobe sytuację, w tórej przeprowadzając jaeś dośwadczee losowe otrzymaym zdarzeom elemetarym przyporządujemy pewą oreśloą wartość lczbową. Przyładowo, rzucając dwema moetam o różych omałach (moety rozróżale) ażdemu zdarzeu elemetaremu przyporządujemy lczbę wyrzucoych resze, co moża zapsać jao: Otrzymujemy wówczas pewe cąg wartośc, tóre różą sę medzy sobą (są zmee) w zależośc od wyu dośwadczea losowego, Moża węc powedzeć, że wartośc te są wyzaczoe przez los. Ta powstałą zmeą oreśla sę maem zmeej losowej. Cytując A. Aczela (000, s. ) moża węc powedzeć, że zmeą losową jest zmea, tóra przyjmuje róże wartośc lczbowe wyzaczoe przez los. Z formalego putu wdzea zmea losowa jest fucją X, tóra zdarzeom elemetarym ω Ω przyporządowuje lczby rzeczywste X (ω) R, czyl jest fucją X: Ω R. 0

11 Podobe moża mówć o zmeej losowej gdy doberamy w sposób losowy próbę statystyczą. Wyobraźmy sobe, że z populacj gospodarstw domowych w Polsce pobrao w sposób losowy próbę 00 gospodarstw poddao badau statystyczemu ze względu a lczbę dorosłych osób zameszujących w tym gospodarstwe domowym. Wówczas ażdemu z wylosowaych gospodarstw domowych (zdarzea elemetare) przyporządowujemy lczbę osób dorosłych w tym gospodarstwe. Poeważ wylosowae do próby gospodarstwa domowe różą sę lczbą dorosłych człoów gospodarstwa domowego, zatem uzysamy pewą zmeą (przyjmującą wartośc,, 3, 4, 5,.). Poeważ o uzysaym wyu decyduje los, zatem ta uzysaą zmeą moża oreślć maem zmeej losowej. Wyróża sę dwa rodzaje zmeych losowych: zmeą losową soową (dysretą) oraz zmeą losową cągłą. Zmea losowa soowa to taa, tóra przyjmuje sończoą przelczalą lczbę wartośc. Zmea losowa cągła może przyjmować wszyste wartośc z pewego przedzału lczbowego. Zmea losowa jest węc odpowedem używaego w statystyce opsowej pojęca cechy statystyczej (zmeej statystyczej). O le jeda wartoścom (waratom) cechy statystyczej odpowadają emprycze lczebośc jedoste zborowośc, o tyle w odeseu do zmeej losowej poszczególym jej realzacjom odpowadają oreśloe prawdopodobeństwa. Zmee losowe oreślamy za pomocą dużych lter X, Y, Z, T, Zmea losowa soowa Zmeą losową o charaterze soowym moża opsać za pomocą rozładu prawdopodobeństwa tej zmeej losowej. Jeśl ażdej wartośc zmeej losowej przyporządujemy prawdopodobeństwo, z jam ta zmea losowa przyjęła daą wartość, to mówmy, że oreśloy został rozład prawdopodobeństwa tej zmeej losowej. Najczęścej zapsujemy go w forme tabel (dla zmeych losowych przyjmujących sończoą lczbę wartośc), w tórej wymeoe zostają wartośc przyjęte przez zmeą losową ( ) oraz prawdopodobeństwa, z jam zmea losowa przyjmuje daą wartość. Przyład.3. Zmea losowa X oreśla lczbę wyrzucoych resze w rzuce dwema moetam o różych omałach. Rozład tej zmeej losowej jest astępujący: 0 0,5 0,5 0,5 Grafcze rozład te moża przedstawć astępująco:

12 Przyład.4. Zmea losowa X oreśla lczbę dorosłych osób w gospodarstwe domowym, w próbe 00 losowo wybraych gospodarstw domowych w Polsce (dae umowe): ,5 0,35 0,8 0, 0,07 0,03 0,0 Grafcze rozład te moża przedstawć jao: UWAGA : Rozład prawdopodobeństwa soowej zmeej losowej X speła astępujące waru: ) dla wszystch wartośc zmeej losowej X oraz ) suma prawdopodobeństw po wszystch wartoścach zmeej losowej X jest rówa. UWAGA : Sąd w pratyce borą sę prawdopodobeństwa tae ja te rozpatrywae w przyładze.4.? Są to po prostu częstośc, z jam pojawła sę daa wartość w próbe losowej. Dystrybuata zmeej losowej sumulowaa fucja rozładu Na podstawe rozładu prawdopodobeństwa zmeej losowej soowej możemy oreślć prawdopodobeństwo przyjęca przez zmeą losową oreśloych wartośc. Przyładowo, a podstawe daych z przyładu.4. stwerdzć, że prawdopodobeństwo, ż w gospodarstwe

13 domowym są 4 dorosłe osoby jest rówe 0,. Możemy taże oblczyć prawdopodobeństwo, że w gospodarstwe domowym są węcej ż 3 dorosłe osoby. Wówczas teresuje as oreślee P(X>3), tóre oblczamy jao: Ozacza to, że prawdopodobeństwo, ż w gospodarstwe domowym są węcej ż trzy dorosłe osoby jest rówe 0,. Podobe oreślamy prawdopodobeństwo, że lczba dorosłych osób w gospodarstwe domowym e przeracza, czyl P(X ): Szczególe zaczee przypsuje sę sumulowaym prawdopodobeństwom, czyl prawdopodobeństwu, że zmea losowa X przyjmuje wartośc co ajwyżej rówe. Oreśla sę je maem dystrybuaty zmeej losowej X ozacza symbolem F( ). Zatem: Dla zmeej losowej typu soowego dystrybuatę oreśla sę jao: Grafcze moża ją przedstawć astępująco (a podstawe rozładu z przyładu.4.) (.4) (.5) Dla przyładu.4. dystrybuata aalzowaej zmeej losowej ma postać: Wartość oczewaa, waracja odchylee stadardowe zmeej losowej soowej W celu sytetyczego opsu zmeej losowej (zarówo soowej, ja cągłej, o czym będze mowa w dalszej częśc modułu) możemy posłużyć sę pewym charaterystyam lczbowym. Do ajważejszych zalcza sę: 3

14 ) wartość oczewaą zmeej losowej charaterystya służąca do opsu przecętej wartośc zmeej losowej oraz ) warację otrzymywae a jej podstawe odchylee stadardowe - charaterysty służące do oreślee welośc rozproszea wartośc zmeej losowej woół jej średego pozomu. Wartoścą oczewaą zmeej losowej soowej azywamy lczbę oreśloą jao: Jest to węc średa ważoa z wartośc jae przyjmuje zmea losowa soowa, z wagam oreśloym przez prawdopodobeństwa z jaą daą wartość przyjmuje ta zmea losowa. Waracja zmeej losowej X jest oreślaa jao wartość oczewaa (lub proścej średa wartość) wadratów odchyleń wartośc zmeej losowej od jej wartośc oczewaej. Ozaczamy ją symbolem lub (. Dla zmeej losowej typu soowego oblczamy ją jao: Odchylee stadardowe zmeej losowej oblcza sę jao perwaste z waracj: Odchylee stadardowe oreśla o le średo wartośc zmeej losowej odchylają sę od jej wartośc oczewaej. Waracja, a tym samym odchylee stadardowe jest marą rozproszea wartośc zmeej losowej woół jej średego pozomu wyzaczoego przez wartość oczewaą. Tym samym parametry te dają pewe wyobrażee o zmeośc wartośc zmeej losowej, czyl o epewośc zwązaej z wartoścam zmeej losowej. Tym bardzej oe odbegają od średej wartośc m węsza jest waracja (czyl taże odchylee stadardowe). Przyładowo, odchylee stadardowe stopy przychodu z oreśloej loaty aptału powszeche jest uzawae jao mara ryzya zwązaego z tą loatą. Gdy porówujemy loaty o tej samej przecętej stope zwrotu (tej samej wartośc oczewaej), loata o wyższym odchyleu stadardowym jest uważaa za gorszą, mmo, że wyższe odchylee stadardowe ozacza, że oczewae przychody mogą sę bardzej odchylać od średego pozomu, zarówo w górę, ja w dół. Przyład.5. Dla zmeej losowej z przyładu.4. wyzaczyć wartość oczewaą, warację odchylee stadardowe. Wy zterpretować. Zmea losowa X opsaa w przyładze.4. oreśla lczbę dorosłych osób w gospodarstwe domowym. Oblczamy jej wartość oczewaą orzystając ze wzoru (.6). Otrzymujemy: (.6) (.7) (.8) Powyższy wy ozacza, że średa lczba dorosłych człoów gospodarstw domowych objętych badaem wyos ooło,6 osoby (czyl w 0 gospodarstwach domowych mamy średo rzecz borąc 6 dorosłych osób). Waracja tej zmeej losowej jest rówa: 4

15 Waracja jest wyrażoa w wadratach jedoste, e terpretujemy węc tej mary. Iterpretujemy odchylee stadardowe: osoby Ozacza to, że lczba dorosłych człoów w badaej grupe gospodarstw domowych róż sę od średej (czyl od,56) średo o,46 osoby..4.. Zmea losowa cągła Węszość cech merzalych w statystyce ma charater cech cągłych lub quas cągłych. W wyu losowaa próby, tórą badamy ze względu a cechy cągłe otrzymujemy zmeą losową, tóra może przyjmować dowole wartośc z pewego przedzału lczbowego. Wyobraźmy sobe sytuację, w tórej z populacj gospodarstw domowych pobrao w sposób losowy 00 elemetową próbę, tórą poddao badau ze względu a przecęte mesęcze wydat a żywość w przelczeu a człoa rodzy. Otrzymae wy zostały pogrupowae w forme szeregu rozdzelczego z przedzałam lasowym przedstawoe grafcze za pomocą hstogramu (patrz przyład.6). Przyład.6. Rozład gospodarstw domowych (00) ze względu a wysoość przecętych mesęczych wydatów a żywość w przelczeu a człoa rodzy (w zł/osobę, dae umowe). Podstawa ażdego słupa powyższego hstogramu wyzacza grace przedzału, zaś jego wysoość oreśla częstość występowaa daego waratu cechy (ujętego w forme oreśloego Maem cech quas cągłych oreśla sę cechy mające charater soowe o bardzo dużej lczbe waratów cechy. 5

16 przedzału). Zauważmy, że suma tych częstośc jest rówa 00% (lub w przelczeu a lczbę ). Załóżmy teraz, że ażdy z przedzałów został srócoy o połowę. Wówczas ależy wząć po uwagę węszą lczbę przedzałów lasowych, ta aby przedstawć rozład wartośc badaej cechy. Tae postępowae moża otyuować dalej, zmejszając rozpętośc przedzałów lasowych, zwęszając tym samym ch lczbę, choć oczywśce dalej wysoość słupa ozacza prawdopodobeństwo przyjęca przez zmeą losową oreśloej wartośc, a suma wysoośc wszystch prostoątów jest rówa 00% (lub jeśl częstośc są przedstawoe w postac lczby, a e procetu, to suma ta jest rówa ). Wraz ze wzrostem doładośc pomaru schodowa powerzcha utworzoa przez werzchoł prostoątów w hstograme staje sę pewą gładą rzywą, tóra jest wyresem pewej fucj. W aszym przyładze fucja ta ma ształt apelusza Fucję tą oreśla sę maem fucj gęstośc prawdopodobeństwa (lub po prostu fucją gęstośc) pewej cągłej zmeej losowej X. Maram prawdopodobeństwa są adal pola powerzch pod wyresem fucj gęstośc. Oczywste jest węc, że pole to jest rówe. Reasumując, cągła zmea losowa to taa zmea, tóra może przyjmować dowole wartośc z pewego przedzału lczbowego. Prawdopodobeństwa zwązae z cągła zmeą losową X są wyzaczae przez fucję gęstośc prawdopodobeństwa tej zmeej losowej. Fucja ta ma astępujące własośc: ) jej wyres jest położoy ad osą ox, lub co ajwyżej do ej styczy (czyl dla wszystch wartośc ); 6

17 ) prawdopodobeństwo, że zmea losowa X przyjme dowolą wartość z przedzału jest rówe wartośc pola pod wyresem fucj gęstośc położoego mędzy putam a b; 3) całe pole pod wyresem fucj gęstośc jest rówe. Dystrybuatę zmeej losowej cągłej defujemy aalogcze do zmeej losowej soowej (por. wzór.4). Dystrybuata zmeej losowej X w puce ozacza prawdopodobeństwo przyjęca przez zmeą losową wartośc co ajwyżej rówej. Wartość dystrybuaty jest marą pola zawartego pod wyresem fucj gęstośc w przedzale. Fucja gęstośc pewego rozładu cągłego F(x)P(X x) x UWAGA! Dla zmeej losowej typu cągłego prawdopodobeństwo, że zmea losowa przyjme oretą wartość jest rówe zero (. Wśród wszystch rozładów cągłych (a jest ch esończee wele, gdyż z matematyczego putu wdzea steje esończee wele fucj matematyczych spełających własośc fucj gęstośc) steje jede, tóry ma szczególe zacze w statystyce. Jest to rozład ormaly, zway taże rozładem Gaussa 3. Kształt rzywej ormalej jest podoby do apelusza, stąd często azywaa jest rzywą apeluszową. Ne będzemy przytaczać tu matematyczego rówaa rzywej ormalej, Czytel może je zaleźć w ażdym podręczu statysty, w tórym prowadzoe są rozważaa a temat zmeej losowej. Nemej jeda teresujące są własośc rzywej ormalej, wśród tórych wymeć ależy: ) symetryczość rzywej ormalej (lewa połowa rzywej ormalej jest lustrzaym odbcem jej prawej połowy); ) rozład jest jedomodaly, czyl posada jedo masmum, tóre zloalzowae jest a środu rozładu. Put te odpowada wartośc oczewaej tej zmeej losowej ( ); 3) puty przegęca rozładu są oddaloe od wartośc średej (oczewaej m) o wartość rówą odchyleu stadardowemu tej zmeej losowej σ. 3 Od azwsa emecego matematya, tóremu przypsywao odryce tego rozładu. Jeda prawdzwym jego odrywca był fracus matematy Abraham de Movre, tóry odrył te typ rozładu sto lat wcześej. Krzywa ormala opsywała prawo ormalośc błędów. 7

18 Pożej przedstawoe są wyresy zmeej losowej o rozładze ormalym o wartoścach m różych wartoścach odchylea stadardowego σ 4. Źródło: UWAGA! Jeśl zmea losowa ma rozład ormaly z wartoścą oczewaą rówą m odchyleem stadardowym rówym σ, to ozaczamy ją symbolem. Dlaczego rozład ormaly jest ta waży dla statystyów? Otóż badaa statystycze operają sę główe a badau prób losowo pobraych z populacj geeralej. Na podstawe fudametalego twerdzea statysty matematyczej, zwaego cetralym twerdzeem graczym rozłady welu welośc obserwowaych w próbe (p. średej z próby) zmerzają do rozładu ormalego wraz ze wzrostem lczebośc próby (Aczel, 000, s. 56). Ja wya z powyższego rozład ormaly jest scharateryzoway przez dwa parametry: wartość oczewaą m oraz odchylee stadardowe σ. Wartość oczewaa może być dowolą lczbą rzeczywstą, odchylee stadardowe dowolą lczbą rzeczywstą dodatą. Z formalego putu wdzea steje esończee wele rozładów ormalych. Jeda jede z ch ma szczególe zaczee, uzaway jest bowem jao pewe stadard, za pomocą tórego moża opsać ażdy rozład ormaly o dowolych parametrach. Jest to rozład, w tórym wartość oczewaa jest rówa 0 (m0), zaś odchylee stadardowe jest rówe (. Jest to tzw. Rozład ormaly zestadaryzoway. Ozaczamy go jao. Dla rozładu ormalego wartośc dystrybuaty są stablcowae, Czytel może je zaleźć w załączu 3 do ejszego ursu. 4 Na poższym rysuu µ ozacza wartość oczewaą zmeej losowej (µm). 8

19 Przyład.7. Korzystając z tablc dystrybuaty rozładu ormalego zestadaryzowaego wyzaczyć: a) P(U ; b) P(U>,63); c) P(<U<3); d) P( ). a) ; b) ; c) ; d) ; Najważejsze własośc dystrybuaty rozładu ormalego: a) ; b) ; c) ; Stadaryzacja rozładu zmeej losowej o dowolym rozładze ormalym Dostępe tablcy dystrybuaty rozładu ormalego dotyczą tylo rozładu zestadaryzowaego. Mając dowoly y rozład ormaly ( ) moża go poprzez proste przeształcea doprowadzć do rozładu ormalego zestadaryzowaego. Procedurę tą azywa sę stadaryzacją rozładu. Jeśl zmea losowa, to zmea losowa: jest zmeą losową o rozładze ormalym zestadaryzowaym. Przeształcee opsae wzorem (.9) azywamy stadaryzacją rozładu. Przyład.8. Zbadao, że popularość pewego czasopsma merzoa loścą sprzedaych egzemplarzy ma rozład ormaly o średej rówej 35 tys. egzemplarzy odchyleu wyoszącym 0 tys. egzemplarzy. Wyzaczyć prawdopodobeństwo tego, że w cągu mesąca sprzedaych zostae: a) pożej 30 tys. egzemplarzy; b) powyżej 50 tys. egzemplarzy; c) medzy 35 a 40 tys. egzemplarzy. X~N(m, σ) gdze m35, σ0 ( tys. egz.) czyl otrzymujemy rozład N(35,0). X m X 35 Zmea stadaryzowaa U, U~N(0,) σ 0 X X < 30 < 0, a) P ( X < 30) P( U < 0,5) F( 0,5) F(0,5) 0,69( tablce) 0, 309 (.9) 9

20 b) P(X > 50) P(U >,5 ) - P(U,5) - F(,5) 0,933 0, c) P ( 35 < X < 40) P < U < P(0 < U < 0,5) F(0,5) F(0) 0,69 0,5 0, Przyład.9. Grubość lodu a jezorze jest zmea losową o rozładze ormalym z astępującym parametram: wartoścą oczewaą rówą 50 cm odchyleu 0 cm. Oblczyć prawdopodobeństwo tego, że grubość lodu: a) będze węsza ż 45 cm; b) będze mejsza ż 35 cm; c) będze mejsza ż 3 lub węsza ż 5 cm. X~ N(50,0) a) P( X > 45) P( U > ) P( U 0 F(0,5) > 0,5) P( U 0,5) F( 0,5) [ F(0,5)] b) P(X < 35 ) P(U < -,5) F(-,5) - F(,5) - 0,933 0,0668 c) P( X < 35 X > 5) P( X < 3) + P( X > 5) P( U < ) + P( U > ) P( U P( U > 0,) F(,8) + P( U 0,) F(,8) + F(0,) F(,8) + F(0,) F(,8) F(0,) 0,964 0,5793 0,4567 <,8) + Omówmy teraz dwa rozłady, tóre są zwązae z rozładem ormalym, a maowce rozład ch wadrat oraz rozład Studeta. W oreśleu ażdego z tych rozładów pojawa sę pojęce stopeń swobody, tóre jest luczem do zrozumea welu ważych rozładów używaych przez statystyów. Przyład.0. Rozpatrzmy możlwe wy obserwacj czterech zmeych: X, X, X 3, X 4. Nech ch wartoścam w próbe będą: x 0, x, x 3 6, x 4 8. Średą w próbe jest: x x + x + x x 4 4 Ilu wyom obserwacj, spośród czterech możlwych, moża swobode przypsać dowole wartośc, jeżel ch średa jest zaa? Załóżmy, że e jest zaa wartość zmeej X 4 w próbe. Zatem: x Stąd mamy x 4 8. W rozważaym przyładze mamy 3 stope swobody. Czwarty możlwy wy obserwacj e może sę swobode poruszać. Wosujemy węc, że gdy mamy możlwych wyów obserwacj zamy ch średą, to średa dzała jao pewego rodzaju ograczee a wy obserwacj, pozostawając am stop swobody.

21 Lczba stop swobody jest rówa lczbe wszystch pomarów pomejszoej o lczbę wszystch ograczeń arzucoych a te pomary. Ograczeem jest ażda welość, tóra zostaje oblczoa a podstawe tych samych pomarów. Przypuśćmy a przyład, że dwe ezależe próby o zaych średch zostały połączoe. Jeżel próba perwsza słada sę z, a próba druga z wyów obserwacj, to lczba stop swobody zwązaa z odchyleem od dwóch średch jest rówa lczbe wszystch wyów obserwacj pomejszoej o lczbę wszystch ograczeń, czyl +. Powyższy przyład poazuje, że stope zwązae z ezależym próbam są addytywe. Lczba stop swobody zwązaych z perwszą próbą jest, z drugą próbą, a z połączoą próbą ( -) + ( ) +. Rozład ch wadrat Rozładem ch wadrat ( χ ) azywamy rozład astępującej sumy: X + X X (.0) gdze X, X,..., X są ezależym zmeym losowym o tym samym rozładze N(0,). Lczba ezależych sładów zmeej losowej χ jest lczbą stop swobody (wartość ta e ma ograczeń). Zmea losowa o rozładze ch wadrat przyjmuje wartośc dodate a jej rozład zależy od lczby stop swobody. Dla małych jest to rozład sle asymetryczy, w marę wzrostu staje sę coraz bardzej symetryczy podoby do rozładu ormalego. Wartość oczewaa waracja zmeej losowej o rozładze χ są astępujące: E( χ ), D ( χ ) Dla rozładu χ sporządzoo tablce, w tórych dla oreśloej lczby stop swobody oraz ustaloej wartośc prawdopodobeństwa α moża odczytać wartość warue: P( χ χ α dla tórej spełoy jest χ α ) α (.) Podreślamy, że tablce e zawerają wartośc dystrybuaty rozładu χ. Na ogół tablce ch wadrat są budowae dla < 30. Jeżel rozpatrujemy zmeą o rozładze rozład przyblżać za pomocą rozładu ormalego N(, przyblżee tae jest zupełe dobre. χ o dużej lczbe stop swobody, możemy jej ) przyjmuje sę, że już od 30 Przyład.. Zmea losowa X ma rozład ch wadrat z pęcoma stopam swobody ( χ ). Oblczyć prawdopodobeństwa: P(X >,45), P(X 7,89). 5 W perwszym przypadu teresujące as prawdopodobeństwo α odczytujemy bezpośredo z tablc. W werszu o umerze rówym 5 ( 5)zajdujemy lczbę,45. Lczba ta zajduje sę w olume, dla tórej α 0,95. Ta węc:

22 5 P(X >,45) P( χ >,45) 0,95 Aby odczytać teresujące as prawdopodobeństwo w drugm przypadu musmy je przedstawć astępująco: P(X 7,89) P(X > 7,89) P( χ > 7,89) (tablce) 0,0 0,80 Rozład Studeta Rozładem Studeta z stopam swobody azywamy rozład zmeej losowej T oreśloej astępująco: T T (.) χ χ są to ezależe zmee losowe, T ma rozład N(0,), atomast gdze: T ch wadrat o stopach swobody. Dla rozładu Studeta mamy: χ ma rozład E(T ) 0 ( > ), D (T ) ( > ) Rozład Studeta jest symetryczy względem prostej x 0, jego ształt jest bardzo zblżoy do ształtu rozładu ormalego (jest eco bardzej spłaszczoy). Już przy dzesęcu stopach swobody fucja gęstośc rozładu Studeta jest prawe detycza z fucją gęstośc rozładu ormalego stadaryzowaego. Zwyczajowo przyjmuje sę, że gdy lczba stop swobody wyos 30 lub węcej moża tratować rozład Studeta jao detyczy z ormalym. W badaach przeprowadzaych a małych próbach (p. badaach esperymetalych) uwzględee różcy mędzy rozładem ormalym a rozładem Studeta jest jeda oecze. Rozład Studeta jao perwszy badał a początu XX weu Wllam S. Gosset, chem matematy odpowedzaly za badae jaośc oraz dobór surowców do warzea pwa w sławych browarach Guessa. Zarząd Guessa zabroł pracowom publowaa jacholwe prac. Gosset publował węc pod pseudomem Studet. Dla rozładu Studeta opracowao stosowe tablce. W tablcach tych dla ustaloej lczby stop swobody oraz ustaloego prawdopodobeństwa α moża odczytać wartość t α spełającą warue: P( T > t α ) α. (.3) Tablce rozładu Studeta budowae są a ogół dla 30. Jeżel lczba stop swobody jest węsza od 30, wówczas orzystamy z rozładu N(0,). Przyład.. Zmea losowa X ma rozład Studeta o 5 stopach swobody. Oblczyć: a) P( X > 0,866) b) P(X >,34) c) P( X 0,69)

23 Uwaga: Ne możemy oblczyć podaych prawdopodobeństw za pomocą dystrybuaty rozładu Studeta, bo tablce e podają jej wartośc. a) P( X > 0,866) P( T 5 > 0,866) odczytujemy bezpośredo z tablc rozładu Studeta. W werszu 5 zajdujemy lczbę 0,86645 (jest to wartość t α ). Wartość ta zajduje sę w olume dla tórej α 0,4. Ta węc: P( T 5 > 0,866) 0,4 b) Podae prawdopodobeństwo e może być odczytae bezpośredo z tablc. Wobec symetr ( względem x 0) fucj gęstośc rozładu Studeta mamy: P( X >,34) P(X < -,34 X >,34) (zdarzea rozłącze ) P(X < -,34) + P(X >,34) P(X >,34) Zatem: P(X >,34) 0,5P( T 5 >,34) 0,5 0, (tablce ) 0,. c) P( X 0,69) P( T 5 0,69) - P( T 5 > 0,69 ) - 0,5 (tablce) 0,5 3

24 Moduł Wybrae elemety teor podejmowaa decyzj.. Wprowadzee Podejmowae decyzj jest procesem, z tórym spotyamy sę emal codzee we wszystch sferach życa zawodowego prywatego. Węszość decyzj podejmujemy bez węszych trudośc, bez głębszej aalzy problemu. Jeda zdarzają sę tae sytuacje, tórym warto pośwęcć eco czasu wysłu a oreślee w możlwe ajbardzej omplesowy sposób wszystch możlwych sposobów dzałaa. W obu tych sytuacjach zależy am zawsze a wyborze optymalej (ajlepszej z putu wdzea oreśloego ryterum) decyzj. Decyzja jest ońcowym wyem procesu decyzyjego. Proces podejmowaa decyzj jest węc pewą procedurą, według tórej pow postępować ludze (decydec), aby podjąć ajlepszą decyzję z możlwych do podjęca w daych waruach. Co węc ależy zrobć, aby asza decyzja była trafa? W welu sytuacjach w procese podejmowaa decyzj może operać sę wyłącze a aszym dośwadczeu, tucj rozsądu. Ta czymy zresztą w welu sytuacjach życowych. Jeda często do problemu moża podejść w odmey, bardzej systematyczy sformalzoway sposób. Tae sformalzowae podejśce os azwę statystyczej aalzy decyzyjej. Dzę postępowau według oreśloych reguł log, możlwośc popełea błędu lub dzałaa w sposób eosewety zostają w zaczym stopu ograczoe, co oczywśce e ozacza, ż zawsze podejmemy dobrą decyzję (Karwac Z., Koarzewsa I., 997, s. 7)... Rola wartość formacj w procese podejmowaa decyzj Jedym z główych czyów decydujących o wyborze oreśloych procedur zwązaych z procesem podejmowaa optymalych decyzj jest lczba formacj, jaą dyspouje decydet oraz zajomość (lub ezajomość) prawdopodobeństwa wystąpea poszczególych waratów zmeych, tóre stosujemy w procese podejmowaa decyzj. Isteją cztery podstawowe lasy problemów decyzyjych, a maowce (Mszczyńs M., Mszczyńsa D., 997, s. 3): Podejmowae decyzj w waruach pewośc. Z tą lasą problemów decyzyjych mamy do czyea wówczas, gdy ażdej decyzj odpowada tylo jede możlwy wy (mówmy wówczas, że proces decyzyjy jest zdetermoway). Trudość w wyborze optymalej decyzj wya z fatu, ż decydet wybera z olbrzymej lośc możlwych do podjęca (dopuszczalych) decyzj. Wybór optymalej decyzj jest wówczas wsperay przez odpowede metody optymalzacyje. Podejmowae decyzj w waruach epewośc. Z taą sytuacją mamy do czyea wówczas, gdy ażdej decyzj odpowada węcej ż jede wy (wówczas proces decyzyjy jest procesem stochastyczym). Ne zamy jeda prawdopodobeństwa z jam day wy może wystąpć, a z przeszłośc brauje dośwadczeń dla ch oszacowaa. Podejmowae decyzj w waruach ryzya. Z taą sytuacją mamy do czyea wówczas, gdy ażdej decyzj odpowada węcej ż jede wy, ale zamy prawdopodobeństwo z jam day wy może wystąpć. Podejmowae decyzj w waruach częścowej formacj. Jest to ajczęścej spotyay rodzaj procesów decyzyjych. Z tego typu procesem decyzyjym mamy do czyea, gdy ażdej 4

25 decyzj odpowada węcej ż jede wy. Ne zamy prawdopodobeństwa za jam day wy może wystąpć, ale możlwe jest jego oszacowae dzę zajomośc pewych charaterysty ezaego rozładu prawdopodobeństwa (p. zajomośc wartośc oczewaej, domaty, tp.)..3. Podejmowae decyzj w waruach epewośc ryzya gry z aturą Rozważmy sytuację, w tórej dwóch decydetów podejmuje decyzje prowadzące do ofltu mędzy m. Sytuacje te są dość powszeche spotyae w rzeczywstośc (p. dwe frmy ourujące ze sobą a jedym ryu). Moża węc przyjąć, ż uczestczą o w swostej grze, a podejmowae przez ch decyzje są odpowedm strategam. Efety stosowaa tych strateg przez jedego z decydetów e pozostaje bez wpływu a drugego z ch. Załóżmy, że gracze podejmują jedocześe ezależe od sebe decyzje. Jeśl jede z graczy (zway dalej aturą lub rzadzej ryem) e jest zateresoway wyem gry, to taą sytuację decyzyją oreślamy maem gry z aturą. W tym przypadu decyzję podejmuje tylo jede gracz, posadając formację o możlwych staach atury, wpływających a orzyśc wyające z pojęca oreśloych decyzj..3.. Gry z aturą w waruach epewośc. W tej częśc omówoe zostaą możlwe rytera wyboru optymalej decyzj w zagadeach zwaych gram z aturą, przy założeu, że decydet dzała w waruach epewośc. Załóżmy, że decydet ma do wyboru m różych decyzj (ozaczmy je jao D, D,, D m ) przy różych staach atury (ozaczmy je przez S, S,., S ). Dla ażdej decyzj ( {,, K,m} ażdego stau atury j ( j {,, K,} ) zaa jest welość orzyśc (lub strat), jae może osągąć decydet, tóry jao jedyy jest zateresoway wyem gry. Welość owych orzyśc (strat) ajproścej jest ująć w postac macerzy, zwaej macerzą wypłat (macerzą orzyśc lub macerzą strat), A [ ]. a j m Dzałając w waruach epewośc możemy posłużyć sę astępującym ryteram wyboru decyzj (Mszczyńs M., Mszczyńsa D., 997, s.7): ryterum MaxMax (sraje postępowae ryzyata, optymsty); ryterum MaxM (sraje postępowae aseurata, pesymsty); ryterum Hurwcza (postępowae pośrede mędzy ryzyatem a aseuratem); ryterum Savage a (MMax żalu); ryterum Laplace a. Zastosowae powyższych ryterów zależy wyłącze od preferecj decydeta. Wymeoe rytera wyboru optymalej decyzj omówoe zostaą a poższym przyładze. Przyład.. (a podstawe materałów dydatyczych dr A. Kucharsego, aqchars.w.tera.pl ). Zarząd pewej frmy mus podjąć decyzję o wdrożeu jedej z trzech techolog, tóre pozwolą rozszerzyć asortymet produtów wprowadzaych przez frmę a rye. Oszacowao zys (w tys. zł), jae osąge frma w zależośc od podjętej decyzj od tego, ja zareaguje rye a dzałaa frmy. Możlwe są trzy sytuacje: S- duże zateresowae ryu owym produtam, 5

26 S- umarowae zateresowae ryu owym produtam oraz S3 małe zateresowae ryu owym produtam. Zys te podae są w poższej tablcy: Decyzje frmy Reacja ryu S S S3 D (techologa ) D (techologa ) D3 (techologa 3) Macerz wypłat jest węc astępująca: A Kryterum MaxMax (sraje postępowae ryzyata, optymsty). W tym ryterum dla ażdej decyzj oreśla sę masymalą wartość zysu o max{ a } (masymaly elemet w ażdym werszu macerzy A), a astępe wybera sę taą decyzję, dla o max o. Stosując to ryterum dla aszego tórej masymaly zys jest ajwęszy { } przyładu otrzymujemy: O max{50, -0, 5}50; O max{35, 00, 60}00; O 3 max{50, 70, 60}70. Zatem erując sę ryterum optymsty ależy podjąć decyzję drugą, czyl decyzje o zastosowau techolog. Kryterum MaxM (sraje postępowae aseurata, pesymsty). W tym ryterum, dla ażdej decyzj oreśla sę mmaly gwaratoway zys p m{ a } (mmaly elemet w ażdym werszu macerzy A), a astępe wybera sę taą decyzję, dla tórej mmaly gwaratoway zys jest ajwęszy, czyl p max{ p }. Stosując to ryterum dla aszego przyładu otrzymujemy: P m{50, -0, 5}-0; P m{35, 00, 60}35; P 3 m{50, 70, 60}50. W myśl tego ryterum ajlepszy wybór z putu wdzea orzyśc frmy to wybór techolog 3. Kryterum Hurwcza (postępowae pośrede mędzy ryzyatem a aseuratem) Kryterum to staow warat pośred mędzy srajym staowsam reprezetowaym przez dwa opsae wyżej rytera. W tym ryterum dla ażdej decyzj ależy oreślć słoość do j j j j 6

27 ryzya. Owa słoość opsaa jest za pomocą parametru α (0,) 5. Dla ustaloej wartośc parametru α dla ażdej decyzj oblczamy śred ważoy zys a podstawe ryterów optymsty pesymsty. Zys te oreśloy jest zależoścą: H α O + ( α ) P A astępe wyberamy taą decyzję, dla tórej śred ważoy zys jest ajwęszy, czyl H max{ H }. Ustalając w aszym przyładze słoość do ryzya a pozome odpowedo 0,8 (dla decyzj ), 0,6 dla decyzj oraz 0,7 dla decyzj 3 otrzymujemy: H 0,8*50+0,*(-0)38; H 0,6*00+0,4*3574; H 3 0,7*70+0,3*5064; Co ozacza, że ajlepszą decyzją frmy jest wybór techolog. Kryterum Savage a (MMax żalu ) Kryterum to bazuje a podobych założeach ja zae w eoom oszty utracoych orzyśc. Dla ażdego stau atury S j moża wyzaczyć decyzję D, tóra przyese masymalą orzyść dla decydeta. Podjęce ej decyzj przy stae atury S j, sutuje mejszą (lub co ajwyżej rówą) orzyścą ż w przypadu wyboru decyzj D. Różca mędzy masymalą możlwą do osągęca przez decydeta orzyścą przy stae atury S j a orzyścą osągaą w przypadu podjęca oreśloej decyzj wyzacza welość żalu w stosuu do źle podjętej decyzj. Welość owego żalu ezbęda jest to budowy macerzy żalu staow perwszy etap wyzaczaa optymalej decyzj z zastosowaem powyższego ryterum. Ja zatem zbudować macerz żalu? W perwszym rou dla ażdego stau atury S j oreślamy welość masymalej orzyśc jaa może osągąć decydet. Welość ta oreśloa jest oreśloa wartoścą ajwęszego elemetu w j-tej olume macerzy wypłat, czyl A max{ a }. Następe dla ażdej decyzj D jaą możemy podjąć przy stae atury S j oreślamy welość żalu w stosuu do źle podjętej decyzj ( r j ). Welość ta oreśloa jest jao różca mędzy masymalą możlwą do osągęca orzyścą Aj a weloścą orzyśc osągaej przy daej decyzj aszym przyładze welość żalu jest astępująca: j j a j, czyl r j j j A j A a. W A max{50,35,50} 50 ; A max{ 0,00,70} 00 ; A max{5,60,60} 60 Macerz żalu ma postać: 3 5 Parametr te może być jedaowy dla wszystch decyzj, moża go taże różcować w zależośc od decyzj. Wartość parametru blższa jedośc ozacza, że decydet ma wyższą słoość do byca optymstą ż pesymstą a odwrót. 7

28 50 50 R ( 0) Następe dla macerzy żalu wyzacza sę ajwęszy możlwy żal R max{ r j }(ajwęszy elemet w -tym werszu macerzy żalu ), a astępe wyberamy taą decyzję, dla tórej ajwęszy możlwy żal będze ajmejszy. W aszym przyładze: R max{0, 0, 55}0; R max{5, 0, 0}5; R 3 max{0, 30, 0}30 A zatem, według ryterum Savage a ajlepszą decyzją dla frmy będze wybór techolog. Kryterum Laplace a W tym ryterum załadamy, że ażdy sta atury jest jedaowo prawdopodoby, czyl P{ S j }. Ozacza to, że dla ażdej decyzj D oczewaa wartość orzyśc jest średą a + a + K + a arytmetyczą prostą wyzaczaą z welośc tych orzyśc, czyl L (średa arytmetycza ze wszystch elemetów występujących w -tym werszu macerzy wypłat). Wyberamy taą decyzję, dla tórej oczewaa welość orzyśc jest ajwęsza. Stosując to ryterum w aszym przyładze otrzymujemy: 50 + ( 0) + 5 L 5 ; L 65; L 3 60 ; 3 Zatem z putu wdzea tego ryterum ajlepszym wyborem jest wybór techolog. j.3.. Podejmowae decyzj w waruach ryzya Podejmowae decyzj w waruach ryzya wąże sę z sytuację, ż ażdej decyzj odpowada węcej ż jede wy zae jest prawdopodobeństwo z jam day wy może wystąpć. Prawdopodobeństwa te oreślamy maem prawdopodobeństw a pror ozaczamy jao P { S j } p j. Dzałając w waruach ryzya możemy posłużyć sę astępującym ryteram wyboru optymalej decyzj: Kryterum masymalej oczewaej wartośc zysu (MOW); 8

29 Kryterum mmalego oczewaego żalu. W obu tych ryterach aalzowae są wartośc oczewae zysów lub strat ( żalu ), aby astępe wybrać taą decyzję, tóra masymalzuje oczewaą wartość zysu (ryterum ) lub mmalzuje oczewaą wartość żalu (ryterum ). Zastosowae obu powyższych ryterów prześledzmy a przyładze frmy opsaej w przyładze. Załóżmy, że prawdopodobeństwa zastea poszczególych staów atury są oreśloe astępująco: P{S }0,3; P{S }0,5; P{S 3 }0,. Kryterum masymalej oczewaej wartośc zysu (MOW) Według tego ryterum dla ażdej decyzj D wyzacza sę oczewaą wartość zysu E( a ) wyorzystując formacje a pror o prawdopodobeństwach zastea poszczególych staów atury. Oczewaa wartość orzyśc dla decyzj D jest węc rówa: E a ) a P{ S } + a P{ S } + K + a ( P{ S Decydet powe węc wybrać taą decyzję, dla tórej oczewaa wartość zysu jest ajwęsza. Stosując powyższe ryterum w aszym przyładze otrzymujemy: E ( a ) 0,3* ,5*( 0) + 0,*5 ; E ( a ) 0,3*35+0,5*00+0,*607,5; E ( a ) 0,3*50+0,5*70+0,*606. Według tego ryterum decydet powe wybrać techologę. Kryterum mmalego oczewaego żalu Według tego ryterum dla ażdej decyzj D wyzacza sę oczewaą wartość żalu E ( r ) wyorzystując formacje a pror o prawdopodobeństwach zastea poszczególych staów atury. Oczewaa wartość żalu jest rówa: gdze r j są elemetam macerzy żalu. E r ) r P{ S } + r P{ S } + K + r P{ S }, ( Decydet powe wybrać taą decyzję, dla tórej oczewaa wartość żalu jest ajmejsza. } W aszym przyładze macerz żalu ma postać: R Oczewaa wartość żalu dla ażdej decyzj jest węc rówa: E( r ) 0,3*0+0,5*0+0,*5566; E( r ) 0,3*5+0,5*0+0,*04,5; 9

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

Bajki kombinatoryczne

Bajki kombinatoryczne Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęca wyrówawcze AJD w Częstochowe; 2009/200 Irea Fdyte PODSTAWOWE WIADOMOŚCI Z KOMBINATORYKI Nech X { x x x } =, 2, będze daym zborem -elemetowym Z elemetów tego zboru a róże

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu. W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

T. Hofman, Wykłady z Termodynamiki technicznej i chemicznej, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Technologia chemiczna, sem.

T. Hofman, Wykłady z Termodynamiki technicznej i chemicznej, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Technologia chemiczna, sem. . Hofma Wyłady z ermodyam techczej chemczej Wydzał Chemczy PW erue: echologa chemcza sem.3 215/216 WYKŁAD 3-4. D. Blase reatorów chemczych E. II zasada termodyam F. Kosewecje zasad termodyam D. BILANE

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP

WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP KATARZYNA BŁASZCZYK BOGDAN RUSZCZAK Poltecha Opolsa WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP Wstęp Esploraca daych (ag. data g) zaue sę efetywy zadowae ezaych dotychczas

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin. 2010, Oeconomica 280 (59), 13 20

FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin. 2010, Oeconomica 280 (59), 13 20 FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Fola Pomer. Unv. Technol. Stetn. 2010, Oeconomca 280 (59), 13 20 Iwona Bą, Agnesza Sompolsa-Rzechuła LOGITOWA ANALIZA OSÓB UZALEŻNIONYCH OD ŚRODKÓW

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A

ĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A ĆWICZENIE Symulacja doświadczeń losowych Statystya opisowa Estymacja parametrycza i ieparametrycza T E O R I A Opracowała: Katarzya Stąpor Opis programu MS EXCEL. Iformacje ogóle Program Microsoft Excel

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY. Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych (Z-14)

INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY. Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych (Z-14) INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY Załad Teletrasmsj Tech Optyczych (Z-4) Aalza badaa efetów zachodzących w śwatłowodowym medum trasmsyjym degradujących jaość trasmsj w systemach DWDM o dużej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU Haa Dudek a, Moka Dybcak b a Katedra Ekoometr Iformatyk SGGW b studetka Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr e-mal: hdudek@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH

PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH INSTYTUT HODOWLI I AKLIMATYZACJI ROLIN PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH MATERIAY SZKOLENIOWE Dr hab. Zbgew Laudask, prof. adzw. Katedra Bometr Wydza Rolctwa Bolog SGGW Warszawa

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7)

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7) PROCES ZARZĄDZANIA PORTFELEM PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH WSPOMAGANY PRZEZ ŚRODOWISKO AUTOMATÓW KOMÓRKOWYCH Ageszka ULFIK Streszczee: W pracy przedstawoo sposób zarządzaa portfelem paperów wartoścowych wspomagay

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe

Bardziej szczegółowo

STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM

STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM Edward CHLEBUS, Joaa HELMAN, Mara ROSIENKIEWICZ, Paweł STEFANIAK Streszczee: Nejszy artykuł

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INPUT - OUTPUT

ANALIZA INPUT - OUTPUT Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa z 28 SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI Istytut Ekoometr SGH Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 Analiza masowa

Projekt 3 Analiza masowa Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 4 Nieparametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 4 Nieparametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lecja 4 Nearametrycze testy stotośc ZADANIE DOMOWE www.etraez.l Stroa 1 Część 1: TEST Zazacz orawą odowedź (tylo jeda jest rawdzwa). Pytae 1 W testach earametryczych a) Oblczamy statystyę

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie danych meteorologicznych

Przetwarzanie danych meteorologicznych Sps teśc I Rozważaa ogóle 5 Pzetwazae daych meteoologczych Notat z wyładu pokhamaa Wyoała: Alesada Kadaś I Iomacja odowae 5 I Poces pzetwazaa daych 5 I Aalza 6 I Syteza 7 I3 Edycja wzualzacja 7 I3 Dae

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI

STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XII/, 0, tr. 3 STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI Dorota Kozoł-Kaczorek Katedra Ekoomk Rolcta Mędzyarodoych Stoukó Gopodarczych Szkoła

Bardziej szczegółowo

Spis treści ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5

Spis treści ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5 Ss treśc SPIS TREŚCI WYKŁAD 5 ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5 WYKŁAD 9 TESTY PIERWSZOŚCI I LICZBY PSEUDOPIERWSZE 9 LICZBY PSEUDOPIERWSZE EULERA WYKŁAD

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI ĆWICZENIE 0 OPTYMALIZACJA STUKTUY CZUJKI TEMPEATUY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI Cel ćwczea: zapozae z metodam optymalzac wewętrze struktury mozakowe czuk temperatury stosowae w systemach sygalzac pożaru; wyzaczee

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz

Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty Zeo Zwerzewcz Szczec Zeo Zwerzewcz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty W artyle

Bardziej szczegółowo

Wybór projektu inwestycyjnego ze zbioru wielu propozycji wymaga analizy następujących czynników:

Wybór projektu inwestycyjnego ze zbioru wielu propozycji wymaga analizy następujących czynników: Wybór projeu wesycyjego ze zboru welu propozycj wymaga aalzy asępujących czyów:. Korzyśc z przyjęca do realzacj daego projeu. 2. Ryzya z m zwązaego. 3. Czasu, óry powoduje zmaę warośc peądza. Czy czasu

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej Materały omoccze do e-leargu Progozowae symulacje Jausz Górczyńsk Moduł. Podstawy rogozowaa. Model regresj lowej Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu Sochaczew Od Autora Treśc zawarte w tym materale były erwote

Bardziej szczegółowo

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie Proste modele ze złożonym zachowanem czyl o chaose 29 kwetna 2014 Komputer jest narzędzem coraz częścej stosowanym przez naukowców do ukazywana skrzętne ukrywanych przez naturę tajemnc. Symulacja, obok

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo