SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

Transkrypt

1 SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź

2 Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w zarządzau 4.. Wprowadzee 4.. Wybrae metody badań statystyczych 4.3. Prawdopodobeństwo loścowa mara epewośc 8.4. Zmea losowa jej rozład Zmea losowa soowa.4.. Zmea losowa cągła 5 Moduł Wybrae elemety teor podejmowaa decyzj 4 Moduł 3.. Wprowadzee 4.. Rola wartość formacj w procese podejmowaa decyzj 4.3. Podejmowae decyzj w waruach epewośc ryzya gry z aturą.3.. Gry z aturą w waruach epewośc Podejmowae decyzj w waruach ryzya 8.4. Cea gracza dosoałej formacj Wyorzystae dodatowej formacj 30 Wybrae zagadea z zaresu estymacj przedzałowej parametrów rozładu populacj geeralej 3.. Wprowadzee Estymacja parametrycza pojęca wstępe Przedzał ufośc dla wartośc przecętej Przedzał ufośc dla wsaźa strutury 39 Moduł 4 Weryfacja hpotez statystyczych Pojęca podstawowe Weryfacja (testowae) hpotez o wartośc przecętej Weryfacja hpotez statystyczych o rówośc wartośc przecętej w dwóch zborowoścach geeralych 4.4. Weryfacja hpotezy o rówośc dwóch wsaźów strutury Weryfacja hpotezy o rówośc dwóch wsaźów strutury Test ezależośc χ

3 Aes Statystycza aalza strutury zborowośc 56 A... Rodzaje szeregów statystyczych; sale pomarowe 56 A... Podstawowe charaterysty lczbowe strutury badaej zborowośc A..3. Badae zależośc mędzy cecham 6 Aes Rozłady wybraych statysty próbowych 66 Aes 3 Tablce wybraych rozładów cągłych 70 A.3.. Dystrybuata rozładu ormalego 70 A.3.. Rozład Studeta 7 A.3.3. Rozład χ

4 Moduł.. Wprowadzee Wprowadzee do metod loścowych w zarządzau W dobe rozwoju gospodar cyfrowej proces pozyswaa formacj staje sę coraz łatwejszy. Ogroma lczba formacj, dostępych często bezpłate przyczya sę do dyamczego rozwoju metod, za pomocą tórych możlwe jest przeprowadzee sytetyczej aalzy oreśloych zjaws. Metody te mają coraz częścej charater loścowy, co ozacza, że w procese aalzy wyorzystuje sę szeroo rozumae metody matematyczo-statystycze. Zajomość przyajmej częśc tych metod oraz śwadome ch zastosowae jest podstawą racjoalego fucjoowaa podmotów w gospodarce. Szeroe spetrum problemów zawązaych z właścwą oceą współczesego życa gospodarczego, wyających często z fatu, ż podmoty dzałają w waruach epełej formacj wymaga odwoływaa sę w sytuacjach pratyczych do loścowych metod aalzy tych problemów. Szczególą rolę pełą tu metody statystycze mające ogrome zastosowae w dzałalośc gospodarczej, to zarówo w odeseu do pojedyczego przedsęborstwa, grupy przedsęborstw, wybraej sfery dzałalośc gospodar, ja róweż gospodar jao całośc. Popularość metod statystyczych wya z samej specyf statysty, tóra jest dzedzą au badającą prawdłowośc zachodzące w zjawsach masowych (czyl tach, tóre występują w dużej lczbe przypadów). Z podstawowym metodam statystyczym stosowaym do opsu badaej zborowośc statystyczej Słuchacz powe sę zapozać sę a urse statysty opsowej. Przypomee wybraych metod, tóre są oecze z putu wdzea treśc zawartych w ejszym urse zaleźć moża w aese do modułu. W ejszym module uwaga socetrowaa zostae główe a podstawowych pojęcach statystyczych, wybraych metodach badań statystyczych oraz elemetach rachuu prawdopodobeństwa statysty matematyczej, tóre są ezbęde do zrozumea treśc zawartych w olejych modułach... Wybrae metody badań statystyczych Celem ażdego badaa statystyczego jest sytetyczy ops badaej zborowośc statystyczej, tóry może być podstawą do formułowaa szerszych wosów dotyczących populacj geeralej. Waże jest węc poprawe rozumee podstawowych pojęć statystyczych tach ja zborowość statystycza, jedosta statystycza, populacja geerala, cecha statystycza, etc. Pożej podajemy róte ch defcje. Węcej formacj moża zaleźć w opracowaach Sobczya (000, s. 3-8), Starzyńsej Mchalsego (996, s. 9-). Pod pojęcem zborowośc (populacj) statystyczej rozume sę zbór jedoste (osób, rzeczy lub zjaws) objętych badaem statystyczym. Elemety zborowośc statystyczej poddae bezpośredej obserwacj lub pomarow oreślae są maem jedoste statystyczych. Jeśl przedmotem badaa są wszyste jedost statystycze, co do tórych chcemy formułować wos ogóle, to taą zborowość azywamy zborowoścą (populacją) geeralą. Podzbór populacj geeralej wybray w oreśloy sposób os azwę zborowośc próbej (próby). Badae statystycze sprowadza sę główe do zebraa, odpowedego przetworzea aalzy formacj dotyczących badaej zborowośc statystyczej cech jedoste statystyczych. Do podstawowych etapów badaa statystyczego zalcza sę: ) Projetowae badaa. ) Obserwacja statystycza (zberae formacj). 3) Opracowae prezetacja zebraych formacj. 4

5 4) Aalza otrzymaych wyów (ops lub wosowae statystycze).. Projetowae badaa: a) Etap perwszy rozpoczyamy od oreślea celu badaa oraz hpotezy badawczej, tórą staramy sę zweryfować w tou badaa. b) Drugą czyoścą jest oreślee zaresu badaa, poprzez co rozumemy: b ) oreślee jedost zborowośc statystyczej, jao zboru jedoste posadających pewe wspóle właścwośc cechy stałe; b ) wybór zmeych cech statystyczych, czyl właścwośc jedoste, tórych pozom w badaej zborowośc jest zróżcoway zgode z celem badaa, będze podlegał obserwacj; c) oreślee rodzaju badaa (całowte, czy częścowe); d) oreślee źródeł formacj (perwote, czy wtóre jae); e) opracowae formularzy statystyczych maet tablc wyowych; f) sporządzee osztorysu badaa.. Obserwacja statystycza: Charater obserwacj statystyczej zależy od rodzaju badaa, lczebośc badaej zborowośc oraz częstotlwośc badaa (p. wypełee aety, czy formularzy spsowych, adsyłaa oresowych sprawozdań tp.). Opracowae prezetacja zebraych wyów. Perwszą czyoścą jest otrola zebraych wyów pod względem zupełośc materału (w badaach pełych czy wszyste jedost adesłały odpowedz, w badaach częścowych czy lczba uzysaych formacj jest dostatecze duża, aby móc przeprowadzć wosowae statystycze), pod względem zupełośc zapsów (czy a ażdym formularzu uzysao odpowedz a wszyste pytaa) oraz logczośc zapsów. Grupowae (porządowae) dywdualych formacj polega a podzale ogółu jedoste a podzbory według pozomu oreśloej cechy. Pozwol to a wyryce prawdłowośc twących w badaym zjawsu. Rozróża sę dwa sposoby grupowaa: mechacze typologcze. Perwsze polega a tworzeu podzborów w oparcu o ogóle przyjęte podstawy podzału; przy grupowau typologczym wydzeloe podzbory tworzą oreśloy typ jedoste (p. przy grupowau według weu wydzelamy grupy ludośc w weu: przedproducyjym, producyjym, poproducyjym). W wyu grupowaa otrzymujemy szereg statystycze szczegółowe, lub rozdzelcze: putowe lub przedzałowe (przedzał lasowy zawera wtedy węcej, ż jede warat badaej cechy). Zastosowae metody budowy szeregów zależą przede wszystm od celu badaa oraz od charateru daych. Prezetacja otrzymaych szeregów w postac tablc lub wyresów. Przy budowe publacj tablc prostych (jeda zborowość pogrupowaa według jedej cechy), złożoych (róże zborowośc pogrupowae według tej samej cechy), czy ombacyjych (jeda zborowość pogrupowaa według węcej, ż jedej cechy) trzeba zwrócć uwagę a właścwy tytuł tablcy, stosowae jedost pomaru podae źródła formacj. Prezetacja grafcza (wyresy) służy 5

6 przede wszystm celom publacyjym ułatwa porówaa oraz zaobserwowae prawdłowośc charateryzujących badaą zborowość. Dostępe programy omputerowe stadardowo już oferują wele różorodych typów wyresów. Aalza wyów obserwacj Aalza materałów statystyczych może być przeprowadzoa z różych putów wdzea, przede wszystm w zależośc od celu badaa. Przy badau całowtym otrzymujemy ops statystyczy, atomast badae częścowe przeprowadzoe metodą reprezetacyją daje materał lczbowy dla wosowaa o całej zborowośc (populacj geeralej) a podstawe wyów uzysaych z losowo dobraej próby. Najczęścej aalza dze w eruu badaa: strutury zborowośc, zależośc twących w zborowośc, tedecj rozwojowej zjawsa. Dobór odpowedej metody badaa zborowośc statystyczej zależy od welu czyów, wśród tórych wymeć ależy (Starzyńsa, Mchals, 996, s. 4): cel badaa; rodzaj zborowośc statystyczej; tematya badaa; stopeń szczegółowośc badaa. Powyższe czy oreśla sę maem czyów statystyczych. Rówe waże wydają sę taże czy pozastatystycze, tae ja: ograczoość środów a badaa; ograczoa lczba człoów zespołu przeprowadzającego badae; lmt czasu przezaczoego a przeprowadzee badaa. Główym ryterum podzału metod badań statystyczych, tóre wya z wymeoych wyżej czyów jest lczba elemetów zbadaej zborowośc statystyczej, tóre zostaą poddae bezpośredej obserwacj statystyczej. Według tego ryterum doouje sę podzału badań statystyczych a badaa pełe badaa częścowe. W badau pełym (ompletym, geeralym, całowtym, wyczerpującym) ażda jedosta tworząca zborowość statystyczą jest poddaa obserwacj statystyczej. Wos uzysae a podstawe prawdłowo przeprowadzoego (!) badaa pełego są zawsze ajbardzej dołade omplete. Rodzaje badań pełych zostały omówoe m.. w podręczu Starzyńsej Mchalsego (996, s. 5-7). W pratyce badań statystyczych badaa o charaterze pełym staową ewel odsete prowadzoych badań. Zdecydowae częścej prowadz sę badaa częścowe (eomplete, epełe, ecałowte), w tórych bezpośredej obserwacj statystyczej poddaje sę tylo część jedoste zborowośc statystyczej, tóry oreśla sę maem próby statystyczej. Często jeda prowadzący badae statystycze chcałby, aby wy uzysae a podstawe badaa częścowego moża było uogólć a całą populację geeralą. Jest to oczywśce możlwe, pod waruem jeda, ż próba objęta badaem ma charater próby reprezetatywej, czyl taej, tóra dobrze reprezetuje badaą populację. Próbę uzaje sę za reprezetatywą jeśl jest odpowedo lcza, a jedost dobrao do próby w sposób losowy. Pożej przedstawoo róże metody losowego doboru próby. 6

7 Przed przystąpeem do losowaa z reguły sporządzamy tzw. operat losowaa, czyl sps wszystch jedoste tworzących zborowość geeralą (p. artotea ogółu pracowów, wyaz budyów meszalych tp.). Dobór elemetów do próby może sę odbywać przy pomocy różych schematów. Do ajważejszych ależy podzał a: losowae ezależe (ze zwrotem) zależe (bez zwrotu). W perwszym przypadu wylosoway elemet wraca do zborowośc geeralej (p. do ury czy artote), strutura tej zborowośc e ulega zmae, a węc prawdopodobeństwo wylosowaa jedost o daym warace pozostaje stałe. Wy astępego losowaa e jest zależy od wyu przeprowadzoych losowań. W drugm przypadu e zwracamy wylosowaego elemetu, wy ażdego astępego losowaa zależy od poprzedch wyów. Słusze jest węc stosowae ezależego schematu; warto jeda dodać, że przy bardzo lczej zborowośc zależość ta jest ewela. Stosując ezależy schemat losowaa otrzymujemy tzw. próbę prostą. Według ego ryterum podzału schematów, stosujemy losowae dywduale zespołowe. W perwszym przypadu losujemy oddzele poszczególe elemety (p. z artote - artę poszczególego pracowa), a w drugm pewe aturale zespoły elemetów (p. wszyste gospodarstwa domowe w wylosowaych posesjach). Waży jest też podzał schematów losowaa a eograczoe warstwowe. Przy eograczoym losujemy elemety bezpośredo z całej próby, przy warstwowym atomast zborowość dzelmy ajperw a podzbory (warstwy) bardzej jedorode z oreśloego putu wdzea (p. ludość mast ws, pracowcy różych gałęz tp.) losujemy oddzele z ażdej warstwy. W zależośc od celu badaa wy aalzujemy oddzele dla ażdej warstwy lub łącze dla całej próby; w tym drugm przypadu strutura lczeba podzborów w próbe powa być proporcjoala do strutury całej zborowośc. W etórych przypadach stosoway jest tzw. welostopowy schemat losowaa (p. losowae trójstopowe). Na podstawe operatu losowaa wyberamy elemety do próby perwszego stopa (p. budy meszale w daej zborowośc), spośród ch losowo jedost drugego stopa (p. loale w wylosowaych budyach) wreszce jedost do próby właścwej (p. osoby w wylosowaych loalach). Sposób te może zwęszyć reprezetatywość prób. W pewych przypadach, zwłaszcza, gdy e mamy możlwośc sporządzea operatu losowaa, stosujemy tzw. losowae systematycze. Zadajemy p. (przy badau op) to samo pytae co dwudzestej (dzesątej, pątej tp.) osobe wychodzącej z loalu wyborczego, robącej zaupy w daym slepe tp. W oretych przypadach zwyle stosujemy ombację różych schematów losowaa (p. losowae ezależe może być warstwowe lub dywduale, welostopowe może być zależe lub ezależe tp.). Bez względu a zastosoway schemat losowaa, musmy sę lczyć z możlwoścą popełea błędu przy uogólau wyów z próby a całą zborowość. Przy badau częścowym zawsze taa możlwość steje. Wyróżamy tu dwa rodzaje błędów: przypadowe (losowe) systematycze (wyające p. ze śwadomego wyboru pewej grupy jedoste). Błędy losowe maleją wraz ze wzrostem lczebośc wybraego do obserwacj podzboru elemetów, atomast systematycze e maleją. Zastosowae losowego doboru jedoste pozwala a uęce błędów systematyczych, musmy sę jeda lczyć z możlwoścą wystąpea błędów losowych. 7

8 Wy otrzymae a podstawe badaa próby reprezetatywej są podstawą do wosowaa o całej populacj geeralej. W procese wosowaa statystyczego stosuje sę jeda reguły rachuu prawdopodobeństwa statysty matematyczej. Z tego też powodu w dalszej częśc modułu omówoe zostaą podstawowe pojęca z zaresu rachuu prawdopodobeństwa, tóre są ezbęde do zrozumea treśc zawartych w dalszej częśc ursu..3. Prawdopodobeństwo loścowa mara epewośc W potoczym języu bardzo często używa sę sformułowaa, że coś jest mało prawdopodobe, lub bardzo prawdopodobe, lub pewe albo emożlwe. Itucyje pojęce, że coś jest mało prawdopodobe rozumemy, ż ma małe szase a zajśce; jeśl jest bardzej prawdopodobe, to ma węsze szase zajśca, jeśl coś jest emożlwe, tz. że e ma szas, aby sę wydarzyło. Moża węc stwerdzć, ż prawdopodobeństwo to pewa loścowa (lczbowa) mara epewośc, czyl lczba tóra wyraża przeoae o tym, że zajdze pewe epewe zdarzee. Teora prawdopodobeństwa jest węc ezbędym arzędzem aalzy sytuacj, w tórych pojawa sę elemet epewośc. Jest oa taże podstawą do wosowaa o populacj geeralej a podstawe wyów próby losowej, a taże podstawą doceań, gdy ezbęde jest loścowe oszacowae szas zajśca oreśloych zdarzeń w tach dzedzach ja: otrola jaośc, aalza decyzj erowczych, etc. (Aczel, 000, s. 65). Podstawowym pojęcam w teor prawdopodobeństwa są pojęca dośwadczea losowego, zdarzea elemetarego oraz zdarzea losowego. Maem dośwadczea losowego oreśla sę ażdą czyość, tórej wyu e moża dołade przewdzeć w momece jej wyoywaa. Dośwadczeem losowym (zaym z ursu rachuu prawdopodobeństwa prowadzoego w szole średej) jest rzut moetą, ostą, losowae ul z ury zawerającej ule o różych olorach. W odeseu do badań statystyczych dośwadczeem losowym jest ażdy losowy dobór jedoste do próby. Najprostszy wy dośwadczea losowego oreśla sę maem zdarzea elemetarego. Zbór wszystch zdarzeń elemetarych zachodzących w daym dośwadczeu losowym oreśla sę maem przestrze zdarzeń elemetarych w teor prawdopodobeństwa oreśla symbolem Ω. Każdy podzbór przestrze zdarzeń elemetarych jest zdarzeem losowym. Jeżel AØ (tz. zdarzeu A e sprzyja żade zdarzee elemetare zbór zdarzeń sprzyjających jest pusty) to A azywamy zdarzeem emożlwym, jeżel A Ω (tz. zdarzeu A sprzyjają wszyste zdarzea elemetare), to A azywamy zdarzeem pewym. Na zdarzeach losowych możemy wyoywać tae same dzałaa, ja a zborach, tz. możemy oreślć sumę zdarzeń: A B, loczy zdarzeń A B różcę zdarzeń A\B. O zdarzeach A B, tórych loczy jest zdarzeem emożlwym mówmy, że wyluczają sę (są rozłącze). Dla zdarzea A oreślamy zdarzee do ego przecwe ( A Ω \A). Jest to zdarzee, tóre zachodz wtedy, gdy e zachodz zdarzee A. Dla zdarzeń losowych chcemy badać szasę ch zajśca. Marą tej szasy jest prawdopodobeństwo. Prawdopodobeństwo jest loścową marą epewośc; jest to lczba, tóra wyraża słę przeoaa o tym, że zajdze epewe zdarzee. Sposób oblczaa prawdopodobeństwa dla oreśloego typu przestrze zdarzeń elemetarych podaje p. lasycza defcja prawdopodobeństwa. 8

9 Klasycza defcja prawdopodobeństwa: Jeżel Ω jest zborem sończoym wszyste zdarzea elemetare są jedaowo możlwe, to prawdopodobeństwo dowolego zdarzea losowego A zawartego w Ω oreśla wzór: gdze: lczba zdarzeń elemetarych sprzyjających A, lczba wszystch zdarzeń elemetarych. P ( A) (.) Soro, węc dla dowolego zdarzea A mamy 0 P(A). Łatwo zauważyć, że prawdopodobeństwo zdarzea emożlwego jest rówe 0, tz. P(Ø)0 oraz, że dla zdarzea przecwego A mamy: P( A' ) P( A). Przyład. W pewej frme pracuje 5 osób: dyrecja osoby, seretarat osoby, formatycy 3 osoby, pracowcy techcz 5 osób, maretg osoba, pracowcy pomocczy osoby. Wyberamy losowo spośród pracowów tej frmy jedą osobę. Jae jest prawdopodobeństwo, że wylosoway zostae formaty (zdarzee A)? Zdarzeam elemetarym będą wybory poszczególych osób. Przestrzeń zdarzeń elemetarych słada sę węc z 5 elemetów. Wyberamy osoby w sposób losowy, czyl wybór ażdej z ch jest jedaowo możlwy. Zdarzee elemetare sprzyjające zdarzeu A to wybór jedego z formatyów, a tach wyborów jest tyle, lu formatyów pracuje w frme, tz. trzech. Zgode z lasyczą defcją prawdopodobeństwa: 3 P ( A) 0, 5 5 Prawdopodobeństwo waruowe (względe) Ja wspomao wcześej prawdopodobeństwo jest lczbową marą epewośc, jego wartość zależy węc od posadaej formacj. Przyładowo, oszacowae prawdopodobeństwa tego, ż astępego da acje spół X pójdą w górę zależy m.. od tego, jae formacje posadamy a temat odycj spół X. Moża węc stwerdzć, ż prawdopodobeństwo zajśca oreśloego zdarzea uwaruowae jest posadaem dodatowych formacj. Mówmy zatem o prawdopodobeństwe zajśca zdarzea A pod waruem zajśca zdarzea B. Prawdopodobeństwo to azywamy prawdopodobeństwem waruowym oreślamy je symbolem P ( A B). Oblczam je jao: P( A B) P( A B) (.) P( B) 9

10 Przyład.. Urzęd baowy we, że % redytoborców hpoteczych trac pracę przestaje spłacać pożyczę w cągu 5 lat. We taże, że 0% redytoborców hpoteczych trac pracę w cągu 5 lat. Jae jest prawdopodobeństwo tego, ż redytoborca przestae spłacać pożyczę, jeśl wadomo, że stracł o pracę? Nech zdarzea A ozacza, że redytoborca przestae spłacać pożyczę w cągu 5 lat, zaś B zdarzee, że redytoborca strac pracę. Zdarzee, że redytoborca trac pracę przestaje spłacać pożyczę w cągu 5 lat jest zdarzeem A B, stąd P ( A B) 0,. Jedocześe wadomo, że P ( B) 0, 0. Należy oszacować, jae jest prawdopodobeństwo, że redytoborca przestae spłacać, pod waruem (jeśl) stracł pracę, czyl P ( A B). NA podstawe wzoru (.) prawdopodobeństwo to jest rówe: 0, P ( A B) 0,6 0,0 Zatem urzęd może stwerdzć, że z prawdopodobeństwem 60% redytoborca, tóry stracł pracę przestae spłacać pożyczę. W rachuu prawdopodobeństwa stotą rolę odgrywa pojęce ezależośc zdarzeń. Zdarzea A B azywamy ezależym, gdy spełoy jest warue: P( A B) P( A) P( B) (.3) Warue te ozacza, że zajśce jedego ze zdarzeń e ma wpływu a prawdopodobeństwo zajśca drugego z ch. UWAGA: Jeśl w badau statystyczym próba została pobraa losowo w sposób ezależy lub gdy poberamy próbę losową z welej populacj, TO WYNIKI LOSOWAŃ SĄ OD SIEBIE NIEZALEŻNE..4. Zmea losowa jej rozład Wyobraźmy sobe sytuację, w tórej przeprowadzając jaeś dośwadczee losowe otrzymaym zdarzeom elemetarym przyporządujemy pewą oreśloą wartość lczbową. Przyładowo, rzucając dwema moetam o różych omałach (moety rozróżale) ażdemu zdarzeu elemetaremu przyporządujemy lczbę wyrzucoych resze, co moża zapsać jao: Otrzymujemy wówczas pewe cąg wartośc, tóre różą sę medzy sobą (są zmee) w zależośc od wyu dośwadczea losowego, Moża węc powedzeć, że wartośc te są wyzaczoe przez los. Ta powstałą zmeą oreśla sę maem zmeej losowej. Cytując A. Aczela (000, s. ) moża węc powedzeć, że zmeą losową jest zmea, tóra przyjmuje róże wartośc lczbowe wyzaczoe przez los. Z formalego putu wdzea zmea losowa jest fucją X, tóra zdarzeom elemetarym ω Ω przyporządowuje lczby rzeczywste X (ω) R, czyl jest fucją X: Ω R. 0

11 Podobe moża mówć o zmeej losowej gdy doberamy w sposób losowy próbę statystyczą. Wyobraźmy sobe, że z populacj gospodarstw domowych w Polsce pobrao w sposób losowy próbę 00 gospodarstw poddao badau statystyczemu ze względu a lczbę dorosłych osób zameszujących w tym gospodarstwe domowym. Wówczas ażdemu z wylosowaych gospodarstw domowych (zdarzea elemetare) przyporządowujemy lczbę osób dorosłych w tym gospodarstwe. Poeważ wylosowae do próby gospodarstwa domowe różą sę lczbą dorosłych człoów gospodarstwa domowego, zatem uzysamy pewą zmeą (przyjmującą wartośc,, 3, 4, 5,.). Poeważ o uzysaym wyu decyduje los, zatem ta uzysaą zmeą moża oreślć maem zmeej losowej. Wyróża sę dwa rodzaje zmeych losowych: zmeą losową soową (dysretą) oraz zmeą losową cągłą. Zmea losowa soowa to taa, tóra przyjmuje sończoą przelczalą lczbę wartośc. Zmea losowa cągła może przyjmować wszyste wartośc z pewego przedzału lczbowego. Zmea losowa jest węc odpowedem używaego w statystyce opsowej pojęca cechy statystyczej (zmeej statystyczej). O le jeda wartoścom (waratom) cechy statystyczej odpowadają emprycze lczebośc jedoste zborowośc, o tyle w odeseu do zmeej losowej poszczególym jej realzacjom odpowadają oreśloe prawdopodobeństwa. Zmee losowe oreślamy za pomocą dużych lter X, Y, Z, T, Zmea losowa soowa Zmeą losową o charaterze soowym moża opsać za pomocą rozładu prawdopodobeństwa tej zmeej losowej. Jeśl ażdej wartośc zmeej losowej przyporządujemy prawdopodobeństwo, z jam ta zmea losowa przyjęła daą wartość, to mówmy, że oreśloy został rozład prawdopodobeństwa tej zmeej losowej. Najczęścej zapsujemy go w forme tabel (dla zmeych losowych przyjmujących sończoą lczbę wartośc), w tórej wymeoe zostają wartośc przyjęte przez zmeą losową ( ) oraz prawdopodobeństwa, z jam zmea losowa przyjmuje daą wartość. Przyład.3. Zmea losowa X oreśla lczbę wyrzucoych resze w rzuce dwema moetam o różych omałach. Rozład tej zmeej losowej jest astępujący: 0 0,5 0,5 0,5 Grafcze rozład te moża przedstawć astępująco:

12 Przyład.4. Zmea losowa X oreśla lczbę dorosłych osób w gospodarstwe domowym, w próbe 00 losowo wybraych gospodarstw domowych w Polsce (dae umowe): ,5 0,35 0,8 0, 0,07 0,03 0,0 Grafcze rozład te moża przedstawć jao: UWAGA : Rozład prawdopodobeństwa soowej zmeej losowej X speła astępujące waru: ) dla wszystch wartośc zmeej losowej X oraz ) suma prawdopodobeństw po wszystch wartoścach zmeej losowej X jest rówa. UWAGA : Sąd w pratyce borą sę prawdopodobeństwa tae ja te rozpatrywae w przyładze.4.? Są to po prostu częstośc, z jam pojawła sę daa wartość w próbe losowej. Dystrybuata zmeej losowej sumulowaa fucja rozładu Na podstawe rozładu prawdopodobeństwa zmeej losowej soowej możemy oreślć prawdopodobeństwo przyjęca przez zmeą losową oreśloych wartośc. Przyładowo, a podstawe daych z przyładu.4. stwerdzć, że prawdopodobeństwo, ż w gospodarstwe

13 domowym są 4 dorosłe osoby jest rówe 0,. Możemy taże oblczyć prawdopodobeństwo, że w gospodarstwe domowym są węcej ż 3 dorosłe osoby. Wówczas teresuje as oreślee P(X>3), tóre oblczamy jao: Ozacza to, że prawdopodobeństwo, ż w gospodarstwe domowym są węcej ż trzy dorosłe osoby jest rówe 0,. Podobe oreślamy prawdopodobeństwo, że lczba dorosłych osób w gospodarstwe domowym e przeracza, czyl P(X ): Szczególe zaczee przypsuje sę sumulowaym prawdopodobeństwom, czyl prawdopodobeństwu, że zmea losowa X przyjmuje wartośc co ajwyżej rówe. Oreśla sę je maem dystrybuaty zmeej losowej X ozacza symbolem F( ). Zatem: Dla zmeej losowej typu soowego dystrybuatę oreśla sę jao: Grafcze moża ją przedstawć astępująco (a podstawe rozładu z przyładu.4.) (.4) (.5) Dla przyładu.4. dystrybuata aalzowaej zmeej losowej ma postać: Wartość oczewaa, waracja odchylee stadardowe zmeej losowej soowej W celu sytetyczego opsu zmeej losowej (zarówo soowej, ja cągłej, o czym będze mowa w dalszej częśc modułu) możemy posłużyć sę pewym charaterystyam lczbowym. Do ajważejszych zalcza sę: 3

14 ) wartość oczewaą zmeej losowej charaterystya służąca do opsu przecętej wartośc zmeej losowej oraz ) warację otrzymywae a jej podstawe odchylee stadardowe - charaterysty służące do oreślee welośc rozproszea wartośc zmeej losowej woół jej średego pozomu. Wartoścą oczewaą zmeej losowej soowej azywamy lczbę oreśloą jao: Jest to węc średa ważoa z wartośc jae przyjmuje zmea losowa soowa, z wagam oreśloym przez prawdopodobeństwa z jaą daą wartość przyjmuje ta zmea losowa. Waracja zmeej losowej X jest oreślaa jao wartość oczewaa (lub proścej średa wartość) wadratów odchyleń wartośc zmeej losowej od jej wartośc oczewaej. Ozaczamy ją symbolem lub (. Dla zmeej losowej typu soowego oblczamy ją jao: Odchylee stadardowe zmeej losowej oblcza sę jao perwaste z waracj: Odchylee stadardowe oreśla o le średo wartośc zmeej losowej odchylają sę od jej wartośc oczewaej. Waracja, a tym samym odchylee stadardowe jest marą rozproszea wartośc zmeej losowej woół jej średego pozomu wyzaczoego przez wartość oczewaą. Tym samym parametry te dają pewe wyobrażee o zmeośc wartośc zmeej losowej, czyl o epewośc zwązaej z wartoścam zmeej losowej. Tym bardzej oe odbegają od średej wartośc m węsza jest waracja (czyl taże odchylee stadardowe). Przyładowo, odchylee stadardowe stopy przychodu z oreśloej loaty aptału powszeche jest uzawae jao mara ryzya zwązaego z tą loatą. Gdy porówujemy loaty o tej samej przecętej stope zwrotu (tej samej wartośc oczewaej), loata o wyższym odchyleu stadardowym jest uważaa za gorszą, mmo, że wyższe odchylee stadardowe ozacza, że oczewae przychody mogą sę bardzej odchylać od średego pozomu, zarówo w górę, ja w dół. Przyład.5. Dla zmeej losowej z przyładu.4. wyzaczyć wartość oczewaą, warację odchylee stadardowe. Wy zterpretować. Zmea losowa X opsaa w przyładze.4. oreśla lczbę dorosłych osób w gospodarstwe domowym. Oblczamy jej wartość oczewaą orzystając ze wzoru (.6). Otrzymujemy: (.6) (.7) (.8) Powyższy wy ozacza, że średa lczba dorosłych człoów gospodarstw domowych objętych badaem wyos ooło,6 osoby (czyl w 0 gospodarstwach domowych mamy średo rzecz borąc 6 dorosłych osób). Waracja tej zmeej losowej jest rówa: 4

15 Waracja jest wyrażoa w wadratach jedoste, e terpretujemy węc tej mary. Iterpretujemy odchylee stadardowe: osoby Ozacza to, że lczba dorosłych człoów w badaej grupe gospodarstw domowych róż sę od średej (czyl od,56) średo o,46 osoby..4.. Zmea losowa cągła Węszość cech merzalych w statystyce ma charater cech cągłych lub quas cągłych. W wyu losowaa próby, tórą badamy ze względu a cechy cągłe otrzymujemy zmeą losową, tóra może przyjmować dowole wartośc z pewego przedzału lczbowego. Wyobraźmy sobe sytuację, w tórej z populacj gospodarstw domowych pobrao w sposób losowy 00 elemetową próbę, tórą poddao badau ze względu a przecęte mesęcze wydat a żywość w przelczeu a człoa rodzy. Otrzymae wy zostały pogrupowae w forme szeregu rozdzelczego z przedzałam lasowym przedstawoe grafcze za pomocą hstogramu (patrz przyład.6). Przyład.6. Rozład gospodarstw domowych (00) ze względu a wysoość przecętych mesęczych wydatów a żywość w przelczeu a człoa rodzy (w zł/osobę, dae umowe). Podstawa ażdego słupa powyższego hstogramu wyzacza grace przedzału, zaś jego wysoość oreśla częstość występowaa daego waratu cechy (ujętego w forme oreśloego Maem cech quas cągłych oreśla sę cechy mające charater soowe o bardzo dużej lczbe waratów cechy. 5

16 przedzału). Zauważmy, że suma tych częstośc jest rówa 00% (lub w przelczeu a lczbę ). Załóżmy teraz, że ażdy z przedzałów został srócoy o połowę. Wówczas ależy wząć po uwagę węszą lczbę przedzałów lasowych, ta aby przedstawć rozład wartośc badaej cechy. Tae postępowae moża otyuować dalej, zmejszając rozpętośc przedzałów lasowych, zwęszając tym samym ch lczbę, choć oczywśce dalej wysoość słupa ozacza prawdopodobeństwo przyjęca przez zmeą losową oreśloej wartośc, a suma wysoośc wszystch prostoątów jest rówa 00% (lub jeśl częstośc są przedstawoe w postac lczby, a e procetu, to suma ta jest rówa ). Wraz ze wzrostem doładośc pomaru schodowa powerzcha utworzoa przez werzchoł prostoątów w hstograme staje sę pewą gładą rzywą, tóra jest wyresem pewej fucj. W aszym przyładze fucja ta ma ształt apelusza Fucję tą oreśla sę maem fucj gęstośc prawdopodobeństwa (lub po prostu fucją gęstośc) pewej cągłej zmeej losowej X. Maram prawdopodobeństwa są adal pola powerzch pod wyresem fucj gęstośc. Oczywste jest węc, że pole to jest rówe. Reasumując, cągła zmea losowa to taa zmea, tóra może przyjmować dowole wartośc z pewego przedzału lczbowego. Prawdopodobeństwa zwązae z cągła zmeą losową X są wyzaczae przez fucję gęstośc prawdopodobeństwa tej zmeej losowej. Fucja ta ma astępujące własośc: ) jej wyres jest położoy ad osą ox, lub co ajwyżej do ej styczy (czyl dla wszystch wartośc ); 6

17 ) prawdopodobeństwo, że zmea losowa X przyjme dowolą wartość z przedzału jest rówe wartośc pola pod wyresem fucj gęstośc położoego mędzy putam a b; 3) całe pole pod wyresem fucj gęstośc jest rówe. Dystrybuatę zmeej losowej cągłej defujemy aalogcze do zmeej losowej soowej (por. wzór.4). Dystrybuata zmeej losowej X w puce ozacza prawdopodobeństwo przyjęca przez zmeą losową wartośc co ajwyżej rówej. Wartość dystrybuaty jest marą pola zawartego pod wyresem fucj gęstośc w przedzale. Fucja gęstośc pewego rozładu cągłego F(x)P(X x) x UWAGA! Dla zmeej losowej typu cągłego prawdopodobeństwo, że zmea losowa przyjme oretą wartość jest rówe zero (. Wśród wszystch rozładów cągłych (a jest ch esończee wele, gdyż z matematyczego putu wdzea steje esończee wele fucj matematyczych spełających własośc fucj gęstośc) steje jede, tóry ma szczególe zacze w statystyce. Jest to rozład ormaly, zway taże rozładem Gaussa 3. Kształt rzywej ormalej jest podoby do apelusza, stąd często azywaa jest rzywą apeluszową. Ne będzemy przytaczać tu matematyczego rówaa rzywej ormalej, Czytel może je zaleźć w ażdym podręczu statysty, w tórym prowadzoe są rozważaa a temat zmeej losowej. Nemej jeda teresujące są własośc rzywej ormalej, wśród tórych wymeć ależy: ) symetryczość rzywej ormalej (lewa połowa rzywej ormalej jest lustrzaym odbcem jej prawej połowy); ) rozład jest jedomodaly, czyl posada jedo masmum, tóre zloalzowae jest a środu rozładu. Put te odpowada wartośc oczewaej tej zmeej losowej ( ); 3) puty przegęca rozładu są oddaloe od wartośc średej (oczewaej m) o wartość rówą odchyleu stadardowemu tej zmeej losowej σ. 3 Od azwsa emecego matematya, tóremu przypsywao odryce tego rozładu. Jeda prawdzwym jego odrywca był fracus matematy Abraham de Movre, tóry odrył te typ rozładu sto lat wcześej. Krzywa ormala opsywała prawo ormalośc błędów. 7

18 Pożej przedstawoe są wyresy zmeej losowej o rozładze ormalym o wartoścach m różych wartoścach odchylea stadardowego σ 4. Źródło: UWAGA! Jeśl zmea losowa ma rozład ormaly z wartoścą oczewaą rówą m odchyleem stadardowym rówym σ, to ozaczamy ją symbolem. Dlaczego rozład ormaly jest ta waży dla statystyów? Otóż badaa statystycze operają sę główe a badau prób losowo pobraych z populacj geeralej. Na podstawe fudametalego twerdzea statysty matematyczej, zwaego cetralym twerdzeem graczym rozłady welu welośc obserwowaych w próbe (p. średej z próby) zmerzają do rozładu ormalego wraz ze wzrostem lczebośc próby (Aczel, 000, s. 56). Ja wya z powyższego rozład ormaly jest scharateryzoway przez dwa parametry: wartość oczewaą m oraz odchylee stadardowe σ. Wartość oczewaa może być dowolą lczbą rzeczywstą, odchylee stadardowe dowolą lczbą rzeczywstą dodatą. Z formalego putu wdzea steje esończee wele rozładów ormalych. Jeda jede z ch ma szczególe zaczee, uzaway jest bowem jao pewe stadard, za pomocą tórego moża opsać ażdy rozład ormaly o dowolych parametrach. Jest to rozład, w tórym wartość oczewaa jest rówa 0 (m0), zaś odchylee stadardowe jest rówe (. Jest to tzw. Rozład ormaly zestadaryzoway. Ozaczamy go jao. Dla rozładu ormalego wartośc dystrybuaty są stablcowae, Czytel może je zaleźć w załączu 3 do ejszego ursu. 4 Na poższym rysuu µ ozacza wartość oczewaą zmeej losowej (µm). 8

19 Przyład.7. Korzystając z tablc dystrybuaty rozładu ormalego zestadaryzowaego wyzaczyć: a) P(U ; b) P(U>,63); c) P(<U<3); d) P( ). a) ; b) ; c) ; d) ; Najważejsze własośc dystrybuaty rozładu ormalego: a) ; b) ; c) ; Stadaryzacja rozładu zmeej losowej o dowolym rozładze ormalym Dostępe tablcy dystrybuaty rozładu ormalego dotyczą tylo rozładu zestadaryzowaego. Mając dowoly y rozład ormaly ( ) moża go poprzez proste przeształcea doprowadzć do rozładu ormalego zestadaryzowaego. Procedurę tą azywa sę stadaryzacją rozładu. Jeśl zmea losowa, to zmea losowa: jest zmeą losową o rozładze ormalym zestadaryzowaym. Przeształcee opsae wzorem (.9) azywamy stadaryzacją rozładu. Przyład.8. Zbadao, że popularość pewego czasopsma merzoa loścą sprzedaych egzemplarzy ma rozład ormaly o średej rówej 35 tys. egzemplarzy odchyleu wyoszącym 0 tys. egzemplarzy. Wyzaczyć prawdopodobeństwo tego, że w cągu mesąca sprzedaych zostae: a) pożej 30 tys. egzemplarzy; b) powyżej 50 tys. egzemplarzy; c) medzy 35 a 40 tys. egzemplarzy. X~N(m, σ) gdze m35, σ0 ( tys. egz.) czyl otrzymujemy rozład N(35,0). X m X 35 Zmea stadaryzowaa U, U~N(0,) σ 0 X X < 30 < 0, a) P ( X < 30) P( U < 0,5) F( 0,5) F(0,5) 0,69( tablce) 0, 309 (.9) 9

20 b) P(X > 50) P(U >,5 ) - P(U,5) - F(,5) 0,933 0, c) P ( 35 < X < 40) P < U < P(0 < U < 0,5) F(0,5) F(0) 0,69 0,5 0, Przyład.9. Grubość lodu a jezorze jest zmea losową o rozładze ormalym z astępującym parametram: wartoścą oczewaą rówą 50 cm odchyleu 0 cm. Oblczyć prawdopodobeństwo tego, że grubość lodu: a) będze węsza ż 45 cm; b) będze mejsza ż 35 cm; c) będze mejsza ż 3 lub węsza ż 5 cm. X~ N(50,0) a) P( X > 45) P( U > ) P( U 0 F(0,5) > 0,5) P( U 0,5) F( 0,5) [ F(0,5)] b) P(X < 35 ) P(U < -,5) F(-,5) - F(,5) - 0,933 0,0668 c) P( X < 35 X > 5) P( X < 3) + P( X > 5) P( U < ) + P( U > ) P( U P( U > 0,) F(,8) + P( U 0,) F(,8) + F(0,) F(,8) + F(0,) F(,8) F(0,) 0,964 0,5793 0,4567 <,8) + Omówmy teraz dwa rozłady, tóre są zwązae z rozładem ormalym, a maowce rozład ch wadrat oraz rozład Studeta. W oreśleu ażdego z tych rozładów pojawa sę pojęce stopeń swobody, tóre jest luczem do zrozumea welu ważych rozładów używaych przez statystyów. Przyład.0. Rozpatrzmy możlwe wy obserwacj czterech zmeych: X, X, X 3, X 4. Nech ch wartoścam w próbe będą: x 0, x, x 3 6, x 4 8. Średą w próbe jest: x x + x + x x 4 4 Ilu wyom obserwacj, spośród czterech możlwych, moża swobode przypsać dowole wartośc, jeżel ch średa jest zaa? Załóżmy, że e jest zaa wartość zmeej X 4 w próbe. Zatem: x Stąd mamy x 4 8. W rozważaym przyładze mamy 3 stope swobody. Czwarty możlwy wy obserwacj e może sę swobode poruszać. Wosujemy węc, że gdy mamy możlwych wyów obserwacj zamy ch średą, to średa dzała jao pewego rodzaju ograczee a wy obserwacj, pozostawając am stop swobody.

21 Lczba stop swobody jest rówa lczbe wszystch pomarów pomejszoej o lczbę wszystch ograczeń arzucoych a te pomary. Ograczeem jest ażda welość, tóra zostaje oblczoa a podstawe tych samych pomarów. Przypuśćmy a przyład, że dwe ezależe próby o zaych średch zostały połączoe. Jeżel próba perwsza słada sę z, a próba druga z wyów obserwacj, to lczba stop swobody zwązaa z odchyleem od dwóch średch jest rówa lczbe wszystch wyów obserwacj pomejszoej o lczbę wszystch ograczeń, czyl +. Powyższy przyład poazuje, że stope zwązae z ezależym próbam są addytywe. Lczba stop swobody zwązaych z perwszą próbą jest, z drugą próbą, a z połączoą próbą ( -) + ( ) +. Rozład ch wadrat Rozładem ch wadrat ( χ ) azywamy rozład astępującej sumy: X + X X (.0) gdze X, X,..., X są ezależym zmeym losowym o tym samym rozładze N(0,). Lczba ezależych sładów zmeej losowej χ jest lczbą stop swobody (wartość ta e ma ograczeń). Zmea losowa o rozładze ch wadrat przyjmuje wartośc dodate a jej rozład zależy od lczby stop swobody. Dla małych jest to rozład sle asymetryczy, w marę wzrostu staje sę coraz bardzej symetryczy podoby do rozładu ormalego. Wartość oczewaa waracja zmeej losowej o rozładze χ są astępujące: E( χ ), D ( χ ) Dla rozładu χ sporządzoo tablce, w tórych dla oreśloej lczby stop swobody oraz ustaloej wartośc prawdopodobeństwa α moża odczytać wartość warue: P( χ χ α dla tórej spełoy jest χ α ) α (.) Podreślamy, że tablce e zawerają wartośc dystrybuaty rozładu χ. Na ogół tablce ch wadrat są budowae dla < 30. Jeżel rozpatrujemy zmeą o rozładze rozład przyblżać za pomocą rozładu ormalego N(, przyblżee tae jest zupełe dobre. χ o dużej lczbe stop swobody, możemy jej ) przyjmuje sę, że już od 30 Przyład.. Zmea losowa X ma rozład ch wadrat z pęcoma stopam swobody ( χ ). Oblczyć prawdopodobeństwa: P(X >,45), P(X 7,89). 5 W perwszym przypadu teresujące as prawdopodobeństwo α odczytujemy bezpośredo z tablc. W werszu o umerze rówym 5 ( 5)zajdujemy lczbę,45. Lczba ta zajduje sę w olume, dla tórej α 0,95. Ta węc:

22 5 P(X >,45) P( χ >,45) 0,95 Aby odczytać teresujące as prawdopodobeństwo w drugm przypadu musmy je przedstawć astępująco: P(X 7,89) P(X > 7,89) P( χ > 7,89) (tablce) 0,0 0,80 Rozład Studeta Rozładem Studeta z stopam swobody azywamy rozład zmeej losowej T oreśloej astępująco: T T (.) χ χ są to ezależe zmee losowe, T ma rozład N(0,), atomast gdze: T ch wadrat o stopach swobody. Dla rozładu Studeta mamy: χ ma rozład E(T ) 0 ( > ), D (T ) ( > ) Rozład Studeta jest symetryczy względem prostej x 0, jego ształt jest bardzo zblżoy do ształtu rozładu ormalego (jest eco bardzej spłaszczoy). Już przy dzesęcu stopach swobody fucja gęstośc rozładu Studeta jest prawe detycza z fucją gęstośc rozładu ormalego stadaryzowaego. Zwyczajowo przyjmuje sę, że gdy lczba stop swobody wyos 30 lub węcej moża tratować rozład Studeta jao detyczy z ormalym. W badaach przeprowadzaych a małych próbach (p. badaach esperymetalych) uwzględee różcy mędzy rozładem ormalym a rozładem Studeta jest jeda oecze. Rozład Studeta jao perwszy badał a początu XX weu Wllam S. Gosset, chem matematy odpowedzaly za badae jaośc oraz dobór surowców do warzea pwa w sławych browarach Guessa. Zarząd Guessa zabroł pracowom publowaa jacholwe prac. Gosset publował węc pod pseudomem Studet. Dla rozładu Studeta opracowao stosowe tablce. W tablcach tych dla ustaloej lczby stop swobody oraz ustaloego prawdopodobeństwa α moża odczytać wartość t α spełającą warue: P( T > t α ) α. (.3) Tablce rozładu Studeta budowae są a ogół dla 30. Jeżel lczba stop swobody jest węsza od 30, wówczas orzystamy z rozładu N(0,). Przyład.. Zmea losowa X ma rozład Studeta o 5 stopach swobody. Oblczyć: a) P( X > 0,866) b) P(X >,34) c) P( X 0,69)

23 Uwaga: Ne możemy oblczyć podaych prawdopodobeństw za pomocą dystrybuaty rozładu Studeta, bo tablce e podają jej wartośc. a) P( X > 0,866) P( T 5 > 0,866) odczytujemy bezpośredo z tablc rozładu Studeta. W werszu 5 zajdujemy lczbę 0,86645 (jest to wartość t α ). Wartość ta zajduje sę w olume dla tórej α 0,4. Ta węc: P( T 5 > 0,866) 0,4 b) Podae prawdopodobeństwo e może być odczytae bezpośredo z tablc. Wobec symetr ( względem x 0) fucj gęstośc rozładu Studeta mamy: P( X >,34) P(X < -,34 X >,34) (zdarzea rozłącze ) P(X < -,34) + P(X >,34) P(X >,34) Zatem: P(X >,34) 0,5P( T 5 >,34) 0,5 0, (tablce ) 0,. c) P( X 0,69) P( T 5 0,69) - P( T 5 > 0,69 ) - 0,5 (tablce) 0,5 3

24 Moduł Wybrae elemety teor podejmowaa decyzj.. Wprowadzee Podejmowae decyzj jest procesem, z tórym spotyamy sę emal codzee we wszystch sferach życa zawodowego prywatego. Węszość decyzj podejmujemy bez węszych trudośc, bez głębszej aalzy problemu. Jeda zdarzają sę tae sytuacje, tórym warto pośwęcć eco czasu wysłu a oreślee w możlwe ajbardzej omplesowy sposób wszystch możlwych sposobów dzałaa. W obu tych sytuacjach zależy am zawsze a wyborze optymalej (ajlepszej z putu wdzea oreśloego ryterum) decyzj. Decyzja jest ońcowym wyem procesu decyzyjego. Proces podejmowaa decyzj jest węc pewą procedurą, według tórej pow postępować ludze (decydec), aby podjąć ajlepszą decyzję z możlwych do podjęca w daych waruach. Co węc ależy zrobć, aby asza decyzja była trafa? W welu sytuacjach w procese podejmowaa decyzj może operać sę wyłącze a aszym dośwadczeu, tucj rozsądu. Ta czymy zresztą w welu sytuacjach życowych. Jeda często do problemu moża podejść w odmey, bardzej systematyczy sformalzoway sposób. Tae sformalzowae podejśce os azwę statystyczej aalzy decyzyjej. Dzę postępowau według oreśloych reguł log, możlwośc popełea błędu lub dzałaa w sposób eosewety zostają w zaczym stopu ograczoe, co oczywśce e ozacza, ż zawsze podejmemy dobrą decyzję (Karwac Z., Koarzewsa I., 997, s. 7)... Rola wartość formacj w procese podejmowaa decyzj Jedym z główych czyów decydujących o wyborze oreśloych procedur zwązaych z procesem podejmowaa optymalych decyzj jest lczba formacj, jaą dyspouje decydet oraz zajomość (lub ezajomość) prawdopodobeństwa wystąpea poszczególych waratów zmeych, tóre stosujemy w procese podejmowaa decyzj. Isteją cztery podstawowe lasy problemów decyzyjych, a maowce (Mszczyńs M., Mszczyńsa D., 997, s. 3): Podejmowae decyzj w waruach pewośc. Z tą lasą problemów decyzyjych mamy do czyea wówczas, gdy ażdej decyzj odpowada tylo jede możlwy wy (mówmy wówczas, że proces decyzyjy jest zdetermoway). Trudość w wyborze optymalej decyzj wya z fatu, ż decydet wybera z olbrzymej lośc możlwych do podjęca (dopuszczalych) decyzj. Wybór optymalej decyzj jest wówczas wsperay przez odpowede metody optymalzacyje. Podejmowae decyzj w waruach epewośc. Z taą sytuacją mamy do czyea wówczas, gdy ażdej decyzj odpowada węcej ż jede wy (wówczas proces decyzyjy jest procesem stochastyczym). Ne zamy jeda prawdopodobeństwa z jam day wy może wystąpć, a z przeszłośc brauje dośwadczeń dla ch oszacowaa. Podejmowae decyzj w waruach ryzya. Z taą sytuacją mamy do czyea wówczas, gdy ażdej decyzj odpowada węcej ż jede wy, ale zamy prawdopodobeństwo z jam day wy może wystąpć. Podejmowae decyzj w waruach częścowej formacj. Jest to ajczęścej spotyay rodzaj procesów decyzyjych. Z tego typu procesem decyzyjym mamy do czyea, gdy ażdej 4

25 decyzj odpowada węcej ż jede wy. Ne zamy prawdopodobeństwa za jam day wy może wystąpć, ale możlwe jest jego oszacowae dzę zajomośc pewych charaterysty ezaego rozładu prawdopodobeństwa (p. zajomośc wartośc oczewaej, domaty, tp.)..3. Podejmowae decyzj w waruach epewośc ryzya gry z aturą Rozważmy sytuację, w tórej dwóch decydetów podejmuje decyzje prowadzące do ofltu mędzy m. Sytuacje te są dość powszeche spotyae w rzeczywstośc (p. dwe frmy ourujące ze sobą a jedym ryu). Moża węc przyjąć, ż uczestczą o w swostej grze, a podejmowae przez ch decyzje są odpowedm strategam. Efety stosowaa tych strateg przez jedego z decydetów e pozostaje bez wpływu a drugego z ch. Załóżmy, że gracze podejmują jedocześe ezależe od sebe decyzje. Jeśl jede z graczy (zway dalej aturą lub rzadzej ryem) e jest zateresoway wyem gry, to taą sytuację decyzyją oreślamy maem gry z aturą. W tym przypadu decyzję podejmuje tylo jede gracz, posadając formację o możlwych staach atury, wpływających a orzyśc wyające z pojęca oreśloych decyzj..3.. Gry z aturą w waruach epewośc. W tej częśc omówoe zostaą możlwe rytera wyboru optymalej decyzj w zagadeach zwaych gram z aturą, przy założeu, że decydet dzała w waruach epewośc. Załóżmy, że decydet ma do wyboru m różych decyzj (ozaczmy je jao D, D,, D m ) przy różych staach atury (ozaczmy je przez S, S,., S ). Dla ażdej decyzj ( {,, K,m} ażdego stau atury j ( j {,, K,} ) zaa jest welość orzyśc (lub strat), jae może osągąć decydet, tóry jao jedyy jest zateresoway wyem gry. Welość owych orzyśc (strat) ajproścej jest ująć w postac macerzy, zwaej macerzą wypłat (macerzą orzyśc lub macerzą strat), A [ ]. a j m Dzałając w waruach epewośc możemy posłużyć sę astępującym ryteram wyboru decyzj (Mszczyńs M., Mszczyńsa D., 997, s.7): ryterum MaxMax (sraje postępowae ryzyata, optymsty); ryterum MaxM (sraje postępowae aseurata, pesymsty); ryterum Hurwcza (postępowae pośrede mędzy ryzyatem a aseuratem); ryterum Savage a (MMax żalu); ryterum Laplace a. Zastosowae powyższych ryterów zależy wyłącze od preferecj decydeta. Wymeoe rytera wyboru optymalej decyzj omówoe zostaą a poższym przyładze. Przyład.. (a podstawe materałów dydatyczych dr A. Kucharsego, aqchars.w.tera.pl ). Zarząd pewej frmy mus podjąć decyzję o wdrożeu jedej z trzech techolog, tóre pozwolą rozszerzyć asortymet produtów wprowadzaych przez frmę a rye. Oszacowao zys (w tys. zł), jae osąge frma w zależośc od podjętej decyzj od tego, ja zareaguje rye a dzałaa frmy. Możlwe są trzy sytuacje: S- duże zateresowae ryu owym produtam, 5

26 S- umarowae zateresowae ryu owym produtam oraz S3 małe zateresowae ryu owym produtam. Zys te podae są w poższej tablcy: Decyzje frmy Reacja ryu S S S3 D (techologa ) D (techologa ) D3 (techologa 3) Macerz wypłat jest węc astępująca: A Kryterum MaxMax (sraje postępowae ryzyata, optymsty). W tym ryterum dla ażdej decyzj oreśla sę masymalą wartość zysu o max{ a } (masymaly elemet w ażdym werszu macerzy A), a astępe wybera sę taą decyzję, dla o max o. Stosując to ryterum dla aszego tórej masymaly zys jest ajwęszy { } przyładu otrzymujemy: O max{50, -0, 5}50; O max{35, 00, 60}00; O 3 max{50, 70, 60}70. Zatem erując sę ryterum optymsty ależy podjąć decyzję drugą, czyl decyzje o zastosowau techolog. Kryterum MaxM (sraje postępowae aseurata, pesymsty). W tym ryterum, dla ażdej decyzj oreśla sę mmaly gwaratoway zys p m{ a } (mmaly elemet w ażdym werszu macerzy A), a astępe wybera sę taą decyzję, dla tórej mmaly gwaratoway zys jest ajwęszy, czyl p max{ p }. Stosując to ryterum dla aszego przyładu otrzymujemy: P m{50, -0, 5}-0; P m{35, 00, 60}35; P 3 m{50, 70, 60}50. W myśl tego ryterum ajlepszy wybór z putu wdzea orzyśc frmy to wybór techolog 3. Kryterum Hurwcza (postępowae pośrede mędzy ryzyatem a aseuratem) Kryterum to staow warat pośred mędzy srajym staowsam reprezetowaym przez dwa opsae wyżej rytera. W tym ryterum dla ażdej decyzj ależy oreślć słoość do j j j j 6

27 ryzya. Owa słoość opsaa jest za pomocą parametru α (0,) 5. Dla ustaloej wartośc parametru α dla ażdej decyzj oblczamy śred ważoy zys a podstawe ryterów optymsty pesymsty. Zys te oreśloy jest zależoścą: H α O + ( α ) P A astępe wyberamy taą decyzję, dla tórej śred ważoy zys jest ajwęszy, czyl H max{ H }. Ustalając w aszym przyładze słoość do ryzya a pozome odpowedo 0,8 (dla decyzj ), 0,6 dla decyzj oraz 0,7 dla decyzj 3 otrzymujemy: H 0,8*50+0,*(-0)38; H 0,6*00+0,4*3574; H 3 0,7*70+0,3*5064; Co ozacza, że ajlepszą decyzją frmy jest wybór techolog. Kryterum Savage a (MMax żalu ) Kryterum to bazuje a podobych założeach ja zae w eoom oszty utracoych orzyśc. Dla ażdego stau atury S j moża wyzaczyć decyzję D, tóra przyese masymalą orzyść dla decydeta. Podjęce ej decyzj przy stae atury S j, sutuje mejszą (lub co ajwyżej rówą) orzyścą ż w przypadu wyboru decyzj D. Różca mędzy masymalą możlwą do osągęca przez decydeta orzyścą przy stae atury S j a orzyścą osągaą w przypadu podjęca oreśloej decyzj wyzacza welość żalu w stosuu do źle podjętej decyzj. Welość owego żalu ezbęda jest to budowy macerzy żalu staow perwszy etap wyzaczaa optymalej decyzj z zastosowaem powyższego ryterum. Ja zatem zbudować macerz żalu? W perwszym rou dla ażdego stau atury S j oreślamy welość masymalej orzyśc jaa może osągąć decydet. Welość ta oreśloa jest oreśloa wartoścą ajwęszego elemetu w j-tej olume macerzy wypłat, czyl A max{ a }. Następe dla ażdej decyzj D jaą możemy podjąć przy stae atury S j oreślamy welość żalu w stosuu do źle podjętej decyzj ( r j ). Welość ta oreśloa jest jao różca mędzy masymalą możlwą do osągęca orzyścą Aj a weloścą orzyśc osągaej przy daej decyzj aszym przyładze welość żalu jest astępująca: j j a j, czyl r j j j A j A a. W A max{50,35,50} 50 ; A max{ 0,00,70} 00 ; A max{5,60,60} 60 Macerz żalu ma postać: 3 5 Parametr te może być jedaowy dla wszystch decyzj, moża go taże różcować w zależośc od decyzj. Wartość parametru blższa jedośc ozacza, że decydet ma wyższą słoość do byca optymstą ż pesymstą a odwrót. 7

28 50 50 R ( 0) Następe dla macerzy żalu wyzacza sę ajwęszy możlwy żal R max{ r j }(ajwęszy elemet w -tym werszu macerzy żalu ), a astępe wyberamy taą decyzję, dla tórej ajwęszy możlwy żal będze ajmejszy. W aszym przyładze: R max{0, 0, 55}0; R max{5, 0, 0}5; R 3 max{0, 30, 0}30 A zatem, według ryterum Savage a ajlepszą decyzją dla frmy będze wybór techolog. Kryterum Laplace a W tym ryterum załadamy, że ażdy sta atury jest jedaowo prawdopodoby, czyl P{ S j }. Ozacza to, że dla ażdej decyzj D oczewaa wartość orzyśc jest średą a + a + K + a arytmetyczą prostą wyzaczaą z welośc tych orzyśc, czyl L (średa arytmetycza ze wszystch elemetów występujących w -tym werszu macerzy wypłat). Wyberamy taą decyzję, dla tórej oczewaa welość orzyśc jest ajwęsza. Stosując to ryterum w aszym przyładze otrzymujemy: 50 + ( 0) + 5 L 5 ; L 65; L 3 60 ; 3 Zatem z putu wdzea tego ryterum ajlepszym wyborem jest wybór techolog. j.3.. Podejmowae decyzj w waruach ryzya Podejmowae decyzj w waruach ryzya wąże sę z sytuację, ż ażdej decyzj odpowada węcej ż jede wy zae jest prawdopodobeństwo z jam day wy może wystąpć. Prawdopodobeństwa te oreślamy maem prawdopodobeństw a pror ozaczamy jao P { S j } p j. Dzałając w waruach ryzya możemy posłużyć sę astępującym ryteram wyboru optymalej decyzj: Kryterum masymalej oczewaej wartośc zysu (MOW); 8

29 Kryterum mmalego oczewaego żalu. W obu tych ryterach aalzowae są wartośc oczewae zysów lub strat ( żalu ), aby astępe wybrać taą decyzję, tóra masymalzuje oczewaą wartość zysu (ryterum ) lub mmalzuje oczewaą wartość żalu (ryterum ). Zastosowae obu powyższych ryterów prześledzmy a przyładze frmy opsaej w przyładze. Załóżmy, że prawdopodobeństwa zastea poszczególych staów atury są oreśloe astępująco: P{S }0,3; P{S }0,5; P{S 3 }0,. Kryterum masymalej oczewaej wartośc zysu (MOW) Według tego ryterum dla ażdej decyzj D wyzacza sę oczewaą wartość zysu E( a ) wyorzystując formacje a pror o prawdopodobeństwach zastea poszczególych staów atury. Oczewaa wartość orzyśc dla decyzj D jest węc rówa: E a ) a P{ S } + a P{ S } + K + a ( P{ S Decydet powe węc wybrać taą decyzję, dla tórej oczewaa wartość zysu jest ajwęsza. Stosując powyższe ryterum w aszym przyładze otrzymujemy: E ( a ) 0,3* ,5*( 0) + 0,*5 ; E ( a ) 0,3*35+0,5*00+0,*607,5; E ( a ) 0,3*50+0,5*70+0,*606. Według tego ryterum decydet powe wybrać techologę. Kryterum mmalego oczewaego żalu Według tego ryterum dla ażdej decyzj D wyzacza sę oczewaą wartość żalu E ( r ) wyorzystując formacje a pror o prawdopodobeństwach zastea poszczególych staów atury. Oczewaa wartość żalu jest rówa: gdze r j są elemetam macerzy żalu. E r ) r P{ S } + r P{ S } + K + r P{ S }, ( Decydet powe wybrać taą decyzję, dla tórej oczewaa wartość żalu jest ajmejsza. } W aszym przyładze macerz żalu ma postać: R Oczewaa wartość żalu dla ażdej decyzj jest węc rówa: E( r ) 0,3*0+0,5*0+0,*5566; E( r ) 0,3*5+0,5*0+0,*04,5; 9