Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2

Transkrypt

1

2 Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w forme tabel: f 2 f f 2 f ( ) Permutacja detyczoścowa: I 2 2 Iloczyem permutacj f g jest złożee tych fukcj: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g( ) f g( ) ( ) ( ) Przykład: Nech f oraz g ( ) ( ) Wtedy f g oraz g f Defcja: Nech π będze permutacją określoą a zborze { 2,,..., } oraz ech r będze ajmejszą lczbą całkowtą taką, że π r (). Wówczas zbór r różych k { π ( ) } r elemetów azywamy r-wyrazowym cyklem permutacj π. k 0 M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 2-2

3 Permutacje rozkład a cykle ( ) Przykład: ( 374)( 25)( 68) π π ( ) ( 25)( 36748) ( ) ( 5387)( 2)( 46) π π π ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) π Dwa cykle oraz azywamy rozłączym jeżel zbory (, 2,..., k ) ( j, j2,..., jl) {, 2,..., k } { j, j2,..., jl} lczb oraz e mają elemetów wspólych. Twerdzee: Każdą permutację moża rozłożyć a loczy rozłączych cykl. Defcja: Permutację π w której jede cykl ma długość r, a pozostałe mają tylko po jedym elemece, azywamy permutacją cyklczą o długośc r. Defcja: Permutację cyklczą o długośc 2 azywamy traspozycją. ( )( )( ) ( ) π Przykład: ( ) M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 2-3 Math Player

4 Parzystość permutacj Twerdzee: Dowoly cykl o długośc r moża rozłożyć a r- traspozycj: (,,..., ) (, )(, )...(, )(, ) 2 r r r 3 2 Uwaga: Chocaż rozkład a traspozycje e jest jedozaczy, to moża pokazać, że parzystość rozkładu (tz. czy lczba traspozycj jest parzysta czy e) jest jedozacza. ( 234) ( 4)( 3)( 2) ( 4)( 34)( 34)( 23)( 2)( 2)( 23)( 3)( 2) Twerdzee: Dowola permutacja może być rozłożoa a loczy traspozycj. Parzystość rozkładu jest jedozacze określoa. Defcja: Permutację azywamy parzystą (eparzystą) jeśl może być rozłożoa a loczy parzystej (eparzystej) lczby traspozycj. Określee: Neporządkem w permutacj π azywamy każdą parę lczb, j taką że < j oraz π() > π(j). A węc parzystość permutacj moża określć zlczając eporządk: π ( j) π ( ) + parzysta < j j M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 2-4 eparzysta

5 Parzystość permutacj Dowód: Poeważ π jest permutacją węc steją take k l, że: Jeśl l >k wówczas w lczku wystąp Jeśl k >l wówczas w lczku wystąp Przykład: Zbadaj parzystość permutacj ( k) oraz ( l) j π ( l) π ( k) j π ( k) π ( l) ( j ) π π ( ) ( 374)( 25)( 68) ( 4)( 7)( 3)( 25)( 68) π Lczba eporządków: permutacja eparzysta Calkowta lczba eporządków: M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 2-5

6 Symbol całkowce atysymetryczy Defcja: Symbolem całkowce atysymetryczym w wymarach azywamy: 2 + jeżel permutacja jest permutacją parzystą 2 ε 2 jeżel jest permutacją eparzystą 0 jeżel e wszystke lczby są róże Wybrae własośc (dowody przez pokazae, że L jk P jk dla wszystkch,j,k, ): 2-dm: 3-dm: 2 2 k jl k jl l jk k jk j j j k, j M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 3-6 ε ε δ δ δ δ ε ε δ ε ε dm: ε ε δ δ δ δ ε ε 2 δ ε ε 3! jk lmk l jm m jl jk ljk l jk jk k j, k, j, k ( ) ε ε 2 δ δ δ δ ε ε 3! δ ε ε 4! jks lmks l jm m jl jks ljks l jks jks k, s j, k, s, j, k, s Math Player -dm:

7 Iloczy zewętrzy w 2 Iloczy zewętrzy dwóch wektorów jest obektem, którego rodzaj zależy od lczby wymarów. Na płaszczyźe loczy zewętrzy jest lczbą. Defcja: Iloczy zewętrzy wektorów w 2D przestrze Eukldesa to lczba: u v ε u v u v u v 2 jk j k 2 2 j,k u v α β α β u v α β γ Iterpretacja geometrycza: Powerzcha u v s θ u v ( cos s s cos ) s( ) u v s Własośc loczyu zewętrzego w 2D: atysymetryczy: u v v u - lowy (α, β e): u ( α v + β w ) α u v + β u w u u 0 określa skrętość układu: e ˆ e ˆ M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 3-7 y a u b v Math Player x 2

8 Iloczy zewętrzy (wektorowy) w 3 Defcja: Iloczyem wektorowym dwóch wektorów azywamy wektor o składowych: u v ε u v 3 j,k ( ) jk j k Iloczy wektorowy jest wektorem prostopadłym do obu wektorów składowych ma wartość: j k Math u v u u2 u3 Player v v2 v3 ( u2v3 u3v2) + ( u3v uv3) j + ( uv2 u2v) k u v sγ γ kąt pomędzy wektoram u v wektor jedostkowy, prostopadły do płaszczyzy wyzaczoej przez wektory u v. Uwaga: Dowód powyższej rówośc przez przedstawee składowych za pomocą cosusów kerukowych. u v M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 3-8

9 Iloczy wektorowy jest wektorem ortogoalym do każdego z wektorów składowych: Własośc: atysymetryczy: u v v u - u u 0 u α v + β w α u v + β u w lowy (α, β e): ( ) określa skrętość układu: Iloczy wektorowy w u ( u v) u ε jku jvk ε jkuu jvk 0 j,k, j, k v ( u v) 0 ( u v) w π u ( v w) a b + λc a c b c a c ( b + c) λ c b c + λ c c b c Uwaga: Z powyższego e wyka że a b Przykład: Pokaż, że jeśl dla pewej λ e, wtedy M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 3-9

10 Iloczy meszay wektorów u u u Iloczy meszay: u ( v w ) ε jkuv jwk v v2 v3, j, k w w w Własośc: 2 3 ( ) ( ) ( ) u v w v w + u v w v w + u v w v w ( u v w ) w ( u v ) v ( w u ) u ( w v ) v ( u w ) w ( v u) Iterpretacja geometrycza: w ( u v) jest objętoścą rówoległoścau zbudowaego a wektorach u, v oraz w. Wysokość pole podstawy u v M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 3-0

11 Podwójy loczy wektorowy Podwójy loczy wektorowy: Własośc: eˆ gdze c e zależy od,. eˆ eˆ 2 eˆ eˆ 3 eˆ 2 ( ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ c + e e2 e e e e2 e2 - Wprost z defcj loczyów skalarego wektorowego: ( u ( v w )) ε u ε v w u v w ε ε u ( v w) (a) jest ortogoaly do ( v w ) tz. ( ) u v w α v + β w przy czym α, β e zależą od u v. (b) jest lowy w składowych (c) jest ortogoaly do u u, v w. (a)+(c) f α ( v u) +β ( w u) 0 α c( w u), β c( v u) u ( ) v w ( u v w) ( u w) v ( u v) w jk j klm l m j l m kj klm j, k l, m j, l, m k u v w ( δ δ δ δ ) u w v u v w oraz j l m l jm m jl j j j j j, l, m j j czyl ( u v w) ( u w) v -( u v) w ( u v) w ( u w) v -( v w) u Prawdzwa jest węc tożsamość: ( u v w) v ( + w u) + w ( u v) 0 M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 3-

12 La prosta w przestrze 3D Rówae prostej w przestrze: v r 0 to wektor rówoległy do prostej, to wektor wodzący dowolego puktu P 0 prostej. r r0 + vt - rówae parametrycze (- < t < ) r v r v b - rówae w postac ormalej 0 Przykład: Odległość d pomędzy dwema erówoległym e przecającym sę prostym: r r + v t r r2 + v2 t Nech a b będą końcam odcka prostopadłego do obu l, odpowedo a l 2: ra r + v t v v2 r r b a r r + v t v v d b Z powyższych zwązków otrzymujemy: v v r r v t v t 2 + v v v v d ( ) d v v ( r r ) ( v v ) Wosek: Dwe le przecają sę gdy jest spełoy waruek ( r r ) ( v v ) M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 3-2

13 Płaszczyza w przestrze 3D Rówae płaszczyzy w przestrze: u, v to dwa wektory e leżące a tej samej l, to wektor prostopadły do płaszczyzy. r r0 +α u + β v - rówae parametrycze r r d - rówae w postac ormalej 0 Przykład: Odległość puktu od płaszczyzy: Jeśl P jest dowolym puktem płaszczyzy, to odległość puktu S od płaszczyzy jest rówa rzutow wektora PS a keruek wyzaczoy przez ormalą do płaszczyzy przechodzącą przez pukt P, czyl: d PS ( ) ( j + 6k ) 7 2 j + 3k 7 7 Odległość puktu S od płaszczyzy M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 3-3

14 (M) Pojęce przestrze wektorowej Defcja: Zbór V azywamy przestrzeą wektorową (lową) ad całem lczbowym lub, jeśl zdefowae są dwa wzajeme uzgodoe dzałaa a jego elemetach (wektorach), dodawae oraz możee przez lczby z, posadające astępujące c, c, c2 u, v, w V v, w V v + w V ( ) v + w + u v + ( w + u) v + w w + v 0 V 0 + v v v V v V -v V v + (-v) c v V dla wszystkch c v V c c v c c v własośc (muszą być spełoe dla każdego każdego ): (A) (A2) (A3) (A4) steje wektor zerowy tak, że dla dowolego (A5) dla każdego steje wektor przecwy tak, że (M2) (M3) (M4) ( ) ( ) 2 2 ( ) c v + w cv + cw ( c + c ) v c v + c v 2 2 v v v (M5) steje lczba Œtaka, że dla dowolego M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 3-4 V 0

15 Baza w przestrze wektorowej V e, e,..., e { } Defcja: Zbór lowo ezależych wektorów 2 ależących do przestrze wektorowej V azywamy bazą, jeśl dowoly wektor v V może być zapsay w postac: v v e Lczbę azywamy wymarem przestrze V ozaczamy dmv. Twerdzee: Rozkład wektora a składowe w ustaloej baze jest jedozaczy. Dowód: Nech wektor x ma w baze { e } dwa zestawy współrzędych x oraz y : x x e x y e ( x - y) e M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład e, e 2,..., e { } x y 2 dla,,..., Uwaga: dowoly zbór lowo ezależych wektorów tworzy bazę w wymarowej przestrze wektorowej. W owej baze zmeają sę współrzęde wektorów, p. w { e } baze mamy: x x e

16 Iloczy wewętrzy (skalary) v v v v * Ozaczee: Defcja: Iloczyem wewętrzym (skalarym) wektorów z przestrze wektorowej V ad całem azywamy przyporządkowae uporządkowaej parze ( v, w) v, w V dowolych wektorów lczby zespoloej, ozaczaej przez, jeśl spełoe są astępujące waruk: * v v v v 2 2 v cv2 c v v2 dla każdego c v + v2 v v v + v2 v v v > 0 jesl v 0 Wosk: v v * cv v2 c v v2 v v + v2 v v + v v2 jest zawsze lczbą rzeczywstą Uwaga: W przypadku przestrze wektorowej a całem loczy skalary dowolych dwóch wektorów ma z defcje wartość rzeczywstą. M. Przybyceń Matematycze Metody Fzyk I Wykład 4-6 v w