KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli."

Oskar Zając
5 lat temu
Przeglądów:

1 KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych zgodie z oreśloymi zasadami. W matematyce szolej występuje główie dzięi lasyczemu rachuowi prawdopodobieństwa gdzie ma zastosowaie przy wyzaczaiu ilości zdarzeń. Ozaczeia. { a a... a } ozacza zbiór o elemetach a a... a. Kolejość wypisaia elemetów zbioru ie odgrywa roli. Dwa zbiory o taich samych elemetach są rówe. {... } N - zbiór liczb aturalych. ( a a... a ) ozacza ciąg o wyrazach a a... a. Kolejość ustawieia wyrazów w ciągu jest bardzo waża. Zmieiając olejość wyrazów w ciągu otrzymujemy iy ciąg. Silia. Symbol! (czytamy silia) ozacza iloczy olejych liczb aturalych od do. Zatem!... Przyjmujemy że!. Przyład!

2 Symbol Newtoa. Symbol (czytamy po lub ad ) dla { } N ozacza liczbę oreśloą wzorem: )!!(!. Przyład 7 6 )!!(7 7! 7 Własości symbolu Newtoa..... )! (... ) ( ) (.

3 Przyład Rozwiązać rówaie: 9 Odp. 6. TRÓJKĄT PASCALA Z symboli Newtoa dla olejych możemy utworzyć tzw. trójąt Pascala

4 Po obliczeiu wartości symboli Newtoa otrzymamy Koleje wiersze tego trójąta to współczyii występujące we wzorze dwumiaowym Newtoa Kombiacje elemetową ombiacją zbioru elemetowego A ( ) azywamy ażdy -elemetowy podzbiór zbioru A. Dwie ombiacje uważamy za róże gdy jaiś elemet występuje w jedej z tych ombiacji a ie występuje w drugiej. Liczba -elemetowych ombiacji zbioru -elemetowego wyraża się wzorem: C!!( )!

5 Przyład Ile jest możliwych wyiów losowaia w grze LOTTO (losujemy 6 liczb spośród 9)? Rozwiązaie: Kolejość wylosowaych liczb ie jest istota zatem C 9 6 9! 6!(9 6)! Przyład Z ilu osób słada się lasa jeśli wiadomo że dwuosobową delegację moża wybrać a sposobów? Rozwiązaie: Każda dwuosobowa delegacja jest -elemetową ombiacją zbioru elemetowego gdzie ozacza ilość ucziów w lasie. Wszystich ombiacji -elemetowych zbioru ucziów jest. Zatem mamy rówaie: - ie może być liczbą osób w lasie więc jedyym rozwiązaiem jest. Odp. W lasie jest osób. Kombiacje z powtórzeiami elemetową ombiacją z powtórzeiami ze zbioru elemetowego A azywamy ażdy -elemetowy podzbiór zbioru A przy czym elemety mogą

6 się powtarzać (jest to losowaie ze zwracaiem elemetów ze zbioru elemetowego bez uwzględiaia olejości). Liczba tych ombiacji wyraża się wzorem C ( )!!( )! liczba wszystich różych elemetów zbioru liczba wybraych różych lub ie różiących się elemetów zbioru Przyład Ile różych deserów lodowych złożoych z pięciu gałe lodów moża zestawić mając do dyspozycji cztery rodzaje lodów (olejość gałe ie jest istota)? Rozwiązaie: C 8 6 Permutacje Permutacją elemetowego zbioru A azywamy ażdy wyrazowy ciąg utworzoy ze wszystich elemetów zbioru A czyli ażde ustawieie wszystich jego elemetów w dowolej olejości. Dwie permutacje uważamy za róże gdy przyajmiej dwa elemety występują w ich a różych miejscach. Liczba permutacji zbioru elemetowego wyraża się wzorem: P! 6

7 Przyład Na ile sposobów możemy ustawić 6 osób w olejce? Przyład Ile jest możliwych wyiów uończeia biegu przez zawodiów? Załadamy że zawodicy ie dzielą miejsc ex aequo. Permutacje moża utożsamiać z wzajemie jedozaczymi odwzorowaiami f:a A. Jeśli A {... } to permutacja f odpowiada sposobowi ustawieia jego elemetów w ciąg (bez powtórzeń) f()f()...f(). Odwrotie ażde taie ustawieie w ciąg oreśla wzajemie jedozaczą fucję f: f() to jest -ty wyraz ciągu. Często wygodie jest zapisywać permutację f za pomocą tabeli fucji f: f f () f () f ( ) Jeśli góry wiersz tabeli jest w aturalej olejości to doly jest ciągiem odpowiadającym permutacji f. Permutacje z powtórzeiami. Zbiór sładający się z elemetów uporządowaych wśród tórych pewe elemety powtarzają się odpowiedio razy azywamy -... elemetową permutacją z powtórzeiami. Liczba tych permutacji wyraża się 7

8 wzorem P..!!!...! Przyład. Ile różych wyrazów mających ses lub ie moża utworzyć przestawiając litery w wyrazie "statystya". Istieje! permutacji utworzoych ze słowa " statystya ". Litery w daym wyrazie powtarzają się: litera s - dwa razy litera t trzy razy litera a - dwa razy litera y - dwa razy. Zatem P!!!!! 6 Wariacje bez powtórzeń wyrazową wariacją bez powtórzeń z -elemetowego zbioru A ( ) azywamy ażdy wyrazowy ciąg elemetów tórego wyrazy są różymi elemetami zbioru A. Liczba wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru elemetowego wyraża się wzorem: V!! ( )... ( ( )! ) wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru elemetowego są permutacjami tego zbioru. Zatem zachodzi zależość: 8

9 V P Zbiór wszystich fucji różowartościowych ze zbioru -elemetowego w zbior -elemetowy moża utożsamiać za zbiorem wszystich wyrazowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru elemetowego. Przyład Mamy do dyspozycji 9 drewiaych loców a tórych są pomalowae cyfry od do 9. Ile możemy ułożyć liczb czterocyfrowych wybierając olejo bez zwracaia loci? Rozwiązaie: W tym zadaiu wybraliśmy wariacje bez powtórzeń poieważ olejość loców jest waża i ie mogą się oe powtarzać. Wariacje z powtórzeiami wyrazową wariacją z powtórzeiami z elemetowego zbioru A azywamy ażdy wyrazowy ciąg elemetów tego zbioru. Liczba wyrazowych wariacji z powtórzeiami zbioru elemetowego wyraża się wzorem: W Zbiór wszystich fucji ze zbioru -elemetowego w zbior -elemetowy moża utożsamiać za zbiorem wszystich wyrazowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru elemetowego. 9

10 Przyład Day jest zbiór cyfr {... 9}. Ile liczb -cyfrowych moża utworzyć z elemetów tego zbioru? Rozwiązaie: Każda liczba -cyfrowa jest -wyrazową wariacją z powtórzeiami zbioru 9-elemetowego więc ich ilość wyosi: W Reguła możeia oraz reguła dodawaia. Jeśli jest m możliwości wyoaia jedej operacji oraz możliwości wyoaia drugiej to - wyoując jedą i drugą operację mamy łączie m możliwości - wyoując jedą albo drugą operację mamy łączie m możliwości Taa sama reguła stosuje sie do operacji wieloetapowych. Przyład zastosowaia reguły możeia. Ile różych zestawów obiadowych oferuje restauracja jeżeli ma 7 różych zup 6 rodzajów drugich dań i rodzajów deserów? Załadamy ze ażda potrawa pasuje do ażdej. Zupę wybieramy a 7 sposobów drugie daie a 6 sposobów a deser a różych sposobów. Zatem mamy 7 6 różych zestawów.

11 Zasada szufladowa Zasada szufladowa zwaa też zasadą Dirichleta a w jęz. agielsim Pigeo hole Priciple" może być sformułowaa astępująco. Jeśli gołębi przyfruęło do gołębiów to w pewym gołębiu będą przyajmiej dwa gołębie. Sformułowaie ogóle: Twierdzeie (Zasada szufladowa) Jeżeli A A A... A oraz zbiór A ma co ajmiej elemetów to przyajmiej jede ze zbiorów A A... A ma co ajmiej dwa elemety. Zadaia Zadaie. Ile możemy ułożyć flag dwuolorowych dyspoując olorami? (uład olorów a fladze może symbolizować róże raje. p. flaga białoczerwoa oreśla Polsę atomiast flaga czerwoo-biała to Idoezja). Odp. Zadaie. W olejce do asy stoi 8 osób wśród ich Pawla i Kargul. Na ile sposobów moża ustawić te osoby w olejce aby oi stali obo siebie. Odp. 7 6! 7! Zadaie. Z talii art losujemy art. Ile jest możliwych wyiów losowaia w tórych wylosujemy asy? Odp. Na sposobów.

Podobne dokumenty

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka