ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

Transkrypt

1 ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu ee jedą tylo jedą lczbę X(e)= azywamy zmeą losową. Przyład Rozpatrujemy dośwadczee polegające a rzuce symetryczą moetą. Wyem tego dośwadczea mogą być zdarzea "pojawee sę orła" albo "pojawee sę resz" tworzące zbór zdarzeń elemetarych. Na zborze zdarzeń elemetarych oreślamy zmeą losową X w sposób astępujący: X (orzeł) = ; X (resza) = 0 Zmea losowa X przyjmuje wartość ze zboru {0,}. Poeważ zdarzea "pojawee sę orła" "pojawee sę resz" realzują sę z prawdopodobeństwam rówym /, moża zapsać: P(X=) = P{orzeł} = /, P(X=0) = P{resza} = /. TYPY ZMIENNYCH LOSOWYCH Def. Zmea losowa X jest typu soowego, jeśl może przyjmować sończoą lub esończoą, ale przelczalą lczbę wartośc. Wartośc zmeej losowej soowej (oreślae często jao puty soowe) będzemy ozaczać przez,,..., atomast prawdopodobeństwa, z jam są oe realzowae (oreślae jao so), ozaczamy przez p, p,... Def. Zmea losowa X jest typu cągłego, jeśl jej możlwe wartośc tworzą przedzał ze zboru lczb rzeczywstych. Dla zmeej losowej typu cągłego możlwe jest oreślee prawdopodobeństwa, że przyjmuje oa wartość ależącą do dowolego zboru jej wartośc. Sposób rozdyspoowaa całej "masy" prawdopodobeństwa (rówej ) pomędzy wartośc, jae przyjmuje daa zmea losowa, oreślamy maem jej rozładu prawdopodobeństwa.

2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ Założea: zmea losowa X typu soowego przyjmuje wartość,,... z prawdopodobeństwam, odpowedo p, p,..., prawdopodobeństwa p, p,... spełają rówość: p, () gdy zmea losowa X przyjmuje sończoą lczbę welośc, prawdopodobeństwo p, p,... spełają rówość: p, () gdy zmea losowa X przyjmuje esończoą lczbę wartośc. Def. Zbór prawdopodobeństw postac: P X p,,... spełających rówość () lub () oreślamy maem fucj prawdopodobeństwa zmeej losowej X typu soowego. Fucję prawdopodobeństwa moża przestawć tabelarycze w poższy sposób (przy założeu, że zbór wartośc zmeej losowej jest sończoy):... p p p... p Przyład Fucję prawdopodobeństwa zmeej losowej przedstawa poższa tabela: 0 3 p /8 3/8 3/8 /8 Wyres fucj prawdopodobeństwa

3 p 3/8.. / Dystrybuata zmeej losowej F() 7/8 4/8 /8 0 3 Def. Dystrybuatą zmeej losowej X azywamy fucję F() oreśloą a zborze lczb rzeczywstych jao: F PX Dla zmeej losowej X soowej, tóra przyjmuje wartośc,,... z prawdopodobeństwam p, p,..., dystrybuata ma postać: F PX p

4 Dystrybuatą F() zmeej losowej X soowej moża zapsać też astępująco (załadamy, że zbór wartośc zmeej losowej jest sończoy oraz że został o uporządoway według wzrastających wartośc): F 0 p p... p p p... p... Podstawowe własośc dystrybuaty zmeej losowej soowej: 0 F, lm F 0 oraz lm F, F jest fucją emalejącą ( < zachodz F ) stałą, F jest fucją prawostroe cągłą. F przedzałam Przyład Dystrybuata zmeej losowej ma postać: F 0 /8 4 /8 7 /8 0, 0,, 3, 3,

5 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ Def. Fucją gęstośc prawdopodobeństwa zmeej losowej typu cągłego azywamy fucję f(), oreśloą a zborze lczb rzeczywstych o astępujących własoścach: f 0, b d Pa X b a f dowolych a<b. f d P X Def. Fucją gęstośc zmeej losowej X typu cągłego azywamy fucję f() oreśloą astępująco: f lm 0 P X P X f Przyładowy wyres fucj gęstośc prawdopodobeństwa grafcza terpretacja P a X b f() P a X b f b a d a b

6 Przyład przeprowadzamy pomar wag pewego typu oduwe tłoczoych przez prasę hydraulczą, waga pojedyczych oduwe odchyla sę w sposób przypadowy od wag omalej, tym samym wy pomarów wag oduwe moża tratować jao realzacje zmeej losowej cągłej, dooujemy pomarów, grupując uzysae wy w l rozłączych przedzałach,, gdze =,...,l, długość przedzału, ozaczamy przez, atomast lczbę pomarów, tóre trafły do tego przedzału, przez, przedstawamy uzysae dae w postac hstogramu, ostruując go przy astępujących założeach: - podstawy poszczególych prostoątów reprezetują wyróżoe przedzały, wartośc pomarów wag poduwe, - wysoośc poszczególych prostoątów są ustaloe w ta sposób, aby pola prostoątów były rówe częstoścom : Hstogram wyów pomarów wag oduwe l 5, 0,4 0,3 0, 0,

7 Hstogram wyów pomarów wag oduwe l 0, 0,5 0,4 0,3 0, 0, Def. Dystrybuatę zmeej losowej X typu cągłego moża oreślć astępująco: t d t F f, gdze f(t) jest fucją gęstośc zmeej losowej X Własośc dystrybuaty F() zmeej losowej X typu cągłego: 0 F, lm F 0 oraz lm F, F() jest fucją emalejącą cągłą. Przyład Fucja gęstośc zmeej losowej czasu oczewaa a autobus ma postać: f c gdze c jest pewą stałą. 0, 0,, 0 5, 0, 5,

8 Wyres fucj gęstośc czasu oczewaa a autobus oraz lustracja grafcza P X 3 f() / Dystrybuata czasu oczewaa a autobus oraz lustracja grafcza P X 3 f() F(3) F(3)-F() F()

9 WARTOŚĆ OCZEKIWANA I WARIANCJA ZMIENNEJ LOSOWEJ Def. Wartoścą oczewaej zmeej losowej X azywamy wyrażee: E X f p d zmeej losowej soowej zmeej losowej cąglej gdze p ozacza fucję prawdopodobeństwa zmeej losowej X przyjmującej wartośc (=,,...), atomast f() jest fucją gęstośc. Def. Waracją zmeej losowej X azywamy wyrażee: D X EX EX E EX f X p d MOMENTY Def. Mometem zwyłym (lub po prostu mometem) rzędu,,... zmeej losowej X azywamy wartość oczewaą -tej potęg tej zmeej, tz.: m E X p f d zmeej losowej soowej zmeej losowej cąglej Def. Mometem cetralym rzędu (,,...) zmeej losowej X azywamy wartość oczewaą fucj gx X EX tej zmeej, tz.: u E X E X E E f p zmeej losowej soowej d zmeej losowej cąglej

10 ROZKŁAD ZERO - JEDYNKOWY Założea: przeprowadzamy dośwadczee, tórego rezultatem mogą być dwa wzajeme wyluczające sę zdarzea losowe A oraz A, prawdopodobeństwo realzacj zdarzea A wyos p, przy czym 0<p<, prawdopodobeństwo zdarzea A wyos q=-p, przyporządowujemy zdarzeu A lczbę oraz zdarzeu A lczbę 0, otrzymując zmeą losową X, tórej fucja prawdopodobeństwa ma postać: P P X p, X 0 p ; 0 p Def. Zmea losowa X ma rozład zero-jedyowy, jeśl przyjmuje wartość z prawdopodobeństwem 0<p< oraz wartość 0 z prawdopodobeństwem q=-p. Fucja prawdopodobeństwa rozładu zero-jedyowego: 0 p -p p Dystrybuata zmeej losowej zero-jedyowej: F 0, p,, 0 0 Wartość oczewaa waracja zmeej losowej zero-jedyowej: E D X 0 p p p, X 0 p p p p p p.

11 ROZKŁAD DWUMIANOWY Schemat Beroullego wyoujemy dośwadczee, tórego rezultatem może być zdarzee A (suces) z prawdopodobeństwem p lub zdarzee przecwe A (poraża) z prawdopodobeństwem q=-p, dośwadczee powtarzamy -rote w sposób ezależy co ozacza, że prawdopodobeństwo sucesu pozostaje w pojedyczych próbach stałe rówe p, lczba sucesów jaą zaobserwujemy w wyu -rotego powtórzea dośwadczea, może być rówa =0,,,...,. Założea zmea losowa X jest lczbą sucesów zaobserwowaych w esperymece przeprowadzoym zgode ze schematem Beroullego, wyzaczamy ej fucję prawdopodobeństwa, czyl P(X=), =0,,...,: - zdarzee X= zachodz wtedy, gdy w wyu -rotego powtórzea pojedyczego dośwadczea zaobserwujemy dowoly cąg zdarzeń, w tórym pojawło sę razy zdarzee A, zaś - razy zdarzee A : A, A,..., A A, A,..., A - prawdopodobeństwo otrzymaa w esperymece taego cągu zdarzeń jest rówe, ze względu a ezależość pojedyczych dośwadczeń, loczyow prawdopodobeństw poszczególych zdarzeń, czyl p p, - prawdopodobeństwo otrzymaa ażdego ego cągu zdarzeń, w tórym A występuje razy, zaś zdarzee A razy, będze tae samo, - lczba różych możlwych cągów -elemetowych, w tórych zdarzee A występuje razy, jest rówa lczbe ombacj z elemetów po, czyl, - wszyste te ombacje sładają sę a zdarzee X=, zatem jego prawdopodobeństwo jest sumą prawdopodobeństw poszczególych ombacj: P (3) X p p

12 Def. Zmea losowa X ma rozład dwumaowy, jeśl przyjmuje wartośc =0,,,..., z prawdopodobeństwam oreśloym wzorem (3). Lczbę dośwadczeń oraz prawdopodobeństwo sucesu p azywamy parametram tego rozładu. Dystrybuata zmeej losowej X o rozładze dwumaowym: F PX p p Wartość oczewaa waracja E D X E X EX p, X D X D X p p. ROZKŁAD POISSONA Def. Rozład zmeej losowej X przyjmującej wartość =0,,,... azywamy rozładem Possoa o parametrze, jeżel jej fucja prawdopodobeństwa opsaa jest wzorem: gdze: jest dodatą stałą (>0) P X e, =0,,,...! Def. Dystrybuatą zmeej losowej X mającej rozład Possoa jest fucja F() o postac: Paramerty: E(X)= D (X)= F e.! Wyorzystae rozładu Possoa do aprosymacj prawdopodobeństw w rozładze dwumaowym Nech X ozacza zmeą losową o rozładze dwumaowym, z parametram oraz p, tórej rozład opsay jest wzorem:

13 P,... X p p 0,, Jeżel spełoa jest rówość p=, gdze jest weloścą stałą, to spełoa jest zależość: lm P X e! ROZKŁAD NORMALNY Def. Zmea losowa X ma rozład ormaly o parametrach m oraz, co w sróce zapsuje sę jao X : Nm,, jeżel jej fucja gęstośc wyraża sę wzorem: f e m, przy czym 0. Def. Dystrybuatą zmeej losowej X mającej rozład ormaly jest fucją F() oreśloa a zborze lczb rzeczywstych o postac: F t m e dt Def. Rozład ormaly ze średą m=0 oraz odchyleem stadardowym = azywamy stadardowym rozładem ormalym ozaczamy N(0,) WŁASNOŚCI KRZYWEJ GĘSTOŚCI ROZKŁADU NORMALNEGO a) jest symetrycza względem prostej m,

14 b) osąga masmum rówe m, c) jej ramoa mają puty przegęca m oraz m. Zestaw VII. Udowodć, że jeżel zmea losowa X ma rozład ormaly, to Y = ax + b ma też rozład ormaly.. Błąd pomaru temperatury w sal Fahreheta jest zmeą losową o rozładze N(0, ). Wy pomaru przeosmy a salę Celsjusza. Nech Y będze zmeą losową wyrażającą błąd w sal Celsjusza (Y=. Zaleźć gęstość g(y) zmeej Y. 3. Zaleźć gęstość dystrybuatę zmeej Y wyrażającej objętość sześcau, jeżel długość rawędz X jest zmea losową o rozładze jedostajym a przedzale (0, a) a astępe oblczyć P (a < Y <a) oraz E(Y). 4. Zmea losowa X ma rozład o gęstośc f(). Zaleźć gęstość zmeej Y = sx. 5. Wyazać, że jeżel zmea losowa X ma rozład jedostajy a przedzale (0,), to Y = -lx ma rozład wyładczy. 6. Zmea losowa X ma rozład o fucj gęstośc f(). Zaleźć gęstość g(y) zmeej Y =h(x). Rozważyć przypade szczególy, gdy X ma rozład wyładczy. 7. Zmea losowa X ma rozład N(0, ). Zaleźć rozład zmeej Y=h(X), jeżel h(x)=x. 8. Promeń oła jest zmeą losową R o gęstośc f(r). Zaleźć gęstość zmeej S = πr. 9. Zaleźć gęstość prawdopodobeństwa zmeej a) Y = m(x, ); b) Y = ma(x, ), jeżel X ma gęstość f(). 0. Wyrazć dystrybuatę zmeej losowej Y za pomocą dystrybuaty zmeej losowej X, jeżel Y=h(X) oraz a) h() = ax + b, b) h() = c) h() = ; d) h() = 3 e) h() = s f) h() = ata. Zmea losowa ma rozład N(0, ). Zaleźć rozład zmeej Y, jeżel: a) Y = X+3, b) Y = X