PODSTAWY I ZASTOSOWANIA RACHUNKU TENSOROWEGO

Transkrypt

1 PRACE PP FR REPOR /007 Jaa Ostrowsa - Maceewsa PODAWY ZAOOWANA RACHUNKU ENOROWEGO (Wyład a tudach Dotoracch w PP PAN) NYU PODAWOWYCH PROBLEMÓW ECHNK POLKEJ AKADEM NAUK WARZAWA 007

2 BN N Redator Naczey: doc dr hab Zbgew Kotus Recezet: rof dr hab ż Potr Perzya Praca włyęła do Redac 0 czerwca 006 r ład: Zdzsław Nowa stytut Podstawowych Probeów ech PAN Naład: 00 egz Ar dru: 6 Oddao do druu w au 007 rou Dru orawa: Druara Brac Grodzcch Paseczo u Geodetów 47a

3 Pośwęca aęc Mar Dusze Perzye Adrzeow Kögow o Przyacoło z tóry raze zaczyaśy zgłębać ta rachuu tesorowego

4

5 !"$#%&'# ( )+*) -/054 *6*6*6*7*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* 8 )+*:9 ;<?>@A0CBED<DGFH4<KJ L5MNBOM74<+0P@QRB0UVDXW F LZYBK[@MNL F\<+]^<?>`_baD L5MNcedfNLCY *6*6*7*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* g )+*h -?@^Bb[`F6F5QF5W F5[$0UQN<bd+MN_eMoWBK0F5WqBK0rL s5[@frjtm^bblcy?p@[`_?pus >Bbv )+) wxzyo{ }~o{} ƒ #? &' +"?%# `( 9*) ;<J5L MNF db^p@4$ml MRB?fˆB *6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* ) g 9*:9 ; ^s F50^s F5[@MNF6QMN[@M< DFŠ*6*6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* 9b 9*h Œ >`Ds <+^< DŽBb[@MNB A0^P`_e0P@^ [e?lcy *6*6*7*6*6*6*7*6*6* 9bh 9* ; ^s F50^s F5[@MNF6F P@_eQNMN>`F5< DF *6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* 9+8 x G#?% 5 #?}~ '&'!#? 5? # h`*) ; ^s F50^s F5[@MNF 0F5[@<+^< DF *7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* h+h h`*:9 š s MRB?fˆBb[@MNB [Bœ0F5[@<+^BbLCY *7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* h+ h`*h žf5[@<+^ÿ>`^p@d+mf5d+<œ^s5 >@PV*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* e }{ \ "e zh"$#? { "$#?%& { #?% 5? žf5[@<+^ÿ<b^0<bd+<+[bbq[@f *6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* P0<+W <+^A s5w 4@^s F50^s F5[@M0F5[@<+^< Dt?LZY ª«^P@4$AW F 0^MM 0F5[`<+^B *7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* ; ^s _@fˆbb>`ÿd+^p`4?w F 0^MNM *6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* b x G#?% 5 O +"+ `{E#? /"$!}x±c '&²%&'? z{ #e K&ƒ e³+ { É $& µ *) <+s5_@fˆbb> 4F _e0^bbq[e0f [@<b^aḑ L s DBb^0F5d+<q^s5 >@P *6*6*7*6*6* +¹ *:9 ; ^<JF5_$0<+^bº W <?>@PofN»«F5Q¼M[B½*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* 8+ *h žf5[@<+^¾0bb[epud+^bb[@ml5s5[`f5d+< rf5[`f5^dbf 0rL s5[@f60cbk[ed fƒbk[@f*6*6* g$8 * ª«^P@4$AW F 0^MM 0F5[`<+^aḐ L s DŽBb^A0F d+<q^s55>`p*6*7*6*6*6*7*6*6* )E $9 µx À}%~ CÁ5#z{ #?% 5 # eâ ( `*) ÃP@[@_bLrJF 0F [@<b^< DF7Bb^dbP@WqF [e0pÿ0f5[@<+^< DF d+<ä*7*6*6*6*7*6*6* )E $8 `*:9 ª«^P@4$AW F 0^MM ŃP@[@_bLrJM0F [@<b^<dt?lcyæ*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* )E +¹ `*h ;<?>@A0CBED<DGF 0rDMNF ^>@s F5[@MNBt<t^F54`^F5s F5[$0CBbLrJM+ŃP@[@_bLUJMb0F [@<+^<Dt?LCY MNs <b0^<+4< DtLCY *6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* )b)9

6 µ Ç+ÈÉNÊ Ë'ÌÍCÎ Ï É `* -/s5a+^¾ð??qdf 0^B )b) `*: 0F DF64<b0F ) 9) (oÿô o ƒš{e#% 5 #?w 8*) ;<+QNBœ_BbQNBb^[@FKº@DF _$0<+^<DF6Mx0F5[@<+^< DFÕ*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* ) 9bh 8*:9 Ö _@fˆbb>`d4a?fˆ^s 5>@[$LCYz_Bb^0F5sUJBKv@_eMNLCY *7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* ) 9+ 8*h -/4afR^s 5>@[@F6_e^s ed<bqnmn[`mn< DF *6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* ) 9b¹ ØxŸÙÚ ³e%&² + ÛÜ~? %&ƒ#ý Ú Þ{ #?% 5? g`*) Œ 4F5^BbLUJF ^abß5[@ml5s5_k<df6[bœ4<+qrbklzy0f [@<b^< DtLCYà*6*6*6*7*6*6* )Eh+ g`*:9 a+ß5[`mnl5s _b<dbb[@mnf«4a+qx0f5[@<+^< Dt?LZYuDáP@_@fƒBb>@BbLCY _BK^0F sujbbv`_emnlcyâ*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* g`*h a+ß5[`mnl5s _b<dbb[@mnf«4a+qx0f5[@<+^< Dt?LZYuDáP@_@fƒBb>@BbLCY _e^s?dg<+qnm[@mn< Dt?LZYã*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* )5 $h g`* Œ 4F5^BbLUJF LEBefˆ_b< DF6[B 4<bQRBbLCY0F [@<+^<Dt?LCY *6*7*6*6*6*7*6*6* )5 $¹ g`*: ždmnf ^>@s F5[@MNB LEB?fR_b<DGF *6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* ) +8 xzä7"$ 5 "$# { "e#?å "+~&G~ ' +"e%# Á?µ ¹`*) æumnbb^b L5s5BbPç*7*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* )E `) ¹`*:9 Œ >@QF5dfR<+]è«s5>@Bb^s F5v *7*6*6*7*6*6*6*7*6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* )E +h ¹`*h P0<+W <+^A s5w L5s5Bb<+4`^s5F 0^s5F5[@M *6*6*6*7*6*6*7*6*6*6*7*6*6* )E b ¹`* ^DBK0<+^4@^s5F5A0^s5F5[`MMP@_@fˆBb> <?>@[@MNF MF5[@MNBé*7*6*6*6*7*6*6* )E + ê!`{e#?~ ë &ˆ{ #e`{} yx~?&'!" `( `(@?Ø

7 Rozdzał Wrowadzee Wstę Na oczątu studowaa echa ośrodów cągłych ewe trudośc oże a srawć wdrożee sę do orzystaa z rachuu tesorowego oraz zdobyce ueętośc orawego osługwaa sę zase desowy absouty rudośc te wyaą a ogół z ezaoośc odstawowych oęć twerdzeń z agebry owe oraz z brau odowedego rzygotowaa w zarese agebry aazy tesorowe eora tesorów est teorą ateatyczą tóra ozwaa odać edoty ęzy służący do osu własośc echaczych terczych otyczych eetryczych agetyczych ośrodów ateraych w ty ryształów testur esory wystęuące w tych dzedzach są wyorzystywae do awego ub e awego osu odwzorowań owych weoowych a róweż do osu oęć syetr ezeczośc Poęce tesora oża wrowadzć a wee sosobów Kasycze uęce rachuu tesorowego est ose uładów wsółrzędych oerac różczowych esory ao obety geoetrycze są wówczas defowae odowedego wyaru tabca czb tóre azyway rerezetaca tesora w day uładze wsółrzędych Przy zae uładu wsółrzędych trasforuą sę oe w zaday sosób Jest to ta zwaa defca trasforacya tesora [9] [6] Z druge stroy z agebry owe wya że tesory oża wrowadzać ao oeratory owe służące do osu odwzorowań weoowych [] [0] Uogóaąc oęce wetora oża tesor defować ao eeet rzestrze owe odowedego wyaru [5] [0] Lteratura dotycząca rachuu tesorowe est dość bogata Wyey zate edye odstawowe oracowaa z te dzedzy [] [] [6] [0] [8] [7] [40] [4] W węszośc oograf dotyczących echa ośrodów cągłych a ogół aterał odstawowy est róweż orzedzoy wstęe dotyczący rachuu tesorowego [4] [5] [8] Przedstawoy w ty oracowau aterał zawera odstawy rachuu tesorowego w zarese asyae zbżoy do otrzeb echa ośrodów cągłych Uład aterału a róweż odae w forace tworzą ewą całość ozwaaą uzysać wedzę z agebry

8 8 Rozdzał Wrowadzee aazy tesorowe w zarese ezbędy do swobodego studowaa echa ośrodów cągłych bez oeczośc uzuełaa e y źródła Zares rzedstawoego rachuu tesorowego est ograczoy do otrzeb ze stroy echa ośrodów cągłych Każdy dzał echa a swó secyfczy aarat ateatyczy Podstawowy aarate ateatyczy tóry est stosoway w echace ośrodów cągłych est rachue tesorowy Rachue tesorowy dzę swe zwęzłośc uożwa uroszczee zasu soowaych oerac ateatyczych będących odzwercedee geoetrycze złożoego charateru zaws fzyczych zaęce sę stroą fzyczą tych zaws A zate aby zaąć sę stroą fzyczą echa ośrodów cągłych aeży oaować odstawy rachuu tesorowego Przedstawoy w ty oracowau aterał staow systeatycze uęce wyładów z odstaw zastosowaa rachuu tesorowego ae od weu at rowadzoe są rzez autorę w raach tudu Dotoracego rzy stytuce Podstawowych Probeów ech PAN Podstawowe oęca ostuaty w echace ośrodów cągłych Mechaa ośrodów cągłych est dzedzą tóra sytuue sę a srzyżowau echa teoretycze fzy ateaty Powstała oa w wyu rzyęca ewych hotez wzorowaych a ewtoowse echace utu ateraego Wyróża sę eda ezaeżą asoatyą secyfczy etoda badań odręby aarate ateatyczy Mechaa ośrodów cągłych zaue sę badae raw arosoowych ruchów odształcaych obetów ateraych ose zachowaa sę tych obetów rządzoych rzez te rawa Ze wzgędu a aterastycze oowae esończoośc ater e ogą steć rawa absoute datego w echace ośrodów cągłych wrowadza sę ewe obety odeowe da ograczoego zaresu zagadeń rzy wyorzystau etody abstrac orzez odrzucee czyów oęć reac estotych Każdy ode sforułoway w echace ośrodów cągłych us eć srecyzoway zares stosowaośc doładośc

9 Podstawowe oęca ostuaty w echace ośrodów cągłych 9 Krytera słuszośc ostruc odeowych a też źródłe ch srac są eseryety Eseryet bez teor ao czyste groadzee fatów est a ogół bezużyteczy Naeży zate teorę weryfować w eseryece a odwrót Mechaa ośrodów cągłych zwaa est róweż feoeoogczą echaą cał odształcaych Feoeooga z grecego haoeo zawso ogos-aua est fozofczą auą o feoeach w sese atows t o zawsowe erycze stroe rzeczywstośc Zadae feoeoog a być czysty os zaws rezyguący z ch rzyczyowego wyaśea eore feoeoogcze ozwaaą zbadać wee zaws otaczaącego as śwata tz ozać rzyczyy ch owstawaa sosób ch ewouc bez oeczośc osadaa wedzy o zawsach zachodzących a ozoe oeuary Feoeooga w echace ośrodów cągłych oega a ta zastosowau teor abstrac gdy e wa sę w szczegóły rorocesów zachodzących w aterae a ozoe oeuary czy oedyczego ryształu osuąc edye tzw zawsa arosoowe obserwowae a ozoe agregatów oryształów Feoeoogcza czara srzya do tóre z edego ońca właday dae rosoowe ozwaa z drugego ońca - wycągać wos o charaterze arosoowy Mechaa ośrodów cągłych ze wzgędu a rozbudoway foraz est róweż uważaa za dzał ateaty Mateatya est ęzye tóry osługue sę echaa ośrodów cągłych est wyorzystywaa w e do: forułowaa oęć reac ędzy srowadzaa rozatrywaych zagadeń do orawe sforułowaych robeów ateatyczych ścsłego ub rzybżoego rozwązywaa robeów ateatyczych rzy wsazau doładośc rzybżoego rozwązaa seec rozwązań z utu wdzea echa Zwąze ateaty z echaą a odłoże hstorycze Każdy dzał echa a swó secyfczy aarat ateatyczy ta w echace bryły sztywe wyorzystyway est rachue waracyy w echace ceczy rówaa różczowe

10 0 Rozdzał Wrowadzee Podstawowy aarate ateatyczy tóry est stosoway w echace ośrodów cągłych est rachue tesorowy W echace ośrodów cągłych stosuąc etodę abstrac z góry rezyguey ze ścsłego defowaa etórych oęć rzyuąc e ao erwote wzoruąc sę a echace utu ateraego Przez aaoge do ewtoowse echa utu ateraego w echace ośrodów cągłych ostuue sę że rzestrzeń fzycza tz otaczaąca as rzestrzeń w tóre odbywa sę ruch obetu ateraego est odeowaa utową rzestrzea eudesową; stee czas bezwzgędy ozwaaący w zborze wszystch zdarzeń wyróżć zdarzea rówoczese z utu wdzea wszystch obserwatorów w rzestrze fzycze Z tych dwóch założeń wya stee absoutego uładu ercaego z artezańsą satą; sełoa est zasada rzyczyowośc deterzu zaws Zasada ta e est sełoa w echace statystycze; stee oęce cząst aterae Jest to aesza część ośroda ateraego do tórego odos sę os feoeoogczy (da gazu będze to orca rzewyższaąca wyare odegłość swobodego rzebegu oeuł da ooryształu - część zacze węsza od charaterystyczego wyaru sat rystacze da oryształu - część zacze węsza od wyaru zare rystaczych t); stee oęce cała ao bytu abstracyego tóreu rzysue sę ewe cechy wsóe da weu obetów rzyrody Jedą z ch est asa cała ą est esce zaowae rzez cało w rzestrze fzycze geoetra cała Proces zay esca zaowaego rzez cało z uływe czasu azyway ruche cała Ruch deforaca cała są sute oddzaływań zewętrzych tyu echaczego terczego Marą tych oddzaływań są sły oety Cało rozuae est ao zbór cząste wraz z oddzaływaa odczas ruchu zaue w rzestrze fzycze obszary zwarte [5] (w sese tooogczy) co wyraża sę ao hoteza cągłośc Ozacza oa że w obszarze zaoway atuae rzez cało dowoeu utow rzestrze fzycze odowada ewa cząsta ateraa Put

11 Wybrae eeety og ateatycze rachuu zdań obszaru w tóry zadue sę w dae chw cząsta azyway ute ateray cały zaś obszar zaoway rzez cało azyway obszare ateray Z asoatu cągłośc wya że dwe róże cząst e ogą zadować sę edocześe w edy ty say uce rzestrze fzycze odwrote eda ta saa cząsta e oże zadować sę rówocześe w dwóch różych utach rzestrze fzycze A zate ędzy cząsta cała a uta obszaru zaowaego rzez to cało zachodz edo-edozacza zaeżość Założee to est daee od rzeczywstośc Śwadczy o ty chocażby ta fat że da żeaza stosue gęstośc do gęstośc ąder atoowych wyos ooło 0 co śwadczyłoby racze o ty że w ażdy uce ay ustę tóra est ezwye eergcza W echace ośrodów cągłych wystęuą tae weośc fzycze a gęstość eerga raca t są to saary wyarowe zwae róweż tesora rzędu zerowego ą oe oreśoe rzez rzysae tyo wartośc czbowe zaeże oczywśce od rzyętych edoste Podae edye wartośc czbowe e wystarczy do oreśea tach weośc fzyczych a rędość sła strueń ceła td Koecze est da ch odae eruu w rzestrze ae weośc azyway wetora ub tesora erwszego rzędu W echace ośrodów cągłych wystęuą róweż tae weośc fzycze a arężee w cząstce odształcee otoczea cząst Do osu ateatyczego tych weośc aeży wrowadzć tae obety geoetrycze tóre azyway tesora drugego rzędu Moża e wrowadzć rzez uogóee oęca wetora zczegóą roę w echace ośrodów cągłych odgrywaą tesory syetrycze drugego rzędu właśe ośwęcy awęce uwag Modeuąc rzestrzeń fzyczą trówyarową utową rzestrzeą eudesową ożey da otrzeb echa ośrodów cągłych ograczyć sę do rozatrywaa edye tesorów eudesowych tóre są eeeta rzestrze owych utworzoych z trówyarowych wetorowych rzestrze eudesowych Wybrae eeety og ateatycze rachuu zdań Mateatya est auą asoatyczo - deducyą Jest zate auą w tóre rzyue sę bez oreśaa oęca erwote oraz bez dowodu twerdzea zw asoata a astęe ażde e oęce tóre e est

12 Rozdzał Wrowadzee oęce erwoty defue sę za oocą oęć erwotych a ażde twerdzee tóre e est asoate dowodz sę zgode z rawa og [7] Przedote og są zwąz ędzy zdaa Zdae azyway wyowedz orzeaącą Moża e rzysać (w raach dae au) edą z dwóch oce: rawda abo fałsz wartośc ogcze zdaa Loga ustaa wartość ogczą zdań złożoych a odstawe ustaoych urzedo wartośc ogczych zdań sładowych W ogce ateatycze wystęuą astęuące futory: egaca (zarzeczee) ouca (oczy ogczy) ateratywa (sua ogcza) aca (wyae) rówoważość ( ) Poza futora w ogce ateatycze wystęuą dwa zwroty zwae watyfatora: da ażdego x - watyfator ogóy (duży) stee tae x - watyfator szczegółowy (ały) Kwatyfatory te ułatwaą ścsłe edozacze wyowadae zdań Forą zdaową (fucą zdaową) z edą zeą oreśoą a dzedze D azyway tae wyrażee zaweraące tę zeą tóre stae sę zdae gdy a esce zee odstawy dowoy eeet zboru D Jeże forę zdaową z edą zeą orzedzy watyfatore odoszący sę do te zee to otrzyay zdae Dwa zdaa o te sae wartośc ogcze azyway rówoważy W ogce ateatycze osługuey sę astęuącą otacą: a A eeet a aeży do zboru A a A a A eeet a e aeży do zboru A erawdą est że eeet a A α β z α wya β α β z α wya β z β wya α ϕ(a) stee tae a że zachodz ϕ(a) a x x

13 Wybrae eeety og ateatycze rachuu zdań ϕ(a) a A stee tae a aeżące do A że zachodz ϕ (a) ϕ( a) stee est edo tae a że zachodz ϕ (a) a ϕ( a) stee est edo tae a aeżące do A że a A zachodz ϕ (a) ϕ(a) da ażdego a zachodz ϕ (a) a ϕ(a) da ażdego a aeżącego do A zachodz ϕ (a) A a Zbór N { x A; ϕ( x)} ub N {x Aϕ (x)} est zbore wszystch tych x aeżących do A tóre sełaąϕ (x) oczye artezańs dwóch zborów A B - azyway zbór A B tórego eeeta są uorządowae ary utworzoe z eeetów zborów A B Nech zbór A będze zbore eeetów a b c zaś zbór B będze zbore eeetów x y z oczye artezańs tych zborów A B est zbór uorządowaych ar ( a x)(b y)( c z) uą rostą dwóch zborów A B azyway zbór U A B tórego eeety oża w sosób edozaczy rzedstawć w ostac suy eeetów zborów A B Jeże eeet u U to stee edozaczy rozład tego eeetu a ua ub ta że u u a + u b ua A ub B ta rzestrzeń tesorów drugego rzędu est suą rostą rzestrze tesorów syetryczych rzestrze tesorów atysyetryczych Zarzeczee zdań (Prawa de Morgaa): zarzeczee ateratywy ( q) ( ) ( q) ; zarzeczee ouc

14 4 Rozdzał Wrowadzee ( q) ( ) ( q) ; zarzeczee ac ( q) ( q) ; zarzeczee zdaa z watyfatore ϕ(a) ϕ(a) a a ϕ(a) ϕ(a) a Reguła odrywaa (aczęśce stosowae rawo og) Jeże rawdzwe są: aca q oraz orzed to oża z te ac oderwać astę q adaąc u saosty byt rzyąć ao zdae rawdzwe Prawo rzechodośc ac Jeże rawdzwe są dwe ace: q q r to rawdzwa est aca r Warue oeczy warue wystarczaący Jeże rawdzwa est aca q to ówy że est warue wystarczaący da q atoast q est warue oeczy da Warue wystarczaący oże e być warue oeczy ta syetra tesora drugego rzędu est warue wystarczaący a to aby ego wartośc włase były rzeczywste yetra tesora e est eda warue oeczy a to aby wartośc włase tesora były rzeczywste Warue oeczy oże e być warue wystarczaący ta zerowae sę erwsze ochode fuc ede zee est warue oeczy a to aby stało estreu fuc Warue te e est eda warue wystarczaący W uce zerowaa sę erwsze ochode oże steć ut rzegęca Jeże warue oeczy est edocześe warue wystarczaący to wówczas ówy że est to warue oeczy wystarczaący Każde twerdzee ateatycze oża wyowedzeć w ostac ac: eże założee to teza W twerdzeu założee staow warue wystarczaący a to aby teza tego twerdzea była rawdzwa Założee to e staow waruu oeczego a

15 Wybrae eeety og ateatycze rachuu zdań 5 werdzea ateatycze aą różorodą budowę Jeże twerdzee Z est twerdzee rosty to twerdzee Z est twerdzee odwroty twerdzee Z est twerdzee rzecwy zaś twerdzee Z est twerdzee rzecwstawy werdzea roste rzecwstawe aa taa saa wartość ogczą róweż twerdzea odwrote rzecwe aa taą saa wartość ogczą Dowód twerdzea rostego oża zastąć dowode twerdzea rzecwstawego Kwadrat ogczy staow zaęty uład ac Rys Na rzeątych wadratu zaduą sę twerdzea rzecwstawe ace zazaczoe a ońcach te sae rzeąte są rówoważe Na ego boach atoast są twerdzea odwrote rzecwe Prawdzwość dwóch ac rzy ońcach edego bou wadratu zaewa rawdzwość wszystch czterech Rys Zaęty uład ac

16 6 Rozdzał Wrowadzee Z wadratu ogczego wya że ( Z ) ( Z) Zaęty uład twerdzeń staow ażda z dwóch ar: { Z Z } { Z Z} Z rawdzwośc wszystch twerdzeń staowących uład zaęty wya rawdzwość wszystch twerdzeń do ch odwrotych Zaoość rzedstawoych eeetów og ozwo a w sosób recyzyy forułować ewe twerdzea wycągać z ch właścwe wos

17 Rozdzał trutury agebracze Przestrzeń ao oęce erwote est edą z for stea ater Pod oęce rzestrze we wsółczese ateatyce rozue sę zbór dowoych obetów ędzy tóry ustaoe są ewe zwąz Przestrzeą fzyczą atoast azyway otaczaącą as rzestrzeń w tóre zachodzą zawsa fzycze W wyu bezośrede obserwac otaczaących as rzedotów reac ędzy owstała oceca geoetr eudesowe Była oa odstawą yśea twórców echa Newtoa stała sę odstawą fzy asycze rzyrodozawstwa tech Geoetra eudesowa odzwerceda dwe reace ędzy obeta: reacę owośc reacę rostoadłośc Z erwszą zwązaa est oceca rzestrze owe zaś z drugą oęce oczyu saarego W te sosób owstał ateatyczy ode utowe rzestrze eudesowe ε tóre eeeta są uty ao obrazy cał uzawaych za eruchoe zaedbywae ałe Zbór uorządowaych ar utów rzestrze utowe z dodawae ożee rzez czbę oczye saary tworzy rzestrzeń eudesową wetorową [] W echace ośrodów cągłych ostuue sę że rzestrzeń fzycza est odeowaa rzestrzeą eudesową utową ε tórą oża odwzorować w rzestrzeń eudesową wetorową Przestrzeń eudesowa wetorowa est zate rzestrzeą tóre eeeta są wetory est rzestrzeą ową ad całe czb rzeczywstych z ewy rawe oozyc wewętrze zwae oczye saary Przestrzeń fzycza est rzestrzea edorodą zotroową Jedorodość rzestrze est rówoważa założeu że rawa fzycze e zaeżą od esca wystąea zawsa zotroowość atoast ozacza że wszyste eru w rzestrze są rówoważe Z tych dwóch własośc wya rówoważość wszystch rzestrzeych uładów wsółrzędych użytych do osu badaego zawsa Nezeczość raw fzyczych rzy zae rzestrzeych uładów wsółrzędych oża wyrazć stosuąc rachue tesorowy Zgode z odstawową własoścą rachuu tesorowego e zachodz otrzeba wązaa sę z aowe ułade wsółrzędych W ceu zdefowaa rzestrze eudesowe wetorowe ao tworzywa rzestrze tesorów eudesowych aeży wrowadzć oęce

18 8 Rozdzał trutury agebracze strutury agebracze arostszych strutur agebraczych a są grua cało oraz oęce rzestrze owe [] [8] [0] RUKURĄ ALGEBRACZNĄ azyway zbór złożoy ze sończoe czby zborów oraz ze sończoe czby odwzorowań oczyów artezańsch tych zborów w te zbory Odwzorowaa wchodzące w sład strutury azyway dzałaa Poęce gruy cała Do arostszych strutur agebraczych aeżą grua cało Gruą azyway struturę agebraczą ( G ) gdze G est zbore eusty a dzałae est odwzorowae : G G G ( g h) G G g h G Dzałae to seła astęuące asoaty: a) własość łączośc g g g g g g g g g G ( ) ( ) ; b) e eeet eutray gruy e g g e g ; e G g G c) h eeet odwroty do g g h h g e g G h G () Jeś grua seła oadto warue g h h g () g h G to azyway ą gruą abeową (gruą rzeeą) Przyłady gru: ) ( Z + ) addytywa grua czb całowtych ( e 0 h g) ; ) ( R + ) ( R {} 0 ) addytywa ( e 0 h g) utatywa ( e h g ) gruy czb rzeczywstych; ) Zbór wszystch obrotów rzestrze woół ustaoe os est gruą

19 Poęce gruy cała 9 Dzałae w grue est sładae obrotów Każdy obrót oża osać wersore seroway wzdłuż os obrotu ąte α o tóry zachodz obrót woół os Kąt α est czoy w eruu tóry est dodat wzgęde wersora Złożee dwóch obrotów o ąty α β est obrót o ąt ( α + β ) Obrota wzaee rzecwy azyway dwa obroty w rzecwych eruach o te sa ąt α Jeże obrót woół os o eruu o ąt α ozaczyy rzez to R R α α R R β α R R α + β Grua est edą z arostszych strutur agebraczych 0 ; Całe azyway struturę agebraczą ( + ) odwzorowaa + : K K K ; ( α β ) K K α + β ( α β ) K K α β K R K gdze : K K K ; są odwzorowaa sełaący astęuące asoaty: a) ( K + ) est gruą abeową; b) ( K { 0} ) est gruą abeową gdze {0 } est eeete eutray gruy ( K + ); () c) rozdzeość wzgęde dodawaa α β γ K K α ( β + γ ) α β + α γ truturę agebraczą o owyższych własoścach azywa sę często całe rzeey Przyłady cał: ) ( W + ) cało czb wyerych; ) (R + ) cało czb rzeczywstych; ) ( C + ) cało czb zesooych C R R Dzałaa w C są oreśoe astęuąco: ( ab) + ( a'b' ) ( a + a' b + b' ) ( ab) ( a'b' ) ( aa' bb' ab' + a' b) da ( ab) ( a'b' ) C

20 0 Rozdzał trutury agebracze Cało K azyway agebracze doęty (ub zueły) eś ażdy weoa ede zee o wsółczyach z cała K a w cee K esce zerowe (Zasadcze twerdzee agebry) Cało ( C + - czb zesooych est całe agebracze doęty ) Przestrzee owe Bardze złożoą struturą agebraczą ż grua cało est strutura agebracza zwaa rzestrzeą ową Badae te strutury est rzedote dzału agebry tóry os azwę agebry owe Przestrzeą ową L ad całe K azyway struturę L + ; K + ; da tóre: a) ( L + ) est gruą abeową; b) (K + ) est całe; c) ożee eeetów zboru L rzez eeety zboru K : K L L agebraczą ( ) ( α A) K L α A α A L (za ożea został ouszczoy) seła asoaty: α ( A+ B) α A+ α B α K α β K A L α β K A L K A B L A K ( α + β ) α ( β A) ( α β ) A A A A α A+ β A A - eeet eutray cała K (4) Przestrzeą ową azyway zate dowoy zbór L o oreśoe owyże struturze Na ogół e recyzuey czy są eeety tego zboru Przestrzeń ową L azyway rzestrzeą wyarową ozaczay rzez L eże stee w e owo ezaeży uład rzędu e stee owo ezaeży uład rzędu węszego od

21 Przestrzee owe Ułade owo ezaeży rzędu azyway ażdy zbór eeetów A A K ta że z rówośc A L A + α A + + α A α K 0 wya że α α K α 0 Bazą w rzestrze L azyway ażdy owo ezaeży uład eeetów A A K A L Jeże uład A A K A L est baza w L to A α A + α A + K+ α A (5) A L α α K α K Uład A A K A geerue węc całą rzestrzeń L Eeety K α α K α rzyorządowae są eeetow A w baze A K A A w sosób edozaczy Powyższe zasy są rostsze eże sorzystay z owec suacye Estea Zgode z tą owecą ażdy edoa w tóry dwurote owtórzoy est ewe des raz a ozoe doy drug raz a ozoe góry aeży rozueć ao suę edoaów owstaących z daego rzez wsae zaast owtarzaącego sę desu wszystch ego wartośc od do ( wyar rzestrze) Powtarzaący sę des azyway ey Nazwę desu eego oża zeać Reguła ta a charater czysto eotechczy Cąg eeetów A A K A oża zasać ao A ( od do ) des azyway swobody Korzystaąc z owec suacye Estea ożey asać że A α A + α A + K+ α A α A α A PRZERZENE PRZĘŻONE Dwe rzestrzee owe o ty say wyarze ad ty say całe: M ad całe K azyway wzaee srzężoy (duay) L L M eże a oczye artezańs tych rzestrze

22 Rozdzał trutury agebracze oreśoe est odwzorowae zwae oeracą srzęgaącą tóre est forą bową ezdegeerowaą Oeraca srzęgaąca ażde arze eeetów rzyorządowue saar L M K ( A a) L M A a K Przyorządowae to est owe wzgęde eeetów rzestrze M eeetów rzestrze oraz seła astęuące waru : eś A a 0 da ażdego eeetu A to a 0 eś A a 0 da ażdego eeetu a M to A 0 L L W defc te obe rzestrzee wystęuą rówoważe Możey zate asać L M ub L M tąd wya że da ażde rzestrze owe sełoa est rówość ( L ) L Poo że rzestrzee srzężoe (duae) wystęuą w defc rówoważe to eda z ch est zwye wyróżoa z różych owodów Może wystęować częśce Nazyway ą wówczas rzestrzeą odstawową Ozaczyy ą rzez N a e eeety będzey ozaczać rzez x (x N ) Bazą w te rzestrze będą eeety Eeety rzestrze do e srzężoe będzey ozaczać rzez Bazę α w te rzestrze będą staowły eeety ε Eeety rzestrze odstawowe azywae są często wetora zaś eeety rzestrze srzężoe owetora Oeraca srzężea x ς rzyoa oczy saary będze z utożsaaa da rzestrze eudesowych x ς x ς Naeży eda aętać że w odróżeu od oczyu saarego oeraca srzężea ozacza ożee eeetów z dwóch różych rzestrze owych Eeety x ς azyway ortogoay gdy x ς 0 Nezdegeerowae ożee saare ozacza że w N e stee wetor ς ( ς e N )

23 Odwzorowaa strutur agebraczych ezerowy ortogoay do całe rzestrze N aaogcze w N e stee owetor ezerowy ortogoay do całe rzestrze N Podstawą weu stwerdzeń dowodów est astęuący fat: eże cąg wetorów e e est dowoą ustaoą bazą w N a e α α est dowoy cąge czb (eeete R ) to ς N ta że ς e α α stee dołade ede owetor ( ) Dowód tego fatu wya z rówośc wyarów rzestrze duaych oraz z założea że oeraca srzęgaąca dwe rzestrzee duae est ezwyrodała Z odaego fatu wya róweż astęuący waży wose: da ażde bazy rzestrze srzężoe e w rzestrze stee dołade eda baza w N Parę baz e ε azyway duaą arą baz Oerowae duay ara baz zacze uraszcza etóre dowody rachu N x ς x e ) ( ς ε ) x ς ( e ε ) x ς δ x ς ς e x x ε ς N taa że (D) e ε ε e δ (6) Zdefowaą ty wzore bazę ε azyway zwye obazą bazy ( Odwzorowaa strutur agebraczych Poza strutura agebraczy teresuą as odwzorowaa oędzy ty strutura Ne będą to dowoe odwzorowaa ae odwzorowaa tóre będą osadały ewe własośc Będą oe aowce zachowywały własośc tych strutur e szczegóe odwzorowaa oszą azwę orfzów ub hooorfzów strutur agebraczych [] Da gru gdy ( G ) (H ) są dwea grua to odwzorowae f : G H azyway hooorfze gru eże f ( g h) g h G f ( g) f ( h) ε e

24 4 Rozdzał trutury agebracze Odwracay (betywy) hooorfz gru azyway zoorfze Natoast zoorfz gruy a sebe azyway autoorfze Hooorfz gruy w sebe azyway edoorfze a węc autoorfz est to odwracay (betywy) edoorfz Podobe odwzorowaa oża zdefować da cał oraz rzestrze owych ODWZOROWANA PRZERZEN LNOWYCH Nech L N będą dwea rzestrzea owy ad ty say całe K Odwzorowae L : L N azyway odwzorowae owy (hooorfze) eże L( α A + β B) α L( A) + β L( B) (7) α β K A B L Betywy hooorfz rzestrze owych azyway zoorfze Dwe rzestrzee owe L N ad ty say całe K azyway zoorfczy eże stee zoorfz tych rzestrze a sebe y słowy stee wzaee edozacze owe rzyorządowae eeeto zboru L eeetów zboru N zoorfcze rzestrzee owe są erozróżae ą oe reaca te sae teor Każde zdae wyowedzae w terach ede rzestrze dae sę edozacze rzetłuaczyć a ęzy rzestrze zoorfcze Każde dwe rzestrzee owe tego saego wyaru są zoorfcze Przyład: Każda rzestrzeń L ad całe R (czb rzeczywstych) est rzestrzeą zoorfczą z rzestrzeą R R R R K R Jeże eeety A ( K ) tworzą bazę w L to A α A A L α R

25 Odwzorowaa strutur agebraczych 5 Rerezetacę A w baze tworzy cąg saarów α A ( α Kα ) α z R utożsaaych z eeeta rzestrze R Różca ędzy say eeete A L a ułade saarów aeżących do R est bardzo stota A aowce ażdy uład saarów α zaweraący rzyae ede eeet α 0 est rerezetacą zadaego eeetu A w ewe baze Baz tach est esończee wee eże rzyae dwa saary α są róże od zera z że A α B A 0 A L α R B L FORMA LNOWA zczegóy rzyade odwzorowaa owego L : L N est odwzorowae gdy rzestrzeń N N K Zachodz wtedy rówość L : L N K L( A) φ( A) α K Odwzorowae te ostac azyway forą ową φ ad rzestrzeą ową L ODWZOROWANE BLNOWE Nech L N M będą rzestrzea owy ad ty say całe K α Odwzorowae B : L N M ( A a) L N B( A a) M azyway bowy eś B B B ( A + B a) B( A a) + B( B a) ( A a + b) B( A a) + B( A b) ( β A a) B( A β a) β B( A a) (8) da ażdego β K da ażdego A B L da ażdych a b N

26 6 Rozdzał trutury agebracze FORMA BLNOWA Jeże rzestrzeń M est całe K () to odwzorowae B:L N M K ( A a ) L N B( A a ) K azyway forą bową W te sosób oża defować odwzorowaa weoowe fory weoowe UMA PROA PRZERZEN LNOWYCH Narostszy rzyłade budowaa w oarcu o zae rzestrzee owe ad ty say całe K owe rzestrze owe est sua rosta W ceu zdefowaa suy roste odaey defcę suy agebracze [] Nech ν ν będą odzbora rzestrze owe L Zbór ν + ν { A + A L ; A ν A ν ν azyway suą agebraczą odzborów ν uę agebraczą odrzestrze ν ν azyway suą rostą ν ν eże ażdy eeet suy dae sę edozacze rzedstawć w ostac suy eeetów rzestrze ν ν uą rostą rzestrze owych L N ad ty say całe K azyway rzestrzeń M+ L N owstaącą z oczyu artezańsego L N rzez zdefowae w ty zborze oerac dodawaa ożea rzez eeety cała K ta że } A B L a b N α β K α ( A a) + β ( B b) ( α A + β B α a + β b) M + - rzestrzeń owa (9)

27 4 Przestrzee eudesowe 7 Każdy eeet rzestrze L N dae sę edozacze rzedstawć w ostac suy eeetów rzestrze L N Wyar rzestrze L wyos + N LOCZYN ENOROWY PRZERZEN LNOWYCH oczye tesorowy rzestrze owych L N ad ty say całe K azyway rzestrzeń ową M L N owstaącą z oczyu artezańsego L N Wyar rzestrze L N wyos Przyorządowae : L N L N ( A a) L N A a LN est rzyłade odwzorowaa bowego eła zate astęuące asoaty: A L A B L A L a b N a N b N A ( a + b) ( A + B) a A a + B a α K 4 Przestrzee eudesowe A a + A b α A b A α b α ( A b) (0) Przestrzeą eudesową wetorową azyway wyarową rzestrzeń ową (4) ad całe czb rzeczywstych R w tóre dodatowo est zdefowaa oeraca oczyu saarego Eeeta rzestrze są wetory a bk [9] oczye saary azyway forę bową taą że : () ( a b) a b Jest to rawo oozyc rzyorządowuące dwó wetoro saar (czbę) Odwzorowae to seła astęuące asoaty: a b b a a b

28 8 Rozdzał trutury agebracze a ( b + c) a b + a c ( a + b) c a c + b c a b c α a b α ( a b) a ( α b) a b α R 4 a a 0 a a 0 da a 0 a Norą odułe wetora a azyway czbę a o własoścach: a a a 0 ( a a) a 0 da α a α a a + b a + a b a 0 b (erówość chwartza) Wetor a da tórego a azyway wersore Kąt ϕ tóry est ąte ędzy wetora a b wyzaczay ze wzoru a b cosϕ 0 ϕ π () a b Jeże wetory e ( ) są bazą w to geeruą oe całą rzestrzeń W echace ośrodów cągłych teresue as główe rzestrzeń eudesowa trówyarowa ( da ) tz rzestrzeń wetorowa eudesowa w tóre bazą est dowoa tróa owo ezaeżych wetorów Jeże wetory e e ) są bazą w to a e α α α R ( e a α e + α e + α e α e róę czb α rzyorządowaą edozacze wetorow a w baze e azyway rerezetacą wetora a w te baze Jeże baza e

29 4 Przestrzee eudesowe 9 est ustaoa to wetor a oża utożsać z ego rerezetacą tz z tróą czb α Naeży aętać że te tró czb rzyorządowae teu saeu wetorow w różych bazach będą e Zachodz zate zaeżość a α g + β g + γ g a 0 α β γ R g a węc ażda tróa czb tach że rzyae eda z ch est róża od zera oże być rerezetacą zadaego wetora w odowedo dobrae baze Przestrzeń eudesowa est rzestrzeą ową osada zate wszyste własośc rzestrze owych Da rzestrze eudesowe forą bową a węc oże być uzaa za rzestrzeń eudesową ze sobą saą oeraca oczyu saarego est oeracę srzęgaącą Jeże est rzestrzeą srzężoą (duaą) do rzestrze to rzestrzee te są zoorfcze Na te odstawe rzyue sę że Poo rzyęca taego założea ozostaway ze wzgędów rachuowych oęce bazy obazy ao baz w te sae rzestrze eudesowe e Kobazą bazy e azyway taą bazę e da tóre da e e δ (deta Kroecer'a) δ 0 da Macerz e e azyway acerzą etryczą Da dae bazy g e obaza e est wyzaczoa edozacze e g e (gdze g e e ) () e wyzaczay z uładu rówań owych Craer'a g g δ Wsółczy g e rozładu obazy w baze e e

30 0 Rozdzał trutury agebracze Kobaza e est bazą w Moża zate wetory e rozłożyć w obaze e e g e (4) Ze wzorów () (4) wyaą ewe własośc acerzy g g ą to wsółczy rozładu ede bazy w druge łużą oe do odoszea ouszczaa desów Dowoy wetor a oża rozłożyć w baze e ub obaze e a aowce a α e α e Po wyorzystau wzorów a rozład ede bazy w druge otrzyuey że α a e α g (5) α a e α g Wybór bazy w est dowoy Jeże hα staow ą bazę od e to eże β β h h δ α α β wówczas wetory h są obazą do h Każda z baz e e β α h α h geerue całą rzestrzeń Wetor a oża wówczas rozłożyć w ażde z tych baz α ~ β a α h α h α e α e h g α e g ~ α β α α e tąd wya że e e α β α β ( e h ) hα ( e h β ) h g hα g β h α β α β ( e h ) h ( e h ) h g αh g h α β β (6) Wsółczy rozładu wetorów ede bazy w druge są oczya saary odowedch wetorów bazowych tóre oża uzać za defcę tych obetów czbowych Jeże bazy są ustaoe to ch oczyy saare są ezea

31 4 Przestrzee eudesowe oczy saary dwóch wetorów a b reazue sę astęuąco: a b α e β e α e β e α β e e α β e e α β g α β δ α e α β α β β e α β e e α β g Przestrzeń eudesową utową ε o wyarze defue sę ao zbór eeetów (utów) tach że ażde uorządowae arze ε utów A B rzyorządoway est edozacze wetor AB Przestrzeń eudesowa utowa ε zwązaa est z rzestrzeą eudesową wetorową rzez zadae odwzorowae: ε ε ; ( A B) ε ε AB Odwzorowae to seła astęuące asoaty: A B A B C ε O ε ε AB BA ε X AB AB+ BC x OX x ε gdze x roeń wetor utu X wzgęde wybraego utu O Oberaąc w ε ut O oża zdefować edo-edozacze rzyorządowae oϕ ε o ( X ) OX x : ϕ (7) oędzy uta z ε a wetora z Przestrzeń ε e est rzestrzeą ową Moża eda rzeeść do e strutury rzestrze wetorowe ao odowede oerace a roeach wodzących trutura ta zaeży od wyboru utu O

32 Rozdzał trutury agebracze Reere w rzestrze utowe ε stowarzyszoe z azyway ażdą arę ( O; e ) gdze O ε e Put O est ute zaczeea reera zaś wetory e są bazą w Baza est ortooraa gdy e e δ Wetory bazy są e wówczas wzaee ortogoae są wersora W echace ośrodów cągłych rzyue sę że rzestrzeń fzycza est odeowaa trówyarową utową rzestrzeą eudesową ε z ( O; e ) reere () Przestrzeń eudesową utową ε defue sę czase ao zbór R R R R gdze R est całe czb rzeczywstych Wyberaąc w bazę ortooraą ( δ ) otrzyuey wzaee edozacze odwzorowae ψ : R (8) ψ x x x x Odwzorowae ( ) ( ) Φ ψ o ϕ ε o : R est zoorfze rzeesoych z [0] ε w R zaeży od reera ( O; ) wzgęde strutur

33 Rozdzał esory eudesowe Przestrzee tesorowe Podstawowy obete aszych zateresowań z utu otrzeb echa ośrodów cągłych są tesory eudesowe [5] [0] esory eudesowe są eeeta rzestrze owych utworzoych z rzestrze eudesowych wetorowych A zate tworzywe tych rzestrze są rzestrzee eudesowe W aszych rozważaach ograczay sę do rzestrze eudesowych rzestrze trówyarowych rzestrze tesorowych utworzoych z tych rzestrze Jao ede z rzyładów odwzorowań rzestrze owych był wrowadzoy oczy tesorowy tych rzestrze Moża zate rozatrywać róweż oczyy tesorowe dwóch rzestrze wetorowych () ( ) eudesowych oczye tesorowy ( ) ( ) azyway rzestrzeń o wyarze 9 tórą otrzyuey w wyu odwzorowaa : ( a b) () ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) a b () Jest to odwzorowae bowe (8) esore eudesowy o waec (rzędu ) azyway ażdy eeet rzestrze owe ( ) esory ostac a b b a azyway dada abo tesora rozładay Ne ażdy tesor drugego rzędu oża rzedstawć w ostac dady Każdy atoast est obacą ową dad Wya to z fatu że w rzestrzeach wetorowych steą bazy W ażde z ożoych tesorowo rzestrze ( ) ( ) ogą być róże Nech ( ) ( ) e będą róży baza odowedo w h α

34 4 Rozdzał esory eudesowe Uład dzewęcu dad ostac e hα est bazą w Z defc rzestrze wya wówczas że e h α α R α e h Na ogół rzyue sę że w ażde z rzestrze α ( ) ( ) () bazy są te sae Nech e e (e e δ ) będą bazą obazą wówczas cztery ułady dzewęcu astęuących dad: e e e e e e e e są czterea róży baza (obaza) w Pobazy w tórych wystęuą wetory aeżące do ede bazy e obazy azyway obaza rosty Oczywśce e tyo obazy są baza w Dowoy uład dzewęcu tesorów owo ezaeżych oża rzyąć ao bazę w Moża wówczas asać H ( 9) W obazach rostych tesor oża w sosób edozaczy rzedstawć w ostac e e e e e e e e () H Ułady dzewęcu czb azyway sładowy ub rerezetacą tesora w odowede obaze ładowe te e są ezaeże Ze wzorów a rozład bazy w obaze () a odwrót (4) otrzyuey że a rzyład g g g g (4) g g g g Wybór bazy w rzestrze eudesowe est dowoy Jeże h są ą ż e e bazą obazą w to obaza rosty w wówczas ułady dad: α h β są

35 Przestrzee tesorowe 5 ) ( β α β α β α β α β α h h h h h h h h z tórych ażda geerue całą rzestrzeń esor oża zate rzedstawć róweż w ostac ~ ~ ~ ~ β α αβ β α β α β α β α β α αβ h h h h h h h h Łatwo oazać że ędzy sładowy tesora w różych obazach (6) zachodzą zaeżośc: ( )( ) ( )( ) ~ ~ g g g g β α β α β α β α β α αβ e h e h e h e h (5) ENOR MERYCZNY stotą roę w rachuu tesorowy odgrywa tesor etryczy Jest to tesor drugego rzędu G G o własoścach ( ) ( ) ( ) ( ) h h h h h h e e e e e e h h e e G h h e e h h h h e e e e h e h e h e h e G α α β α β α β α β α β β α α δ δ (6) W dowoe obaze roste eszae tz utworzoe z wetorów bazy obazy tesor etryczy a rerezetacę w ostac dety Kroecer a (D) G δ worząc oczyy tesorowe węce ż dwóch rzestrze eudesowych otrzyuey rzestrzee tesorowe tesorów wyższego rzędu esore eudesowy rzędu (o waec ) azyway ażdy eeet rzestrze owe o wyarze tóra owstała z oczyu tesorowego rzestrze eudesowych a aowce () ( ) ( ) ( ) ( ) K

36 6 Rozdzał esory eudesowe tąd wya że rzestrzee: 0 R o wyarze o est rzestrzeą czb rzeczywstych o wyarze est rzestrzeą eudesową wetorową o wyarze 9 est rzestrzeą tesorów drugego rzędu A zate czby oża azywać tesora rzędu 0 a wetory tesora rzędu Przyorządowae () ( ) ( ) ( ) K est rzyorządowae owy Każdeu cągow eeetów ( ) a a K a aν rzyorządowuey eeet ; ν a a K a (7) esory te ostac azyway tesora rozładay Ne ażdy eeet est tesore rozładay Drug ty tesorów staową tesory będące obacą ową tesorów rozładaych Jeże w ażde rzestrze ( ν ) weźey taą saą bazę e obazę e (e e δ ) to obaza rosta ostac est bazą w Zachodz wówczas rówość ee K e e e e K e e e e K e esory są zate edoścą bazy (obazy stowarzyszea bazowego) sładowych w te baze

37 Dzałaa a tesorach 7 A Dwa tesory są sobe rówe eże w te sae obaze aa tae sae sładowe tz że w obaze B A e K B K e e K Dzałaa a tesorach Odwzorowaa owe rzestrze owych dotyczą róweż rzestrze tesorowych Na tesorach o dowoe waec (dowoego rzędu) oża dooywać odowedch oerac o e e są oe srzecze z defcą tesora Dzałaa a tesorach oża rozatrywać ao odwzorowaa rzestrze tesorowych a) oczy tesorowy (oczy zewętrzy) rzestrze tesorowych est odwzorowae bowy : q q q + (8) tóre da tesorów rozładaych (7) reazue sę w astęuący sosób: : q q + g b a h d c g b a h d c K K K K Jeże tesory q D C B A to ( ) ( ) D B C B D A C A D C B A ξ β β γ α ξ α γ ξ γ β α Da tesorów erozładaych dowoy tesoro q P tóre w odowedch obazach rostych aą ostać K K K K q u s su P e e e P e e e oeraca ch oczyu tesorowego est tesore ostac

38 Rozdzał esory eudesowe K K 44 K K q u s czby su P + e e e e e e P P Oeraca oczyu tesorowego e est rzeea Na ogół P Przyłady: ) oczy tesorowy dwóch wetorów v u v u v u e e e e v u est tesore drugego rzędu zway dadą ) oczy tesorowy tesora drugego rzędu wetora u u u e e e e e e u u est tesore trzecego rzędu Oeraca oczyu tesorowego reazue sę zate rzez dosae do sebe stowarzyszeń bazowych wyożeu czb rerezetac tych tesorów w wybraych obazach b) Zwężee tesora (otraca) Oeraca zwężea tesora est odwzorowae owy ( ) ~ ~ ~ : ~ ) ( ) ( ) ( ) ( ν µ µ ν ν µ ν µ (9) Oeraca zwężea da tesora rozładaego (7) reazue sę w astęuący sosób: ( ) ( ) ~ h b a d f h d f b a K K K K µ ν µ ν

39 Dzałaa a tesorach 9 oega a wyożeu saary wetorów stoących a escach ν µ w cągu wetorów Jest to oeraca rzeea oeważ oczy saary est rzeey Jest to róweż oeraca owa oeważ ( ν µ ) ( ν µ ~ ~ ) ( ν µ ~ ) ( α + β B) A α A+ β B Da tesorów erozładaych da dowoego tesora ( µ ~ ν ) µ K Kν K µ K Kν K µ K Kµ K e e ν ( e e ) e e µ Ke e e µ Ke Ke Ke ν Ke µ K Kν K ν µ ostac δ e e Ke A zate da dowoego tesora daego w obaze roste oerac zwężea o arze desów ( µ ν ) doouey wyażaąc saare wetory ze stowarzyszea bazowego stoące a escach µ ν W rerezetac tesora doouey suowaa o arze owtarzaących sę wsaźów Da tesora o waec > oeraca zwężea e est edozacza wyaga odaa desów µ ν o tórych doouey zwężea ( ) Da tesorów rzędu oża dooać! zwężeń! ( )! Rząd otrzyaego tesora est o ższy od rzędu tesora zwężaego Jeże wy zwężea est tesore o waec e esze ż oża dooać daszych zwężeń Przyłady: ) Da tesora trzecego rzędu oerac otrac (zwężea) oża dooać a trzy sosoby W wyu zwężea otrzyue sę trzy róże wetory Jeże e e e to w wyu zwężea otrzyuey astęuące trzy wetory:

40 40 Rozdzał esory eudesowe ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ e e ( e e ) e g e e ) Zwężee tesora drugego rzędu est oreśoe edozacze dae saar ~ R tóry azyway śade ~ tesora tr ( ) a aowce ~ tr e e + (0) ( ) ( ) + esory bezśadowe tz tesory da tórych ( ) 0 tr azyway dewatora Nastęe oerace a tesorach są złożee dzałań oczyu tesorowego zwężea c) Nasuęce tesorów (oczy wewętrzy tesorów) Jest to odwzorowae () q + q tóre est złożee odwzorowań (8) (9): ( A B) : ( µ ν ) q + q ~ : + q ( µ ν ) ~ + q q A B q 0 < µ ν Nasuęce dwóch tesorów zwae róweż ch oczye wewętrzy est tesore tóry otrzyuey doouąc zwężea oczyu zewętrzego tych tesorów wzgęde wsaźów z tórych ede aeży do edego tesora a drug do drugego W wyu asuęca tesorów A B q oża uzysać q różych tesorów o waec ( µ ν ) ~ + q ostac W P q

41 Dzałaa a tesorach 4 ( + ) ~ Nasuęce w tóry µ ν + A B A B azyway asuęce rosty Jest to asuęce dooae o abższych desach Na ogół A B B A oeraca asuęca rostego e est rzeea Nasuęce eły dwóch tesorów azyway odwzorowae: q Jest to rocedura q rotego asuęca tych q q tesorów według wzoru: ( + q + )( + q + ) K( + q) ~ A B A B () Gdy q asuęce ełe A B est saare tóry azyway oczye saary tych tesorów Przestrzeń tesorów o zdefowaa oczyu saarego stae sę rzestrzeą eudesową Przyłady: ) Nasuęce tesora drugego rzędu wetora a W wyu ch asuęca otrzyuey dwa róże wetory: ( ) ~ b b ( ν ) () ( ν ) ~ ( ) a ~ a Nasuęce a a a asuęce tesora wetora a b () ( ) ~ a est edocześe rosty eły ) Nasuęca dwóch dad a b P c d oża dooać a cztery sosoby:

42 4 Rozdzał esory eudesowe ( µ ν ) ~ W abcd µ ν 4 W () () () (4) ( a c) bd W ( a d) bc W ( b c) ad W ( b d) ac () W W wyu asuęca rostego tych dad otrzyuey tesor a c b d Nasuęce eły tych dad est saar ( )( ) WERDZENE Jeże odwzorowae L : q est owe to stee oreśoy edozacze tesor L +q ta że L( ) q L () Z twerdzea tego wya że owe odwzorowae ( L : q ) oża utożsać z tesore L o waec + q Odwzorowae to reazue sę rzez asuęce ełe () tesorów L ( ) r L L r K K e e K e 4444 Każdy edoorfz L : reazue tesor L o waec arzyste ( ) Przyłady: ) Odwzorowae owe rzestrze wetorowe w rzestrzeń czb rzeczywstych φ : () a α R φ Jeże odwzorowae est owe to Wetor a 0 0 q ( ν ) ( a) ν a φ α ν a ν da ażdego oeratora φ est oreśoy edozacze

43 Dzałaa a tesorach 4 ) Odwzorowae owe rzestrze wetorowe w rzestrzeń wetorową L : ( a) b L Odwzorowae owe rzestrze wetorowe azyway edoorfze abo afore stee tesor edozacze ta że () a A a L A a Afory w ozaczay rzez A w sebe A oreśoy Afory odwzorowaa owe rzestrze wetorowych będzey utożsaać z tesora drugego rzędu (tesora o waec ) Afor A est afore tożsaoścowy eże A a a a azyway go tesore edostowy A tesor etryczy (6) est afore tożsaoścowy G wówczas A Moża oazać że WERDZENE Jeże odwzorowae oreśoy edozacze tesor B B : est bowe to stee q + q+ L ta że ( B) L ( A B) A Jest to ełe asuęce () tesora L tesora A B d) rasozyca tesora Oeraca trasozyc tesora o arze desów est oeracą ową odwzorowuącą rzestrzeń tesorów w sebe Τ : ( µ ν ) Da tesorów rozładaych oeraca trasozyc reazue sę rzez rzestawee wetorów stoących a escach µ ν w cągu wetorów a aowce ckak bkd µ ν ( µ ν ) ck bk ak d µ ν (4)

44 44 Rozdzał esory eudesowe Wy taego odwzorowaa azyway zoere Oerac trasozyc da tesora o waec oża dooać a ( ) sosoby Da tesorów erozładaych oerac trasozyc doouey rzez rzestawee w obaze wetorów zaduących sę a escach µ ν ( µ ν) ( µ ν) µ ν µ ν ( ν e e e K e ) ( ν e e K e e ) K µ K µ Da tesora drugego rzędu oeraca trasozyc est oreśoa edozacze Τ Τ e e e e ( ) Częścą syetryczą tesora o arze ( µ ν ) azyway tesor ( µ ν ) ( µ ν ) ( + ) (5) zaś ego częścą atysyetryczą tesor ( µ ν ) ( µ ν ) A ( ) (6) Z tych dwóch rówośc wya że ( µ ν ) ( µ ν ) + A (7) esor azyway tesore syetryczy o arze ( µ ν ) gdy zachodz rówość ( µ ν ) (8) azyway go tesore atysyetryczy o te arze gdy ( µ ν ) (9)

45 esory drugego rzędu 45 esor syetryczy o ażde arze azyway tesore absoute syetryczy esor atysyetryczy o ażde arze azyway tesore absoute atysyeytryczy Dzałaa owe zachowuą własośc syetr atysyetr Wya stąd że rzestrzeń owa tesorów o te sae waec est suą rostą (9) odrzestrze owych tesorów syetryczych tesorów atysyetryczych o arze ( µ ν ) ( µ ν ) ( µ ν ) A esory drugego rzędu esory drugego rzędu (o waec ) są eeeta rzestrze utworzoe z oczyu tesorowego dwóch rzestrze eudesowych wetorowych Odgrywaą oe zasadczą roę w zastosowaach Przestrzeń tesorów drugego rzędu est rzestrzeą ową ae oerace wewętrze a sua tesorów a róweż ch roste asuęce e wyrowadzaą oza te zbór Jeże A B to A + B AB esory syetrycze są gruą ze wzgędu a oeracę dodawaa ( + ) () Da tesora A eeet eutray gruy 0 tesor zerowy eeet rzecwy gruy - A esory drugego rzędu aeżące do e są gruą ze wzgędu a oeracę rostego asuęca oeważ e da ażdego tesora A stee tesor rzecwy A X ta że A X X A G ; - eeet eutray gruy gdy stee A

46 46 Rozdzał esory eudesowe Zbór tesorów A A A A A N ; (0) A staow gruę tesorów eosobwych Jest to grua ze wzgędu a oeracę rostego asuęca Jeś A B to A B esore eutray gruy est tesor edostowy zaś tesore rzecwy est tesor odwroty A X Przestrzeń tesorów drugego rzędu est rzestrzeą 9-co wyarową Przestrzeń acerzy wadratowych M est róweż rzestrzeą 9-co wyarową Przestrzee te są zoorfcze [0] Ustaaąc w ewą obazę e e () ożey odeść wszyste tesory do te obazy Uład czb A ta że A A e e est uorządoway rzez dwa desy oże być utożsaay z acerzą wadratową ( A ) Odwzorowae A (A est zoorfze o własoścach: ) A + B A B A A ( A ) + ( B ) ( A )( B ) ( A ) ( ) A ( A )( A ) () Utworzoy zoorfz oża wyorzystać do rzeesea szeregu fatów z teor acerzy do teor tesorów o waec Odwzorowae A A zaeży od wyboru obazy ( ) ENORY PODOBNE MACERZE PODOBNE A A α β są odobe eże Dwe acerze ( ) ( )

47 esory drugego rzędu 47 ( A ) ( g α )( A α β )( g β ) α ( )( β ) α β β g g δ β gdze g α e h g h e α β hα h a baza obaza w Nezeczość wzgęde reac odobeństwa [4] A tr det A 6 α ( A) A A α [ tr( A A A) tr ( A A) tr A + ( tr A) ] det ( A ) det ( A α β ) Potęga tesora drugego rzędu est zdefowaa astęuąco: + A A A A A A A A A A A () () WERDZENE Odwzorowae owe w est zadae rzez zadae afora A a dowoe baze e w Wya to z tzw fudaetae tożsaośc da dowoego oeratora L dowoe bazy [] Jeże e e są bazą obazą w to a a e gdze a a e a tąd wya że A a a A e ( A e e ) a ostatecze otrzyuey afor A w ostac Gdy A A e e (4) A wówczas e e e e e e + e e + e e Da bazy ortoorae ( e e δ ) zachodz rówość A A e e

48 48 Rozdzał esory eudesowe WAROŚC WŁANE WEKORY WŁANE Dowoy wetor a o długośc a wersorze eruowy ν od wływe afora A est odwzoroway w y wetor b Aa aa tóry róż sę od a zarówo długoścą a róweż erue ta wetor a dozae wydłużea λ ν b Aa a Aν λ ν Aν ( νa Aν) (5) a a a oraz zea swó erue ν Aν νaν cosϕ cos( ν Aν) (6) ν Aν (ν ) Wetor A Aν azyway sładową wetorową tesora A da (νν ) eruu ν zaś saar A ν Aν νaν azyway sładową oraą ( ν ) tesora A da eruu ν Jest to rzut wetora A a erue ν Jeże (ν ) wersor µ est ortogoay do ν ( µ ν 0) to rzut wetora A a (νµ ) erue µ - A µaν νa µ azyway sładową styczą tesora A da ary eruów ( νµ) Na ogół µaν νaµ Defca Każdy wetor a 0 sełaący rówae A a A a A R azyway wetore własy tesora A odowadaący czbe A; czbę A azyway wartoścą własą tesora A Wetor własy a od wływe afora A e zea swoe oretac Z (6) wya wówczas że ϕ 0 cosϕ λ νaν Z rówośc ( A A )a 0 (rówae edorode) wya że eże aą steć ezerowe wetory a sełaące tę rówość to tesor ( A A) us być osobwy ( det ( A A ) 0 ) Ozacza to że zerue sę wyzacz acerzy λ ν ν

49 esory drugego rzędu 49 A A A A A A A A A A A A 0 (7) Przyrówuąc do zera wyzacz otrzyuey rówae trzecego stoa a wartość własą A Wartośc włase tesora A orywaą sę zate z erwasta rzeczywsty rówaa charaterystyczego A A A A A A 0 (8) gdze () A tr ( A ) A tr A ( tr ( A) ) A det ( A) Z agebry owe wya że rówae trzecego stoa osada co ae ede erwaste rzeczywsty [] Rzeczywsty wartośco własy odowadaą wówczas rzeczywste wetory włase Wyzaczay e z astęuącego uładu rówań edorodych ( A A) ν + A ν + A ν 0 A ν + ( A A ν + A ν + ( A A) ν + A ν 0 A) ν 0 gdze rzyęto że a aν Naeży aętać że ν Z fudaetae tożsaośc (4) wya że eże Ae A A A e Ae e Ae e to otrzyuey tesora A w ostac A A e e A e e + A e e + A e e ( 9) Macerz rerezetac tesora a wówczas ostać dagoaą oeważ wetory bazy są wetora własy da tesora A Postać ( 9) tesora A azyway ego rozłade setray

50 50 Rozdzał esory eudesowe Podrzestrzeń P azyway odrzestrzeą waratą tesora A eże P a Aa P Ne aeży sądzć że odrzestrzeń warata słada sę z wetorów własych Podrzestrzeń P oże e zawerać żadego wetora własego Podrzestrzeą własą tesora A da wartośc włase A azyway zbór rozwązań rówaa Aa Aa N A { a ; Aa Aa} Jest to zbór wetorów własych tesora A odowadaących wartośc włase A uzuełoy wetore własy zerowy Podrzestrzeń własa tesora A est odrzestrzeą waratą tesora A WERDZENE 4 Wetory włase tesora A odowadaące wartośc włase wetora własy dowoego weoau od A Jeże λ są 0 A ν ( ) α + α A + + α α R ϕ A K (0) to odowadaąca eu wartość własa seła rówość ϕ ( λ) α0 + α λ + K+ α λ Da tesora eosobwego otęg ogą być uee Dowód tego twerdzea wya z fatu że wetor własy tesora est wetore własy dowoe ego otęg a aowce A a A Aa A A a A a ()

51 esory drugego rzędu 5 Da wzór () rzyue ostać A a AAa A( Aa) AA a A( Aa) A a Poadto wartość własa da dowoe otęg tesora est taą saą otęgą wartośc włase tesora Z utu wdzea otrzeb echa ośrodów cągłych teresuą as tesory drugego rzędu tóre sełaą rówość ą to tesory syetrycze A A aab baa () WERDZENE 5 Da ażdego tesora syetryczego drugego rzędu rówae charaterystycze osada trzy erwast rzeczywste Wetory włase odowadaące róży wartośco własy są ortogoae yetra tesora est warue wystarczaący ae e oeczy Mogą steć esyetrycze tesory o rzeczywstych wartoścach własych α 0 0 α ( A ) 0 α Weoa charaterystyczy tego tesora ( ) 0 A α a otróy erwaste rzeczywsty A α Jeże tesor A est syetryczy a otróy erwaste wówczas est tesore ostac A α tz 0 0 ( A ) α ae tesory azyway tesora usty Każdy tesor syetryczy oża rzedstawć w ostac suy tesora ustego P dewatora D ( tr D 0) 0

52 5 Rozdzał esory eudesowe A P + D gdze P (tra) (tr P tra oeważ tr ) D A P Rozład te est edozaczy WERDZENE 6 werdzee Cayey a-hatoa Każdy tesor drugego rzędu est erwaste swego weoau charaterystyczego A A+ A + () A Dowód tego twerdzea wya z weoau charaterystyczego (8) z twerdzea 4 PROJEKORY Ważą rostą asę aforów staową roetory Nech rzestrzeń M N est suą rostą dwóch odrzestrze wówczas a a a + a A A a M a N ; M N esor P drugego rzędu est roetore a M rówoegły do N eże P a a Jeże a M to roetor dzała a oerator tożsaoścowy P a a Da a M P a 0 Postać roetora zaeży od wyaru odrzestrze M Jeże M est odrzestrzeą edowyarową to roetor a ostać P e e (4) Zachodz wówczas astęuąca rówość ( e e ) a ( e a) e e P a a a

53 esory drugego rzędu 5 Da odrzestrze M o wyarze wyberay dowoą bazę w M e Wówczas e tąd wya że a a e + a e a a e P e P e P e e P e ( e e ) + ( e ) e 0 (5) Defca Proetor P azyway ortogoay gdy a a a 0 M N tz Każdy roetor oża wówczas zasać w ostac: P + δ ub P baza ortooraa Każdy roetor ortogoay est syetryczy WERDZENE 7 werdzee o rozładze setray (wdowy) tesora syetryczego drugego rzędu afora A oża sforułować w astęuący sosób Każdy tesor syetryczy A dae sę rzedstawć w ostac obac owe roetorów ortogoaych wzaee ortogoaych A A P + K + A P r r r Da edorotych wartośc własych rzestrzee wetorów własych są edowyarowe wetory włase oreśoe są z doładoścą do zau (r) Proetory ortogoae są wówczas ostac:

54 A µ µ + µ µ + µ µ 54 Rozdzał esory eudesowe P ν ν P P ν ν ν ν A ν A ν ; A ν Aν A A ν ν ; rozład setray a ostać A Aν ν + A ν ν + A ν ν (6) Da odwóe wartośc włase odrzestrzeń własa est dwuwyarowa oeważ da tesorów syetryczych rotość agebracza est rówa rotośc geoetrycze Jeże A wówczas A A gdze P A P + ν ν (7) A A ν ν + ν ν Wetory włase ν ν staową wówczas dowoą bazę ortooraą w dwuwyarowe odrzestrze włase P Da otróe wartośc włase gdy A A A A A A P gdze P ν ν + ν ν + ν ν µ µ + µ µ + µ µ Dowoa baza ortooraa est bazą wetorów własych