STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

Transkrypt

1 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5

2 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s (w ; w 2 ) x& s = (w 2 ; w 3 ) x& 2 2 s 2 = (w r ; w r+ ) x& r r s r = razem

3 X badaa cecha, lczba daych statystyczych, r lczba przedzałów (klas), (w ; w + ) przedzały (klasy), x& środk przedzałów (klas), lczba daych ależących do przedzału (w ; w + ), s lczebośc skumulowae (s = ). b długość klasy 7

4 Lczbę klas r moża ustalć oretacyje wg astępującej tabel: Lczba daych Lczba klas r >

5 Będzemy przyjmować, że klasy są jedakowej długośc. 9

6 Długość klas b b = rozstęp = r x max r x m (wyk dzelea zawsze ależy zaokrąglć w górę do klasy dokładośc daych statystyczych). 20

7 Jeśl stosujemy przedzały otwarte to lewy koec perwszej klasy w wyzaczamy ze wzoru w = x m α - klasa dokładośc daych. Koleje końce klas wyzaczamy dodając do poprzedego końca długość klasy b tz. w = 2 w + b, w3 = w2 + b, td. α 2 2

8 Średa (arytmetycza) x = r o = x 22

9 23 Domata ( ) ( ) b w d d d d d d d d + + = + w d lewy koec klasy zawerającej domatę, d umer klasy zawerającej domatę, d lczebość klasy zawerającej domatę, b długość klas,

10 Uwaga Wzoru e moża stosować gdy klasa ajlczejsza jest perwsza lub ostata. 24

11 Medaa m e b = wm + sm 2 w m lewy koec klasy zawerającej medaę m umer klasy zawerającej medaę m lczebość klasy zawerającej medaę s m- lczebość skumulowaa klasy m m 25

12 Kwartyle perwszy kwartyl: q drug kwartyl: trzec kwartyl: q b = wq + s q 4 q q 2 = m e b = wq + 3 s 3 q ozaczea aalogcze jak przy medae. q 3 26

13 Uogóleam meday kwartyl są decyle (podzał a 0 rówych częśc) percetyle (podzał a 00 rówych częśc). 27

14 Waracja s r 2 o = = x 2 x 28

15 Współczyk asymetr a = r = o x x 3 s 3 29

16 lub x d a = s (wskaźk asymetr) 30

17 q3 2me + q a2 = lub 2q (pozycyjy wskaźk asymetr) q 3 q gdze q = 2 (odchylee ćwartkowe) 3

18 lub a 3 = d 9 2me + d d d (decylowy wskaźk asymetr) gdze d perwszy decyl d 9 dzewąty decyl 9 32

19 Pozycyje odpowedk współczyka zmeośc: v = p q m obszaru typowych wartośc: [ m q, m q] e e e + 33

20 Współczyk skupea (kurtoza) k = r = o x x 4 s 4 34

21 k = q lub 2( d d ) 3 9 q (pozycyjy wskaźk skupea) gdze d perwszy decyl d 9 dzewąty decyl q perwszy kwartyl q 3 trzec kwartyl 35

22 POMIAR KONCENTRACJI Krzywa Loreza. Współczyk Gego. Najperw wykreślamy tzw. krzywą Loreza. W tym celu a os pozomej odkładamy skumulowae częstośc w = (wskaźk struktury) a a os poowej skumulowae udzały wartośc z = r = x& x& (są to udzały tego przedzału w wartośc globalej). Welkośc te wyzaczają cąg puktów, które łączymy łamaą przedłużamy ją do początku układu współrzędych, otrzymaa łamaa to krzywa Loreza. 36

23 Odcek o końcach (0, 0) (, ) przedstawa lę rówomerego rozkładu. krzywa Loreza la rozkładu krzywa Loreza la rozkładu P 0 P P P 0 Słaba kocetracja kocetracja Sla Współczyk Gego defujemy jako stosuek pola P do 0,5 (pole trójkąta pod lą rówomerego rozkładu) co jest rówe podwojoemu polu P, tz. 37

24 K G bo = P 0,5 = 2P 2 = 2 P + 2 P2 = gdze P 2 jest polem obszaru pod krzywą Loreza, jest to suma pól trapezów, które łatwo oblczyć. Zauważmy, że 2*Pole trapezu = P = (suma podstaw)*wysokość = S S w ( ) z z + * + (perwszy trapez jest trójkątem). 2 K G [0,] 38

25 Przykład x& w Sw x& z = r x& = x& S ( Sz Sz ) w z + * ,5 0,5 50 0,009 0,009 0, ,25 0, ,009 0,08 0, , 0, ,08 0,036 0, , 0, ,063 0,099 0, , ,9009 0, , W ostatej kolume są wylczoe podwojoe pola trapezów pod krzywą Loreza, zatem P 2 = 0, Stąd K G = 2P2 0,085 = 0,95, 39

26 co śwadczy o bardzo dużej kocetracj (ajwyższą wartość osągają elcze elemety próby. krzywa Loreza la rozkładu rówomerego 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0,5 40

27 Przykład x& w Sw x& z = r x & = x & S ( Sz Sz )* w z ,05 0, ,0 0,0 0, ,2 0, ,2 0,3 0, ,5 0, ,5 0,63 0, ,2 0, ,28 0,9 0, , ,09 0, ,82 W ostatej kolume są wylczoe podwojoe pola trapezów pod krzywą Loreza, zatem P 2 = 0,82 Stąd K G = 2P2 0,82 = 0,88, co śwadczy o słabej kocetracj. 4

28 krzywa Loreza la rozkładu rówomereg 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 42

29 Przykład Dwa zakłady A B wykoują te sam detal. Średa dzea wydajość pracy a jedego pracowka w obu zakładach jest taka sama wyos x A = x B = 40 szt. Wadomo też, że m 45, d = 49 m 36, d = 34 e A = A e B = B Chcemy porówać wydajość w obu zakładach. 43

30 Rozwązae Wydajość w zakładze A ma rozkład o asymetr ujemej (bo x A d A < 0 ) zatem poad połowa pracowków ma wydajość powyżej średej 40 szt. Wydajość w zakładze B ma rozkład o asymetr dodatej ( bo x B d B > 0) zatem mej ż połowa pracowków ma wydajość powyżej średej 40 szt. 44

31 Wosek Chocaż średa wydajość w obu zakładach jest taka sama to bardzej korzysty rozkład wydajośc jest w zakładze A. 45

32 Charakterystyk połączoych populacj. Nekedy obserwujemy wartośc badaej cechy lczymy charakterystyk w populacj podzeloej a podzbory a astępe chcemy wyzaczyć wartośc tych charakterystyk w całej populacj. 46

33 Przyjmjmy, że populacja jest podzeloa a k podzborów o lczebośc rówych odpowedo N =, 2,..., k; tz. k = N = N. 47

34 48 Jeśl x są średm w poszczególych podzborach to średa dla całej populacj jest rówa k k k x N N x N N x N N x N N x = = = Jest to tzw. średa ważoa.

35 2 Jeśl s są waracjam w poszczególych podzborach to waracja dla całej populacj jest rówa s 2 N k k 2 = s + = N = N N ( x x) 2 Perwszy składk to tzw. waracja wewątrzgrupowa, drug składk to tzw. waracja mędzygrupowa. 49

36 DODATEK-RODZAJE ŚREDNICH Jedą z welkośc charakteryzujących dae lczbowe jest wartość średa. Rodzaje średch: Arytmetycza Geometrycza Harmocza Potęgowa 50

37 Wybór średej zależy od rodzaju badaych welkośc potrzeb aalzy daych. Najczęścej stosowaą średą jest średa arytmetycza. 5

38 Średą arytmetyczą lczb rzeczywstych x, x 2, x 3,..., x azywamy lczbę: x = ( x + x + + x ) = 2... x = 52

39 Przykład. Pęcu studetów otrzymało a egzame z matematyk ocey: 3, 2, 5, 2, 3. Ile wyos średa ocea tych studetów? (odp. 3) Jeżel wśród daych występują wartośc powtarzające sę: x występuje razy, =, 2,,r k = = k = to 53

40 x = ( x + 2x k xk ) = x = k = k = x Te sposób lczea średej arytmetyczej azywamy średą arytmetyczą ważoą. 54

41 Przykład. Dwudzestu pęcu studetów otrzymało a egzame z matematyk ocey: dzesęć oce 3, dzesęć oce 2, pęć oce 5. Ile wyos średa ocea tych studetów? x = ( ) = =

42 Średą geometryczą lczb rzeczywstych dodatch x, x 2, x 3,..., x azywamy perwastek tego stopa z ch loczyu, tz. x g = x x2... x = = x Średa geometrycza zajduje ajczęścej zastosowae przecętego tempa zma w czase, p. do uśredaa deksów gełdowych. 56

43 Przykład. Rocza stopa procetowa w czterech kolejych latach wyosła: 0%, 20%, 5%, 5%. Jaka była średa stopa w tym okrese? x g 4 = 4 0, 0,2 0,05 0,5 = 0,0005 0,07,07% Zauważmy, że średa arytmetycza tych daych wyos 2,5% 57

44 Średą harmoczą lczb x, x 2, x 3,..., x różych od zera azywamy odwrotość średej arytmetyczej odwrotośc lczb, tz. x h = = x x x x 2 = Średą harmoczą stosuje sę przy uśredau welkośc względych, p. przy oblczau przecętej prędkośc lub średej gęstośc zaludea. 58

45 Przykład. Pa Kowalsk codzee dojeżdża do pracy samochodem z prędkoścą 40km/h. Pewego da zaspał wyjechał późej ż zwykle. W połowe trasy zoretował sę, że e zdąży zwększył prędkość o 20km/h, dzęk czemu e spóźł sę do pracy. Z jaką średą prędkoścą jechał tego da pa Kowalsk? x h = = = 48 Zauważmy, że średa arytmetycza tych daych wyos 50km/h

46 Średą potęgową rzędu k lczb rzeczywstych dodatch x, x 2, x 3,..., x azywamy lczbę. x p( k) = k x k + x k x k = k = x k Uwaga: Dla k = jest to średa arytmetycza, Dla k = - jest to średa harmocza, Dla k = 2 jest to średa kwadratowa, 60

47 Przykład. Mamy 3 pojemk sześcee o krawędzach odpowedo, 2 3. Chcemy zaleźć taką krawędź sześceego pojemka, aby trzy pojemk o tej krawędz zastąpły dotychczas używae, to zaczy, aby łącza objętość poprzedch owych była taka sama. x p ( 3) = = 2 2,29 3 Zauważmy, że średa arytmetycza tych daych wyos 2. 6

48 Twerdzee Dla dowolych lczb rzeczywstych dodatch x, x 2, x 3,..., x zachodzą erówośc x h przy czym rówość zachodz wtedy tylko wtedy, gdy x = x 2 = x 3 =... = x. x g x 62