Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej"

Transkrypt

1 Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE

2 2

3 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ DOKŁADNA LICZBA DNI 2.2 ZASADA RÓWNYCH MIESIĘCY 2.3 REGUŁA BANKOWA 2.4 PRZYKŁADY 2.5 Zadaa 3 PROCENT PROSTY ODSETKI, WARTOŚĆ PRZYSZŁA KAPITAŁU 3.2 PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA 3.3 SYNTETYCZNA OCENA WIELU TRANSAKCJI JEDNEGO PODMIOTU 3.4 DYSKONTOWANIE PROSTE 3.5 DYSKONTO HANDLOWE 3.6 PRZYKŁADY 3.7 Zadaa 4 DYSKONTOWANIE WEKSLI WARTOŚĆ NOMINALNA I WARTOŚĆ AKTUALNA 4.2 RÓWNOWAŻNOŚĆ WEKSLI 4.3 KOSZT ZŁOŻENIA WEKSLA DO DYSKONTOWANIA 4.4 PRZYKŁADY 4.5 Zadaa 5 BONY SKARBOWE PRZYKŁADY 5.2 Zadaa 5 PROCENT SKŁADANY STOPA PROCENTOWA 6.2 ODSETKI, CZAS 6.3 CZAS PODWOJENIA KAPITAŁU 6.4 OPROCENTOWANIE CIĄGŁE 6.5 PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA 6.6 DYSKONTOWANIE SKŁADANE 6.7 PRZYKŁADY 3

4 6.8 Zadaa 7 OPROCENTOWANIE WKŁADÓW OSZCZEDNOŚCIOWYCH WKŁADY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.2 ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT ZGODNYCH Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.3 WKŁADY NIEZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.4 ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI 7.5 PRZYKŁADY 7.6 Zadaa 8 ROZLICZANIE POŻYCZEK -RATY O STAŁEJ CZESCI KAPITAŁOWEJ WZORY OGÓLNE 8.2 RATY O Z GÓRY USTALONYCH WYSOKOŚCIACH 8.3 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 8.4 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU 8.5 RATY STAŁE, O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA CAŁY OKRES SPŁAT 8.6 RATY STAŁE W OKRESACH KAPITALIZACJI, OSTAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA OKRES KAPIALIZACJI 8.7 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU NA POCZĄTKU OKRESU KAPITALIZACJI 8.8 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI W PODOKRESACH WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DOLICZANE RAZ NA OKRES KAPITALIZACJI. 8.9 PRZYKŁADY 8.0 Zadaa 9 ROZLICZANIE POŻYCZEK -RATY O RÓWNYCH WYSOKOSCIACH RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH SPŁATY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 4

5 9.2 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W PODOKRESACH, ODSETKI WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DŁUGU 9.3 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU NA POCZĄTKU DANEGO OKRESU KAPITALIZACJI 9.4 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH, ODSETKI KAPITALIZOWANE (DOLICZANE) W ODOKRESACH 9.5 PRZYKŁADY 9.6 Zadaa 0 KREDYTY Z DODATKOWA OPŁATA WZORY OGÓLNE 0.2 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI, Z DODATKOWĄ OPŁATA 0.3 RATY O STAŁEJ WYSOKOŚCI Z DODATKOWĄ OPŁATĄ. 0.4 PRZYKŁADY 0.5 Zadaa KREDYTY Z OPÓZNIONYM OKRESEM SPŁAT PRZYKŁADY.2 Zadaa 2 KREDYTY W WARUNKACH WYSOKIEJ INFLACJI STOPA OPROCENTOWANIA JEST SUMĄ STOPY ZYSKU ORAZ STOPY INFLACJI 2.. Raty o stałej częśc aptałowej spłaty zgode z oresem aptalzacj 2..2 Raty o rówych wysooścach płate z dołu spłaty zgode z oresem aptalzacj 2.2 KREDYT JEST WALORYZOWANY O STOPĘ INFLACJI 2.2. Raty o stałej częśc aptałowej spłaty zgode z oresem aptalzacj Raty o rówych wysooścach płate z dołu spłaty zgode z oresem aptalzacj 2.3 PRZYKŁADY 2.4 Zadaa 5

6 3 RENTY WZORY OGÓLNE 3.2 RENTA O STAŁEJ WYSOKOŚCI 3.3 RENTA TWORZĄCA CIĄG ARYTMETYCZNY 3.4 RENTA TWORZĄCA CIĄG GEOMETRYCZNY 3.5 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG ARYTMETYCZNY 3.6 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNY 3.7 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNO- ARYTMETYCZNY 3.8 RENTA WYPŁACANA W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI 3.9 PRZYKŁADY 3.0 Zadaa 4. PODSTAWY MATEMATYKI UBEZPIECZENIOWEJ.32 5 PODSTAWY WYCENY PAPIERÓW WARTOSCIOWYCH..45 6

7 WSTĘP Słuchacze wyładu Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej od zawsze arzeal a mogość wzorów, pojawających sę a wyładach co gorsza taże a ćwczeach z tego przedmotu. Podręcz omawające te temat zawerają zdecydowaą węszość potrzebych studetom wzorów, lecz ch ops często jest uryty w teśce rozdzału, w tórym wzór sę pojawa. Sprawa wpłat z dołu lub z góry, zgodych z oresem aptalzacj lub e, że e wspomę o west ret, plaów spłaty długu, czy oblczeach dotyczących dysotowaa wesl, spędzała dotychczas se z oczu welu studetom studetom. I jaolwe a ryu wydawczym zajdują sę podręcz, sprawe czytele omawające zawartość wspomaego wyładu, to problem sporządzea eco bardzej somplowaych oblczeń z zaresu matematy fasowej rozbja sę ajczęścej o ezajomość wzorów lub bra sąż, przedstawającej te wzory w sposób pozwalający szybo sprawe zastosować do rozważaego problemu właścwy zestaw oblczeń. To właśe stało sę przyczyą, dla tórej powstał te podręcz. Zamysłem autora było sporządzee zestawu zwązów, pozwalających sprawe poruszać sę po gruce matematy fasowej pod waruem wcześejszego wysłuchaa wyładu z tego przedmotu lub przeczytaa jedej z lu sąże, tóre o matematyce fasowej tratują. Poeważ welu studetów wcąż jeszcze uważa, że są zacze ceawsze rzeczy a tym śwece ż chodzee a wyłady, autor pozwala sobe a przytoczee trzech tach sąże, tóre reomeduje tym studetom jao ewetualą leturę zastępującą wyład. Są to m..: Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej (autorzy: Meczysław Dobja Edward Smaga, Wydawctwo Nauowe PWN, Warszawa-Kraów 995), Matematya fasowa (autorzy: Mara Podgórsa, Joaa Klmowsa, PWN, Warszawa 203), Matematya fasowa (autorzy: Pasec Krzysztof, Roa- Chmelowec Wada, C.H. BECK, 20) Matematya fasowa (autor: Meczysław Sobczy, Agecja wydawcza Placet, Warszawa 20)., Poszczególe sąż eco różą sę od sebe ozaczeam, ale treśc w ch zawarte są w peł zgode. Jeśl węc toś uza, że 7

8 wol uczyć sę z sąż ż słuchać wyładu, zapraszam do letury jedej z wymeoych wyżej sąże lub ych, tratujących o matematyce fasowej w sposób ompatybly z treścą wyładu, a potrzeby tórego powstał te podręcz. Słada sę o z szesastu częśc, przy czym ajrótsza jest jedostrocowa (mająca oddzely umer tratowaa jao oddzela część tylo dlatego, aby studet zapamętał przyswoł sobe pojęce stopy zwrotu). Poszczególe częśc podzeloe są a mejsze awał po to, aby w spse treśc moża było szybo zaleźć te zares materału, tóry jest właśe potrzeby. Oprócz perwszej ostatej częśc wszyste pozostałe zawerają po la przyładów zastosowań prezetowaych tam wzorów oraz zadaa do samodzelego przerobea przez studetów. Ostata część to tablce, w tórych podao wartość przyszłą wpłat jedostowych, wartośc czya umorzeowego oraz tablce trwaa życa dla lat oraz Życząc Użytowom podręcza, aby stał sę o dla ch prawdzwą pomocą w opaowau tajów matematy fasowej autor jeszcze raz przypoma, że podręcz te to tylo materały pomoccze uzupełające. Podstawą do opaowaa matematy fasowej jest wyład lub odpoweda sąża. Krzysztof Grysa 8

9 . STOPA ZWROTU Ozaczea: K 0 K r z r aptał początowy (zawestoway w jaeś przedsęwzęce) aptał otrzymay po zaończeu przedsęwzęca (ońcowy) stopa zwrotu (tempo przyrostu aptału) stopa zwrotu (tempo przyrostu aptału) podaa w sal rou Gdy rozważa sę opłacalość westycj aptału K 0 w jaeś przedsęwzęce, to do ocey opłacalośc używa sę wsaźa azywaego stopą zwrotu: K rz = K 0 K 0 stopa zwrotu Gdy jest to aptał złożoy a sążeczce PKO lub p. a roczą loatę termową, to mówmy o stope procetowej. Oprocetowae władów gotówowych w baach podaje sę w procetach, a ogół w sal rou (chyba, że wyraźe jest powedzae, że dotyczy to ego ż ro oresu czasu), przy czym przelcza sę je a ułame dzesęty, dzeląc stopę procetową przez sto (p. r = 3% = 0,3). Gdy stopa zwrotu ma być podaa w sal rou, otrzymay z podaego wyżej wzoru wy trzeba podzelć przez, gdze - czas, poday w latach lub jao część rou, tz.: r= K K 0 K 0 stopa zwrotu podaa w sal rou Kwestą często sporą, tóra sę tu euchroe pojawa, jest sprawa odpowedz a pytae: ja lczyć czas? Bo le to jest p. pół rou? 9

10 2. RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ 2.. DOKŁADNA LICZBA DNI m - dołada lczba d od daty do daty (bez perwszego da rozważaego oresu). Każdy mesąc ma tyle d, le wya z aledarza. Każdy ro ma 365 d (jest to węc ro aledarzowy). Przelczee d a lata odbywa sę wg. wzoru: m = 365 gdze - lczba lat. Tu w pozostałych przypadach podaje sę ją z doładoścą co ajmej do 4 mejsc po przecu. Odset, oblczoe a tej podstawe, azywa sę procetem doładym ZASADA RÓWNYCH MIESIĘCY Zasada ta e jest już (od stycza 998 r.) stosowaa w systeme baowym w Polsce. Jest oa jeda bardzo wygoda. Z tego względu podajemy tu sposób posługwaa sę tą zasadą. Wg ej ażdy ro słada sę z 2 rówych mesęcy mających po 30 d, tz. ma 360 d (jest to tzw. ro baowy). Przy tej rachube czasu od 28 lutego do ońca mesąca są 2 d, a 3 marca e steje. Przelczee d a lata odbywa sę wg. wzoru m = 360 gdze m - lczba d od daty do daty (bez perwszego da), - lczba lat. Odset, oblczae a tej podstawe, azywae były sę procetem zwyłym. 0

11 2.3. REGUŁA BANKOWA Lczbę d m od daty do daty oblcza sę ja przy doładej lczbe d. Jao ro berze sę ro baowy, tz. ro lczący 360 d. Przelczee d a lata odbywa sę wg. wzoru m = 360 gdze m - lczba d od daty do daty (bez perwszego da), - lczba lat PRZYKŁADY Oblcz długość oresu czasu od 6 czerwca do 6 wrześa, stosując zasadę doładej lczby d, zasadę rówych mesęcy oraz regułę baową Rozwązae: Ozaczmy: DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy, RB - reguła baowa. DLD ZRM RB od 6 czerwca lpec serpeń do 6 wrześa razem d, tz. m = wzór: wg 2. wg 2.2 wg 2.3 ores (le lat) = 0, ,25 0,2555 Odpowedź: Długość oresu od 6 czerwca do 6 wrześa wyos: wg DLD - 0, rou; wg ZRM - 0,25 rou; wg RB - 0,2555 rou Zawestowao aptał K 0 w przedsęwzęce, tóre po czase dało aptał K. Oblczyć stopę zwrotu r z oraz stopę

12 zwrotu w sal rou r dla astępujących daych: K 0 =000 zł, K = 500, =8 mesęcy. Rozwązae: Przyjmujemy zasadę rówych mesęcy. Wtedy = 8 mesęcy = 8/2 rou = 0,6667 rou. Otrzymujemy: r z = = 05, ; r= = 075, ,6667 Odpowedź: Stopa zwrotu r z = 0,5. Stopa zwrotu w sal rou r = 0, Zadaa Oblcz długość oresu czasu, stosując zasadę doładej lczby d, zasadę rówych mesęcy oraz regułę baową, dla astępujących przedzałów czasowych:: a) 3 stycza - 0 marca b) stycza - 5 weta c) 9 czerwca - 9 wrześa d) 3 serpa - 24 gruda e) lutego - 2 wrześa f) 2 czerwca - 3 gruda Zawestowao aptał K 0 w przedsęwzęce, tóre po czase dało aptał K. Oblczyć stopę zwrotu r z oraz stopę zwrotu w sal rou r dla astępujących daych: a) K 0 =000 zł, K = 400 zł, - ores od stycza do 3 serpa; b) K 0 =2000 zł, K = 2400 zł, =3 mesące; c) K 0 =500 zł, K = 400 zł, - ores od 20 marca do 20 gruda; d) K 0 =200 zł, K = 500 zł, - ores wartału; e) K 0 =000 zł, K = 800 zł, = ro. f) K 0 =2000 zł, K = 5000 zł, = 3 lata Rozwązaa zadań Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy, RB - reguła baowa. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. Ilość d wg Czas w latach, czyl = ppt DLD ZRM wg DLD wg ZRM wg RB a) , ,86 0,

13 b) , , , c) , , , d) ,3978 0, , e) , , ,69444 f) , , , Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. Stopy procetowe r z oraz r oblczamy z doładoścą do 5 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. K 0 K czas czas r z r ppt zł zł wg d lata (=) uł. % uł. % a) DLD 242 0, ,4 40 0, b) ZRM 90 0, ,2 20 0,8 80 c) DLD 275 0,753424,8 80 2, ,909 d) ZRM 90 0, , , e) ,8 80 0,8 80 f) , , , PROCENT PROSTY 3.. ODSETKI, WARTOŚĆ PRZYSZŁA KAPITAŁU Ozaczea: P r I F początowa wartość aptału czas oprocetowaa w latach rocza stopa procetowa odset (jest to opłata za prawo dyspoowaa aptałem P przez ores czasu ) wartość aptału po czase lat Wzór a wysoość odsete (opłaty za prawo dyspoowaa aptałem) od aptału P, pożyczoego a ores czasu przy oprocetowau r: I = Pr 3

14 odset po czase przy stope procetowej r z aptału P Wzór te moża przeształcć, wyzaczając z ego P, r lub : aptał początowy P stopa procetowa r czas P = I r r = I P F = P + I = P + Pr = P( + r), tz. F = P( + r) = I Pr wartość przyszła aptału P po czase przy stope procetowej r Wzór te moża przeształcć, wyzaczając z ego P, r lub : aptał początowy P stopa procetowa r czas P = F + r r F P = P = F P Pr Ozaczea: 3.2. PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA, 2,..., r,r,...,r 2 Wtedy długośc podoresów; ores czasu jest rówy = j= j wartość przyszła aptału P 4 stopy procetowe, obowązujące w podoresach, 2,..., F = P( + jr j j= )

15 a przecętą stopę procetową dla oresu oblcza sę ze wzoru r prz = jr j= przecęta stopa procetowa dla oresu Dla tej stopy F = P( + rprz ) wartość przyszła aptału P j = j= j 3.3. SYNTETYCZNA OCENA WIELU TRANSAKCJI JEDNEGO PODMIOTU Ozaczea:, 2,..., długośc oresów oprocetowaa loat termowych r,r 2,...,r stopy procetowe, obowązujące w oresach,2,..., P,P 2,...,P woty a loatach termowych o długoścach oresu oprocetowaach ja wyżej Relacja pomędzy podaym wyżej weloścam a przecętą stopą procetową r prz a ores (tóry może być dowoly), dającą te same odset co wspomae wyżej loat termowych ma postać r prz P = j j = j = P j j r j Przy zadaym moża z tego wzoru wyzaczyć r prz ; przy założoej wartośc r prz moża wyzaczyć. Odpowede wzory mają postać: 5

16 r prz j j= = P j= j P j r j j j= = r P prz j= j r P j j 3.4. DYSKONTOWANIE PROSTE Oblczee wartośc atualej P aptału a podstawe zajomośc wartośc przyszłej F podao w cz. 3.; odpowed wzór ma postać: F P = + r dysotowae proste (jest to operacja odwrota do oprocetowaa prostego, gdze r - stopa procetowa, - czas). Oczywśce D = F - P, sąd otrzymujemy wzór Fr D = + r dysoto proste Zauważmy, że zależość aptału P od jego przyszłej wartośc F wyrażoa jest poprzez fucję, tóra jao fucja czasu opsuje hperbolę. Warto zauważyć, że zależość F od P była lowa względem czasu. Ozaczea: 3.5. DYSKONTO HANDLOWE d stopa dysotowa czas w latach P atuala wartość aptału (po zdysotowau o czas ) F wartość aptału w przyszłośc 6

17 D H = F P = Fd dysoto hadlowe P = F DH = F( d) wartość atuala przyszłych peędzy Wzór te moża przeształcć, wyzaczając z ego F, d lub : wartość aptału F stopa dysotowa d czas : F = P d d = F P F = F P Fd Relacje pomędzy stopam procetową r a dysotową d, dającym po czase odset dysoto tej same wysoośc: r = d d d = r + r Czas, po tórym odset dysoto od tej samej woty będą sobe rówe (przy zadaych stopach procetowej r dysotowej d): = d r 3.6. PRZYKŁADY Oblcz odset od aptału P= 2000 zł po czase = wartał przy stope procetowej r = 24%. Rozwązae: Wobec brau oretych dat przyjmujemy zasadę rówych mesęcy. Mamy wówczas astępujące dae: P=2 000 zł =wartał=0,25 rou 7

18 r=24%=0,24 Odset oblczamy wg perwszego wzoru z cz. 3.: I = Pr = ,24 0,25 = 20 zł Odpowedź: Odset od aptału 2000 zł przy oprocetowau 24% po wartale będą rówe I=20 zł Wyzaczyć przyszłą wartość aptału P = 200 zł po upływe czasu = 3 wartały, jeśl w poszczególych podoresach oresu stopa procetowa (zawsze podaa w sal rou) była astępująca: w perwszym wartale wyosła 40%, w drugm - 36%, w trzecm - 30%. Rozwązae: Dae: P=200 zł wartał: I II III stopa r: 40% 36% 30% wobec brau oretych dat czas oblczamy zgode z zasadą rówych mesęcy, sąd = 0,75 rou Wartość przyszłą aptału oblczamy ze wzorem z cz.3. pamętając, że w ażdym wartale odset oblczae są a podstawe ej stopy procetowej. Stąd: F = P[ + ( r + r22 + r33 )] = = 200 [ + ( 0,40 0,25 + 0,36 0,25 + 0,30 0,25 )] = 58,00 zł Odpowedź: Wartość przyszła aptału P będze wyosła F = 58 zł Oblczyć wartość początową P aptału F= 650,00 zł, otrzymaego po złożeu aptału P a ores czasu od stycza do weta a oprocetowae proste przy stope procetowej rówej r = 22 %. Rozwązae: Korzystając ze wzoru z cz.3.4 otrzymujemy: = 90 d = 0, rou F 650,00 P = = = 565,0 + r + 0,22 0, zł 8

19 Odpowedź: Wartość początowa aptału F=650,00 zł wyos P=565,0 zł Oblcz wysoość dysota hadlowego fatyczą welość długu F, gdy rótotermowa pożycza, udzeloa a ores = 3,5 mesąca przy stope dysotowej d = 25%, zamya sę wotą P = 2000,00 zł. Rozwązae: Posługujemy sę wzoram z cz.3.5. Dae: P=2000 zł wobec brau oretych dat czas lczoy jest wg zasady rówych mesęcy: = 3,5/2=0,29667 d=25%=0,25 Fatycza welość długu: P F = d = 2000, ,, 2 Wysoość dysota hadlowego: = 257, 30 D = H Fd = 35, 257, 30 0, 25 2 = 57, 30 zł Ta sam wy otrzymuje sę, odejmując od woty F wotę P. Odpowedź: Wysoość dysota hadlowego wyos D H = 57,30 zł a fatycza welość długu F = 257,30 zł Oblcz długość oresu (w mesącach - przy zastosowau zasady rówych mesęcy, w dach - przy zastosowau zasady doładej lczby d), dla tórego dysoto proste dysoto hadlowe są sobe rówe przy daych stopach procetowej r = 45% dysotowej d = 42%. Rozwązae: Dae: r = 45 % = 0,45 d = 42% = 0,42 Posługując sę ostatm wzorem z cz. 3.5 otrzymujemy: = = 0, lat 0,42 0,45 9

20 Zgode z zasadą rówych mesęcy staow to 57 d, tz. mesąc 27 d. Zastosowae zasady doładej lczby d daje wy rówy 58 d. Odpowedź: Długość oresu wyos 0, rou. Wg ZRM jest to 57 d ( mesąc 27 d), a wg DLD jest to 58 d Zadaa W ażdym z podaych żej zadań oreśl - gdy zachodz taa potrzeba - sposób, w ja oblczasz ores czasu Oblcz odset od aptału P po czase przy stope procetowej r: a) P = 000 zł, =7 mesęcy, r=24% b) P = 200 zł, - czas od 20 stycza do 4 czerwca, r=20% c) P =300 zł, - czas od marca do 3 paźdzera, r = 30% d) P = 2000 zł, = 2 wartały, r = 24% Oblcz wartość przyszłą aptału P po czase przy stope procetowej r ja w zadau Po jam czase aptał P zwęszy sę do wartośc F przy stope procetowej r? Wy przelcz a d stosując zasadę doładej lczby d. a) P = 000 zł, F = 200 zł, r = 20% b) P = 200 zł, F = 500 zł, r = 24% c) P = 300 zł, F = 400 zł, r = 30% d) P = 2000 zł, F = 3000 zł, r = 6% e) F = 2P, r = 30% f) F =.5 P, r = 36% Oblcz wysoość oprocetowaa r, w wyu tórego odset od woty P po czase były rówe I: a) P = 000 zł, = 7 mesęcy, I = 200 zł b) P = 200 zł, - czas od 2 stycza do 5 maja, I = 245,20 zł c) P = 300 zł, - czas od 5 marca do 20 weta, I = 3,20 zł d) P = 2000 zł, = wartał, I = 500 zł Ile peędzy ależy pożyczyć a 32%, aby po dwóch mesącach otrzymać aptał F rówy: a) 000 zł b) 5000 zł c) 5000 zł 20

21 Wyzaczyć przyszłą wartość aptału P po upływe czasu, jeśl w poszczególych podoresach oresu stopa procetowa (zawsze podaa w sal rou) była daa: a) P = 000 zł, w perwszym półroczu stopa procetowa wyosła 32%, w drugm 30%; b) P = 200 zł, w perwszym wartale stopa procetowa wyosła 40%, w drugm - 36%, w trzecm - 30%; c) P = 500 zł, w styczu stopa procetowa wyosła 20%, w lutym marcu - 23%, w wetu - 26%, w maju czerwcu - 24%.; d) P = 300 zł, stopa procetowa zmeała sę co wartał wyosła 40%, 36%, 32% oraz 24% Frma uzysała trzy rótotermowe redyty: zł a 3 mesące przy stope procetowej 40% zł a 6 mesące przy stope procetowej 43 % zł a 9 mesęcy przy stope procetowej 45% Frma chcałaby zmeć waru udzelea redytów w te sposób, aby cały dług spłacć po 7 mesącach. Jae oprocetowae przecęte odpowada temu oresow czasu? Frma uzysała 3 redyty rótotermowe: zł a 4 mesące przy stope procetowej 45%, 5000 zł a 6 mesęcy przy stope 43 % oraz 4000 zł a 9 mesęcy przy stope 42%. Czy sytuacja frmy byłaby orzystejsza, gdyby stopa procetowa dla wszystch redytów była jedaowa rówa 43%? Frma zacągęła 4 rótotermowe pożycz w 4 baach przy astępujących waruach: w bau A 000 zł a 2 mesące przy stope procetowej 8% w bau B 200 zł a 4 mesące przy stope procetowej 20% w bau C 600 zł a 3 mesące przy stope procetowej 9% w bau D 2000 zł a 5 mesęcy przy stope procetowej 2% Czy sytuacja frmy byłaby orzystejsza, gdyby oprocetowae wszystch pożycze było jedaowe rówe 20% w sal rou? Jae przecęte oprocetowae odpowadałoby oresow rówemu dla całego długu 4 mesące? Oblczyć wartość początową P aptału F, otrzymaego po złożeu aptału P a ores czasu a oprocetowae proste przy stope procetowej rówej r: 2

22 a) F = 2000 zł, = 4 mesące, r = 24%; b) F = 650 zł, = wartał, r = 22%; c) F = 2400 zł, - ores od 20 stycza do 5 maja, r = 25% d) F = 3000 zł, = 3,5 mesąca, r = 2%; e) F = 244,26 zł, = 56 d, r = 9% Dla daych z zadaa oblcz dysoto proste Dla poższych daych oblcz dysoto hadlowe wartość atualą przyszłego aptału F: a) F = 2000 zł, = 4 mesące, d = 20%; b) F = 650 zł, = wartał, d = 22%; c) F = 2400 zł, - ores od 20 stycza do 5 czerwca, d = 25%; d) F = 3000 zł, = 4,5 mesąca, d = 2%; e) F = 2460 zł, = 56 d, d = 8% Oblcz wysoość dysota hadlowego fatyczą welość długu F, gdy rótotermowa pożycza, udzeloa a ores przy stope dysotowej d, zamya sę wotą P: a) P = 000 zł, = 4 mesące, d = 24%; b) P = 2650 zł, = wartał, d = 22%; c) P = 400 zł, - ores od 20 stycza do 5 maja, d = 25% d) P = 2000 zł, = 3,5 mesąca, d = 2%; e) P = 2240 zł, = 56 d, d = 9% Oblcz (z doładoścą do 4 cyfr zaczących), jaa jest wysoość stopy procetowej, przy tórych dysota proste hadlowe wot, wymeoych w zadau są rówe Oblcz (z doładoścą do 4 cyfr zaczących), jaa jest wysoość stopy dysotowej, przy tórych dysota proste hadlowe wot, wymeoych w zadau są rówe Oblcz długość oresu (w mesącach - przy zastosowau zasady rówych mesęcy, w dach - przy zastosowau zasady doładej lczby d), dla tórego dysoto proste dysoto hadlowe są sobe rówe przy daych stopach procetowej r dysotowej d: a) r = 50%, d = 45% b) r = 52%, d = 46% c) r = 45%, d = 42% d) r = 4%, d = 40% e) r = 20%, d = 2% f) r = 5%, d = 4%. 22

23 3.8. Rozwązaa zadań Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. Odset oblczamy z doładoścą do grosza. Stosujemy wzory z częśc. 3., a odset: I = Pr oraz a wartość przyszłą aptału: F = P( + r). DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P czas czas r I (zł) F (zł) ppt zł wg d lata (=) % zad 3.7. zad a) 000 ZRM 20 0, ,00 40,00 b) 200 ZRM 34 0, ,33 289,33 b) 200 DLD 35 0, ,77 288,77 c) 300 ZRM 239 0, ,75 359,75 c) 300 DLD 244 0, ,6 360,6 d) 2000 ZRM 80 0, , , Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu, lczbę d - z doładoścą do da. Stosujemy wzory z cz : a czas w latach = F P Pr oraz a lczbę d: m = 365. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P F r czas ppt zł zł % lata (=) d a) b) , d) , c) , 406 e) P 2P 30 3, f) P,5P 36, Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu, stopę procetową r - z doładoścą do 5 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Wzór z cz. 3..: r = I P Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P czas czas I r ppt zł wg d lata (=) zł ułame % a) 000 ZRM 20 0, ,00 0, ,286 23

24 b) 200 ZRM 23 0, ,20 0, ,805 b) 200 DLD 23 0, ,20 0, ,636 c) 300 ZRM 35 0, ,20 0,097 0,97 c) 300 DLD 36 0, ,20 0,085 0,85 d 2000 ZRM 90 0, Czas lczymy wg ZRM, stosujemy wzór z cz.3.: P Odpowedz: a) P = 949,37 zł b) P = 4 746,84 zł c) P = 4 240,5 zł. = F. + r Wobec brau dat czas lczymy wg ZRM, stosujemy wzór z cz.3.2: F = P( + j= jr j ) a) F = 000 ( + 0,32 + 0,30 ) = 30 zł 2 2 b) F = 200 ( + 0,40 + 0,36 + 0,30 ) = 58 zł c) 2 2 F = 500 ( + 0,20 + 0,23 + 0,26 + 0,24 ) = 675 zł d) F = 300 (+ 0,40 + 0,36 + 0,32 + 0,24 ) = 399 zł Wobec brau oretych dat czas lczymy wg ZRM, stosujemy P j j r j j wzór z cz.3.3: rprz = = 3, gdze P j = zł, = 7/8. j= P j j = Po podstaweu daych z zadaa do wzoru otrzymujemy: r prz = , 0, , =0, czyl r prz = 58,227% Spłacee całego długu po 7 mesącach bez straty odsete przez ba ozaczałoby, że oprocetowae łączego długu musałoby być rówe 58,227%. Byłoby węc oo bardzo wysoe w stosuu do stóp procetowych podaych w zadau. 24

25 Czas lczymy wg ZRM, stosujemy wzór a odset z cz.3. przy uwzględeu zma stopy procetowej. Dla daych stóp procetowych suma odsete (łączy oszt redytu) ształtuje sę astępująco: I = = 2 045, , ,, zł Dla wspólej dla wszystch redytów stopy procetowej, rówej 43%, oszt redytu wyos: I = ( ) 0, 43 = 3798, 33 zł Ja z tego wya, wspóla dla tych redytów stopa procetowa, wyosząca 43%, byłaby orzystejsza dla dłuża ż oprocetowaa podae w zadau Rozumując podobe, ja w zad , oblczamy oszt redytów przy podaych stopach procetowych przy stope procetowej wspólej, wyoszącej 20%. W perwszym przypadu otrzymujemy: I = 000 0, , , ,2 = 36,00 zł zaś dla wspólego oprocetowaa mamy: I = ( ), =, zł 2 2 Różca jest węc mmala, ale orzystejszy dla frmy jest warat drug. Natomast gdybyśmy rozważal sytuację taą, w tórej wszyste pożycz byłyby spłacae po 4 mesącach przy odsetach, ja w warace perwszym, tz. wyoszących 36 zł, to posługując sę wzorem cytowaym w zad otrzymuje sę astępujące przecęte oprocetowae dla wszystch tych pożycze: 36, 00 r prz = = 0,8672 czyl r 4 prz = 8,672% Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy F Stosujemy wzory z cz. 3.4.: P =, D = F P. Odpowedz + r zazaczoo tłustym druem. F czas czas r P (zł) D (zł) ppt zł wg d lata % z z a) 2000,00 ZRM 20 0, ,85 48,5 b) 650,00 ZRM 90 0, ,98 86,02 c) 2400,00 ZRM 5 0, ,5 77,49 25

26 c) 2400,00 DLD 5 0, ,76 75,24 d) 3000,00 ZRM 05 0, ,85 73,5 e) 244,26 ZRM 56 0, ,54 35,72 e) 244,26 DLD 56 0, ,02 35, Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po przecu. Stosujemy wzory z cz. 3.5.: P = F ( d ) oraz DH = F P = Fd. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. F ores czas d D P ppt zł czasu d lata % zł zł a) 2000,0 4 mes. 20 0, ,33 866,67 0 b) 650,0 wartał 90 0, ,75 559,25 0 c) 2400, , ,33 256,67 0 d) 3000,0 3,5 mes. 35 0, , ,75 0 e) 2460, d 56 0, ,88 239, Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po P przecu. Stosujemy wzory z cz. 3.5.:. F = oraz d DH = F P. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P czas d D F ppt zł d lata % zł zł a) , ,96 086,96 b) , , ,23 c) , ,5 52,5 d) , ,49 230,49 e) , , , Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po d przecu. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: r =. d Odpowedz: a) r = 2,429 % b) r = 23,28 % c) r = 27,7 % d) r = 22,37 % e) r = 8,59 % 26

27 Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po przecu. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: d = r + r. Odpowedz: a) d= 22,222% b) d= 20,853% c) d= 23,5% d) d= 9,788% e) d= 8,455 % Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: =. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. d r r d ZRM DLD ppt % % lata d d a) , b) , c) , d) , e) , f) DYSKONTOWANIE WEKSLI Ozaczea: 4.. WARTOŚĆ NOMINALNA I WARTOŚĆ AKTUALNA m d W om dołada lczba d do termu spłaty wesla stopa dysotowa wartość omala wesla Dysoto hadlowe (czas jest tu lczoy zgode z regułą baową) oblcza sę wg wzoru: 27

28 d D H = m W om 360 dysoto hadlowe Przeształcając te wzór moża oblczyć doładą lczbę d do termu spłaty wesla, stopę dysotową lub wartość omala wesla, zając pozostałe welośc. Otrzymujemy: dołada lczba d stopa dysotowa wartość omala wesla 360 D m = H 360 D H 360 D H d = W om = m dm dw om W om Ozaczamy: W at - wartość atuala wesla. Wartość atualą wesla defuje sę astępująco: W at = W om DH Podstawając za dysoto hadlowe prawą stroę wzoru podaego wyżej przeształcając otrzymuje sę: W at wartość atuala wesla md = Wom ( ) 360 wartość omala wesla W om = W at m d 360 Gdy zaa jest wartość omala wesla W om oraz jego wartość atuala W at lczba d do termu wyupu wesla m, to stopę dysotową d moża oblczyć ze wzoru d W = W W om om at stopa dysotowa 360 m 28

29 zaś przy zaych W om, W at stope dysotowej d moża oblczyć lczbę d do termu wyupu wesla: Wom W m = W at 360 d om lczba d do termu wyupu wesla 4.2. RÓWNOWAŻNOŚĆ WEKSLI W przypadu wesla o wartośc omalej W om, zgłoszoego do odowea a m d przed termem wyupu, wartość omala wesla ' odowoego W om, z termem wyupu za m d od da zgłoszea, przy stope dysotowej d, obowązującej w tym du, jest daa wzorem: md W om ( ) ' W 360 om = m' d 360 wartość omala wesla odowoego Z tego wzoru moża łatwo oblczyć welośc W om, m, m oraz d przy zaych pozostałych weloścach: W d om W = m' d ( ) 360 md 360 ' om 360 ( W = m' W ' om ' om W mw om om ) W m = W m' = m' d ( ) 360 W om ' om 360 md ( ) 360 ' W om d om 360 d Ozaczmy: 29

30 2 W, W,..., W wartośc omale wesl o umerach om om om m,m,...,m 2 W om m d, 2,..., termy wyupu tych wesl, lczoe od da rówoważośc wesl wartość omala wesla rówoważego tym weslom czas w dach do termu wyupu wesla rówoważego stopa dysotowa w du rówoważośc wesl Wtedy mamy astępujące wzory a rówoważość wesl: W om m d W j j om( ) j= 360 = md 360 m j 360 d m= j W om( ) d Wom j= 360 wartość omala wesla lczba d do wyupu rówoważego wesla Ozaczea: R p K rz D H 4.3. KOSZT ZŁOŻENIA WEKSLA DO DYSKONTOWANIA opłata ryczałtowa poberaa przez ba przy dysotowau wesla stopa procetowa zwązaa z opłatą proporcjoalą do wartośc omalej dysotowaego wesla oszt złożea wesla do dysotowaa dysoto hadlowe Oczywśce K rz = DH + R + W om p m 360 oszt złożea wesla do dysotowaa 30

31 W at = W K om rz Rzeczywsta stopa osztu zdysotowaa wesla (będąca stopą zwrotu dla tego, to zawestował w wesel peądze): W Wat r = om 360 W m rzeczywsta stopa osztu zdysotowaa wesla (por. wzór a stopę zwrotu, cz..) at 4.4. PRZYKŁADY Dłuż, tóry ma do spłacea 3 wesle (wszyste temu samemu werzycelow) o wartoścach omalych W om = 000 zł, 2 3 W om = 2000 zł, W om =3000 zł termach wyupu odpowedo.07,.08.09, zamea w du wszyste te wesle a jede, rówoważy m, płaty w du Oblcz wartość omalą tego wesla, przyjmując stopę dysotową w du rówą 32%. Rozwązae: Dae: W om = 000 zł 2 W om = zł 3 W om = zł termy wyupu: A =.07 m = 37 d do D B =.08 m 2 = 68 d do D C =.09 m 3 = 99 d do D data rówoważośc D = data płatośc E = 5.08 m = 82 d od daty E do daty D d = 32% Szuae: W om =? Korzystamy z przedostatego wzoru z cz Otrzymujemy: 3

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

Bajki kombinatoryczne

Bajki kombinatoryczne Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

PROCENT SKŁADANY, OPROCENTOWANIE LOKAT I KREDYTÓW. HARALD KAJZER ZST NR2 im. Mariana Batko

PROCENT SKŁADANY, OPROCENTOWANIE LOKAT I KREDYTÓW. HARALD KAJZER ZST NR2 im. Mariana Batko , OPROCENTOWANIE LOAT I REDYTÓW HARALD AJZER ZST NR im. Mariana Batko Prześledźmy losy pewnego kapitału 1000 zł zdeponowanego w banku na lokacie terminowej oprocentowanej 5% w skali roku. o 1000 1 1000+0,05

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Gdy znamy kapitał początkowy i stopę procentową

Procent prosty Gdy znamy kapitał początkowy i stopę procentową cet psty Gdy zay aptał pczątwy stpę pcetwą F = + I aptał ńcwy, pczątwy, dset I = I = stpa pcetwa (w stsuu czy) F = ( + ) aledaze dsetwe 360/360, 365/365, 360/365, 365/360 es wyaży w latach (dla óżych esów

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013 Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty

Bardziej szczegółowo

Wybór projektu inwestycyjnego ze zbioru wielu propozycji wymaga analizy następujących czynników:

Wybór projektu inwestycyjnego ze zbioru wielu propozycji wymaga analizy następujących czynników: Wybór projeu wesycyjego ze zboru welu propozycj wymaga aalzy asępujących czyów:. Korzyśc z przyjęca do realzacj daego projeu. 2. Ryzya z m zwązaego. 3. Czasu, óry powoduje zmaę warośc peądza. Czy czasu

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu. W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU. Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU. Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011 PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011 Instytut Ekonomiczny Kierunek studiów: Ekonomia Kod kierunku: 04.9 Specjalność: Finanse i rachunkowość

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

Z-EKO-045 Matematyka finansowa Financial Mathematics. Ekonomia I stopień Ogólnoakademicki

Z-EKO-045 Matematyka finansowa Financial Mathematics. Ekonomia I stopień Ogólnoakademicki KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-EKO-045 Matematyka finansowa Financial Mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY. Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych (Z-14)

INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY. Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych (Z-14) INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY Załad Teletrasmsj Tech Optyczych (Z-4) Aalza badaa efetów zachodzących w śwatłowodowym medum trasmsyjym degradujących jaość trasmsj w systemach DWDM o dużej

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA Załączk r do Regulamu I kokursu GIS PROGRAM PRIORYTETOWY: SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA. Cel opracowaa Celem opracowaa jest spója metodyka oblczaa efektu ograczaa emsj gazów ceplaraych,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

T. Hofman, Wykłady z Termodynamiki technicznej i chemicznej, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Technologia chemiczna, sem.

T. Hofman, Wykłady z Termodynamiki technicznej i chemicznej, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Technologia chemiczna, sem. . Hofma Wyłady z ermodyam techczej chemczej Wydzał Chemczy PW erue: echologa chemcza sem.3 215/216 WYKŁAD 3-4. D. Blase reatorów chemczych E. II zasada termodyam F. Kosewecje zasad termodyam D. BILANE

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP

WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP KATARZYNA BŁASZCZYK BOGDAN RUSZCZAK Poltecha Opolsa WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP Wstęp Esploraca daych (ag. data g) zaue sę efetywy zadowae ezaych dotychczas

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Przedstawienie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Przedstawienie

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

A. ROZLICZENIE KOSZTÓW CENTRALNEGO OGRZEWANIA CHARAKTERYSTYKA KOSZTÓW DOSTAWY CIEPŁA

A. ROZLICZENIE KOSZTÓW CENTRALNEGO OGRZEWANIA CHARAKTERYSTYKA KOSZTÓW DOSTAWY CIEPŁA REGULAMIN ndywdualnego rozlczena osztów energ ceplnej dostarczonej na potrzeby centralnego ogrzewana cepłej wody meszań w zasobach Spółdzeln Meszanowej Lębora. POSTANOIENIA OGÓLNE Regulamn oreśla zasady:

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 Analiza masowa

Projekt 3 Analiza masowa Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1. Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty

Bardziej szczegółowo

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej Dr hab. ż. Ato Śwć, prof. adzw. Istytut Techologczych ystemów Iformacyych oltechka Lubelska ul. Nadbystrzycka 36, 2-68 Lubl e-mal: a.swc@pollub.pl Dr ż. Lech Mazurek aństwowa Wyższa zkoła Zawodowa w Chełme

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor:

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Wstęp Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz zaleŝności z zakresu zarządzania finansami w szczególności

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI

WYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI Piotr KOZIERSKI WYKORZYSTAIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDETYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI STRESZCZEIE W artyule przedstawioo sposób idetyfiacji parametryczej obietów ieliiowych zapisaych w przestrzei

Bardziej szczegółowo