Nieporządki Ten materiał zostanie przerobiony na ćwiczeniach

Transkrypt

1 Wykład 3. wrtualy, materał zostae przeroboy a ćwczewach A.Mckewcz, Reduta Ordoa : A przecw m sterczy bała, wąska, zaostrzoa, Jak głaz bodzący morze, reduta Ordoa. Sześć tylko mała armat;(...) (...) Harmaty podskoczyły jak wystrzeloe Toczyły sę a kołach - loty zapaloe Ne trafły do swoch paew. I dym woął Prosto ku am; w gęstej chmurze as ochłoął. T. Traczyk, Wykład z Matematyk dyskretej : Na le sposobów loty zapaloe e trafły do swoch paew? Neporządk Te materał zostae przeroboy a ćwczeach Zadae. Wróg wytoczył przecwko am baterę haubc kalbru 152mm,baterę haubc kalbru 122mm, baterę armat 75mm baterę wyrzut raketowych 120mm. Wysłao do ch cztery cężarówk z amucją, po jedej z amucją każdego kalbru, ale aszym agetom udało sę losowo pomeszać strukcje dla kerowców. Jake jest prawdopodobeństwo, że żade dzało e będze mogło wystrzelć? Wszystkch wyków tego eksperymetu jest oczywśce! tyle le permutacj zboru elemetowego. Korzyste dla as są te, gdy żada batera e dostae amucj swojego kalbru, ym słowy take permutacje, w których żada z lczb 1,2,3, e sto a swom właścwym mejscu stąd tytułowe eporządk. Lczbę tych eporządków ozaczmy przez D() (D od deragemet ). Jeśl patrzymy a permutacje jak a bjekcje zboru [] a sebe, to teresują as permutacje bez puktów stałych, czyl bez takch puktów x dla których f(x)=x. Jak to ugryźć? Spróbujmy może przez przekorę polczmy permutacje posadające choć jede pukt stały to co wyjdze odejmjmy od!. Z kole permutacje posadające choć jede pukt stały możemy podzelć a podzbory P 1, P 2, P 3 P gdze P jest zborem tych permutacj, które spełają waruek f() =. Wdać węc, że D() =!- P 1 P 2 P 3 P. A to już pache zasadą włączeń wyłączeń, bo wystarczy oblczyć P 1 P 2 P 3 P. Do tego potrzebujemy (a) P = 2 1 (b) P P j = 12 bo rosących cągów (,j) o wyrazach z [] jest a permutacj j elemetów a mejscach różych od -tego j-tego (czyl permutacj w P P j ) jest (c) P 1! = 3 (d) P Pl 0! = 1 l Zgode z zasadą włączeń wyłączeń, D() =!- P 1 P 2 P 3 P =! - - 1!!!!1!!0! ! =! - - =!(1 - - ) =!( - ) = 2( - 1! 1!!0! 1!!! 2

2 ) = 2( ) = 9. Czyl szukaym prawdopodobeństwem jest. Zadae to prowokuje pytae ogóle : le jest eporządków zboru [], czyl permutacj zboru [] bez puktów stałych? Odpowedzą jest oczywśce Twerdzee. (O eporządkach) Lczba permutacj zboru [] e posadających puktów stałych jest rówa D() =! - ( 1)! ( 2)! - ( 3)! ( 1) 0! = 1!( 1-1 ( 1)! ). Pomjamy bo polega a prostym przeeseu rozumowaa zaprezetowaego w rozwązau powyższego zadaa a przypadek ogóly (czyl pszemy zamast t.d.). Typowe zastosowae tej sztuczk to a le sposobów moża tak zestawć pary, aby kt e tańczył z własą żoą? Fukcje a (surjekcje) a ćwczeach Zadae. Na le sposobów moża rozdzelć wyrzut raket Stger mędzy mudżahedów tak, aby każdy mógł chocaż raz wystrzelć? A a le sposobów w ogóle możemy rozdzelć Stgerów medzy mudżahedów? Oczywśce - każdej wyrzut po kole przydzelamy mudżaheda. Co z tego trzeba usuąć? Oczywśce take przydzały, które pomjają perwszego, drugego, trzecego lub czwartego mudżaheda. Czym to pache? Oczywśce już z daleka czuć zasadę włączeń wyłączeń. Ozaczmy przez P zbór tych przydzałów wyrzut, które pomjają -tego mudżaheda. Szukaą lczbą jest wówczas S(,) = - P 1 P 2 P 3 P. Zów musmy oblczyć (a) P 3 bo a sposobów możemy wybrać pechowego mudżaheda a 3 1 sposobów rozdzelć Stgery wśród pozostałych trzech. (b) (c) (d) j j P P j 2 z tego samego powodu. P 1 k 3 P Pl 0 = 0. l Zgode z zasadą włączeń wyłączeń mamy węc S(,) = = = 150. Co myśmy tak aprawdę polczyl? Lczbę fukcj ze zboru [] a zbór []. Podobe jak poprzedo sam wzór, jak prowadzące do ego rozumowae moża łatwo uogólć a dowole k. =

3 Twerdzee. (O fukcjach a ) Fukcj ze zboru [] a [k] jest k - k ( k 1) k ( k 2) Kombacje z powtórzeam a ćwczeach... ( 1) k 1 k k 1. k Przypomjmy sobe zadae o ładowau abojów do magazyków Kałaszkowa w wersj a le sposobów moża 30 detyczych abojów załadować do trzech różych magazyków. Popatrzmy a to w te sposób: sadamy przy stole, ustawamy aboje w rządek rządek te dzelmy w dwóch mejscach (a węc a trzy częśc, być może ektóre puste) układając w tych mejscach aboje leżące (pozostałe stoją). Na le sposobów możemy to zrobć? Oczywśce a tyle, a le sposobów w 32 rzędze 32 abo możemy dwa przewrócć czyl. Często wygode jest mówć o takm 2 probleme w języku zborów (kombacj) z powtórzeam le jest 30-to elemetowych podzborów z powtórzeam zboru 3 elemetowego. Każdy elemet aszego zboru może w podzborze wystąpć dowole wele razy (a pror), w aszym zadau ograczylśmy łączą lczbę wystąpeń do 30, bo tyle abo meśc sę w stadardowym magazyku karabka szturmowego AK- 7 populare zwaego Kałaszkowem. Jeśl ozaczymy przez x 1,x 2 x 3 lczę abo odpowedo w perwszym, drugm trzecm magazyku to asz problem przyjme astępującą postać : le jest eujemych, całkowtolczbowych rozwązań rówaa x 1 x 2 x Sztuczka, którą zastosowalśmy wydaje sę być wystarczająco ogóla aby sformułować Twerdzee.(k-kombacje z powtórzeam ze zboru -elemetowego) k Lczba k-kombacj z powtórzeam ze zboru -elemetowego wyos. 1 Postępujemy tak jak w przypadku abo. Ustawamy w cąg k(1) kop jakegoś (dowolego) symbolu a astępe -1 z ch usuwamy. Puste mejsca dzelą asz cąg a fragmetów o łączej lczośc k. Lczość -tego fragmetu terpretujemy jako lczbę powtórzeń -tego elemetu w otrzymaym podzborze. Wosek. 1 k Lczba k-kombacj z powtórzeam ze zboru -elemetowego wyos. k k 1 Moża to udowodć korzystając z własośc współczyków dwumaowych, = k k 1 k =, albo powedzeć, że w rzędze utworzoym z k1 abo ( k 1) k 1 przewracamy k te stojące 1 traktujemy jako separatory podzborów. Jedą z terpretacj lczby była lczba ścśle rosących fukcj z [k] w []. k

4 Wosek.(cąg emalejące) Lczba emalejących fukcj z [k] w [] jest rówa k 1. k Każdą k-kombację z powtórzeam z [] moża w dokłade jede sposób zapsać w porządku emalejącym a każdy emalejący cąg długośc k elemetów z [] jest k-kombacją z powtórzeam. Przy okazj zastaówmy sę jak wyglądają rozwązaa pozostałych wersj zadaa z ładowaem 30 abo do trzech magazyków, tz. pozostałe kombacje rozróżale vs erozróżale. Pók co zajmowalśmy sę tylko przypadkem erozróżalych abo ładowaych do rozróżalych magazyków otrzymując przy okazj wzór a lczbę k-kombacj z powtórzeam ze zboru - elemetowego. A co jeśl aboje też są rozróżale? To ewelke zmartwee bo ozacza, że zamast dzelć w dwóch mejscach cąg detyczych 30 symbol dzelmy cąg różych symbol. Iym słowy po przypsau 30 detyczych abo do trzech magazyków aklejamy a ch (abojach) umerk Możemy to zrobć a 30! sposobów węc odpowedzą jest 30! czyl 2. Jeśl aboje są rozróżale a magazyk detycze ajperw aklejamy umerk a magazykach przez co stają sę rozróżale, astępe apełamy je jak wyżej możemy to zrobć a 3 sposobów a astępe usuwamy umerk przez co utożsamamy każde przypsań różących sę tylko umerkam magazyków a e ch zawartoścą. Czyl odpowedzą będze 3. Przypadek detyczych magazyków detyczych abo jest zacze trudejszy. Moża a to patrzeć tak: a le sposobów moża lczbę 30 zapsać jako sumę eujemych lczb a,b c takch, że abc. Nestety e wystarczy tu zastosować sztuczkę z poprzedego przypadku do orygalego zadaa (róże magazyk, detycze aboje). Defcja. Podzałem lczby a k częśc azywamy każdy erosący cąg (a 1,a 2,... a k ) tak, że a >0, =1,2,..., k oraz a 1 a 2...a k =. Lczbę takch podzałów ozaczmy przez p(,k). Waruek erosący jest po to, aby podzały (3,2,2,5) oraz (2,5,3,2) były traktowae jak jede, maowce (5,3,2,2). Zachodz astępujący wzór rekurecyjy Twerdzee. Dla każdych dwóch lczb k p(,k) = p(-1,k-1) p(-k,k). Podzelmy zbór wszystkch podzałów lczby a k częśc a dwa rozłącze podzbory: A złożoy z tych podzałów, które zawerają co ajmej jedo wystąpee lczby 1 B złożoy z pozostałych. Usuwając ostat elemet każdego podzału z A (czyl ostatą jedykę) otrzymujemy wszystke podzały lczby -1 a k-1 częśc. Stąd A = p(-1,k-1). Natomast odejmując 1 od każdego elemetu każdego podzału z B otrzymujemy wszystke podzały lczby -k a k częśc, czyl B = p(-k,k). Zasada dodawaa kończy dowód. Wróćmy do aszego zadaa. Poszukujemy lczby takch podzałów 30 abo, że p. któryś magazyek dostaje 5, y 10 a pozostały 15 abo. Jeśl magazyk są rozróżale to moża to

5 zrealzować a (czyl ) sposobów: (5,10,15), (5,15,10) td. Wydawało by sę, że wystarczy lczbę 32 podzelć przez. Nestety w przypadku, gdy dwe spośród tych trzech lczb są rówe, p. 2 (,12,12) dzelć trzeba przez 3 (bo są trzy możlwośc, (,12,12), (12,,12) (12,12,), erozróżale jeśl magazyk są detycze) A jeśl wszystke trzy są rówe tylko jeda (10,10,10). Trzeba by węc polczyć różowartoścowe cąg sumujące sę do 30, oddzele dwuwartoścowe o jedowartoścowe (to akurat jest trywale, jest tylko jede). Oczywśce zadae moża zrobć a palcach. Np. (zamast lczyć cąg erosące polczymy emalejące, ale to bez różcy) le cągów ma perwszy elemet rówy 0? Oczywśce 1: (0,0,30), (0,1,29),...,(0,15,15). Jeśl a perwszym mejscu jest 1 mamy 1 sztuk, (1,1,28),..., (1,1,15), dalej (2,2,2),..., (2,1,1), czyl 13 potem (3,3,2) do (3,13,1) czyl 11 tak dalej aż do (10,10,10). Pracowce sumując otrzymamy 91. Te sam wyk ( te sam cąg składków) dostaemy korzystając z aszego wzoru rekurecyjego ale będze to bardzej aukowe.