ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Transkrypt

1 ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

2 ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R

3 DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X jest fukcja: F(x) P(X<x),

4 WŁASNOŚCI DYSTRYBUANTY 0<F(x)< F(x) jest fukcją emalejącą F(x) jest fukcją lewostroe cągłą x lm ( x) 0 oraz lm F( x) F x +

5 ZMIENNA LOSOWA DYSKRETNA Fukcja prawdopodobeństwa: ( X x ) p P p

6 Dystrybuata F ( x) x < x p

7 PARAMETRY KLASYCZNE ZMIENNEJ LOSOWEJ DYSKRETNEJ Wartość oczekwaa Waracja E ( X ) x p D ( ) [ ( )] X E X E X ( x E( X )) p x p ( E( X )) Odchylee stadardowe (dyspersja) σ D ( X )

8 PAREMETRY POZYCYJNE ZMIENNEJ LOSOWEJ Medaa Wartość x, dla której zachodz: P ( X x) P( X x) Modala (domata) Wartość x, której odpowada ajwększe prawdopodobeństwo realzacj.

9 ROZKŁAD ZERO-JEDYNKOWY Fukcja prawdopodobeństwa: P P ( X ) ( X 0 ) przy czym p q p + q Dystrybuata: F ( x) 0 q Wartość oczekwaa: dla dla dla 0 x 0 < x x > Waracja: ( X ) p + 0 q p E ( ) ( ) ( ) X p p+ 0 p q q p+ p q pqq ( + p) pq D

10 ROZKŁAD BERNOULLIEGO ezależych dośwadczeń prawdopodobeństwem sukcesu rówym p Fukcja prawdopodobeństwa: B k ( p k ) P ( X k ) p k q,, k gdze : p + q oraz k 0,,, K, Dystrybuata: F ( x ) Wartość oczekwaa: k < x k p k q k Waracja: E ( X ) p D ( X ) pq

11 ROZKŁAD POISSONA Fukcja prawdopodobeństwa: P ( X k) e m dla k 0,,, K Dystrybuata: m k k! F ( x) k< x m k k! e m Wartość oczekwaa: E ( X ) m Waracja: D ( X ) m

12 ROZKŁAD BERNOULLIEGO - ROZKŁAD POISSONA Gdy: p < 0, oraz 0 rozkład Beroullego moża przyblżać rozkładem Possoa: P ( X k) k p k q k ( ) k p p k! e

13 ROZKŁAD GEOMETRYCZNY ezależe dośwadczea aż do osągęca sukcesu z prawdopodobeństwem sukcesu rówym p Fukcja prawdopodobeństwa: P ( X k) pq k dla k,, K Dystrybuata: Wartość oczekwaa: Waracja: F ( x) E k< x ( X ) ( X ) D p pq p k

14 Zmea losowa cągła Fukcja gęstośc f(x) jest to fukcja określoa a zborze lczb rzeczywstych: f ( x) dx ( x) 0 oraz f

15 Dystrybuata F x ( x) P( X < x) f ( x)dx

16 D PARAMETRY KLASYCZNE ZMIENNEJ LOSOWEJ DYSKRETNEJ Wartość oczekwaa Waracja E ( X ) xf ( x) Odchylee stadardowe (dyspersja) + dx + + ( X ) E[ X E( X )] ( x E( X )) f ( x) dx x f ( x) dx ( E( X )) σ D ( X )

17 ROZKŁAD JEDNOSTAJNY a odcku [a,b] Fukcja gęstośc: Dystrybuata: f F ( x) ( x) 0 b a 0 0 x a b a dla dla dla dla dla dla x < a a x b x > b x a a < x x > b b Wartość oczekwaa: Waracja: D ( X ) E ( b ) a ( X ) a + b Medaa: Me a + b

18 Rozkład wykładczy Fukcja gęstośc: f ( x) 0 λe λx dla dla x x < 0 0 Dystrybuata: F ( x) 0 e λx dla dla x x < 0 0 Wartość oczekwaa: Waracja: D E ( X ) λ ( X ) λ Medaa: Me l 0,5 λ

19 ROZKŁAD NORMALNY Fukcja gęstośc: Dystrybuata: F f ( x) ( ) x x σ σ ( x m) σ e π ( x m) σ e π dx Wartość oczekwaa: E ( X ) m Waracja: ( ) D X σ Medaa: Me Mo m

20 ROZKŁAD t-studeta Rozkład t-studeta z k - stopam swobody: T T χ k k k T χ k, - ezależe zmee losowe o rozkładze N(0,) ch-kwadrat z k stopam swobody ( ) k E T k 0 D ( T k ) k

21 ROZKŁAD t Studeta dla k > 30 ROZKŁAD ormaly

22 ROZKŁAD ch-kwadrat Rozkład ch-kwadrat z k gdze: χ - stopam swobody: X, X,, X k X + X + K+ k -ezależe zmee losowe o rozkładze N(0,). K ( ) k E k χ D ( χ ) k k X

23 ROZKŁAD F-Sedecora Rozkład F- Sedecora z r,r stopam swobody: gdze: χ r χ E, r F r r r r ( ) χ χ ezależe zmee losowe o rozkładach ch-kwadrat z stopam swobody r,r ( ) r ( ) Fr r ( ) r r + r D F r r r r r r ( r ) ( r 4)

24 NIEZALEŻNOŚĆ ZMIENNYCH LOSOWYCH Zmee losowe dyskrete są ezależe, gdy dla każdej pary zachodz: Zmee losowe cągłe są ezależe, gdy dla każdej pary ( x ), y j ( X x, Y y ) P( X x ) P( Y y ) P ( x, y) zachodz: ( x, y) f ( x) f ( y) f

25 WŁASNOŚCI WARTOŚCI OCZEKIWANEJ E E E( c) c E( cx) ce( X ) ( X + Y) E( X ) + E( Y) ( X Y) E( X ) E( Y) E gdze: c cost ( XY) E( X ) E( Y) gdy X, Y ezaleze

26 WŁASNOŚCI WARIANCJI ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ezaleze Y X gdy Y D X D Y X D ezaleze Y X gdy Y D X D Y X D X D c X D X D c cx D cost c gdze c V ,, : 0

27 ROZKŁAD SUMY NIEZALEŻNYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH Twerdzee. X, X,, Jeżel są ezależym zmeym losowym zmea X ma rozkład N, σ (,, K, ), K ( ) m to zmea losowa ma rozkład ormaly X Y X + X + K+ X N m, σ

28 ROZKŁAD SUMY NIEZALEŻNYCH Wosek. ZMIENNYCH LOSOWYCH Jeżel X, X, X, K są ezależym zmeym losowym o takm samym rozkładze N ( m,σ ) (,, K, ), to zmea losowa Y X + X + K+ ma rozkład ormaly N ( ) m, σ X

29 ROZKŁAD RÓŻNICY NIEZALEŻNYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH Twerdzee. Jeżel X, X są ezależym zmeym losowym zmea X ma rozkład N m, σ ( ),to zmea losowa, Y X X ma rozkład ormaly ( ) σ + N m m. σ ( )

30 ROZKŁAD ŚREDNIEJ NIEZALEŻNYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH Twerdzee. Jeżel X, X, K, X będą ezależym zmeym losowym ech zmea X ma rozkład N ( m ), σ (,, K, ), to zmea losowa X X ma rozkład ormaly N m, σ

31 TWIERDZENIE GRANICZNE MOIVRE A - LAPLACE A Twerdzee. Nech X będze zmeą losową o rozkładze Beoroullego B (, p), wówczas dla dużych, zachodz: X N, ( > 30) ( p pq ) Wosek. Nech Y X, wówczas: Y N p, pq

32 Rzut koścą do gry Prawdopodobeństwo, że wyrzucmy szóstkę wyos p/6. Wykoujemy 000 rzutów. Prawdopodobeństwo, że wyrzucmy szóstkę co ajmej 50 razy wyos P( X > 50) Φ Φ(,44) 0, ,93

33 CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE LINDERBERG A - LEVY EGO Twerdzee. Nech X, X, K, X będze cągem ezależych zmeych losowych o jedakowym rozkładze (o wartośc oczekwaej m, dyspersj σ ) ech: wówczas dla dużych, zachodz: Wosek. Z X + X + K+ X Z N ( >30) ( m, σ ) Nech X X, wówczas: X N m, σ

34 Cea chleba Cea chleba X ma rozkład jedostajy a [,00-,50] E(X),5 D (X) 0,5 //480,00833 D(X)0,443 Prawdopodobeństwo, że średa cea chleba w 500 zbadaych sklepach <,0,0,5 ( 500,0) P Y < Φ Φ( 7.746) 0,