TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

Transkrypt

1 TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego).

2 Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu przebega astępująco: 1. Poberamy lczą próbę ( >80). Prezetujemy ją w szeregu rozdzelczym klasowym w r klasach.. Oblczamy a podstawe próby estymatory ajwększej warygodośc ezaych parametrów m (średa odchylee stadardowe z próby). 3. Przyjmujemy, że cecha X ma rozkład ormaly.

3 3 4. Dla każdego przedzału klasowego ; 1 ) a a A oblczamy prawdopodobeństwo ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 a F a F a X a P A X P p

4 5. Oblczamy u r 1 ( p p ) r 1 ( ˆ ˆ ) gdze jest lczeboścą (empryczą) klasy A. ˆ jest lczeboścą teoretyczą klasy A p 4

5 6. Wyzaczamy zbór krytyczy prawostroy K k ; ), gdze k wyzaczamy z tablcy rozkładu dla r 3 stop swobody dla prawdopodobeństwa (rówemu pozomow stotośc). 7. Podejmujemy decyzję: odrzucamy hpotezę H 0, gdy u K przyjmujemy hpotezę H 0, gdy u K 5

6 Uwaga. Do oblczaa prawdopodobeństw p, perwsza ostata klasa szeregu rozdzelczego powy meć postać A1 ( ; a), A r a r ;) do każdej z ch powo ależeć co ajmej 5 elemetów próby. Do pozostałych klas powo ależeć co ajmej 10 elemetów próby. Klas e może być mej ż 4. 6

7 Przykład Pobrao próbę 00 elemetową. Otrzymae wyk prezetowae są w poższym szeregu rozdzelczym przedzałowym Nr klasy Klasa a ; a ) 1 Lczebość 1 <600; 800) <800; 1 000) 10 3 <1 000; 1 00) 0 4 <1 00; 1 400) 30 5 <1 400; 1 600) 56 6 <1 600; 1 800) 4 7 <1 800; 000) 1 8 < 000; 00) 13 9 < 00; 400) 5 10 < 400; 600) 1 Suma 00 Na pozome stotośc = 0,05 sprawdź hpotezy: H ( 0 Cecha X populacj ma rozkład ormaly) H ( 1 Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Rozwązae Nezae parametry to m (l = )ch estymatoram są x s. Oblczea x s 7

8 Nr klasy Klasa a ; a ) 1 Lczebość Środek klasy w w ( w x) 1 <600; 800) <800; 1 000) <1 000; 1 00) <1 00; 1 400) <1 400; 1 600) <1 600; 1 800) <1 800; 000) <000; 00) <00; 400) <400;600) Suma x 1540 [zł], s [zł], 00 s , [zł] Oblczea u 100 8

9 a ) a ; 1 a a 1 a x a 1 x s ( a x a ) ( 1 x s s ) p p ( p ) p s 1 ( ; 1000) ,60 0 0,055 0, ,03 0, <1000; 100) ,60 1,01 0, ,1574 0,100 0,44 0, <100; 1400) ,01 0,41 0, ,3395 0, ,4 1, <1400; 1600) ,41 0,18 0, ,5704 0, ,19, <1600; 1800) ,18 0,77 0, ,7790 0, ,7 0, <1800; 000) ,77 1,36 0, ,9131 0,1341 6,8 1, <000; ) ,36 0, , ,38 0,15191 Suma 1, ,00 4,730000

10 u 100 = 4,73. Wyzaczamy zbór krytyczy prawostroy K k;; ). Lczbę k odczytujemy z tablcy rozkładu prawdopodobeństwa = 0,05. Mamy k = 9,488, węc K 9,488; ). dla r l 1 = 7 1 = 4 stop swobody Poeważ u 100 = 4,73 K, węc hpotezę, że cecha ma rozkład ormaly przyjmujemy. Hpotezę tę moża dopero odrzucć a pozome stotośc 0,3, gdyż zbór krytyczy K 4,73; ) otrzymujemy właśe a tym pozome. 10

11 Test Shapro-Wlka Wysuwamy hpotezy H 0 (Cecha X populacj ma rozkład ormaly) H 1 (Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego) Zweryfkujemy powyższe hpotezy a podstawe małej próby, a pozome stotośc α, za pomocą testu Shapro-Wlka. 1. Porządkujemy próbę emalejąco (x (1), x (),, x () ). Oblczamy statystykę U [ / ] 1 a 1 (X(1) X () ) (X X) 1 gdze: [/] jest częścą całkowtą lczby /, a współczyk a 1, a,... a /, odczytujemy z odpowedej tablcy : 11

12 ,605 0,3164 0,1743 0, ,5739 0,391 0,141 0,14 0, ,5475 0,335 0,347 0,1586 0,09 0, ,551 0,3318 0,460 0,180 0,140 0,077 0, ,5150 0,3306 0,495 0,1878 0,1353 0,0880 0, ,5056 0,390 0,51 0,1939 0,1447 0,1005 0,0593 0, ,4886 0,353 0,553 0,07 0,1587 0,1197 0,0837 0,0496 0, ,4734 0,311 0,565 0,085 0,1686 0,1334 0,1013 0,0711 0,04 0,0140 1

13 3. Rozpatrujemy zbór krytyczy: K 0 ; k gdze k odczytujemy dla pozomu stotośc daego z tablcy testu Shapro-Wlka: (tablca testu Shapro-Wlka dla = 0,05) k 0,818 0,84 0,859 0,874 0,881 0,887 0,897 0, Decyzje: Jeśl Jeśl u K to H 0 odrzucamy. u K to e ma podstaw do odrzucea H 0. 13

14 Przykład Daa jest uporządkowaa próba 18 elemetowa: 14, 14, 149, 156, 161, 168, 173, 179, 18, 193, 197, 04, 19, 8, 37, 5, 59, 74. Na pozome stotośc 0,05 sprawdzć testem Shapro-Wlka hpotezę o ormalośc rozkładu badaej cechy. Rozwązae Średa wyos 194,3. Suma kwadratów odchyleń od średej x x 31375,6. 1 = u 0,4886(74 14) 0,353(59 14)... 0,0163(193 18) 31375,6 0,97 K = <0; 0,897>, zatem u K hpotezę o ormalośc rozkładu badaej cechy ależy przyjąć. 14

15 Test ormalośc (test Kołmogorowa Llleforsa) Wysuwamy dwe hpotezy: H 0 X ma rozkład ormaly, H 1 X e ma rozkładu ormalego. Poberamy próbę co ajmej 30 elemetową. Na podstawe próby wyzaczamy realzację estymatorów parametrów m czyl średą odchylee stadardowe z próby. Oblczamy wartość statystyk U sup F x ( x) F( x) Gdze F (x) jest dystrybuatą empryczą, F(x) dystrybuatą rozkładu ormalego N ( x, s). Wyzaczamy zbór krytyczy K = < k, ), gdze k odczytujemy z tablcy dla daego pozomu stotośc. Krytycze wartośc testu Kołmogorowa Llleforsa dla = 0,05: 15

16 lczebość próby, k lewy koec zboru krytyczego k 0,1498 0,1401 0,131 0,153 0,1193 0,1144 0, k 0,1059 0,103 0,0991 0,0961 0,0934 0,0909 0,0886 Podejmujemy decyzję: odrzucamy hpotezę H 0, gdy przyjmujemy hpotezę H 0, gdy u K u K 16