Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.

Transkrypt

1 Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy zespoloej, PZWS, Warszawa, 1974 WŻaows : Aalza matematycza Cz I - IV, WNT, Warszawa, 2003 Wyład 1 ANALIZA RZECZYWISTA 1 11 Perśceń, algebra σ-algebra zborów 12 Mara Mara Lebesgue a 11 Perśceń, algebra σ-algebra zborów Przypomamy oreślea rówośc, sumy, loczyu oraz różcy zborów 1A1 Defcja (rówość zborów) Mówmy, że zbór A jest rówy zborow pszemy A jeżel ażdy elemet zboru A jest elemetom zboru a odwrót 1A2 Defcja (dzałaa a zborach) 21) do sumy A ależą wszyste te tylo te elemety, tóre ależą do zboru A lub do zboru : x A ( x A) ( x ) ; 22) do loczyu A ależą wszyste te tylo te elemety, tóre ależą do zboru A do zboru : x A ( x A) ( x ) ; 23) do różcy A (lub A \) ależą wszyste te tylo te elemety, tóre ależą do zboru A, atomast e ależą do zboru : x A ( x A) ( x ) Na Rys 1-3 przedstawoo tzw dagramy Vea, lustrujące oreśloe dzałaa: 1

2 A A A Rys 1 A 1A3 Defcja (luzja): A x A x A azywamy podzborem zboru 1A4 Przyład Zbór pusty ( ) ( ) Jeżel A (lub A ), to Rys 2 Rys 3 jest podzborem ażdego zboru 1A5 Defcja (dopełee zboru do przestrze) Przypuśćmy, że wszyste zbory rozpatrywae są podzboram jedego ustaloego zboru U, tóry w tam przypadu będzemy azywal przestrzeą Wtedy dopełee zboru A do przestrze U, tóre ozaczamy symbolem A (lub A ) oreślamy wzorem: A U A 1A+6 Twerdzee (zasada dualośc) Nech A U, U Wtedy 61) dopełee (do przestrze U ) sumy zborów jest rówe loczyow ch dopełeń: A A ; 62) dopełee (do przestrze U ) loczyu zborów jest rówe sume ch dopełeń: A A Dowód (pozom ) pozostawamy czytelow jao ćwczee 1A7 Przyład Nech A {1,2,3,0,9}, {1,3,4,5,7} Wtedy A {0,1,2,3,4,5,7,9}, A = 1, 3, A = 0,2,9 1A+8 Ćwczee Udowodć, że A A, A A, A A U dla dowolego zboru A U 1+C9 Ćwczee Rozwązać rówaa 91) A, gdze zbory A, są podae, zbór jest ewadomy: 92) A, gdze zbory A, są podae, zbór jest ewadomy, A U, U, U A 110 Ćwczee Rozwązać rówaa 1+C9, jeżel A {0,1,2,3,9}, {1,3}, U, gdze jest zborem lczb rzeczywstych 2 A\

3 1A11 Defcja (perśceń zborów) Rodzę zborów azywamy perśceem, jeśl z ażdym dwoma zboram A, do rodzy ależały taże zbory A oraz A : A, A, A Pożej podajemy własośc perśce 1A+12 Twerdzee Jeśl jest perśceem, to 121) (zbór pusty ależy do ); 122) A, A Dowód Wya z defcj 1A11, jeżel zauważyć, że A A oraz A A ( A ) 113 Wose Każdy perśceń jest zamęty ze względu a sumę oraz loczy sończoe, tz 114 Twerdzee A, 1,2,, m A oraz A 1 1 Iloczy (część wspóla) perśce jest perśceem m Dowód:, A, A, A, A A, A I 1A+15 Wose Dla ażdej epustej lasy K zborów steje jedozacze oreśloy perśceń ( K) (azyway perśceem ajmejszym ad K ), tóry zawera sę w dowolym perśceu, zawerającym lasę K Te perśceń jest złożoy ze zborów rodzy K oraz sończoych sum loczyów tych zborów 1A+16 Uwaga Z twerdzee 1A+122 wya, że rodza zborów tóra jest zamęta ze względu a sumę różce jest taże zamęta ze względu a loczy zborów Zauważmy jeda, że rodza zborów tóra jest zamęta ze względu a loczy różce e oecze jest zamęta ze względu a sumę zborów o czym mów otrprzyład: {,[0,1],[2,3]} 1A+17 Przyłady (perśce) 171) { } (rodza jest złożoa z jedego tylo pustego zboru); 172) {, } (rodza jest złożoa ze zboru pustego zboru ), 3 m

4 gdze jest dowolym zborem; 173) rodza jest złożoa ze wszystch podzborów zboru ; 174) rodza jest złożoa ze wszystch sończoych podzborów zboru ; 175) rodza jest złożoa ze wszystch co ajwyżej przelczalych podzborów zboru ch dopełeń; 176) rodza jest złożoa ze wszystch ograczoych podzborów zboru przestrze euldesowej ; 177) rodza jest złożoa ze wszystch sończoych (albo wszystch sończoych esończoych) przedzałów prostej rzeczywstej oraz sończoych systemów tach przedzałów bez wspólych putów; 178) rodza jest złożoa ze wszystch sończoych (albo wszystch sończoych esończoych) przedzałów zawartych w podaym zborze oraz sończoych systemów tach przedzałów bez wspólych putów; 179) rodza jest złożoa ze wszystch przedzałów postac [, ) (albo [, ) [, ), albo [, ) (, ), albo [, ),[, ), (, ), (, ) ) prostej rzeczywstej oraz sończoych systemów tach przedzałów bez wspólych putów; 1710) rodza jest złożoa ze wszystch przedzałów postac [, ) (albo [, ) [, ), albo [, ) (, ), albo [, ),[, ), (, ), (, ) ) prostej rzeczywstej oraz sończoych systemów tach przedzałów zawartych w podaym zborze bez wspólych putów 118 Przyład Rodza złożoą ze wszystch sończoych (albo wszystch sończoych esończoych) przedzałów prostej rzeczywstej e jest perśceem (jest półperśceem) poeważ różca przedzałów może e być przedzałem 1A19 Defcja (perśceń z jedoścą) Nech rodza jest perśceem zborów Wtedy zbór J A azywamy jedyą rodzy, co jest rówoważe AJ A dla dowolego zboru A Jeżel J, to azywamy perśceń z jedyą (jedoścą) 1A20 Defcja (σ-perśceń zborów) A 4

5 Perśceń azywamy σ-perśceem lub borelowsm perśceem, jeśl o jest zamęty ze względu a sumę przelczale, tz 1A21 Defcja (algebra σ-algebra zborów) 5 A dla A, 1,2, Nech będze day zbór (tóry będzemy azywal przestrzeą) pewa rodza (lasa) jego podzborów Mówmy, że jest algebrą (lub całem) zborów, jeżel są spełoe astępujące waru: 211), ; 212) A A ; 213) A, A oraz A Jeżel dodatowo jest spełoy warue 214) A dla 1,2,3, A1 A2 A3, to F całem, lub przelczale addytywym całem zborów 1 azywamy σ-algebrą lub σ- Zauważmy, że algebra (lub σ-algebra) zborów jest to perśceń (odpowedo σ- perśceń) z jedyą (przestrzeą ) 1A+22 Uwaga Iaczej mówąc, σ-algebrą (borelowsą algebrą) jest ażda lasa podzborów przestrze, tóra zawera tę przestrzeń jest zamęta ze względu a sumę oraz loczy przelczale różce 1A+23 Przyłady Klasa w 1A+171 1A+173 jest algebrą (awet borelowsą algebrą) zborów (w 1A+171 jedyą jest zbór pusty; w 1A+172, 1A+173 jedyą jest przestrzeń ) W 1A+174 lasa jest algebrą (awet σ-algebrą), jeżel zbór jest sończoy; w 1A+175 jest algebrą (awet σ-algebrą), jeżel zbór jest sończoy lub przelczaly W 1A+176 lasa jest algebrą (awet σ-algebrą) w przypadu zboru ograczoego e jest algebrą, jeżel zbór jest eograczoy W 1A+177 lasa e jest algebrą, jeżel chodz o przedzałach sończoych; atomast jest algebrą z jedyą (, ) w przypadu przedzałów sończoych esończoych

6 Przyłady 1A+177 1A+1710 pozostawamy czytelow jao ćwczee Zauważmy, że w 1A+177 1A+1710 odpowed perśce e są borelows 1A+24 Przyład Zaleźć ajmejszą σ-algebrę ( K) ad przedzałem [0,3] K [0,2),(2,3] zawerającą rodzę zborów Rozwązae Rodzę ależy powęszyć o ta zbory, aby powęszoa rodza była zamęta względem sumy przelczalej oraz różcy zborów ależących do K, w szczególośc, żeby do ależały zbory oraz wy dzałań mogoścowych (dodawaa, możea, odejmowaa oraz dopełaa) Mamy zatem ( K), ( K),[0,2),(2,3],[0,2) (2,3],{2},[0,2],[2,3] 1+C25 Przyład Jeżel jest -algebrą zborów a przestrze ( jest jedyą), zestaw,,,,, ( ozacza dopełae) jest algebrą oole a 1A+26 Defcja (borelowse zbory w ) Nech jest ajmejszą (borelowsą) algebrą ad rodzą wszystch podzborów domętych (rówoważe, otwartych) przestrze euldesowej Wtedy elemety azywamy zboram borelowsm lub -zboram w tej przestrze 127 Fat (borelowse zbory w ) Nech K1, K2, K3, K4, K 5 będą rodzam przedzałów a prostej rzeczywstej odpowedo postac [, ], (, ),[, ) albo (, ],[, ) albo (, ), (, ) albo (, ] Wtedy ajmejsza algebra ad ażde rodzą będze taa sama (borelowsa algebra a prostej rzeczywstej) oraz jej elemety będą -zboram a tej prostej Węc, -zbory a prostej rzeczywstej moża tratować jao otwarty przedzały oraz sumy sończoe przelczale tach przedzałów a tej prostej 1A28 Defcja (ogóle pojęce mary) 12 Mara Mara Lebesgue a Fucję rzeczywstą oreśloą a pewej rodze K zborów azywamy marą, jeżel oa jest eujema, addytywa oraz mootocza, tj są spełoe astępujące waru (asjomaty mary): 281) ( A) 0 dla ażdego zboru A K; 282) ( A ) ( A) ( ) dla dowolych rozłączoych zborów A, K, A (addytywość mary); 6

7 283) ( A) ( ) dla dowolych zborów A, K, A (mootoczość mary) Jeżel dodatowo spełoy jest warue (przelczala addytywość mary): 284) A ( A) dla dowolych rozłączoych zborów, 1,2, 1 A K 1 Wartość (lczbę) A ( A) 1A29 Defcja (zbory merzale) Jeżel w rodze K (w sese mary ) 1A+30 Przyłady mary dla daego zboru A azywamy marą zboru jest oreśloa mara, to zbory A K 301) K jest dowolą rodzą zborów oraz marą (awet przelczale addytywej marą); 7 ( A) 0 azywamy merzalym dla ażdego AK jest 302) mara prawdopodobeństwa (mara probablstycza) jest to dowola przelczale addytywa mara oreśloą a pewej borelowsej algebrze zborów z jedyą oraz ( ) 1 (zbory A, A, są tu zdarzeam, pełą rolę odpowedo przestrze zdarzeń elemetarych zdarzea emożlwego, jest algebrą zdarzeń losowych) 303) rodza K jest złożoa ze wszystch sończoych przedzałów postac [, ] prostej rzeczywstej, fucję ([, ]) (długość przedzału [, ]) jest marą a K ; aalogcze marą będze fucja ([, ]) f( ) f( ), gdze fucja jest emalejąca, w szczególośc, dla rodzy przedzałów materalych marą może służyć ch masę; 304) dla rodzy K złożoej ze wszystch prostoątów postac A A {( x, y): x, y } w płaszczyźe Oxy marą może służyć połę tych A prostoątów: ( )( ) (aalogcze, ch masę); 305) dla rodzy K złożoej ze wszystch prostopadłoścaów postac Aa 1b1 a2b2a3 b3 {( x, y, z): a x b, a y b, a z b } w przestrze Oxyz marą może służyć objętość tych prostopadłoścaów: a b a b a b (aalogcze, ch masę) A ( b a )( b a )( b a ) A+31 Fat (własośc mary oreśloej a perśceu) f

8 Nech w defcj 1A28 rodza K jest perśceem, jest marą a Wtedy 311) założee 1A283 mootoczośc mary moża opuścć; 312) mara zboru pustego wyos 0: ( ) 0; 313) ( A ) ( A) ( ) dla dowolych zborów A,, A; 314) ( A ) ( A) ( ) ( A ) dla dowolych zborów, A; Dowód: 311): A,, A A, A( A) ( ) ( A) ( A) ( A); 312): 0; 313): A,, A A ( A ), ( A ) ( A) ( ) ( A ); 314): A, A A( A), A( A), A ( A ), A ( A ) ( A) ( A), ( A) ( ) ( A ) 1A+32 Uwaga (wprowadzee mary esończoej) W pewych zastosowaach jest potrzeba w rozpatrywau zborów mary esończoej (zobacz 127: borelowse zbory w ) Nech dalej będze -algebrą podzborów przestrze Wtedy oreśloą a fucję rzeczywstą ( A), gdze A, azywamy marą (przelczala addytywą), jeżel są spełoe astępujące waru: 321) 0 ( A) dla ażdego zboru A, ( ) 0; 322) jeżel A, 1,2,, są zboram rozłączym, tz A Aj dla j, to A ( A) (przelczala addytywość mary) 1 1 1A33 Uwaga (rozszerzoą prosta rzeczywsta) Z waruu 1A321 defcj mary wya, że będzemy uważać za lczbę Uzasadamy róweż uzae za lczbę Wtedy zbór lczbowy 8

9 {, } będzemy azywal prostą rzeczywstą rozszerzoą oraz elemety zboru azywać będzemy lczbam sończoym 1A+34 Uwaga (mara Lebesgue a w przestrze ) Rozważmy w przestrze przedzał domęty I ( x, x,, x ) : a x b, a x b,, a x b, gdze a b ( 1,2,, ) są lczbam sończoym; marę I (zgode ze 1A+305) wzorem: I ( b a )( b a )( b a ) oreślamy Dla dowolego zboru otwartego A w przestrze lczby aturalej wprowadzmy zbór A I będący sumą wszystch zawartych w zborze A I A przedzałów domętych I postac I ( x1, x2,, x ) : x 1 1, x 1 1 2,, x, gdze 1,, są dowolym lczbam całowtym, w szczególośc, w przypadu przedzały są wadratam, a tóre dzel płaszczyzę sata utworzoa przez dwe j rodzy prostych: x, x (, j 0, 1, 2,) I orąc pod uwagę, że ażdy z przedzałów przedzały przedzałów: gdze A I, A 1 Mamy zatem I jest sumą 2 mają rozłączoe wętrza, defujemy marę A I I A A A, 1,2, 1 A A 1, przedzałów A I 1 jao sumę mar tych Dowód: z0 A, A jest zborem otwartym, węc zawera pewą ulę o środu w z 0 o promeu r ; steje lczba aturala taa, że te z przedzałów I, do tórego ależy z 0, zawera sę w A, sąd wya, że z0 A, 9

10 Wtedy marę A : ( A) zboru otwartego A defujemy jao gracę mar zborów ( A) lm ( A ) Teraz pozostaje rozszerzyć pojęce mary a możlwe szeroe -cało borelowsch zborów w przestrze Zbór tylo wtedy, gdy dla ażdej lczby, że A U, U A V oraz ( V) V A 0 steją tae zbory otwarte zalczamy do lasy wtedy U Zbory będzemy azywal merzalym w sese Lebesgue a (albo rócej: merzalym) Przez marę Lebesgue a zboru będzemy rozumel res A doly mar wszystch zborów otwartych A ( A) U A zawerających zbór A Zauważmy, że zbór otwarty jest merzaly w sese Lebesgue,a; jego mara jest detycza z marą w sese dotąd przyjętym dla zborów otwartych A Dowód Dla zboru otwartego ażdego U A V ; druga część tezy wya z tego, że dla zborów otwartych A U zachodz A U, węc w gracy A U : 0 możemy wząć, 135 Fat (własośc zborów merzalych w sese Lebesgue a) 351) lasa -zborów w przestrze zborów merzalych (w sese Lebesgue a) jest -całem ( -algebrą ); 352) dopełee zboru merzalego (w sese Lebesgue a) jest zborem merzalym (węc dowoly zbór domęty jest merzaly jao dopełee zbory otwartego); 353) wszyste ograczoe -zbory w mają sończoe marę Lebesgue a; 354) ażdy podzbór zboru mary Lebesgue a zero też jest zborem mary zero; 355) ażdy merzaly w sese Lebesgue a zbór dodatej mary ma podzbór, tóry e jest merzaly w sese Lebesgue a; 356) w przypadu mary Lebesgue a w ażdy zbór przelczaly jest mary zero, ale steją eprzelczale zbory mary zero, a przyład dosoały zbór Catora; 357) przy dowolej merze zbory mary zero staową co ajmej -perśceń Dowód częśc twerdzeń 135 jest dość trudy dla tego z ego zrezygujemy 10

11 136 Przyłady: 361) są zboram merzalym oraz A, ( ) ( A) ( ) ( A); A 362) A są zboram merzalym oraz A, ( ) 0 ( A ) ( A ) ( A); 363) A ( 1,2,) są zboram merzalym oraz A 1 A ( 1,2,), ( A1) ( A) lm ( A); 1 364) udowodć, że przedzał otwarty (, ) jest merzaly w sese Lebesgue a a prostej rzeczywstej wyzaczyć jego marę (wsazówa: sorzystać z przedzałów domętych postac,, 1,2, 2 2 ); 365) udowodć, że zbór (0,1) [1,2) (2,3] [3,4] jest merzaly w sese Lebesgue a a prostej rzeczywstej wyzaczyć jego marę; 366) udowodć, że ażdy co ajwyżej przelczaly zbór a prostej rzeczywstej ma marę Lebesgue a 0; 367) udowodć, że ażdy odce w przestrze 2 ma w 2 marę Lebesgue a 0; 367) udowodć, że wyres fucj Lebesgue a 0 y x 2, x, w przestrze 2 ma marę 11