Zmiana bazy i macierz przejścia

Transkrypt

1 Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce ażdy weor owe bazy da sę edozacze przedsawć ao ombaca lowa weorów sare bazy Be e ; dołade e p e czyl współrzęde -ego weora owe bazy względem sare bazy Be e worzą -ą olumę macerzy p L p L p M O M O M P p L p L p M O M O M p L p L p zwae macerzą prześca od bazy sare do owe Zauważmy że dowoly weor v V ma edozacze przedsawee Z druge sroy e pe p v v e. Z edozaczośc przedsawea weora w posac lowe ombac weorów sare bazy mamy zwąze pomędzy owym sarym współrzędym daego weora v V óry sróowo zapsuemy P. p L p M M O M M p L p e. Uwaga. Z osruc wdać że macerz prześca es macerzą przeszałcea deyczoścowego przesrze V a sebe w bazach B B. Ja zmea sę reprezeaca macerzowa przeszałcea lowego przy zmae bazy Nech V W będą przesrzeam sończee wymarowym ad ym samym całem K dm V dm W m. Nech e e f f m będą uporządowaym bazam odpowedo V W. Rozważmy przeszałcee lowe T : V W reprezeowae przez macerz A m.

2 Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Wadomo że przesrzeń V es zomorfcza z przesrzeą K a przesrzeń W es zomorfcza z przesrzeą K m. Nauraly zomorfzm przypsue weorow cąg ego współrzędych w dae baze. Wobec ego weorow v V odpowada cąg współrzędych óry zapszemy w posac olumy y v M. Podobe weorow w W odpowada cąg współrzędych w y M y m Nech wtv wówczas wyorzysuąc reprezeacę macerzową przeszałcea T możemy apsać zależość pomędzy współrzędym ya. Jeśl w przesrze V zmemy sarą bazę Be e a ową B e... e o weorow v odpowada eraz owy cąg współrzędych zależoścą óry es zwązay z cągem sarych współrzędych P gdze P es macerzą prześca od bazy sare do owe. Podobe zmeaąc bazę sarą f f m przesrze W a ową f... f mamy macerz prześca Q zwąze pomędzy owym sarym współrzędym weora w m y Qy. Wobec ego mamy zwąze Qy AP ory es rówoważy zależośc y Q AP Z óre wdać ze reprezeacą macerzową przeszałcea T w owych bazach es macerz Q AP. Def. Macerze A B ypu m reprezeuące o samo przeszałcee lowe azywamy macerzam rówoważym. W śwele powyższych rozważań macerze A B ypu m są rówoważe wedy ylo wedy gdy seą eosoblwe macerze P ypu Q ypu mm ae że B Q AP. W szczególośc rozważmy edomorfzm T : V V reprezeoway w baze Be e przez macerz A. Zmeaąc sarą bazę Be e a ową B e... e edomorfzm T będze reprezeoway przez macerz P AP. Def. Dwe macerze wadraowe A B ypu reprezeuące e sam edomorfzm azywamy macerzam podobym. Macerze wadraowe A B ypu są podobe wedy ylo wedy gdy seą eosoblwa macerze P ypu aa że B P AP.

3 Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Problem. Ja zmeć bazę w przesrze V aby edomorfzm T : V V mał możlwe prosą reprezeacę macerzową p. macerz dagoalą? Aby odpowedzeć a o pyae rozważymy problem warośc własych weorów własych edomorfzmu lub ego reprezeac macerzowe. Nech V będze przesrzeą weorową ad całem K a T : V V edomorfzmem w V. Przesrzeń V e mus być sończee wymarowa. Def. Salar K azywamy waroścą własą edomorfzmu T : V V eżel see ezerowy weor v V a że Tv v. Weor v V azywamy weorem własym edomorfzmu odpowadaącym warośc włase. Ierpreaca: Tv v ozacza że weory v Tv są lowo zależe. Przeszałcee T dzała a weor własy w e sposób że moży go przez warość własą. Uwaga. Warue Tv v es rówoważy waruow v KerT-d V gdze d V ozacza edomorfzm deyczoścowy przesrze V. Poeważ ądro KerT-d V es podprzesrzeą przesrze V zbór V { v: Tv v } KerT-d V weorów własych uzupełoych weorem zerowym es podprzesrzeą przesrze V zwaą podprzesrzeą własą odpowadaącą warośc włase. Lczba lowo ezależych weorów własych odpowadaących warośc włase es rówa oczywśce wymarow podprzesrze V. Nech V będze przesrzeą - wymarową ad K z bazą Be e. V es zomorfcza z przesrzeą K a edomorfzm T : V V es reprezeoway przez macerz A. Weorow v V odpowada weor współrzędych K. Def. Salar K azywamy waroścą własą macerzy wadraowe A eżel see ezerowy weor K a że A. Weor K azywamy weorem własym macerzy A odpowadaącym warośc włase. Tw. Salar K es waroścą własą macerzy A de A-. Dowód. K es waroścą własą macerzy A A A- de A-. Def. Rówae de A- azywamy rówaem charaerysyczym macerzy A aomas weloma de- A azywamy welomaem charaerysyczym macerzy A. Wos 3

4 Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl weloma charaerysyczy de- A es welomaem sopa dołade W de A a L a Uwaga: a W de A de A a a r A ślad macerzy K es waroścą własą macerzy A K es perwasem welomau charaerysyczego Jeśl zmemy bazę w przesrze V o edomorfzm es reprezeoway przez macerz podobą B P AP wówczas de B de P B P de P BP de A. Orzymalśmy węc Tw. Weloma charaerysyczy e zależy od wyboru bazy przesrze V. Możemy węc mówć o welomae charaerysyczym edomorfzmu T : V V. Problem sea warośc własych edomorfzmu lub macerzy reprezeuące e edomorfzm sprowadza sę do wyzaczea perwasów welomau charaerysyczego lub do rozwązaa rówaa charaerysyczego. Uwaga. Jeśl rozparuemy problem warośc własych edomorfzmu T : V V przesrze V ad KR o warośc włase mogą e seć gdyż weloma charaerysyczy może e meć perwasów rzeczywsych. W przypadu KC z zasadczego werdzea algebry wya że weloma charaerysyczy ma dołade perwasów eoecze rożych czyl see przyame eda warość własa. Możemy wec apsać W de A gdze są różym być może zespoloym waroścam własym o rooścach. Oczywśce. Sąd ławo wdać że W de A czyl de A Wyzacz macerzy edomorfzmu es wec rówy loczyow wszysch warośc własych lcząc z rooścam. Wose: Macerz eosoblwa ma ezerowe warośc włase. Przyład. Wyzaczyć warośc włase weory włase macerzy A. 4

5 Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl 5 de A. Rówae charaerysycze: de A. Wdać że es edoroą waroścą własą a es dwuroą waroścą własą. Weloma charaerysyczy: de A Rozwązuąc uład A } { R sąd } { spa V es podprzesrzeą własą odpowadaącą warośc włase. Podobe A > s s węc } { spa V.