Analiza matematyczna i algebra liniowa

Transkrypt

1 Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów. Estrema waruowe. Materiały przygotowae w ramach projetu Uruchomieie uiatowego ieruu studiów Iormatya Stosowaa odpowiedzią a zapotrzebowaie ryu pracy ze środów Programu Operacyjego Kapitał Ludzi współiasowaego ze środów Europejsiego Fuduszu Społeczego r umowy UDA POKL.4..--/9-

2 Materiały pomocicze dla studetów Aaliza matematycza i algebra liiowa Temat 3: Rachue różiczowy ucji wielu zmieych Zaprezetowaa zostaie ocepcja, według tórej rachue różiczowy ucji wielu zmieych sprowadza się w pewym sesie do rachuu różiczowego ucji jedej zmieej. Pozwala to a wyorzystaie w tej sytuacji wcześiej pozaych reguł i wzorów rachuu różiczowego ucji jedej zmieej.. Deiicja ucji wielu zmieych oraz dziedzia. Deiicja. Fucją wielu zmieych =,..., oreśloą w zbiorze zbiorze R azywamy przyporządowaie ażdemu putowi..., doładiej jedej liczby rzeczywistej. D R o wartościach w =, ze zbioru D 2. Pochode cząstowe. Rozważamy ucję zmieych : R D R oreśloą w dziedziie D. Puty =,...,, a ustaloy put przestrzei R ozaczać będziemy symbolem =.,..., Załadamy, że itd. Jeżeli ustalimy wszystie zmiee za wyjątiem zmieej, to otrzymujemy ucję jedej zmieej postaci g =,...,,..., Deiicja. Pochodą ucji g w pucie zmieej azywamy pochodą cząstową ucji względem ' w pucie...,, i ozaczamy symbolem...,,...,,...,., Uiwersytet Eoomiczy w Kraowie 2

3 Materiały pomocicze dla studetów Aaliza matematycza i algebra liiowa Twierdzeie. Jeżeli pochode cząstowe są ciągłe w zbiorze otwartym oraz różią się tylo olejością różiczowaia, to są rówe. 3. Iterpretacja eoomicza pochodych cząstowych. wartość rańcowa cząstowa względem elastyczość cząstowa względem 4. * Pochoda i różicza ucji. Elemetem rachuu różiczowego ucji wielu zmieych jest rówież pojęcie pochodych. Ze względu a ograiczoe ramy wyładu przedstawioa zostaie tylo reprezetacja macierzowa pochodych. Pochodą pierwszego rzędu azywamy macierz jedowierszową, tórej elemetami są pochode cząstowe pierwszego rzędu, czyli ' ' = [.,..., ], ' ',..., = [,...,,...,,..., ]. Wetor,..., wzrostu wartości ucji, jeżeli startować będziemy z putu, azyway taże gradietem, wsazuje ierue ajszybszego,...,. Pochodą drugiego rzędu azywamy macierz wadratową, tórej elemetami są pochode cząstowe drugiego rzędu, czyli '' '' ''... 2 '' '' '' = , '' '' ''... 2 '' '' '',...,,...,...,..., 2 '' '' '' =,...,,...,...,..., ,..., '' '' '',...,,...,...,..., 2 Uiwersytet Eoomiczy w Kraowie 3

4 Materiały pomocicze dla studetów Aaliza matematycza i algebra liiowa Pochode trzeciego i wyższych rzędów wymagają posługiwaia się macierzami przestrzeymi. Dla sormułowaia odpowiedich waruów istieia estremów ucji wielu zmieych wystarczają pochode pierwszego i drugiego rzędu. Dla ucji wielu zmieych deiiuje się różiczę zupełą w pucie,..., odpowiadającą przyrostom argumetów,..., wzorem: ' ' d,..., ;,..., =,..., ,...,. Poszczególe sładii tej sumy azywamy różiczami cząstowymi. 5. Estrema loale deiicje i twierdzeia. Niech oraz,..., : R D R będzie ucją zmieych oreśloą w zbiorze otwartym D = iech będzie putem dziedziy D. Deiicja. Mówimy, że ucja ma w pucie masimum właściwe masimum, miimum, właściwe miimum loale, jeżeli dla ażdego ależącego do pewego sąsiedztwa putu spełioa jest ierówość: odpowiedio <,, >. Warue oieczy: Jeżeli ucja ma w pucie pochode cząstowe pierwszego rzędu oraz jest jej ' putem estremalym, to,...,, czyli = dla =,...,. = Warue wystarczający: Jeżeli w pewym otoczeiu putu ucja jest lasy C 2, =,..., w > w > dla,..., oraz =, to ucja ma w pucie właściwe masimum loale właściwe miimum loale. Uiwersytet Eoomiczy w Kraowie 4

5 6. Metoda ajmiejszych wadratów. Materiały pomocicze dla studetów Aaliza matematycza i algebra liiowa Załóżmy, że ależy ustalić w oparciu o obserwacje statystycze zależość między dwoma wielościami X i Y, p. między ceą a popytem. Niech,..., będą zaobserwowaymi wartościami zmieej X, a y,...,y zaobserwowaymi w tych samych mometach wartościami zmieej Y. Puty y, mogą wsazywać tedecję do uładaia się wzdłuż pewej rzywej daej rówaiem y =, tóra zależy od pewej ilości parametrów. Istota metody ajmiejszych wadratów polega a taim oreśleiu y =, aby suma wadratów odchyleń, czyli parametrów rzywej S = [ y ] = osiągała wartość ajmiejszą. 2 Uiwersytet Eoomiczy w Kraowie 5

6 7. Estrema waruowe. Materiały pomocicze dla studetów Aaliza matematycza i algebra liiowa Niech dae będą dwie ucje: E = D D : g. { } 2 = : R D R oraz g: R D 2 R oraz iech Deiicja. Mówimy, że ucja ma w pucie ależącym do zbioru E masimum masimum właściwe, miimum, miimum właściwe loale przy waruu g =, jeżeli dla ażdego S, r E spełioa jest ierówość: odpowiedio <,, >. Warue oieczy: Jeżeli ucje i g są lasy C w pewym otoczeiu putu,,..., g oraz ucja ma w pucie estremum przy waruu g =, to istieje liczba m, tzw. możi Lagrage a, taa, że: gdzie F = + mg.,..., F =, Warue wystarczający: Niech, y i m są ta dobrae, aby spełioy był warue oieczy. Jeżeli ucja F = + mg jest lasy C 2 w pewym otoczeiu putu, F, y, oraz < y, = <, to ma w pucie, właściwe masimum miimum waruowe. y Pytaia otrole:. Ile pochodych cząstowych I, II i III rzędu ma ucja czterech zmieych? 2. Ile rówych pochodych cząstowych III rzędu może mieć ucja czterech zmieych? 3. Czy pochoda drugiego rzędu zawsze jest macierzą symetryczą? 4. Czy estrema loale muszą porywać się z estremami waruowymi? Uiwersytet Eoomiczy w Kraowie 6