Analiza matematyczna. Robert Rałowski
|
|
- Beata Świątek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205
2 2
3 Spis treści 0. Liczby aturale Liczby rzeczywiste Nierówości Ciągi liczbowe Szeregi liczbowe Iloczyy ieskończoe Szeregi potęgowe Liczby aturale Peao zaksjomatyzował pojęcie zbioru liczb aturalych zadając astępujace postulaty tworzące aksjomatykę Peao. Defiicja 0.. (Aksjomaty Peao) Istieje zbiór N oraz fukcja N N, które spełiają:. 0 N, 2. ( N) () = 0, 3. jest różowartościowa a N tj. ( m, N) m (m) (), 4. ( z)(0 z ( N) z () z) N z. Ostati aksjomat jest tak zwaa zasadą idukcji matematyczej. Poadto, jest tak zwaą fukcją astępika i wtedy przyjmujemy zasadę, że piszemy = (0), + zamiast (), dalej 2 = +, 3 = 2 +, itd. W dodatku moża zaleźć więcej iformacji o tematyce poswięcoej aksjomatom Peao, miaowicie z iesprzeczosci teori mogości ZFC, wyika istieie zbioru liczb aturalych (który spełaia wszystkie aksjomaty Peao). Tak więc ostati aksjomat możemy zapisać jako Defiicja 0..2 (Zasada idukcji matematyczej) Jesli z jest zbiorem takim że 3
4 4 SPIS TREŚCI. 0 z oraz 2. ( ω) z + z, to wtedy N z. Fakt 0.. ( N) 0 ( m N) m + =. Dowod. Pokażemy że Niech z = {0} { N : ( m N) = m + }, oczywiście 0 z, załózmy że z, to jest m N taka że = m +, więc + = (m + ) +, stad + z. Z zasady idukcji matematyczej wyika że N z i dostajemy tezę. Fakt 0..2 ( N) ( = + ). Dowod. Niech z = { N : ( = + )}, to z pierwszego aksjomatu 0 z, załóżmy że z, wtedy a podstawie aksjomatu 3 mamy + ( + ) +, więc + z i a podstawie aksjomatu 4 mamy N z. Teza twierdzeia została udowodioa. W zbiorze liczb aturalych możemy wprowadzić dodawaie i możeie. Wprowadzimy dwuargumetowe działaie dodawaia a zbiorze N w sposób astępujący: ( N) + 0 =, ( m, N) m + ( + ) = (m + ) +. Podobie defiiujemy możeie: ( N) 0 = 0, ( m, N) m ( + ) = (m ) + m. Jako ćwiczeie, moża udowodić, że obydwa działaia są łącze, przemiee oraz zachodzi prawo rozdzielości możeia względem dodawaia. Podamy parę przykładów w których wykorzystaa zostaie zasada o idukcji matematyczej. Przykład 0.. Dla każdej liczby aturalej N ma miejsce astepująca rówość: Niech będzie day zbiór: = ( + ). 2 ( + ) z = { N : = }. 2 Oczywiście 0 z. Niech teraz N, pokażemy, że + z, co a mocy zasady idukcji matematyczej N z. Wiec rozważmy wyrażeie , to wtedy = ( + ) ( + ) + 2( + )) ++ = 2 2 co świadczy, że rówież + z. Tak więc N z, więc mamy tezę. = = ( + )( + 2) 2,
5 0.2. LICZBY RZECZYWISTE. 5 Przykład 0..2 Pokażemy, że dla każdej liczby aturalej N zachodzi 6 7. Niech Oczywiście 0 z, iech N, to wtedy z = { N : 6 7 }. 7 + = 7 7 = 7 (6 + ) = Pierwszy składik jest podziely przez 6, atomiast 7 jest podziele przez 6 (bo z) a więc 7 + jest podziele przez 6. Tak więc + z, co a mocy zasady idukcji matematyczej dostajemy N z. Więc własość podzielości o jakiej tu mowa została wykazaa. 0.2 Liczby rzeczywiste. Defiicja 0.2. (Liczby rzeczywiste) Za zbiór liczb rzeczywistych (R,, +, <) możemy uzać każdy zbiór spełiający astępujące aksjomaty:. Liczby wymiere są podzbiorem liczb rzeczywistych Q R, 2. (R,, +) jest ciałem (abelowym), 3. (R, <) jest porządkiem liiowym takim że: ( x, y R) x < y ( r Q) x < r < y, ( x, y, z R) x < y to x + z < y + z, ( x, y R) x > 0, y > 0 to xy > 0, x > 0 to ( x > 0), 4. (Aksjomat Dedekida) jeśli A, B R iepusty podział R, to istieje liczba rzeczywista c R, taka że c A i c jest ajwiększym elemetem zbioru A lub c B i c jest ajmiejszym elemetem zbioru B. Defiicja (Ograiczeie góre) Mówimy, że zbiór A X jest ograiczoy z góry wtedy i tylko wtedy gdy ( c X)( a A) a c. Defiicja (Kres góry) Mówimy, że zbiór ograiczoy z góry A X ma kres góry c X wtedy i tylko wtedy gdy c jest ajmiejszym ograiczeiem górym zbioru A (A X jest ograiczoy z góry wtedy i tylko wtedy gdy istieje c X takie że a A to a c). Twierdzeie 0.2. (O kresie górym) Każdy iepusty podzbiór ograiczoy z góry D R ma kres góry.
6 6 SPIS TREŚCI Dowod. Niech D R jest podzbiorem ograiczoym z góry. Rozpatrzmy astępujący podział A, B R zbioru liczb rzeczywistych: x A ( a D) x a, oraz B = R \ A. Oczywiście A, B są iepuste z założeia. Jeśli by istiały elemety x A i y B takie że y < x to istiałby a A taki że x a i z przechodiości relacji miejszości mamy y < a więc y A co jest iemożliwe (y R \ A). więc x A, y B to x < y. Więc rzeczywiście A, B jest iepustym podziałem R. Z aksjomatu Dedekida wyika istieie elemetu c R takiego że c A jest ajwiększym elemetem zbioru A lub c B ajmiejszym zbioru B. Oczywiście c jest ograiczeiem górym zbioru D A (c jest ajwiększym w A o ile c A, c B to a A to a < c bo A, B jest podziałem R). Teraz udowodimy, że c jest ajmiejszym ograiczeiem zbioru D. Przypuścmy że istieje miejsze ograiczeie góre zbioru D p c < c, to oczywiscie c < c := c +c < c i c jest ograiczeiem zbioru A a więc D. Oczywiście 2 c B więc tym bardziej c B wiec c jest ajmieszym elemetem w B z aksjomatu Dedekida co jest sprzecze z faktem że c < c (c B) co kończy dowód aszego twierdzeia. Uwaga 0.2. Aalogiczie defiiuje się pojęcie ograiczeia dolego zbioru oraz kresu dolego zbioru i oczywiscie zachodzi Twierdzeie o kresie dolym. Twierdzeie Zbiór liczb aturalych N jest ieograiczoy w R. Dowod. Przypuścmy, że teza jest ieprawdziwa, tz. N jest ograiczoy. Więc a mocy poprzediego twierdzeia o kresach zbiór N ma kres góry g R. Więc. N to g. 2. g < g to istieje 0 N takie że g < 0. Jeśli g = g to z 2) mamy g < 0 g < 0 + g g < g, gdzie skorzystaliśmy z defiicji liczb aturalych ( N to + N), a stąd otrzymujemy sprzeczość. Twierdzeie Jeśli a, b R \ Q i a < b, to istieje c Q takie że a < c < b.
7 0.2. LICZBY RZECZYWISTE. 7 Dowod. Możemy oczywiście założyć że 0 < a < b, to korzystając z faktu że liczby aturale N są zbiorem ieograiczoym w R istieje 0 N takie że b a < 0. Niech { m 0 = max m N {0} : m } a, 0 wtedy mamy astępujące ierówości: co kończy dowód biorąc za c = m a < m 0 + = m 0 + < a + (b a) = b Twierdzeie Jeśli a, b Q i a < b, to istieje c R \ Q, takie że a < c < b. Dowod. Tak jak w poprzedim dowodzie, możemy założyć że 0 a < b. Oczywiście łatwo sprawdzić, że d := 2 / Q. Korzystając z ieogriczoości N w R isieje 0 N że podobie jak w poprzedim dowodzie iech 2 b a < 0, { m 0 = max m N {0} : m 2 0 } a, wtedy mamy a < (m 0 + ) 2 = m co kończy dowód aszego twierdzeia. Otrzymujemy z powyższych twierdzeń wiosek. 0 < a + (b a) = b Wiosek 0.2. Wiosek Jeścli a, b R są liczbami rzeczywistymi a < b, to isieją c R \ Q oraz liczba wymiera d Q że a < c < b oraz a < d < c.
8 8 SPIS TREŚCI 0.2. Nierówości Nierówości w aalizie matematyczej odgrywają kluczową rolę, choćby przy zagadieiach związaych z istieiem graic ciągów czy też fukcji, badaiem mootoiczości ciągów i wiele wiele iych problemów. Zdefiiujmy wartość bewzględą z liczby rzeczywistej w sposób astępujący: { x dla x 0 x = x dla x < 0. Wtedy mamy astępujące ierówości:. ( x R) x x, 2. ( x R) 0 x, 3. ( x, y R) x + y x + y, 4. ( x, y R) x y x y, 5. ( x, y, r R) x + y < r x r < y < x + r. Poadto, mamy x = x = x oraz x y = x y dla dowolych liczb rzeczywistych x, y R. Przykład 0.2. (Nierówość Berouliego) ( x )( N) ( + x) + x. Udowodimy tę ierówość stosując idukcję matematyczą. Dla = 0 ierówość jest oczywista: (+x) 0 = = +0 x. Ustalmy teraz dowolą liczbę aturalą N i załóżmy, że ierówość (a + x) + x jest prawdziwa. Wtedy dla + N mamy ( + x) + = ( + x) ( + x) ( + x)( + x) = + x + x + x 2 + x + x = + ( + ) x a stąd ierówość Berouliego dla + też jest prawdziwa. Z zasady idukcji matematyczaj mamy więc że dla dowolej liczby aturalej N i x mamy ( + x) + x, co ależało dowieść. Przykład Stosując idukcję matematyczą, udowodimy prawdziwość astępującego zdaia ( N \ {0})( x,... x (0, )) x... x = x x. Dla = ierówość jest prawdziwa x = x. Załóżmy że dla liczby aturalej N prawdziwe jest zdaie ( x,... x (0, )) x... x = x x
9 0.2. LICZBY RZECZYWISTE. 9 Dla + rozważmy ciąg dodatich liczb rzeczywistych x,..., x + takich że x... x + =. Bez straty ogólości możemy założyć, że x jest ajmiejszą liczbą w tym ciągu a x + jest ajwiększą. Wtedy x 0 i x + 0 a stąd mamy 0 ( x )(x + ) = x + x + x x + x x + x + x +. Kładąc y = x,..., y = x oraz y = x x +, widzimy że y... y = x... x (x x + ) =. Stosując załozeie iducyję mamy y y = x x + x x +. Stosując powyższą ierówość mamy y y = x x + x x + x x + x + x +, więc w kocu dla dowolych dodatich liczb x,..., x +, takich że x... x + = mamy żadaą ierówość + x x +. Z zasady o idukcji matematyczej udowodiliśmy żądaą ierówość dla dowolej dodatiej liczby aturalej N. Przykład (Nierówość Cauchy ego) Dla dowolej dodatiej liczby aturalej N, dla dowolych dodatich liczb rzeczywistych a,..., a zachodzi ierówość a... a a a. Niech A = a... a i dla k {,..., } x k = a k A. Oczywiście każda liczba x k jest dodatia oraz x... x = a A... a A = a... a = a... a =. A a... a Na mocy ierówości udowodioej w poprzedim przykładzie, mamy a więc co ależało dowieść. x x = a a A a... a = A a a, Jeżeli w ostatim przykładzie dla dowolych dodatich liczb rzeczywistych x,... x podstawimy za a = x,..., a = x, to otrzymamy x... x = a... a a a = x x,
10 0 SPIS TREŚCI a stąd mamy x x... x. x Reasumując, dla dowolej dodatiej liczby aturalej, dla dowolych dodatich liczb rzeczywistych a,..., a mamy a a a... a a a. Tutaj, pierwsze wyrażeie jest średią harmoiczą, drugie średią geometryczą a ostatie staowi średią arytmetyczą liczb a,..., a. Zadaia: liczby aturale i rzeczywiste Stosując aksjomatykę Peao (omówioą a wykładzie), defiiujemy dodawaie i możeie w sposób rekurecyjy: D: ( N) + 0 =, D2: ( m N)( N) + S(m) = S( + m). M: ( N) 0 = 0, M2: ( m N)( N) S(m) = ( m) +. Zadaie Proszę udowodić astępujące własości liczb aturalych:. ( N \ {0})( m N) = S(m), 2. ( N) S(). Zadaie 2 Proszę udowodić astępujace własości dodawaia i możeia liczb aturalych:. ( m,, k N) (m + ) + k = m + ( + k). Wsk. Rozważyć zbiór Z = {k N : ( m, N) (m + ) + k = m + ( + k)}. 2. ( N) S(0) =, 3. ( m,, k N) (m + ) k = (m k) + ( k), 4. ( N) 0 = 0, 5. ( m, N) m = m, 6. ( m,, k N) (m ) k = m ( k).
11 0.2. LICZBY RZECZYWISTE. Zadaie 3 Stosując zasadę skończoej idukcji matematyczej, proszę udowodić, że dla każdego N zachodzi: ( + ) = (+)(+2) 3, 0 4 jest podziela przez 6, ( x, y R) x + y (x + y). Zadaie 4 (Zasada Archimedesa) Proszę wykazać, że tutaj x, y N. ( x > 0)( y > 0)( N) x < y, Zadaie 5 Proszę udowodić, ze pomiędzy dwiema różymi liczbami rzeczywistymi moża zaleźć liczbę wymierą oraz liczbę iewymierą. Zadaie 6 Proszę pokazać, że liczby 3 6, sa iewymiere. Zadaie 7 Proszę wyzaczyć kres góry oraz kres doly dla astępujących zbiorów: {. A = }, : m, N \ {0} m { 2 2. B = }, + 3 : m, N \ {0} m { 3. C = }. : N +2 Które z powyzszych kresów są osiągae? Zadaie 8 Proszę wykazać astępujace ierówosci:. ( x, y R) x + y x + y, 2. ( x, y R) x y x y.
12 2 SPIS TREŚCI 0.3 Ciągi liczbowe Defiicja 0.3. (Ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym azywamy każdą fukcję f : N R. Uwaga 0.3. Ciąg liczbowy a : N R ozaczamy rówież jako a = ( a(), a(2),... ) lub (a ) = oraz jako (a ) N. Jedym z ajważiejszych pojęć w teorii ciągów liczbowych jest pojęcie graicy ciagu Defiicja Niech będzie day ciąg liczbowy (a ) N, to liczbę rzeczywistą g R azyway graicą ciągu liczbowego jeśli ɛ > 0 0 N > 0 to a g < ɛ Uwaga Graicę ciągu liczbowego ozaczamy przez lim a. Przykład 0.3. ( lim = 0) Niech będzie daa dodatia liczba ɛ > 0. Korzystając z faktu że N jest ieogaiczoy z góry w zbiorze R, istieje 0 N taka że < ɛ 0. Niech N będzie dowolą liczbą aturalą N większą od 0. Wtedy mamy 0 < ɛ < 0 < < ɛ 0 < ɛ. Ostateczie mamy że dla dowolego ɛ > 0 istieje 0 N, takie że dla dowolego > 0 zachodzi 0 < ɛ, co ależało dowieść. Przykład ( lim = ) Niech ɛ > 0 będzie dowolą liczbą dodatią rzeczywistą. Więdząc że zbiór N jest ieograiczoy w R wyika, że istieje 0 N dla którego zachodzi tak więc jeśli > 0 to wtedy 2 ɛ + < < ɛ 2 < ɛ 2 + < 0, ( ) ɛ 2 = 2 stąd mamy ( ) ɛ 2 < 2 0 < < ɛ dla > 0 = 0 (ɛ) k=0 ( ) ɛ 2 = ( + ɛ) k
13 0.3. CIĄGI LICZBOWE 3 a więc ostateczie dla każdego ɛ > 0 istieje 0 N że jeśli > 0 to co jest rówoważe że lim =. Zachodzi astępujące < ɛ, Twierdzeie 0.3. Jeśli ciąg ma graicę, to ma jedyą Dowod. Niech ciąg będzie zbieży do dwóch liczb g, g 2 R, załóżmy więc, że g g 2 = ɛ. Wtedy istieje 0 N takie, że > 0 to a g i < ɛ 2, a więc co daje sprzeczość. ɛ = g g 2 a g + a g 2 < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, Twierdzeie (Waruek Cauchy ego) Ciąg a jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy ( ɛ > 0)( 0 N)(, m > 0 ) a a m < ɛ. Dowod. Dowód w jedą stroę jest prawie oczywisty, bo mamy a a m a g + a m g < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ dla pewej liczby 0 N i każdego > 0. Natomiast w drugą stroę, z aszego waruku (kładąc ɛ = ) dostajemy ograiczoość aszego ciągu. Więc zbiór } A = {x R : { N : a > x} = ℵ 0 jest iepusty i ograiczoy z góry, więc ma kres góry g = sup A R. Udowodimy, że g = lim a. Niech ɛ > 0 będzie dowolą dodatią liczbą rzeczywistą, to wtedy a mocy kraesu górego zbioru A, zbiór } A ɛ = { N : g + ɛ a jest skończoy, więc istieje 0 max A ɛ, że dla > 0 a < g + ɛ. Pokażemy teraz, że istieje 0 N > 0 to g ɛ < a. Gdyby tak ie było, to { } N : a g ɛ byłby ieskończoy, ale g ɛ 2 < g, to istieje rówież ieskończeie wiele wyrazów ciągu a, że g ɛ 2 < a. Jeśli 0 N jest dowole, to istieje takie m, > 0 że a m < g ɛ oraz g ɛ 2 < a, to wtedy a a m g ɛ 2 (g ɛ) = ɛ 2 a stąd otrzymujemy sprzeczość z aszym warukiem Cauchy ego
14 4 SPIS TREŚCI Defiicja (Ciąg ograiczoy) Niech będzie day ciąg liczbowy (a ) N, to powiemy że jest o ograiczoy z góry: gdy ( M R)( N) a M, ograiczoy z dołu: gdy ( m R)( N) m a, ograiczoy: gdy jedocześie jest ograiczoy z góry i jest ograiczoy z dołu. Oczywiście mamy astępujący fakt Fakt 0.3. Ciąg liczbowy (a ) N jest ograiczoy wtedy i tylko wtedy gdy ( M R)( N) a M. Przykład Rozważmy dwa ciągi (a ) N, (b ) N, jeżeli dla dowolego N a =, to wtedy 0, więc (a + + ) N jest ograiczoy, jeżeli dla dowolego N b = 2, to wtedy dla każdego N mamy 0 b i dla dowolej liczby rzeczywistej M R istieje 0 N takie że M < 0 ale mamy rówież 2 dla każdej liczby aturalej. Więc ostateczie dla każdej M R istieje 0 N takie że M < 2 0 = b 0. Reasumując, (b ) N jest ciągiem ograiczoym z dołu ale ie jest ciągiem ograiczoym z góry. Twierdzeie (Weierstrassa) Każdy ciąg ograiczoy zawiera podciąg zbieży. Dowod. Założmy, że ciąd (a ) N jest ogaiczoy, weźmy pod uwagę astępujący zbiór: } P {x R : { N : a < x} < ℵ 0 Zauważmy, że asz zbiór jest iepusty i ie jest całą prostą R, co wyika z tego, że istieje takie m, M R, że m < a < M dla dowowlego N (ciąg ograiczoy). Niech x P i y < x, to wtedy prawdziwa jest ikluzja { N : a < y} { N : a < x} ale te większy zbiór jest skończoy, więc { N : a < y} jest skończoy a stąd y P, więc P jest przedziałem ograiczoym z góry. Stąd istieje kres góry g R zbioru P. Niech k N to { N : a < g } jest skończoy oraz { N : a k < g + } jest ieskończoy, więc k { N : g k < a < g + } = ℵ 0. k Więc istieje m k > k, że a mk (g, g + ), ale k N jest dowole, co kończy dowód aszego k k twierdzeia. Zachodzi w pewym sesie twierdzeie odwrote do poprzediego.
15 0.3. CIĄGI LICZBOWE 5 Twierdzeie Każdy ciąg zbieży jest ograiczoy. Dowod. Jeśli ciąg (a ) N jest zbieży, to biorąc ɛ = > 0 istieje 0 N, że jeśli > 0, to g < a < g +. Biorąc m, M R takie, że m + = mi{mi{a R : 0 }, g } oraz M = max{max{a R : 0 }, g + } mamy m < a < M dla wszystkich N. Twierdzeie (o trzech ciągach) Niech dae będą trzy ciągi liczbowe a, b, c mające astępujące własości:. istieje 0 N > 0, to a c 2. lim a = g = lim b to ciąg c jest też zbieży oraz lim = g. Dowod. Niech ɛ > 0 będzie dowolą dodatią liczbą rzeczywistą, to istieje 0 N takie że > 0 to g ɛ < a c b < g + ɛ co daje c g < ɛ, dowód jest więc zakończoy. Twierdzeie (o ciągu mootoiczym i ograiczoym) Niech ciąg a jest rosący (malejący) i ograiczoy z góry (z dołu) odpowiedio, to jest zbieży. Dowod. Ciąg a jest ograiczoy, więc zbiór { a R : } N jest rówież ograiczoy w R, więc ma swój kres góry g R. Więc dla każdego ɛ > 0 mamy ( ) N a g < g + ɛ oraz istieje 0 N takie że, g ɛ < a 0 i jeśli > 0 to z faktu, że jest rosący mamy g ɛ < a 0 a g < g + ɛ co kończy dowód aszego twierdzeia w przypadku gdy a jest rosący i ograiczoy, dla drugiego przypadku dowód jest aalogiczy.
16 6 SPIS TREŚCI Przykład Zbadamy zbieżość szeregu k=0 e = ( + ). Pokażemy, że ciąg e jest rosący: ( e = + ) ( ) = k = + + k =2 + k=2 ( k )... ( ) k! + ( + )... ( ) + + ( + )! Ograiczoość z góry wyika astępująco: e = k=2 k=2 k=2 2 + = e + k=2 k=2 ( )... ( k + ) k! k ( k )... ( ) + + k! ( k )... ( ) k! k! k 2 = 2 + = 3. 2 Korzystając z poprzediego twierdzeia wosimy, ze graica ciągu e istieje: ( + ) = e. lim Przykład Niech a = dla N. Oczywiście asz ciąg jest ograiczoy z dołu a. Pokażemy, że jest malejący od pewego miejsca. Ciąg jest malejący, gdy > 0 N to a + a a więc + + ( + + ) (+) ( ) (+) ( + ) + ( ) ( + +, ) więc jeśli > 3 to ( + ) < 3 < a stąd mamy a + = + + = a, dla > 3. Na podwtawie twierdzeia o zbieżości ciągu ograiczoego i mootoiczego, wioskujemy, że asz ciąg (a ) = jest zbieży.
17 0.3. CIĄGI LICZBOWE 7 Twierdzeie (O arytmetyce graic) Niech ciągi (a ) = (b ) = będą ciągami zbieżymi, wówczas mamy:. lim (a + b ) = lim a + lim b 2. lim (a b ) = lim a lim b 3. lim (a b ) = lim a lim b a 4. Jeśli b 0 dla N oraz lim b 0, to lim b 5. Jeśli a > 0 dla N to lim a b = ( lim a ) ( lim b). = lim a lim b Dowod. Wykażemy dla przykładu prawdziwość (3) i (5). Wiemy, że ciąg a jest zbieży, więc jest ograiczoy: istieje M > 0 N to a < M i b < M. Wybierzmy dowole ɛ > 0, więc istieje 0 N, że jeśli > 0 to Stąd mamy a a < ɛ 2M oraz b b < ɛ 2M. a b ab a b a b + a b ab = a b b + a a b < M ɛ 2M + ɛ 2m M = ɛ, co kończy dowód puktu (3). Pokażemy w dowodzie (5), że lim c b = c lim b dla dowolego c > 0. Zauważmy, że lim cb = lim c b b c b = c b lim c b b = c lim b lim c b b. Oczywiście lim (b b) = 0. Pokażemy, że jeśli lim d = 0 to lim wpierw, że c >. Niech ɛ > 0, wtedy istieje 0 N, że jeśli 0 to c d =. Możemy założyć więc c 0 < + ɛ, oraz d < 0, + ɛ cd < c 0 < + ɛ mamy więc lim c d = a stąd mamy lim c b = c lim b. Jeśli c (0, ) to > i wtedy c lim cb = lim ( = c )b ( = cb = c lim b. c )b
18 8 SPIS TREŚCI Niech lim a = a > 0 i iech 0 < ɛ jest takie, że 0 < a ɛ, to Niech S = {x R : (k ) = lim a b k k (a ɛ) b < a b < (a + ɛ) b. dla każdego ɛ > 0 i każdego x S istieje podciąg ciągu a b (a ɛ) b = lim (a ɛ) b k Więc ostateczie dla każdego ɛ > 0 mamy: = x} będzie zbiorem puktów skupieia ciągu a b, to wtedy lim a b k k S ((a ɛ) b, (a + ɛ) b ). zbieży do x S a wtedy = x lim (a + ɛ) b k = (a + ɛ) b. Niech ɛ := a dla każdego N to wtedy ( lim (a + ɛ ) b = a b lim Podobie ( lim (a ɛ ) b = a b lim Stąd ostateczie mamy + ɛ a ɛ a S ɛ>0 ) b = a b lim ) b = a b lim ( ( + ) ) b ( ( ) ) b < a b lim 3 b ( ) b > a b lim 3 [(a ɛ) b, (a + ɛ) b ] N[(a ɛ ) b, (a + ɛ ) b ] = {a b }. = a b lim 3 b = a b = a b. = a b lim 3 = b ab. Więc zbiór puktów skupieia ciągu a b a b, co kończy dowód p-ktu 5-tego. jest jedoelemetowy S = {a b }, co dowodzi, że lim a b = Twierdzeie Jeśli ciąg lim = g R, to. lim a i i= = g, 2. jeśli a 0 to lim a = g. i=
19 0.3. CIĄGI LICZBOWE 9 Dowod. Pokażemy pukt (), zakładając zbieżość ciągu a. Niech 0 < ɛ R, będzie dowolę liczbą rzeczywistą dodatią, to isieje 0 N taka, że > 0 to a g < ɛ. Wtedy mamy 0 i= a 0 g = i= a i i= a g 0 i= a i + i= 0 + (a g) 0 i= a i + ( 0)ɛ 0 = i= a i + 0 ɛ. Przechodząc do graicy mamy 0 lim i= a ( 0 g lim i= a i + ) 0 ɛ = 0 + ɛ = ɛ, co kończy dowód częsci pierwszej, bo ɛ > 0 było dowole. Drugą część twierdzeia dowodzi się aalogiczie. Twierdzeie Mamy dwa astępujące zdaia:. Jeśli lim a + a = g, to lim a = g. a 2. Jeśli a > 0 i lim + a = g, to lim a = g. Dowod. Jeśli spełioe jest załozeie (), to biorąc b = a a dla > oraz b = a i a 0 = 0 to wtedy z założeia lim b = g więc z poprzediego Twierdzeia mamy: i= g = lim b = lim i= a i a i Podobie dowodzimy drugiego puktu (2), biorąc za c = lim c = g, więc z poprzediego twierdzeia mamy co kończy dowód. g = lim = lim a a 0 a a c i = lim a, i= a = lim. dla > oraz c = a. To wtedy Przykład Niech a =, to jesłi b = dla N to wtedy lim poprzediego twierdzeia mamy lim a =, czyli b b =, więc z lim =.
20 20 SPIS TREŚCI Zadaia: ciągi Zadaie 9 Proszę zbadać, czy astępujące ciągi są ograiczoe: ( a) a = ; b) b = ) ; c) c = ; d) d 0 = d + = 2 + d. Zadaie 0 Proszę zbadać, czy astępujące ciągi są mootoicze od pewego miejsca: ( 3... (2 ) a) a ; b) b = ) ; c) c = ; d) d 0 = d + = ( 2 + d ; e) e = ) f) f =! g) g =. Zadaie Korzystajac z twierdzeia o ciągu ograiczoym i mootoiczym, proszę uzasadić istieie graic podaych ciągów a astępie je wyzaczyć: a) a = 00 ; b) b 0 = 2 b + = 2 + b ; c) c 0 = c + =.! + c Zadaie 2 Niech k N \ {0} bedzie dodatią liczbą aturalą oraz dodati ciąg (a ) N, taki że lim a = a. Proszę pokazać, że lim k a = k a. Zadaie 3 Niech x X N będzie ciągiem w przestrzei metryczej (X, d). Proszę udowodić astępujacy fakt: ( y X)(xjest zbieży do y każdy podciag x jest zbieży do y). Zadaie 4 Korzystając z defiicji graicy ciągu liczbowego, prosze uzasadić że: a) lim 3 + = 3; b) b > 0 lim b = ; c) lim 2 + ( ) = 0; d) lim si = 0. Zadaie 5 Korzystajac z twierdzeia o arytmetyce graic, proszę obliczyć graice astępujacych ciągów: ; ( 3 + ) 33 ; 2 + ; 94 + ( + ). 22 Zadaie 6 Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach, proszę oliczyć graice astępujacych ciagów: ; 2 + si ; 2 + [ 2 ] ; ; Tutaj mamy ( x R)( Z)([x] = x < + )
21 0.3. CIĄGI LICZBOWE 2 Zadaie 7 Proszę wyzaczyć graice podaych ciągów liczbowych: ( ) ; ( ) 3 ; + 2 ( 2 ) 2+. Zadaie 8 Korzystajac z defiicji graicy iewłaściwej ciągiu liczbowego, prosze udowodić, że: lim (2 5) = ; 2 lim + = ; lim (3 log 2 ) =. Zadaie 9 Korzystając z twierdzeia o dwóch ciagach, proszę wyzaczyć graice iewłaściwe podaych ciągów: (2 cos 8) 2 ; Zadaie 20 Prosze udowodic: ( a R N )( x R)(x jest p-ktem skupieia ciągu a istieje podciąg ciągu a zbieży do x). Zadaie 2 Proszę podac przykłady ciągów liczbowych, dla których podae zbiory są zbiorami puktów skupieia tych ciągów: { } {0, }; + : N {0}; Z {, }. Zadaie 22 Proszę udowodić, że ie istieje ciąg liczbowy, którego zbiorem puktów skupieia jest zbiór liczb wymierych Q. Zadaie 23 Proszę wyzaczyć graice góre oraz graice dole podaych ciągów liczbowych: Zadaie 24 Prosze udowodić: ( ) ; si π 4 + cos π 3 ; 3 ( )[ 2 ] + 5 ( ) [ 3 ]. ( x R N )( g R)( lim a = g lim sup a = g = lim if a ). Zadaie 25 Niech x będzie liczbą zer a końcu liczby! (w układzie dziesiętym). Czy istieje graica ciągu y = x dla liczb aturalych N, takich że > 0?
22 22 SPIS TREŚCI 0.4 Szeregi liczbowe W tym rozdziale zajmiemy się pojęciem szeregów liczbowych i iloczyów ieskończoych. Zacziemy więc od defiicji szeregu liczbowego. Defiicja 0.4. (Szereg liczbowy) Niech day będzie ciąg liczbowy (a ) =, iech N N to N tą sumą częśćiową azywamy wyrazeie S N = N a. = jest zbieży. Wów- Szereg liczbowy ciągu (a ) = jest zbieży ciąg sum częściowych (S N ) N= czas ozaczamy N a := lim S N = lim a. N N = = Natychmiast zachodzi astępujące twierdzeie. Twierdzeie 0.4. (Cauchy ego) Szereg ciągu (a ) = jest zbieży wtedy i tylko wtedy gdy ( ɛ > 0)( 0 N)(, m > 0 ) a k < ɛ. Dowod. Prosta kosekwecja twierdzeia Cauchy ego o ciągu sum częściowych S N. Twierdzeie (waruek koieczy) Jeśli szereg ciągu (a ) = jest zbieży, to lim a = 0. Dowod. Załóżmy że ciąg sum częściowych S N ciągu a jest zbieży do S, to wtedy k=m lim a = lim (S S ) = S S = 0. Twierdzeie (waruek koieczy) Jeśli szereg ciągu malejącego (a ) = jest zbieży, to lim a = 0.
23 0.4. SZEREGI LICZBOWE 23 Dowod. Niech ɛ > 0, to istieje 0 N takie że, m > 0 to dla > 0 ɛ > k= 0 a k ( 0)a 0, oczywiście z poprzediego twierdzeia wyika, że lim 0 a = 0, więc 0 lim a ɛ. Natomiast ɛ > 0 jest dowole, więc mamy tezę aszego twierdzeia. Przykład 0.4. Jeśli szereg S = byl zbieży, to korzystaiąc z tego że a = jest malejący, mielibyśmy z poprzediego twierdzeia astępującą rówość: co jest ieprawdą. i= i 0 = lim a = lim =, Twierdzeie (Kryterium porówawcze) Niech będą dae dwa szeregi o wyrazach dodatich, takich, że istieje 0 N, że dla > 0 mamy 0 a b, to wtedy. jeśli szereg b jest zbieży, to a jest rówież zbieży, = = 2. jeśli szereg a jest rozbieży to b jest rozbieży. = = Dowod. Niech day szereg b będzie zbieży, to wtedy dla dowolego ɛ > 0 istieje 0 N, że = dla dowolego, m > 0 mamy k k=m+ k k=m+ a k = b k < ɛ, więc k k=m+ a k k k=m+ b k = k k=m+ b k < ɛ co wobec twierdzeia Cauchy ego wosimy, że szereg a jest zbieży. Drugie zdaie wyika z pierwszego, co kończy dowód. =
24 24 SPIS TREŚCI Twierdzeie (Kryterium ilorazowe) Niech będą dae dwa ciągi dodatie (a) =, (b) =, a takie że lim b = q (0, ), to wtedy a jest zbieży (rozb) wtedy i tylko wtedy gdy = b jest zbieży (rozb). Dowod. Załóżmy, że szereg a jest zbieży, iech ɛ > 0 takie że 0 < q ɛ, to istieje 0 N, = że > 0 to 0 < q ɛ < a < q + ɛ, b więc 0 < (q ɛ)b < a < (q + ɛ)b więc z kryterium porówawczego mamy zbieżość szeregu (q ɛ)b a stąd mamy zbieżość szeregu b co zakończyło dowód aszego twierdzeia. = = = 0 + Twierdzeie (o zagęszczaiu) Niech będzie day ciąg liczbowy spełiający waruki:. ciąg (a ) = jest malejący, 2. lim a = 0, to szereg a jest zbieży wtedy i tylko wtedy gdy szereg 2 a 2 jest zbieży. = Dowod. Niech day szereg a będzie zbieży, to wtedy dla dowolego ɛ > 0 istieje 0 N, = że dla dowolego, m > 0 mamy k k=m+ a k < ɛ, więc = 2 k a 2 k = k=0 2 k 22 k a 2 k 2 2 k a i = 2 2 a k k= i=2 k + k= i=2 k + k= szereg większy jest zbieży więc a podstawie kryterium porówawczego mamy szereg zbieży który jest miejszy. i a odwrót: a k a + k= 2 k= co kończy dowód twierdzeia. a k = 2 i+ i=0 k=2 i + a k 2 i a 2 i+ = 2 i+ a 2 i+, 2 i=0 i=0
25 0.4. SZEREGI LICZBOWE 25 Twierdzeie Jeśli szereg a jest zbieży, to a zbieży jest rówież. Dowod. Jeśli, m > 0 mamy więc = a jest zbieży, to dla dowolego ɛ > 0 istieje 0 N, że dla dowolego = m a k k= co kończy dowód aszego twierdzeia. m a k < ɛ, k= m a k = k= = m a k < ɛ, Twierdzeie (Kryterium Cauchy ego) Niech będzie day ciąg (a ) = to wtedy:. Jeśli lim sup a = q < to a jest zbieży. = k= 2. Jeśli lim if a = q > to a jest rozbieży. = Dowod. Niech ɛ > 0 będzie taką liczbą rzeczywistą dodatią, że spełioy jest waruek q+ɛ < to isieje 0 N, że 0, to a < q := q + ɛ < więc a < q a stąd mamy dla dowolego M > 0 M a k M M a k q k < g k = q 0 q k= 0 k= 0 k= 0 k= 0 co dowodzi przypadku pierwszego. W drugim przypadku, biorąc za q R takie że < q < q to istieje takie 0 N, że dla > 0 < q < a, więc < a dla > 0 to zaś implikuje, że ieprawdą jest lim a = 0 a więc szereg a jest rozbieży. = Twierdzeie (Kryterium D Alamberta) Niech będzie day ciąg (a ) = oraz a 0 dla każdego N to wtedy:. Jeśli lim sup a + a = q < to a jest zbieży. = 2. Jeśli lim if a + a = q > to a jest rozbieży. =
26 26 SPIS TREŚCI Dowod. Wybierzmy q R takie że q < q <, więc istieje 0 N takie, że dla > 0 < q <. Więc dla > 0 mamy a + a a stąd k= 0 a k a a 0 k= 0 a k < = a k+ a k < q k= 0 k= 0 q k a 0 a 0 q 0 k=0 q k = q co dowodzi pierwszego zdaia. W drugim przypadku, biorąc za q R takie że < q < q to istieje takie 0 N, że dla > 0 0 < a 0 < a, to zaś implikuje, że ieprawdą jest lim a = 0 a więc szereg a jest rozbieży. = 0.5 Iloczyy ieskończoe Defiicja 0.5. Niech day będzie ciąg liczbowy (a ) =, to ciąg iloczyów częściowych (p ) = defiiujemy jako: p = a k. k= Jeśli ciąg iloczyów częściowych p jest zbieży do p R, to graicę tę azywamy iloczyem ieskończoy ciągu a i ozaczamy: p = a k := lim k= k= a k. Jeśli p = 0 lub p =, to iloczy taki azywamy rozbieżym iloczyem ieskończoym. Twierdzeie 0.5. (Cauchy ego) Niech będzie day ciąg liczbowy (a ) =, to iloczy ieskończoy a jest zbieży wtedy i tylko wtedy gdy spełioy jest waruek: = ( ɛ > 0)( 0 N) > m > 0 a k < ɛ. Dowod. Nich asz iloczy będzie zbieży do p R to oczywiście istieją takie d, g R, że 0 < d < p < g dla N, weźmy dowolą liczbe 0 < ɛ R, to istieje 0 N, m > 0, to p p m < dɛ a stąd p p m < ɛd < ɛd p m d = ɛ, k=m
27 0.5. ILOCZYNY NIESKOŃCZONE 27 więc dowód w jedą stroę został zakończoy. Załóżmy, że teraz spełioy jest waruek w twierdzeiu, to biorąc za ɛ = mamy 0 = ɛ < p p m < ɛ + = 2 dla > m = 0 + > 0. w takim razie ciąg p = a k jest ograiczoy przez pewą liczbę M R. Więc z aszego założeia k= wyika, że jeśli ɛ > 0 jest dowole, to iistieje takie 0 N, że dla dowolego > m > 0 zachodzi a stąd mamy p p m < ɛ M, p p m < ɛp m M < ɛm M = ɛ. wieć z twierdzeia Cauchy ego o zbieżości ciągów wosimy, że ciąg p jest zbieży do pewego p R. Pozostało am do udowodieia, że p 0. Gdyby tak iebyło, to istieje 0 N, > 0 to p < 2, p 0 + a stąd mamy dla dowolego N większego od 0 2 < p, p 0 + oraz co prowadzi do sprzeczości. 2 = lim 2 < lim p p 0 + = lim p p 0 + = 0 Twierdzeie (waruek koieczy zbieżości iloczyu) Jeśli iloczy ieskończoy a jest zbieży, to lim a =. = Dowod. Dowód tego twierdzeia jest elemetary. Twierdzeie Niech będzie day ciąg liczbowy (b ) = o wyrazach dodatich. To wtedy iloczy ieskończoy ( + b ) jest zbieży wtedy i tylko wtedy gdy szereg b jest zbieży. = =
28 28 SPIS TREŚCI Dowod. Niech p = ( + b k ) i s = b k. Zauważmy, że k= k= + s p e b k = e k= k= b k, więc p jest ograiczoy wtedy i tylko wtedy gdy s jest ograiczoy. Oczywiście oba ciągi s, p są rosęce, więc ze zbieżości jedego ciągu wyika zbieżość drugiego. Pozostało udowodić, że lim p 0, te fakt atychmiast wyika z ierówości Dowód twierdzeia został zakończoy. + s p dla N. 0.6 Szeregi potęgowe Defiicja 0.6. Niech będzie day ciąg liczbowy (a ) =0 to a (x x 0 ) azywamy szeregiem potęgowym o środku x 0 (o ile jest zbieży w x). =0 Defiicja (zbieżość jedostaja) Niech f : D R będzie ciągiem fukcyjym a D R oraz f : D R to f f a D ɛ > 0 0 N > 0 x D f (x) f(x) < ɛ. Twierdzeie 0.6. Niech (a ) =0 będzie ciąg liczbowy oraz iech q = lim sup a, to wtedy. jeśli x (, ) to a q q x jest zbieży bezwzględie. Jeśli q = 0, to a x jest zbieży =0 bezwzględie dla każdego x R, 2. f (x) = a k x k f(x) = a k x k a [ c, c] (, ), q q k=0 k=0 3. jeśli x > to a q x jest rozbieży. =0 =0
29 0.6. SZEREGI POTĘGOWE 29 Dowod. ). Niech q = lim sup a, i iech ɛ > 0 będzie dowolą liczbą rzeczywistą dodatią, to istieje 0 N że dla > 0 mamy q + ɛ > a. To a < (q + ɛ) dla > 0. Z drugiej stroy wiemy że x < a więc x(q + ɛ) < dla pewego ɛ > 0. Mamy więc q = 0 + a x < = 0 + = 0 + a x = 0 + a x(q + ɛ) (q + ɛ) x(q + ɛ) = (x(q + ɛ)) 0+ x(q + ɛ), stąd szereg a x jest zbieży bezwzględie dla x (, ). q q =0 Dowód 2). Niech 0 c < q a więc dla każdego x [ c, c] mamy f (x) f(x) = i ɛ > 0 to a mocy ) istieje N, że dla k > k=+ k=+ a k x k a k c k < ɛ k=+ a k x k k=+ a k c k < ɛ co jest rówoważe ze zbieżością jedostają ciągu sum częściewych f f a [ a, a]. Dowód 3). Niech x > q, to q > x stąd istieje podciąg (k ) = że dla N k ak > x a k x k > lim a x 0, więc a x jest rozbieży, co kończy dowód aszego twierdzeia. =0 Wiosek 0.6. Niech (a ) =0 będzie dowolym ciągiem liczbowym, to wówczas. Jeśli q = lim a istieje, to dla każdego x (, ), a q q x jest zbieży bezwzględie, =0 2. Jeśli q = lim a + a istieje, to dla każdego x (, ), a q q x jest zbieży bezwzględie. Dowod. Wystarczy zauważyć, że jeśli lim a istieje, to lim sup a = lim a co dowodzi ) stosując powyższe twierdzeie. Natomiast jeśli lim istieje, to wówczas lim a = a lim + a i stosujemy ). a + a Na podstawie powyższego twierdzeia możemy wprowadzić astępującą defiicję: =0
30 30 SPIS TREŚCI Defiicja (promień zbieżości) Niech będzie day szereg potęgowy to liczbę R = azywamy promieiem zbieżości. lim sup a a (x x 0 ), =0 gdy lim sup a (0, ) gdy lim sup a = 0 0 gdy lim sup a =. Uwaga 0.6. Jeśli R [0, ) jest promieiem zbieżości szeregu potęgowego a (x x 0 ) to szereg jest zbieży w przedziale (x 0 R, x 0 + R) szereg jest rozbieży a zbiorze (, x 0 R) (x 0 + R, ) w puktach x 0 R i x 0 + R zbieżość zależy od szeregu potęgowego. Zbiór { x R : =0 } a (x x 0 ) jest zbieży azywamy przedziałem zbieżości szeregu potęgowego =0 a (x x 0 ). Przykład 0.6. Zbadać przedział zbieżości szeregu potęgowego Tutaj x 0 = 3 oraz a =, więc R = lim sup a + a (x 3). =0 = lim a a + = lim + =. Więc dla x (3, 3 + ) = (2, 4) szereg jest zbieży. Oczywiście dla x = 2 i x = 4 mamy rozbieżość szeregów ( ) oraz, =0 więc ostateczie (2, 4) jest przedziałem zbieżości aszego szeregu potęgowego. =0 =0
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań
Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2013/14
Wykład: zad. 35-43 Kowersatoriu 8..03: zad. 44-6 Ćwiczeia 9..03: zad. 6-340 Kolokwiu r 6 5..03 (poiedziałek, 3:5-4:00: ateriał z zad. -384 Kresy zbiorów. Defiicja: Zbiór Z R azyway ograiczoy z góry, jeżeli
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowoPodstawowe cechy podzielności liczb.
Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowoZauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Bardziej szczegółowoKu chwale nierówności. XXVII Ogólnopolski Sejmik Matematyków
Ku chwale ierówości Sebastia Lisiewski 25 lutego 200 XXVII Ogólopolski Sejmik Matematyków VIII Liceum Ogólokształcące im. Marii Skłodowskiej- Curie w Katowicach ul. 3-go Maja 42 40-097 Katowice Opiekuowie
Bardziej szczegółowoAM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (
AM11 zadaia 8 Przypom e kilka dosyć ważyh grai, które już pojawiły się a zajeiah e 1 lim 1 l(1+) (1+) 1, lim 1, lim a 1 si a, lim 1 0 0 0 0 l 2 lim 0, lim a 0 dla każdego a R, lim (1 + 1 e ) e, lim 1/
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowo