Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Transkrypt

1 Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic ciągów mootoiczych, istieie pierwiastków. Podstawowe graice, w tym liczba e. Twierdzeie Bolzao-Weierstrassa. Defiicja. Ciągiem liczbowym azywamy dowolą fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Ciągi ozaczamy symbolem {a } N, przy czym zamiast litery a możemy użyć zarówo małej, jak i wielkiej litery z dowolego alfabetu. Wartość fukcji a dla argumetu jest ozaczaa symbolem a. O a mówimy, że to -ty wyraz ciągu albo wyraz ciągu o umerze. W tradycyjej otacji stosowaej dla fukcji zamiast a pisalibyśmy raczej a a : N R. Defiicja. Mówimy, że ciąg a jest zbieży do graicy g R albo, że g jest graicą ciągu a jeśli dla dowolej dodatiej liczby rzeczywistej ε istieje liczba rzeczywista N ε, że odległość od g wyrazów a o umerach większych od N ε jest miejsza iż ε. Symboliczie piszemy: g = a ε>0 Nε >Nɛ a g < ε. Iymi słowy, jeśli rozważymy jakikolwiek przedział otwarty g ε, g + ε może to być przedział dowolie mały, tz. liczba ε może być dowolie mała, to poczyając od pewego wyrazu > N ε, wszystkie wyrazy ciągu o umerach większych leżą w tym przedziale. Przykład. Oczywiście, ie każdy ciąg ma graicę. Na przykład graicy ie ma żade z astępujących ciągów: a a = ; b b = ; c c = reszta z dzieleia liczby przez 5 Stwierdzeie. Jeżeli ciąg ma graicę, to jest oa określoa jedozaczie żade ciąg ie może mieć dwóch różych graic. Stwierdzeie. Każdy ciąg zbieży jest ograiczoy. Defiicja 3. Mówimy, że ciąg {a } N jest rozbieży do + albo, że ciąg {a } N ma graicę iewłaściwą rówą, jeśli dla dowolej dodatiej liczby rzeczywistej M istieje liczba rzeczywista N, że wszystkie wyrazy a o umerach większych od N są większe iż M. Symboliczie piszemy: a = M>0 N >N a > M. Mówimy, że ciąg {a } N jest rozbieży do albo, że ciąg {a } N ma graicę iewłaściwą rówą, jeśli dla dowolej liczby rzeczywistej m < 0 istieje liczba rzeczywista N, że wszystkie wyrazy a o umerach większych od N są miejsze iż m. Symboliczie piszemy: a = m<0 N >N a < m. Defiicja. Sumą ciągów {a } N i {b } N azywamy ciąg {a } N + {b } N = {a + b } N. Różicą ciągów {a } N i {b } N azywamy ciąg {a } N {b } N = {a b } N.

2 Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Iloczyem ciągów {a } N i {b } N azywamy ciąg {a } N {b } N = {a b } N. Ilorazem ciągów {a } N i {b } N o ile dla wszystkich N, b 0 azywamy ciąg { } {a } N = a = {b } N Stwierdzeie 3. Jeżeli ciągi {a } N i {b } N mają graice rówe odpowiedio a i b, to i ii iii iv a + b = a + b; a b = a b; a b = a b. Jeśli poadto dla wszystkich N, b 0 i b 0, to a b = a b. Twierdzeie. O trzech ciągach Niech {a } N, {b } N i {c } N będą ciągami liczbowymi takimi, że a = g = c. Jeśli istieje takie N, że dla wszystkich > N, a b c, to b = g. Twierdzeie 5. O dwóch ciągach Niech {a } N i {b } N będą ciągami liczbowymi. Jeżeli a = + i dla każdego N, a b, to b = +. Jeżeli b = i dla każdego N, a b, to a =. 3 Jeżeli dla każdego N, a b, to a b. Jeżeli a < b, to istieje N, że dla każdego > N, a < b. Przykład. a Pokażemy, że dla dowolej liczby rzeczywistej dodatiej a, b a =. N Załóżmy ajpierw, że a >. Z ierówości Beroulliego mamy a = + a = + a + a. Po przeiesieiu jedyki a lewą stroę, i podzieleiu obustroie przez dostajemy a a. Dla dowolie wybraej liczby rzeczywistej dodatiej ε dobierzmy teraz tak duże, aby a < ε, tz. dobierzmy > N ε = a ε. Wówczas a podstawie i doboru dostajemy a < ε. Dla dowodu przypadku a < wystarczy skorzystać z działań a graicach. b Niech a bedzie dowolą liczbą rzeczywistą, większą od. Udowodimy, że a =.

3 Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Do dowodu wykorzystamy łatwą do wykazaia ierówość: Jeśli x > 0, to + x > x wyprowadzamy ją łatwo z rozwiięcia dwumiau Newtoa + x. ierówości w miejsce x liczby a otrzymujemy Po podstawieiu w tej Stąd a = + a > a a a. a >. Prawa stroa ostatiej ierówości dąży do +, zatem lewa, jako większa, także zmierza do +. c Udowodimy, że = W dowodzie odwołamy się do ierówości a > a wyprowadzoej w przykładzie b. Podstawmy w iej a =. Otrzymamy wówczas > Skąd po obustroym wyciągięciu pierwiastka i podzieleiu przez, dostajemy >. Lewa stroa ierówości zbiega do 0, więc z twierdzeia o trzech ciągach, a podstawie tego, że prawa stroa jest ieujema otrzymujemy, że oa rówież musi zbiegać do 0. Stwierdzeie 6. Dowoly podciąg ciągu zbieżego jest zbieży do tej samej graicy, co ciąg day. Twierdzeie 7. Bolzao-Weierstrassa Każdy ciąg ograiczoy zawiera podciąg zbieży Niech {a } N będzie ciągiem ograiczoym. Dla dowodu Tw. Bolzao-Weierstrassa określamy zbiór A = {x R : istieje ieskończeie wiele N, dla których x < a }. Zbiór A jest iepusty i ograiczoy od góry. Zatem ma kres góry. Dalej kostuuje się podciąg ciągu {a } N zbieży do tego kresu górego. Twierdzeie 8. Każdy ciąg mootoiczy i ograiczoy zawiera podciąg zbieży. Przykład 3. Niech a = +. Udowodimy, że jest to ciąg rosący i ograiczoy. Nierówość a < a + otrzymamy rozwijając wyrażeia a = + + i a+ = + + a podstawie wzoru Newtoa. Pierwsze da w tym rozwiięciu miej składików, iż drugie, a poza tym każdy składik pierwszego jest iewiększy iż odpowiedi składik drugiego. Dokładiej, mamy a = + = = +! +! + 3! ! +...! 3

4 Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład + a + = + + = = ! + + +! ! ! ! ! + + Dwa pierwsze składiki rozwiięcia a są idetycze, jak dwa pierwsze sładiki rozwiięcia a +. Dalej mamy: < + ; + 3 < ; + 3 < +...3! + ; < +...! +. Dla dowodu ograiczoości ciągu udowodimy, że dla dowolej liczby aturalej zachodzą ierówości + 3. Wyrażeie + rozwijamy korzystając ze wzoru Newtoa. Nierówość + wyika atychmiast z tego rozwiięcia patrz iżej. Dla dowodu drugiej ierówości, iektóre z wyrażeń występujących w tym rozwiięciu zastępujemy takimi, których wartości dla kokretych są ie miejsze od wartości wyrażeń zastępowaych. W szczególości korzystamy z tego, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość! lub iaczej:!. + = = = +! +! + 3! ! +...! = = +! +! + 3! + + +!... +!... +! +! + 3! + +! +! < < = 3. Stwierdzeie 9. Jeżeli a = g, to prawdziwe rówież dla g = ±. a +a ++a = g, przy czym twierdzeie to jest Defiicja 5. Ciąg {a } N azywamy ciągiem Cauchy ego jeśli dla dowolego ε > 0 istieje takie N ε, że dla dowolych, m > N ε, a a m < ε.

5 Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Twierdzeie 0. Cauchy Ciąg {a } N jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy ego. Przygotował: Czesław Bagiński 5