X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

Transkrypt

1 Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x, x 2,, x badaej cechy X są zaobserwowaymi wartościami -elemetowej próby tatystyka opisowa ograicza się do opisu uzyskaych wyików próby, bez wyciągaia wiosków o całej populacji W statystyce matematyczej, a podstawie wyików badaia próbego, wyciąga się wioski dotyczące badaej cechy w całej populacji Wioskowaie statystycze Do ajważiejszych form wioskowaia statystyczego ależą: estymacja ocea iezaych parametrów bądź ich fukcji, które charakteryzują rozkład badaej cechy populacji; weryfikacja badaie prawdziwości postawioych hipotez statystyczych Wioskowaie statystycze jest oparte a częściowej iformacji, więc dostarcza jedyie wiosków wiarygodych, a ie absolutie prawdziwych Wioski wiarygode, to wioski prawdziwe z pewym zadaym prawdopodobieństwem Próba losowa Dowole dwie -elemetowe próbki z tej samej populacji są a ogół róże Dlatego wygodie jest traktować ciąg liczbowy x,, x jako realizację ciągu X,, X, gdzie X i dla i {, 2,, } jest zmieą losową Ciąg zmieych losowych X,, X azywamy -elemetową próbą losową Jeśli zmiee losowe X,, X są iezależe i każda z ich ma rozkład taki, jak rozkład badaej cechy populacji, to próbę azywamy próbą prostą Ciąg liczb x,, x azywamy zaobserwowaą próbą losową lub próbką Estymacja puktowa W estymacji puktowej za oceę wartości parametru przyjmuje się jedą kokretą wartość otrzymaą a podstawie wyików próby Niech rozkład badaej cechy zależy od iezaego parametru θ Parametr te będziemy szacowali a podstawie -elemetowej próby prostej X,, X Fukcję gx,, X będącą fukcją próby losowej X,, X azywamy statystyką tatystyka jest fukcją zmieych losowych, jest też zmieą losową mającą swój własy rozkład zależy od postaci fukcji g i od rozkładu zmieych X,, X Przykłady statystyk średia arytmetycza X z próby X = wartość tej statystyki azywaa jest wartością średią empiryczą i ozaczamy ją symbolem x, przy czym x = x i, gdzie x, x 2,, x są wyikami próby wariacja z próby 2 = X i X 2 wartością tej statystyki jest wariacja empirycza s 2 = X i x i x 2

2 wariacja z próby wartością tej statystyki jest wariacja empirycza Przykłady statystyk Ŝ 2 = ŝ 2 = X i X 2 x i x 2 odchyleie stadardowe = 2 z próby wartość tej statystyki azywaa jest empiryczym odchyleiem stadardowym i ozaczaa jest symbolem s odchyleie stadardowe Ŝ = Ŝ2 z próby wartość tej statystyki azywaa jest empiryczym odchyleiem stadardowym i ozaczaa jest symbolem ŝ Każdą statystykę ˆθ X,, X, której wartości przyjmujemy do ocey przybliżeia iezaego parametru θ, azywamy estymatorem parametru θ Otrzymaą a podstawie realizacji kokretej próby wartość estymatora azywamy oceą przybliżeiem, oszacowaiem tego parametru Dla daego parametru θ moża oczywiście utworzyć wiele estymatorów ˆθ X,, X, ale dla uzyskaia estymatora o możliwie ajlepszych własościach pożądae jest, aby spełiał o pewe waruki Oczywiście wraz ze wzrostem liczości próby zwiększa się dokładość oszacowaia parametru θ Estymator ˆθ azywamy estymatorem zgodym parametru θ, jeżeli dla każdej liczby ε > 0 spełioy jest waruek lim P ˆθ θ < ε = Estymator ˆθ azywamy estymatorem ieobciążoym parametru θ, jeżeli dla każdego zachodzi waruek Eˆθ = θ Jeżeli istieje takie, że Eˆθ θ, to estymator ˆθ azywamy estymatorem obciążoym parametru θ, a różicę B θ = Eˆθ θ azywamy obciążeiem estymatora Jeżeli [ ] lim B θ = lim Eˆθ θ = 0 lub iaczej lim Eˆθ = θ, to estymator ˆθ azywamy estymatorem asymptotyczie ieobciążoym parametru θ Nieobciążoy estymator ˆθ parametru θ azywamy efektywym lub ajefektywiejszym, jeżeli ma ajmiejszą wariację spośród ieobciążoych estymatorów tego parametru Jeżeli istieje estymator efektywy θ parametru θ, zaś ˆθ jest iym estymatorem ieobciążoym tego parametru, to efektywością estymatora ˆθ jest liczba ef ˆθ = D2 θ D 2 ˆθ Oczywiście zachodzi ierówość 0 < ef ˆθ, przy czym rówość ma miejsce jedyie dla estymatora efektywego 2

3 Estymator ˆθ azywamy estymatorem asymptotyczie efektywym parametru θ, jeżeli lim ef ˆθ = tatystyka X = tatystyka X = Nµ, tatystyka 2 = Przykłady estymatorów X i jest zgodym i ieobciążoym estymatorem parametru µ wartości średiej X i jest ajefektywiejszym estymatorem parametru µ populacji geeralej o rozkładzie X i X 2 jest obciążoym estymatorem wariacji 2 tatystyka Ŝ2 = X i X 2 jest ieobciążoym estymatorem wariacji 2 Estymacja przedziałowa Estymacja przedziałowa polega a podaiu tzw przedziałów ufości dla iezaych parametrów daego rozkładu bądź fukcji tych parametrów Przedziałem ufości dla parametru θ a poziomie ufości α, gdzie 0 < α <, azywamy przedział θ, θ 2 spełiający waruki: końce przedziału θ = θ X,, X oraz θ 2 = θ 2 X,, X są fukcjami próby losowej i ie zależą od szacowaego parametru θ; prawdopodobieństwo pokrycia przez te przedział iezaego parametru θ jest rówe α, tz P θ < θ < θ 2 = α Liczbę α azywamy współczyikiem ufości Model I Cecha X populacji geeralej ma rozkład ormaly Nµ, zacujemy metodą przedziałową iezaą wartość średią µ przy założeiu, że zae jest odchyleie stadardowe = 0 Liczebość próby jest dowola W teorii statystyki dowodzi się, że jeżeli zmiea losowa X ma rozkład Nµ,, to zmiea losowa U = X µ ma rozkład ormaly N0, Ozacza to, że istieje taka liczba u α, że dla ustaloego współczyika ufości α będzie spełioy waruek X µ P < u α = α Liczba u α jest wyzaczoa w oparciu o wzór Model I cd P U < u α = α lub P U u α = α lub Φu α = α 2 Wartość u α jest wartością stadaryzowaego rozkładu ormalego N0, odczytaą z tablic statystyczych Przy ustaloym współczyiku ufości α przedział ufości dla parametru µ przyjmuje postać 0 µ X u α 0, X + u α 3

4 Model II Cecha X populacji geeralej ma dowoly rozkład Liczebość próby jest duża 30 zacujemy metodą przedziałową iezaą wartość średią µ przy założeiu, że zae jest odchyleie stadardowe = 0 W teorii statystyki dowodzi się, że średia z próby X ma graiczy rozkład ormaly Nµ, Zmiea losowa U = X µ ma rozkład ormaly N0, Otrzymujemy więc przedział ufości dla parametru µ jak w modelu I: 0 µ X u α 0, X + u α Model III Cecha X populacji geeralej ma dowoly rozkład o skończoej, ale iezaej wariacji 2 Liczebość próby jest duża 30 zacujemy metodą przedziałową iezaą wartość średią µ Ze względu a fakt, że próba jest duża moża przyjąć, że Ŝ, gdzie Ŝ = Przedział ufości przyjmuje więc postać jak w modelu I, przy czym iezae odchyleie stadardowe jest zastąpioe estymatorem Ŝ Ŝ Ŝ X u α, X + u α µ Z uwagi a rówość Ŝ = Model III cd wyzaczoy przedział ufości może być zastąpioy przedziałem rówoważym µ X u α, X + u α Model IV Cecha X populacji geeralej ma rozkład ormaly Nµ, o iezaym odchyleiu stadardowym zacujemy metodą przedziałową iezaą wartość średią µ przy założeiu, że liczebość próby jest mała < 30 Nie moża więc przyjąć założeia Ŝ Budowa przedziału ufości dla tego przypadku opiera się a statystyce która ma rozkład t-tudeta o stopiach swobody T = X µ, Model IV cd Ozacza to, że w tablicach rozkładu t-tudeta możemy zaleźć wartość t α dla stopi swobody przy ustaloym współczyiku ufości α, dla której spełioy będzie waruek X µ P < t α = α Licza t α jest wyzaczoa w oparciu o wzór P T < t α = α lub P T t α = α 4

5 Model IV cd W wyiku przekształceń otrzymujemy przedział ufości dla parametru µ µ X t α, X + t α Z uwagi a rówość Ŝ = wyzaczoy przedział ufości może być zastąpioy przedziałem rówoważym: µ X t α Ŝ, X + t α Ŝ Rozkład t-tudeta Zmiea losowa T ma rozkład t-tudeta o stopiach swobody, jeżeli jej fukcja gęstości wyraża się wzorem ft = + B 2, + t2 2, 2 gdzie B jest fukcją beta Bx, y = 0 t x t y dt, x > 0, y > 0 Dla fukcji gęstości rozkładu t-tudeta spełioy jest waruek f t = ft, a dla dystrybuaty F t = F t Liczbę t α taką, że P T t α = 2 + T Mamy przy tym P T t α = P T t α = 2 α t α Rozkład t-tudeta ftdt = α azywamy wartością krytyczą rozkładu zmieej losowej Wartości krytycze t α dla daego α i daej liczby stopi swobody są stablicowae Przy rozkład t-tudeta dąży do rozkładu ormalego stadaryzowaego N0, 5