Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

Transkrypt

1 Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer jest orzeł to przyjmjmy że uład jest stae. Jeśl rzuce umer jest resza a rzuce był orzeł to uład jest stae. Kończymy gdy uład zajdze sę stae. W te sposób defujemy łańcuch Maroa. Rozpatrz artość oczeaą lczby rzutó zależośc od stau uładu.

2 Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rozażmy ezależe zmee losoe W W... W... o jedaoym rozładze yładczym z artoścą oczeaą µ. Nech N będze zmeą losoą o rozładze Possoa artoścą oczeaą λ ezależą od W W... W... Oblcz dystrybuatę rozładu pradopodobeństa zmeej losoej { } Y m W W... W N. (A) y / µ Pr( Y y) exp[ λ( e ) y µ ] (B) y / µ Pr( Y y) exp[ λ( e ) ] (C) Pr( Y y) exp[ λ y µ ] (D) Pr( Y y) exp[ y ( µλ) ] (E) Pr( Y λ y) λ + y µ

3 Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae 3. Rozpatrzmy stadardoy model jedoeruoej aalzy aracj. Nech będą ezależym zmeym losoym o rozładach ormalych j (... ; j... ) przy czym j ] ozaczea: E [ µ Var [ ] σ. Przyjmjmy typoe j gdze SSW j ( j ) SST ( j ) j j j j j. Przy założeu że hpoteza o jedorodośc jest pradza czyl że oblcz SSW E. SST µ... µ (A) + (B) (C) (D) (E) 3

4 Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae 4. Nech W W...W ( > ) będze próbą z rozładu yładczego o artośc oczeaej µ. Rozażmy estymatory parametru µ postac W µˆ as gdze S. Zajdź lczbę a dla tórej błąd średoadratoy estymatora czyl elość E( ˆ µ µ ) jest ajmejszy. (A) a (B) (C) a a + (D) a + (E) e steje lczba a dla tórej błąd średoadratoy odpoadającego jej estymatora jest jedostaje ajmejszy (ajmejszy przy ażdej artośc µ ) 4

5 Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae 5. Załóżmy że U U... U... są ezależym zmeym losoym o jedaoym rozładze jedostajym a przedzale [ ]. Rozażmy cąg średch geometryczych U U U.... Wyberz pradze sterdzee. (A) lm Pr U U... U (B) lm Pr U U... U 3 (C) lm Pr U U... U (D) lm Pr U U... U e (E) lm Pr U U... U 3 5

6 Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae 6. Załadamy że ażda pojedycza szoda ezależe od pozostałych jest ldoaa: W rou tórym została zgłoszoa z pradopodobeństem θ ; W drugm rou po zgłoszeu z pradopodobeństem θ ( θ ) ; W trzecm rou lub późej z pradopodobeństem ( θ ). Dae tórym dyspoujemy dotyczą szód. Wemy że spośród ch: zostało zldoaych rou tórym zostały zgłoszoe; zostało zldoaych drugm rou po zgłoszeu; 3 zostało zldoaych trzecm rou lub póżej gdze Podaj estymator ajęszej arogodośc parametru θ a podstae tych daych. (A) (B) (C) ˆ θ ˆ θ ˆ θ (D) (E) ˆ θ ˆ 3 + θ + 3 6

7 Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae 7. Rozpatrzmy astępujący schemat losoaa. Mamy sześć ur poumeroaych lczbam W ure r. zajduje sę ul czarych 7 ul bałych ( ). Najper rzucamy ostą do gry. Jeśl otrzymamy ocze to yberamy urę ozaczoą umerem. Losujemy z tej ury olejo bez zracaa ule. Nech B ozacza zdarzee losoe polegające a ycągęcu bałej ul perszym losoau zaś B - zdarzee polegające a ycągęcu bałej ul drugm losoau. Oblcz pradopodobeństo aruoe Pr( B B ). (A) Pr( B B ) 5 / 9 (B) Pr( B B ) 4 / 9 (C) Pr( B B ) / (D) Pr( B B ) / 4 (E) Pr( B B ) 5 / 7 7

8 Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae 8. oczeaej... jest próbą z rozładu ormalego o zaej artośc µ ezaej aracj σ. Rozażmy test hpotezy H : σ 4 przeco alteratye H : σ 4 > tóry jest ajmocejszy a pozome stotośc α. 5. Dla jach artośc aracj moc tego testu jest emejsza ż.95? Podaj zbór { : moc.95} M σ testu (A) M [ 9.9 ) (B) M [ 4.46 ) (C) M [ 8.58 ) (D) M [.35 ) (E) M [ 3.8 ) 8

9 Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae 9. Załadamy że... rozładach ormalych przy czym : są ezależym zmeym losoym o E [ ] µ - artość oczeaa szystch zmeych jest jedaoa ezaa; σ Var[ ] - aracje zmeych są róże; ag są zae a σ jest ezaym parametrem. Należy zbudoać przedzał ufośc [ ˆ σ ˆ σ ] dla σ a pozome ufośc α. 9. Dla tórego z poższych przedzałó pradza jest róość Pr( ˆ σ σ ˆ σ ).9? ( ) ( ) (A) [ ˆ σ ˆ σ ] gdze ( ) ( ) (B) [ ˆ σ ˆ σ ] gdze ( ) ( ) (C) [ ˆ σ ˆ σ ] gdze ( ) ( ) (D) [ ˆ σ ˆ σ ] gdze (E) ( ) ( ) [ ˆ ˆ ] ( / ; / ) ( / ; / ) σ σ gdze γ.95 γ.5 zaś symbol γ p ( α λ) ozacza atyl rzędu p rozładu Gamma z parametrem ształtu α parametrem sal λ 9

10 Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Załóżmy że U U... U są ezależym zmeym losoym o jedaoym rozładze jedostajym a przedzale [ ]. Oblcz aruoą artość oczeaą ( max{ U U U } U ) E.... ( U ) (A) { U U... U } max E ( U ) (B) E max{ U U... U } + + U + ( U ) (C) E max{ U U... U } + U + + ( U ) (D) max{ U U... U } E + U + ( U ) (E) E max{ U U U }... + U

11 Pradopodobeństo statystya 6..3r. I Egzam dla Atuaruszy z 6 gruda 3 r. Pradopodobeństo Statystya Arusz odpoedz * Imę azso... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadae r Odpoedź Putacja E A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 A 8 C 9 B C * Oceae są yłącze odpoedz umeszczoe Aruszu odpoedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.