Zasady zaliczania kursu z matematyki dyskretnej I-MDA-DA na studiach dziennych w sem. zimowym roku akad. 2011/12

Transkrypt

1 Zasady zalczaa kursu z matematyk dyskretej I-MDA-DA a studach dzeych w sem. zmowym roku akad. 0/. Wystawaa jest jeda ocea końcowa z całego kursu a podstawe sumy puktów uzyskaych przez studeta w trakce semestru a egzame końcowym w sesj zmowej. Ocea wystawaa jest wyłącze studetom zapsaym a kurs.. W cągu semestru przeprowadzae są a ćwczeach kolokwa: a, 8 zajęcach. Perwsze dwa sprawdzają opaowae zagadeń kombatoryczych a trzece z teor grafów.. Każde kolokwum trwa godz. akademcke, składa sę z e węcej ż 0 zadań oceae jest w skal od 0 do 6 puktów perwsze lub od 0 do 7 puktów dwa pozostałe.. Pukty z trzech kolokwów są sumowae warukem dopuszczea do egzamu jest uzyskae a ćwczeach przyajmej 6 puktów, co azywae jest zalczeem ćwczeń. Zatem e uzyskae przez studeta zalczea ćwczeń ozacza brak możlwośc zalczea całego kursu.. Kolokwum poprawkowe jest orgazowae w ostatm tygodu zajęć semestru zmowego w wyzaczoym dodatkowym terme. Na kolokwum poprawkowym studet może wybrać do poprawy zakres tematyczy jedego z trzech kolokwów przeprowadzaych a ćwczeach. Pukty uzyskae a kolokwum poprawkowym zastępują pukty uzyskae a wybraym do poprawy regularym kolokwum stają sę składkem sumy decydującej o dopuszczeu do egzamu dotyczy to róweż studetów, którzy przystąplby do kolokwum poprawkowego po uzyskau a ćwczeach 6 lub węcej puktów. 6. Kolokwum poprawkowe trwa godz. akademcke, składa sę z e węcej ż 0 zadań oceae jest w tej samej skal, co wybrae do poprawy kolokwum regulare. Uzyskae po kolokwum poprawkowym sumy przyajmej 6 puktów dopuszcza do egzamu końcowego. Brak zalczea ćwczeń po kolokwum poprawkowym ozacza ezalczee kursu z przedmotu. 7. Egzam w sesj trwa,0 godz. zegarowe, składa sę z e węcej ż zadań oceay jest w skal od 0 do 0 puktów. Zatem maksymala suma puktów, która jest podstawą wystawea ocey końcowej z kursu wyos = Pukty uzyskae a ćwczeach pukty z egzamu są sumowae a podstawe tej sumy wystawaa jest ocea końcowa z kursu wg skal: 60 pkt ocea,0, 6 70 pkt ocea,, 7 80 pkt ocea,0, 8 90 pkt ocea,, 9 00 pkt ocea,0. 9. Studetom, którzy przystępują do egzamu dwukrote w sesj są dwa termy wystawa sę oceę końcową a podstawe lczby puktów uzyskaych w II terme. 0. Uzyskae po egzame w sume mej ż puktów ozacza ezalczee całego kursu.. Regulamowy term egzamu poprawkowego jest w sesj wrześowej. Zalczee ćwczeń pozostaje warukem dopuszczea do egzamu poprawkowego. Wyk egzamu poprawkowego uwzględay jest w ocee końcowej z kursu w tak sam sposób, jak wyk egzamu podstawowego. J. Skorsk prowadzący kurs

2 MATEMATYKA DYSKRETNA Program wykładu dla studów stacjoarych w semestrze zmowym: Lteratura: KOMBINATORYKA wykłady. 8. M.Lbura, J.Skorsk Wykłady z matematyk dyskretej. Cz.I: Kombatoryka Wydawctwo WSISZ 00 Z.Palka, A.Rucńsk Wykłady z kombatoryk WNT 998, 00 W.Lpsk Kombatoryka dla programstów WNT 989, 00 K.Ross, C.Wrght Matematyka dyskreta PWN 996, 00 R.Graham, D.Kuth, O.Patashk Matematyka kokreta PWN 00 Lteratura: GRAFY SIECI wykłady 9.. M.Lbura, J.Skorsk Wykłady z matematyk dyskretej. Cz.II: Teora grafów Wydawctwo WSISZ 00 N.Deo Teora grafów jej zastosowaa w techce PWN 980 R.Wlso Wprowadzee do teor grafów PWN 000 K.Ross, C.Wrght Matematyka dyskreta PWN 996 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 6

3 NOTACJA I POJĘCIA PODSTAWOWE Fuktory zdaotwórcze: - lub alteratywa, suma logcza - koukcja, loczy logczy - e egacja - jeśl..., to... mplkacja -... wtedy tylko wtedy, kedy... rówoważość Kwatyfkatory: - steje kwatyfkator szczegółowy, egzystecjaly - dla każdego kwatyfkator ogóly Zbory: - zbór lczb rzeczywstych, - zespoloych, = { 0,,,... } - zbór lczb aturalych, = {...,,, 0,,,... } - zbór lczb całkowtych, = { 0, } - zbór bary, - zbór pusty, { a,..., a } - zbór składający sę z elemetów a,..., a { a } - zbór jedoelemetowy zawerający tylko a, { x X : Wx } - zbór tych elemetów zboru X, dla których fukcja zdaowa Wx ma wartość prawda, - suma zborów, - loczy zborów, \ - różca zborów, - różca symetrycza zborów: A B = A \ B B \ A MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 6

4 C = A B C = A B A B A B C = A \ B C = A B A B A B - zawerae sę zborów: A B A jest zawarty w B - właścwe zawerae sę: A B A jest podzborem właścwym zboru B A: A A, ale A A A - zbór wszystkch podzborów zboru A; A: A A: A oraz A: A A A - lczość moc zboru A, p. {a, a, a } = a, b - para uporządkowaa: a - poprzedk, b - astępk A B - loczy kartezjańsk zborów A B: A B = { a, b : a A b B } a,..., a - -tka uporządkowaa wektor -elemetowy A... A - loczy kartezjańsk zborów A,..., A A... A = { a,..., a : a A... a A } Fukcje operacje: Q =, jesl zdae Q jest prawdzwe 0, jesl zdae Q jest falszywe - bara wartość zdaa, x = max { y Z : y x} - podłoga ; x = { y Z : y x} m - suft x mod y = x y x y - modulo, czyl reszta z dzelea x przez y x, y, y 0 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 6

5 Relacja bara R A B relacja dwuczłoowa w loczye kartezjańskm zborów A B A x B x, y R B A Relacja bara a zborze A: R A A to, że elemety a b są w relacj, zapsujemy: a, b R lub arb Dzedza relacj R : { a A : b B : a, b R } - zbór poprzedków par ależących do R Przecwdzedza relacj R : { b B : a A : a, b R } - zbór astępków par ależących do R Przykład relacj A = {,,,, }, B = { {, }, {, } } R - relacja przyależośc do zboru R = {, {, },, {, },, {, },, {, } } A B dzedza relacj R : {,, } przecwdzedza relacj R : { {, }, {, } } MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 6

6 graf relacj: {, } {, } {, } {, } tablca relacj: Relacja bara R a zborze X jest: zwrota, przechoda, symetrycza, jeśl x X : xrx jeśl x, y, z X : xry yrz xrz jeśl x, y X : xry yrx atysymetrycza, jeśl x, y X : xry yrx x = y Relację zwrotą, przechodą symetryczą azywamy relacją rówoważośc typowe ozaczee:, p. a b Przykład relacj rówoważośc w zborze lczb rzeczywstych dla x, y relacja x y zachodz wtedy tylko wtedy, gdy x y różca jest lczbą całkowtą Relację zwrotą, przechodą atysymetryczą azywamy relacją porządkującą zbór X typowe ozaczee: ¹, p. a ¹ b MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 6

7 Przykłady relacj porządkujących Relacja podzelośc w zborze Relacja zaweraa w zborze : arb a jest podzelkem b X : ARB A B Perwsze pytaa kombatorycze : Ile jest relacj barych w loczye kartezjańskm X Y, jeśl X = Y = m? Ile jest relacj barych a zborze X =? Ile jest zwrotych relacj barych a zborze X =? Ile jest atysymetryczych relacj barych a zborze X =? Fukcja f : X Y to taka relacja R X Y, że dla każdego x X steje dokłade jeda para postac x, y = f x R FuX, Y zbór wszystkch fukcj z X w Y Dla dowolych zborów A X B Y defujemy: f A = { y Y : x A : y = f x } obraz zboru A f B = { x X : f x B } przecwobraz zboru B o fukcj f : X Y mówmy, że jest a jeśl f X = Y SurX, Y zbór wszystkch fukcj z X a Y surjekcj fukcja jest różowartoścowa wzajeme jedozacza, jeśl a, b X a b f a f b IjX, Y zbór wszystkch fukcj różowart. z X w Y jekcj BjX, Y = SurX, Y IjX, Y zbór wszystkch bjekcj z X a Y MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 6 / 6

8 Zasada rówolczośc BjX, Y X = Y Przykład zastosowaa zasady X zbór wszystkch rozmeszczeń jedakowych przedmotów w k poumerowaych pojemkach, Y zbór wszystkch wektorów barych a {0, } o +k składowych, z których jest rówych 0 X? Y Zasada włączaa-wyłączaa Dla zborów: A B = A + B A B Dla zborów: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Dla zborów: A A... A =? Twerdzee zasada włączaa-wyłączaa U A = A + A Aj A = = < j < j< k A j A k A... A MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 7

9 Przykłady zastosowaa zasady włączaa-wyłączaa prosty Zbadao 0 samochodów wykoując testy a pozom zawartośc trzech grup zaeczyszczeń: NO x, HC, CO; samochód e speła żadej z trzech orm, samochody przekroczyły pozom NO x HC, samochody przekroczyły pozom NO x CO, samochód przekroczył pozom HC CO, 6 samochodów ma zbyt wysok pozom NO x, samochody maja zbyt wysok pozom HC a samochody maja zbyt wysok pozom CO. Ile samochodów speła wszystke testowae ormy? A zbór samochodów, które przekroczyły pozom NO x, B zbór samochodów, które przekroczyły pozom HC, C zbór samochodów, które przekroczyły pozom CO ; A = 6, B =, C =, A B =, A C =, B C =, A B C = zbór samochodów, które e spełają co ajmej jedej ormy = A B C = = 8 zbór samochodów, które spełają wszystke ormy = 0 8 = Zasada szufladkowa Twerdzee Drchlet Dla skończoych zborów X Y, takch że X > r Y dla r > 0 : dla każdej fukcj f FuX, Y waruek f {y} > r jest spełoy dla co ajmej jedego y Y. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 7

10 J. Lejeue Drchlet Dla r = : jeśl chowamy do szuflad węcej przedmotów ż mamy szuflad, to w co ajmej jedej szufladze zajdze sę węcej ż jede przedmot. Przykład zastosowaa zasady szufladkowej mało ambty W aglomeracj warszawskej meszkają co ajmej osoby o tej samej lczbe włosów a głowe. Zlczae fukcj Dae są dwa zbory X Y o lczoścach X = Y = m. FuX, Y =? Ile jest fukcj f : X Y? Iterpretacja Na le sposobów moża rozmeścć poumerowaych przedmotów w m poumerowaych pudełkach? X - zbór przedmotów, Y - zbór pudełek, każda fukcja f : X Y określa pewe rozmeszczee przedmotów w pudełkach przez wskazae dla każdego przedmotu x X pudełka f x Y, w którym te przedmot zostaje umeszczoy MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 7

11 f : X Y = f = f = f = f m = f = f Elemety w skończoych zborach X Y moża poumerować przyjmować, że X = {,,..., } Y = {,,..., m } Twerdzee Jeśl X = Y = m, to lczba wszystkch fukcj f : X Y jest rówa m ; FuX, Y = m m MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 7

12 Zlczae jekcj Dae są dwa zbory X Y o lczoścach X = Y = m m. IjX, Y =? Ile jest fukcj różowartoścowych f : X Y? Iterpretacja Na le sposobów moża rozmeścć poumerowaych przedmotów w m poumerowaych pudełkach, tak aby w żadym pudełku e był węcej ż przedmot? Twerdzee Jeśl X =, Y = m m to lczba wszystkch fukcj różowartoścowych jekcj f : X Y jest rówa m m... m + = m ; IjX, Y = m m Przyjmując formale ozaczee symbolu potęg ubywającej: m = m m... m +, dookreślamy jego wartość m 0 = MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 7

13 Jeśl m =, to każda fukcja różowartoścowa f : X Y jest wzajeme jedozaczym odwzorowaem zboru X a zbór Y. m = IjX, Y = SurX, Y = BjX, Y Permutacja Permutacją zboru X azywamy wzajeme jedozacze odwzorowae bjekcję f : X X. BjX, X = =... =!, dla X = Twerdzee Lczba permutacj zboru -elemetowego jest rówa! Zasada możea Jeżel rozważae są fukcje f : X Y, dla których X = X X Y = Y Y oraz spełoe są waruk X X =, f X Y f X Y, to FuX, Y = FuX, Y FuX, Y Jeżel poadto Y Y =, to IjX, Y = IjX, Y IjX, Y Zlczae rozmeszczeń uporządkowaych Iterpretacja Na le sposobów moża rozmeścć poumerowaych przedmotów w m poumerowaych pudełkach, jeśl dodatkowo rozróżamy uporządkowae przedmotów, które trafły do tego samego pudełka? Dwa rozmeszczea są detycze, jeśl w każdym pudełku jest taka sama lczba kolejość przedmotów. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 6 / 7

14 Twerdzee Lczba rozmeszczeń uporządkowaych przedmotów w m pudełkach jest rówa m = m m +... m + symbol m azywa sę potęgą przyrastającą m Przykład rozmeszczaa uporządkowaego X = { a, b }, X =, Y =. a b 7. a b. b a 8. b a. a b 9. a b. b a 0. b a. a b. a b 6. b a. b a = = MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 7 / 7

15 PERMUTACJE Permutacją zboru -elemetowego X azywamy każdą wzajeme jedozaczą fukcję f : X X Przykład permutacj dla X = { a, b, c, d } : Zaps permutacj w postac tablcy: BjX, X =!, dla X =! f a = d, f b = a, f c = c, f d = b f a b c d =, d a c b w górym werszu - elemety zboru X w dowolej kolejośc, w dolym werszu - pod elemetem x X wypsujemy f x. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

16 Jeśl uporządkujemy elemety w górym werszu tablcy, to daej permutacj odpowada jedozacze wektor z dolego wersza, składający sę z elemetów zboru X: d, a, c, b Zatem dowoly wektor -elemetowy, zawerający róże elemety zboru X dla X =, możemy także azywać permutacją zboru X. Przyjmujemy dalej dla uproszczea, że X = {,,,..., } S - zbór wszystkch permutacj zboru {,,..., } Każdy elemet f S detyfkujemy z wektorem a,..., a, gdze a = f lub zapsujemy w postac tablcy: Defcja f =... a a... a Złożeem permutacj f g azywamy permutację f g, taką że f g = f g jest to po prostu złożee fukcj, gdze g jest fukcją wewętrzą Przykład złożea permutacj f =, g = f g = Defcja Permutację e = azywamy permutacją detyczoścową MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

17 Permutacja e S jest elemetem eutralym dla operacj złożea: f S : e f = f e = f Defcja Permutacją odwrotą do f S azywamy permutację f - S, taką że : f - f = e f = j... f = j Dla każdej permutacj f zachodz: f - f = f f - = e Rozważmy trzy dowole permutacje f, g, h S : f k =......, g... l... j =......, h... k... = j f gh = fg h... l =... l... zatem zachodz f g h = f g h łączość złożea Dla dowolych permutacj f, g, h S spełoe są zależośc: f g h = f g h f e = e f = f f - f = f f - = e Zbór permutacj S jest zatem grupą ze względu a dzałae złożea grupą symetryczą stopa MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

18 Dowoly podzbór G S spełający waruk: f, g G f g G f G f - G azyway jest grupą permutacj stopa Przykłady grup permutacj stopa G =,,,,,, G =,. GRAFICZNA REPREZENTACJA PERMUTACJI f = Permutacja przedstawaa jest w forme grafu skerowaego o zborze werzchołków X = {,..., }, w którym: z werzch. l X wychodz dokłade jede łuk do werzch. f l, do werzch. l X dochodz dokłade jede łuk z werzch. f - l. Graf każdej permutacj składa sę z pewej lczby fragmetów, z których każdy jest zamkętą skerowaą drogą, prowadzącą przez pewe podzbór werzchołków grafu. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

19 Defcja Permutacją f S azywamy cyklem wyzaczoym przez cąg różowartoścowy a, a,..., a k o wyrazach ze zboru {,..., } dla k, jeśl: f a = a, f =,..., a a f a j = a j dla j,,..., k f a = a k a a a k a k+ a Cykl ozaczamy symbolem [ a, p. a,..., a k f = [,, ] f = [, ] ROZKŁAD PERMUTACJI NA CYKLE ] k jest jego długoścą Każdą permutację f S moża przedstawć w postac złożea m rozłączych cykl m o długoścach,..., m Przykład rozkładu permutacj a cykle f = m =. f = f f, gdze f = f = Zapsujemy: f = [,, ], f = [, ] f = [,, ] [, ] MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

20 Defcja Mówmy, że permutacja jest typu λ, λ,..., λ, jeśl zawera w rozkładze a rozłącze cykle dokłade λ cykl o długośc dla =,,...,. Typ permutacj często zapsujemy w postac: λ λ λ... symbol λ pomjamy w zapse, jeśl λ = 0 Przykład ozaczaa typu permutacj f = krok rozkład a cykle: f = [, 7, 6, ] [, ] [ ] [ 8, 9 ] ; zatem typ permutacj: Defcja Parę a, a j, dla < j, azywamy wersją permutacj a, a,..., a, jeśl a > a j. Lczbę wszystkch wersj w permutacj f S ozaczamy I f Defcja I Zakem permutacj f S azywamy lczbę sg f f =. Defcja Permutację f S azywamy parzystą, jeśl sg f =, albo eparzystą, jeśl sg f =. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 6 /

21 Przykład wyzaczaa zaku permutacj f = wersje f :,,,,,,,,,,,,, ; zatem I f = 7 ; zak permutacj sg f = 7 =. g = wersje g :,,,,,,, ; zatem I g = ; zak permutacj sg g = =. Defcja Permutację, która jest cyklem o długośc, azywamy traspozycją. Przykład traspozycj f = = [, ] Lemat Dowolą permutację f S moża przedstawć w postac złożea I f traspozycj sąsedch elemetów tz. traspozycj postac [, + ] Przykład rozkładu a traspozycje f =, I f = f = [, ] [, ] [, ] [, ] MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 7 /

22 Lemat Zak dowolego cyklu o długośc k jest rówy k Wosek Każda traspozycja jest permutacją eparzystą. Lemat Dla dowolych permutacj f, g S sg f g = sg f sg g. Przykład wyzaczaa zaku permutacj z zastosowaem lematu f = rozkład a rozłącze cykle: f = [, 7, 6, ] [, ] [ ] [ 8, 9 ] zak poszczególych cykl: sg[, 7, 6, ] = =, sg[, ] = =, sg[] = 0 =, sg[8, 9] = = zatem zak permutacj sg f = = permutacja jest eparzysta Twerdzee λ Zak dowolej permutacj f S, która jest typu λ λ... wyraża sę wzorem sg f = λ j j= MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 8 /

23 Przykład wyzaczaa zaku permutacj a podstawe twerdzea f = =, = ; = 9, rozkład a cykle: f = [, 7, 6, ] [, ] [ ] [ 8, 9 ] typ permutacj: λ j j= λ sg f = = λ λ6 λ 8 = + = permutacja jest eparzysta. PODZBIORY ZBIORU X = { x,..., x }, X - zbór wszystkch podzborów zboru X dla dowolego podzboru Y X wyzaczamy jego wektor charakterystyczy ξ Y = b, b,..., b według wzoru: b = 0 jeśl jeśl x x Y Y, dla =,..., ξ - grecka ltera ks dowoly wektor b, b,..., b, gdze b { 0, }, jedozacze wyzacza pewe podzbór zboru X wektor charakterystyczy może być utożsamoy z fukcją f : {,,..., } { 0, } X = Lczba wszystkch podzborów zboru -elemetowego wyos MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 9 /

24 sposób: Wyzaczae wszystkch podzborów zboru X wystarczy zauważyć, że wektorow charakterystyczemu b,..., b, gdze b { 0, }, odpowada lczba z przedzału [ 0; Przykład X = { a, b, c, d, e }, =, Y = { b, d, e } X, ξ Y = 0,, 0,, ] 00 = = = 0 [0; ] Zatem wypsując po kole wszystke lczby z przedzału [ 0; ] w systeme dwójkowym moża wskazać wszystke podzbory zboru -elemetowego. sposób bary kod Gray a rzędu : kod rzędu jest cągem -elemetowych wektorów barych o długośc, w którym każdy kolejy wektor róż sę od poprzedego tylko jedą współrzedą. Dla dowolego aturalego kod Gray a moża wyzaczać rekurecyje : dla = cąg składa sę z dwoch jedoelemetowych wektorów barych: C = 0 C = MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 0 /

25 jeśl dla > mamy wyzaczoy cąg -elemetowych wektorów barych C, C,..., C m m =, w których dwa sąsede wektory różą sę dokłade jedą współrzędą, to tworzymy cąg wektorów barych +-elemetowych według schematu: C, 0, C, 0,..., C m, 0, C m, 0, C m,, C m,,..., C, Przykład = : 0 = : = : = : = : td MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

26 PODZBIORY k-elementowe X = { x,..., x } Przyjmjmy dla dowolego aturalego k ozaczee: k - lczba wszystkch podzborów k-elemetowych zboru -elemetowego współczyk dwumaowy Symbol k występuje w tzw. wzorze dwumaowym: Twerdzee x + y = x y = 0 k!... k + = = = k k! k! k!... k Tożsamośc spełoe przez współczyk dwumaowe: = 0 = = 0 = k = k k = + k k W tzw. trójkące Pascala -ty wersz zawera kolejo 0,,..., MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 9

27 Trójkąt Pascala = 0 k = k... Iterpretacja współczyka dwumaowego a krace: B k = A k = 7 Najkrótsza droga z A do B jest sekwecją = odcków z k = poowym A = Podzbór k odcków poowych z tworzących taką drogę moża B wybrać a = sposobów k MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 9

28 B k = 7 A k = Najkrótsza droga z A do B jest sekwecją = odcków z k = 7 poowym A = B Podzbór k odcków poowych z tworzących taką drogę moża wybrać a k = sposobów 7 Poeważ ajkrótszych dróg jest tyle samo, to k = k MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 9

29 C B D k = k = A k = 6 k = 7 lczba ajkrótszych dróg z A do C lczba ajkrótszych dróg z A do D zbór ajkrótszych dróg z A do B P C A P D A 0 = = k 0 = = k P B A C A D A C A = P P, gdze P P = D A Zatem B C D = P A = PA + P A 0 0 = + k = + k k A B MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 9

30 W tzw. trójkące Pascala -ty wersz zawera kolejo 0,,..., = 0 k = k... k = + k k Blase Pascal 6 66 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / 9

31 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 6 / 9 Współczyk welomaowy Rozbce zboru X a m podzborów o zadaych lczbach elemetów k, k,..., k m X m X X X =... = j X X dla < j m ; X k X = =, k m k k... - lczba wszystkch rozbć zboru -elemetowego Twerdzee!...!!!... m m k k k k k k = Dowód Podzbór X moża wybrać a k sposobów, astępe podzbór X moża wybrać a k k sposobów, astępe podzbór X moża wybrać a k k k sposobów,... w kocu podzbór X m moża wybrać a m m k k k... sposobów. Zatem!...!!! m m m m k k k k k k k k k k k k = = Przykład wyzaczaa wartośc wsp. welomaowego!!!!!!!!!!!!!!!!! = = =

32 ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zborze z powtórzeam te sam elemet może występować klkakrote. Lczbę wystąpeń azywamy krotoścą tego elemetu w zborze X = { x,..., x } - zbór k,..., k - krotośc elemetów A = < k x,..., k x > - zbór z powtórzeam Przykład zboru z powtórzeam X = { a, b, c } k a =, k b =, k c = Zbór z powtórzeam: A = < a, b, c > = < a, a, b, c, c, c > Lczość zboru z powtórzeam: A = k k Podzbór zboru z powtórzeam jest wyzaczay przez wektor -elemetowy m,..., m, w którym 0 m k,..., 0 m k Zatem lczba podzborów zboru z powtórzeam o krotoścach k, k,..., k jest rówa k + k +... k + Twerdzee Lczba k-elemetowych podzborów zboru z powtórzeam k + k k! k < k x,..., k x > jest rówa = MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 7 / 9

33 Dowód Rozważmy rozmeszczee uporządkowae k obektów w pudełkach. Lczba takch rozmeszczeń jest rówa k = k. Każde take rozmeszczee wyzacza wektor -elemetowy r,..., r, dla którego zachodz r r = k, gdze r jest lczbą obektów w pudełku. Wektor r,..., r odpowada k-elemetowemu podzborow < r x,..., r x > < k x,..., k x > Poadto k! rozmeszczeń wyzacza te sam podzbór k-elemetowy, a zatem lczba różych podzborów k-elemetowych zboru z powtórzeam o wszystkch krotoścach rówych k wyos k k + k! + k = = = k! k! k!! k Przykład zastosowaa twerdzea Wyzaczae lczby całkowtych eujemych rozwązań lowego rówaa dofatyczego: x + x x = k Każde rozwązae odpowada k-elemetowemu podzborow < x z,..., x z > zboru < k z,..., k z >. + k Zatem lczba rozwązań wyos. k MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 8 / 9

34 Iterpretacja rówaa dofatyczego a krace: x + x + x + x + x = 7 B k = 7 A x x x x x = x =, x = 0, x =, x =, x = Każde rozwązae rówaa dofatyczego ma wzajeme jedozacze przyporządkowaą jedą z ajkrótszych dróg z A do B. Zatem lczba rozwązań jest rówa lczbe ajkrótszych dróg: + k k + 7 = = 7 7 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 9 / 9

35 FUNKCJA TWORZĄCA Neskończoy cąg lczbowy: a k = a 0, a, a,..., a k,... możemy przedstawć w postac szeregu potęgowego: A x = k = 0 a k x - uzyskujemy formalą reprezetację cągu za pomocą fukcj Ax Fukcję Ax azywamy fukcja tworzącą dla cągu a k W oparcu o fukcje tworzące moża zdefować operacje a cągach: k k = 0 k A x = a k x dla a k B x = b k x dla b k k = 0 k dodawae: A x + B x = ak + bk x dla a k + b k k = 0 k możee przez lczbę: p A x = p a k x dla p a k k = 0 k loczy Cauchy go: A x B x = c k x dla c k k = 0 gdze c k = a 0 b k + a b k a k b 0 = a b k k = 0 cąg c k = c 0, c,..., c k,... azywamy splotem cągów a k b k c k = a k b k k ; MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

36 Jeżel szereg k =0 k k x a jest zbeży w pewym otoczeu zera, to jego suma Ax jest fukcją aaltyczą w tym otoczeu wtedy k A 0 ak = dla k = 0,,,... k! gdze A k 0 jest wartoścą k-tej pochodej fukcj Ax dla x = 0 Jeśl szereg jest zbeży to jego fukcją tworząca Ax jest fukcją aaltyczą, p. k x = = x k 0 x =0 k! k k = e x Przykłady fukcj tworzących. cąg współczyków dwumaowych dla ustaloego, 0,,...,, 0, 0,... jego fukcja tworząca: k = 0 x k k = k = 0 x k k = + x. cąg,,,,..., k,... jego fukcja tworząca:. cąg,,, 8,..., k,... jego fukcja tworząca: k k k x = x = k = 0 k = 0 + k k k x = x = k = 0 k = 0 x x MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

37 Jeżel cąg jest skończoy, tz. a k = 0 dla k >, to fukcja tworząca cągu jest welomaem Ax = a 0 + a x a x Fukcja tworząca dla cągu lczb podzborów k-elemetowych Zbór X = { a, a,..., a } x 0 + x x 0 + x... x 0 + x + x + x... + x = + x = k = każdy podzbór zboru X może być wskazay przez podae czy day elemet a k k =,..., jest w m zawarty, czy e: x 0 = x = x 0 x k odpowada brakow daego elemetu zero wystąpeń odpowada wystąpeu daego elemetu jede raz Podzbór jest k-elemetowy w k czykach wybrao składk x k Zbór z powtórzeam: Z = < a, a, a > k k x + x + x + x + x + x + x = Ax = k =0 Podzbór jest k-elemetowy z każdego awasu wybrao tak składk k x, że k k k k + k + k x x x = x = Zatem c k, to lczba podzborów k-elemetowych zboru Z. x k c MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

38 Ax = + x + x + x + x + x + x = + x + x + 6x + x + x + x 6 występuje podzbór pusty, podzbory jedoelemetowe, podzborów dwuelemetowych, 6 podzborów trzyelemetowych, td. Przykłady uwzględea dodatkowych waruków dla zb. z powtórz. Z = < a, a, a > Fukcja tworząca dla cągu lczb podzborów k-elemetowych: Ax = + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x. Trzeba wyzaczyć le jest podzborów k-elemetowych, w których a, a a występują eparzystą lczbę razy. Modyfkujemy fukcję tworzącą usuwając potęg o wykładkach parzystych: A * x = x + x + x x x + x = x + x + x 7 + x 9. występuje podzbór -elemetowy: < a, a, a >, podzbory -elemetowe: < a, a, a > < a, a, a >, podzbory 7-elemetowe: < a, a, a > < a, a, a >, podzbór 9-elemetowy: < a, a, a >. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

39 PODZIAŁ ZBIORU NA BLOKI Podzałem zboru -elemetowego X a k bloków azywamy każdą rodzę zborów, A A A A A dla której zachodz π = { A,..., A k }, A... A k = X, A A j = dla < j k oraz A, k A,..., A k - blok podzału π Π k X ΠX - zbór wszystkch podzałów zboru X a k bloków - zbór wszystkch podzałów zboru X ΠX = Π X... Π X Przykład zboru podzałów a zadaą lczbę bloków X = { a, b, c, d } k = Π X: π = { {a}, {b}, {c, d} } π = { {a}, {b, c}, {d} } π = { {a, b}, {c}, {d} } π = { {a, c}, {b}, {d} } π = { {a}, {b, d}, {c} } π 6 = { {a, d}, {b}, {c} } MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

40 Ile jest podzałów zboru -elemetowego a k bloków? Przykład c.d. X = { a, b, c, d }, X =, k = Π X = { π, π,..., π 6 } Π X = 6 LICZBY STIRLINGA drugego rodzaju = Πk X, dla X = k 0 = 0, dla k >. Dodatkowo przyjmujemy, że = k Wyzaczae lczb Strlga drugego rodzaju: 0 Twerdzee =, dla 0 0 = 0 dodatkowo =, dla > 0 = k k Dowód + k k, dla 0 < k < Rozważmy zbór wszystkch podzałów zboru X = {,,..., } a k bloków. Dla dowolego podzału π Π k X zachodz jede z dwóch rozłączych przypadków: zawera blok jedoelemetowy {} albo jest elemetem bloku co ajmej dwuelemetowego. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 6 /

41 Lczba podzałów w Π k X, dla których zachodz przypadek perwszy, jest rówa lczbe podzałów zboru elemetowego a k bloków, czyl wyos. k Lczba podzałów, dla których zachodz przypadek drug, jest rówa k, poeważ podzały te otrzymujemy z podzałów zboru k {,,..., } a k bloków poprzez dodawae elemetu kolejo do każdego z bloków takego podzału. Oba przypadk są rozłącze, a zatem Π k X = + k k. k Ile jest wszystkch podzałów zboru -elemetowego? B = ΠX dla X = ; B = = k ; B - lczba Bella k 0 Tablca lczb Strlga drugego rodzaju lczb Bella: B k = = k MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 7 /

42 GENEROWANIE PODZIAŁÓW ZBIORU Jeśl mamy podzał π = { A,..., A k } a k bloków dla zboru {,..., }, to możemy utworzyć k + podzałów zboru X = {,..., }: { A {}, A,..., A k } { A, A {},..., A k }... { A, A,..., A k {} } { A, A,..., A k, {} } Przykład geerowaa podzałów zboru {,, } = {} = {, } {}, {} = {,, } {, }, {} {, }, {} {}, {, } {}, {}, {} Tożsamośc dla lczb Strlga Bella k dla m, zachodz m = = k= m 0 k k= 0 k m k k B = = + 0 B MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 8 /

43 ZWIĄZEK PODZIAŁU ZBIORU NA BLOKI Z RELACJĄ RÓWNOWAŻNOŚCI Każdemu podzałow π ΠX moża jedozacze przyporządkować relację rówoważośc Eπ w zborze X, defując ją jako E π = U A A π A tz. dwa elemety x, y X są w relacj Eπ, czyl x, y Eπ, wtedy tylko wtedy, gdy x y ależą do tego samego bloku podzału. Przykład relacj defowaej podzałem X = { a, b, c, d, e}, π = { {a}, {b, d}, {c, e} } Eπ = { a, a, b, b, b, d, d, b, d, d, c, c, c, e, e, c, e, e } {a} {a} {b, d} {b, d} {c, e} {c, e} tablca relacj: a b c d e a b d c e a a b b c d d c e e MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 9 /

44 Każdej relacj rówoważośc E w zborze X moża jedozacze przyporządkować podzał zboru X a blok, defując go jako X E = { x E : x X }, gdze pojedyczy blok x E = { y X : xey } azyway jest klasą abstrakcj elemetu x Przykład podzału zboru a klasy abstrakcj X =, xey x + y jest lczbą parzystą podzał E = { 0 E, E } 0 E = { y : y jest parzysta }, E = { y : y jest eparzysta } Przykład podzału zboru a klasy abstrakcj tablca relacj E a zborze X = { a, b, c, d, e}: a b c d e a b c d e podzał X E = { a E, b E }, gdze a E = { a, c }, b E = { b, d, e } MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 0 /

45 Ile jest wszystkch relacj rówoważośc a zborze -elemet.? Twerdzee Lczba wszystkch relacj rówoważośc w zborze X, dla X =, jest rówa lczbe Bella Dowód B. Isteje bjekcja pomędzy zborem relacj rówoważośc a daym zborze a zborem wszystkch podzałów daego zboru ΠX. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

46 ZLICZANIE SURJEKCJI Ile jest fukcj ze zboru X a zbór Y? SurX, Y =? Przyjmjmy ozaczee: s, m = SurX, Y - lczba fukcj z X a Y, dla X =, Y = m f : = f = f = f = f każdej fukcj f SurX, Y moża przyporządkować podzał zboru X a m bloków, defując go jako N f = { f {y} : y Y } tzw. jądro fukcj każdemu podzałow π Π k X odpowada dokłade m! fukcj f SurX, Y, dla których N f = π. Każda z tych surjekcj przyporządkowuje wzajeme jedozacze blokom podzału π elemety zboru Y s, m = m! = SurX, Y, dla X =, Y = m m MATEMATYKA DYSKRETNA 6 J.Skorsk Stroa / 6

47 Przykład f : = f = f = f = f =, m =, Π X π = N f = { {}, {, }, {} } PODZIAŁ LICZBY, k {,,... } Na le sposobów moża zapsać lczbę w postac sumy k składków: = a a k, gdze a a... a k > 0? Każdy tak cąg składków a,..., a k azywamy podzałem lczby a k składków P, k - lczba podzałów lczby a k składków P = k = P, k - lczba wszystkch podzałów lczby Przyjmujemy dodatkowo, że P0, 0 = P0 = Przykład zboru podzałów lczby 6 = 6 6 P6, = P6, = P6, = P6, = MATEMATYKA DYSKRETNA 6 J.Skorsk Stroa / 6

48 Dagram Ferrersa P6, = P6,6 = P6 = Dla podzału = a a k tworzymy dagram o k werszach, który zawera a puktów w -tym werszu Przykład dagramu dla podzału lczby 0 0 = + + Podzał sprzężoy powstaje po tzw. traspozycj dagramu Ferrersa Przykład podzałów sprzężoych 0 = = MATEMATYKA DYSKRETNA 6 J.Skorsk Stroa / 6

49 P k - lczba podzałów lczby o ajwększym składku rówym k Twerdzee Lczba podzałów lczby a k składków jest rówa lczbe takch podzałów lczby, w których ajwększy składk rówy jest k : P, k = P k, dla k Dowód Każdy podzał lczby a k składków po traspozycj wyzacza dokłade jede, sprzężoy z m, podzał lczby, w którym ajwększy składk rówy jest k. Traspozycja tego podzału sprzężoego wskazuje jedozacze a wyjścowy podzał. Zatem steje bjekcja pomędzy tym dwoma zboram podzałów. Twerdzee Dla k > 0 zachodz P, k = P, k + P k, k Dowód Rozważmy zbór wszystkch podzałów lczby a k składków. Podzelmy go a dwa rozłącze podzbory: podzałów, które e zawerają żadego składka rówego podzałów, które zawerają co ajmej jede składk rówy. Każdemu podzałow a a k z perwszego podzboru moża wzajeme jedozacze przyporządkować podzał a a k = k. MATEMATYKA DYSKRETNA 6 J.Skorsk Stroa / 6

50 Zatem lczba podzałów w perwszym podzborze wyos P k, k, bo tyle jest podzałów lczby k a k składków. Każdemu podzałow a a k - + z drugego podzboru moża wzajeme jedozacze przyporządkować podzał a a k - =. Zatem lczba podzałów w drugm podzborze wyos P, k, bo tyle jest podzałów lczby a k składków. Oba podzbory są rozłącze, a zatem wszystkch podzałów lczby a k składków jest P, k = P, k + P k, k. Tablca lczby podzałów lczby a składk: P P, k k = = MATEMATYKA DYSKRETNA 6 J.Skorsk Stroa / 6

51 Twerdzee Dla k > 0 zachodz P, k = = k 0 P k, Dowód Rozbjmy zbór wszystkch podzałów lczby a k składków a k + bloków: B 0, B,..., B k, gdze B = 0,,..., k ozacza zbór takch podzałów lczby, które zawerają k składków rówych. Każdemu podzałow a + a a ze zboru B, moża wzajeme jedozacze przyporządkować podzał a + a a = k. Zatem lczba podzałów w zborze B wyos P k,, bo tyle jest podzałów lczby k a składków. Sumując wszystke P k, po = 0,,..., k dostajemy lczość zboru wszystkch podzałów lczby a k składków. P k - lczba podzałów lczby a składk e wększe od k Twerdzee = a a j a k dla =,,..., j k Dla k > 0 zachodz P k = = P, Dowód k Zauważmy, że P k = = P = P,. P, a wcześej wykazao, że MATEMATYKA DYSKRETNA 6 J.Skorsk Stroa 6 / 6

52 Zbory uporządkowae Relację barą zwrota, przechoda, R X X, która jest jeśl x X : xrx jeśl x, y, z X : xry yrz xrz atysymetrycza, jeśl x, y X : xry yrx x = y azywamy relacją częścowego porządku ozaczamy p. Parę X, p azywamy zborem częścowo uporządkowaym: X zbór podstawowy, p relacja porządkująca X Dwa elemety x, y X azywamy porówywalym, jeśl x p y lub y p x, w przecwym przypadku są oe eporówywale. Jeśl każde dwa elemety x, y X są porówywale, to parę X, p azywamy zborem lowo uporządkowaym. W zborze uporządkowaym X, p wprowadzamy ozaczee: x p y x p y x y Jeżel dla dwóch elemetów s, t X zachodz s p t e steje tak elemet u X, że s p u u p t, to s azywamy bezpośredm poprzedkem t, a t bezpośredm astępkem s. MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa /

53 Przykład zboru uporządkowaego X = {,,, 6, 0,,, 0, 70, 00 }, dla a, b X, a p b b mod a = 0 relacja podzelośc. Graf relacj: X, p jest zborem częścowo uporządkowaym, ale e jest zborem lowo uporządkowaym, bo a,, a, e ależy do relacj. p, ale e jest bezpośredm poprzedkem, bo zachodz: p 6 6 p MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa /

54 Przykład zboru uporządkowaego X = { p, p, p, p, p, p 6, p 7, p 8, p 9, p 0 } zbór procesorów; wp wydajość procesora, op opłacalość procesora ; p p p j wp wp j op op j p j e gorszy od p p = p j wp = wp j op = op j p j tak sam jak p p p p j p j lepszy od p wydajosc p 7 p p 8 p p 0 p p p 6 p 9 p oplacalosc procesory p p są eporówywale, procesor p 0 jest lepszy od p 6 jest jego bezpośredm astępkem, procesor p 0 jest lepszy od p, ale e jest jego bezpośredm astępkem. MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa /

55 Wygodym czytelym sposobem przedstawea zboru uporządkowaego X, p jest tzw. dagram Hassego, a którym łączymy odckam tylko bezpośrede poprzedk z ch astępkam astępk umeszczamy powyżej poprzedków. Przykład dagramu Hassego X = {,,, 6, 0,,, 0, 70, 00 }, a p b b mod a = 0. Dagram: MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa /

56 Przykład dagramu Hassego X = { p, p, p, p, p, p 6, p 7, p 8, p 9, p 0 } zbór procesorów; p p p j p j e gorszy od p p 7 p p 9 p 0 p 8 p p 6 p p p Elemet x o X azywamy elemetem maksymalym w zborze częścowo uporządkowaym X, p, jeśl w zborze X e steje elemet x x o, dla którego x o p x. Elemet x o X azywamy elemetem mmalym w zborze częścowo uporządkowaym X, p, jeśl w zborze X e steje elemet x x o, dla którego x p x o. Przykład Procesory p 7, p 9, p 0 są elemetam maksymalym, a procesory p, p, p są elemetam mmalym. MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa /

57 Elemet x o X azywamy elemetem ajwększym w zborze częścowo uporządkowaym X, p, jeśl dla każdego x X zachodz zależość x p x o. Elemet x o X azywamy elemetem ajmejszym w zborze częścowo uporządkowaym X, p, jeśl dla każdego x X zachodz zależość x o p x. Przykład X = {, 0,, 0, 00 }, a p b b mod a = 0 ; Elemet 00 jest elemetem ajwększym, a elemet jest elemetem ajmejszym, MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa 6 /

58 Twerdzee W zborze częścowo uporządkowaym steje co ajwyżej jede elemet ajwększy co ajwyżej jede elemet ajmejszy. Przy tym elemet ajwększy jest elemetem maksymalym, a elemet ajmejszy jest elemetem mmalym. Twerdzee W zborze lowo uporządkowaym X, p astępujące stwerdzea są rówoważe: x o X jest elemetem ajwększym, x p x o dla każdego x X \ { x o }, x o X jest elemetem maksymalym. Twerdzee W zborze lowo uporządkowaym X, p astępujące stwerdzea są rówoważe: x o X jest elemetem ajmejszym, x o p x dla każdego x X \ { x o }, x o X jest elemetem mmalym. Twerdzee Jeśl X, p jest zborem lowo uporządkowaym oraz X jest zborem skończoym epustym, to w X, p steją elemety ajwększy ajmejszy. MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa 7 /

59 Elemet x o X azywamy ograczeem dolym zboru A X, jeśl dla każdego x A zachodz zależość x o p x. Elemet x o X azywamy ograczeem górym zboru A X, jeśl dla każdego x A zachodz zależość x p x o. Przykład p 7 p p 9 p 0 A p 8 p p 6 p p p Procesor p 7 jest ograczeem górym dla zboru procesorów A ; a procesor p jest ograczeem dolym dla zboru A. MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa 8 /

60 Jeśl zbór ograczeń górych zboru A ma elemet ajmejszy, to azywamy go kresem górym zboru A ozaczamy sup A łac. supremum wyżej stojące Jeśl zbór ograczeń dolych zboru A ma elemet ajwększy, to azywamy go kresem dolym zboru A ozaczamy f A łac. fmum żej położoe Przykład zbór ograczeń górych zboru A sup A 6 0 A zbór ograczeń dolych zboru A f A Jeśl x o = sup A oraz x o A, to stosujemy zaps x o = max A łac. maxmum ajwększe Jeśl x o = f A oraz x o A, to stosujemy zaps x o = m A łac. mmum ajmejsze p. 0 = sup A 0 = max A MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa 9 /

61 Przykład p 7 p p 9 p 0 p 8 p B p 6 p p p { p 9, p 0 } jest zborem ograczeń górych dla zboru procesorów B, ale w tym zborze e ma elemetu ajmejszego; zatem e steje kres góry zboru B. Kres doly oczywśce steje p = f B. Pokrycem zboru X azywamy taką rodzę jego podzborów { Y, Y,..., Y k } Y X, dla której zachodz X = Y Y... Y k. Zbory Y, Y,..., Y k pokrywają zbór X. Przykład Rodza {{,, }, {, 6, 0, }, {, 0}, {, 0, 70, 00}}, jest pokrycem zboru {,,, 6, 0,,, 0, 70, 00 }, MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa 0 /

62 Łańcuchem z zborze uporządkowaym X, p azywamy tak podzbór L X, w którym każde dwa elemety x, y L są porówywale, tz. zawsze zachodz x p y lub y p x. Para złożoa z łańcucha L relacj porządku p obcętej do L tworzy zatem zbór lowo uporządkoway L, p L. Atyłańcuchem z zborze uporządkowaym X, p azywamy tak podzbór A X, w którym żade dwa róże elemety x, y L e są porówywale, tz. zawsze zachodz x p y x = y. Przykład łańcucha atyłańcucha p 7 p p 9 p 0 p 8 p p 6 p p p L = { p, p, p 7, p 8 } lub L = { p, p, p 0 } ; A = { p, p, p 6 } lub A = { p, p 9, p 0 } MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa /

63 Robert P. Dlworth 9 99, Calfora Twerdzee W każdym skończoym zborze częścowo uporządkowaym X, p maksymala lczość atyłańcucha jest rówa mmalej lczbe łańcuchów pokrywających zbór X. Twerdzee duale W każdym skończoym zborze częścowo uporządkowaym X, p maksymala lczość łańcucha jest rówa mmalej lczbe atyłańcuchów pokrywających zbór X. MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa /

64 Przykład Jeśl steją łańcuchy, które pokrywają zbór X, to maksymala lczość atyłańcucha e może być wększa od. Jeśl ajlczejszy łańcuch ma elemety, to potrzeba e mej ż atyłańcuchy, aby pokryć zbór X. MATEMATYKA DYSKRETNA 7 J.Skorsk Stroa /

65 Techk rozwązywaa problemów kombatoryczych zasada możea zasada rówolczośc zasada szufladkowa Drchleta zasada włączaa-wyłączaa fukcje tworzące Zasada możea Jeżel rozważae są fukcje f : X Y, dla których X = X X Y = Y Y oraz spełoe są waruk X X =, f X Y f X Y, to FuX, Y = FuX, Y FuX, Y Jeżel poadto Y Y =, to IjX, Y = IjX, Y IjX, Y Przykład Jaka jest maksymala lczba tablc rejestracyjych typu WI0709? Tablca to zbór 7 zaków X = {z, z, z, z, z, z 6, z 7 }, X = {z, z }, X = {z, z, z, z 6, z 7 }, Y zbór lter, Y zbór cyfr, X =, X =, Y = 6, Y = 0, FuX, Y = 6 0 Jaka jest maksymala lczba tablc o różych lterach różych cyfrach? IjX, Y = 6 0 MATEMATYKA DYSKRETNA 8 J.Skorsk Stroa / 9

66 Zasada rówolczośc BjX, Y X = Y Przykład Dlaczego podzałów lczby a k składków jest tyle samo co podzałów lczby o ajwększym składku rówym k? Bo możemy wzajeme jedozacze przyporządkować podzałow lczby a k składków jego podzał sprzężoy, który jest podzałem lczby o ajwększym składku rówym k. Zasada szufladkowa Dla skończoych zborów X Y, takch że X > r Y dla r > 0 : dla każdej fukcj f FuX, Y waruek f {y} > r jest spełoy dla co ajmej jedego y Y. jeśl wkładamy przedmotów do m pudełek > r m, to w przyajmej jedym pudełku zajdze sę poad r przedmotów Przykład Dlaczego a egzame dla 0 studetów, a którym każdy studet może dowole wybrać do rozwązaa 7 zadań z 9, będze co ajmej studetów rozwązujących te sam zestaw zadań? Bo wszystkch zestawów, które mogą powstać jest 9 = 6, a zatem 7 lczba studetów 0 > 6 = 96 w twerdzeu r =. MATEMATYKA DYSKRETNA 8 J.Skorsk Stroa / 9

67 Zasada włączaa-wyłączaa U A = A A Aj + A = = {, j} {,..., } {, j, k} {,..., } = A = { p, p A p,..., p } {,..., } p A j A k A... A =... A dla = : A B C = = A + B + C A B A C B C + A B C Zastosowae zasady włączaa-wyłączaa do wyzaczea lczby podzborów k-elemetowych zboru z powtórzeam Rozważmy zbór z powtórzeam X = < a, b, c > Ile jest 7-elemetowych podzborów zboru X? Wprowadźmy pomocczy zbór Y = < 7 a, 7 b, 7 c > Wśród 7-elemetowych podzborów zboru Y są take, które są także podzboram zboru X take, które m e są. Ozaczmy przez P zbór 7-elemetowych podzborów zboru Y : P = = = Podzboram zboru X e są te 7-elemetowe podzbory zboru Y, które zawerają poad powtórzeń elemetu a lub poad powtórzea elemetu b, lub poad powtórzea elemetu c. p MATEMATYKA DYSKRETNA 8 J.Skorsk Stroa / 9

68 Rozważmy astępujące zbory: P a zbór 7-elemetowych podzborów zboru Y, które zawerają poad powtórzeń elemetu a, P b zbór 7-elemetowych podzborów zboru Y, które zawerają poad powtórzea elemetu b : P c zbór 7-elemetowych podzborów zboru Y, które zawerają poad powtórzea elemetu c : Zbór 7-elemetowych podzborów zboru Y, które e są podzboram zboru X to P a P b P c, a zatem lczba 7-elemetowych podzborów zboru Y, które są podzboram zboru X wyos P P a P b P c P a P b P c = P a + P b + P c + P a P b P a P c P b P c + P a P b P c Każde A P a może być zapsae jako A = < 6 a, 0 b, 0 c > A', gdze A' jest -elemetowym podzborem zboru < a, 7 b, 7 c > : + P a = = = Każde B P b może być zapsae jako B = < 0 a, b, 0 c > B', gdze B' jest -elemetowym podzborem zboru < 7 a, b, 7 c > : + 6 P b = = = MATEMATYKA DYSKRETNA 8 J.Skorsk Stroa / 9

69 Każde C P c może być zapsae jako C = < 0 a, 0 b, c > C', gdze C' jest -elemetowym podzborem zboru < 7 a, 7 b, c > : + P c = = = 0 P a P b = 0, bo podzbór ależący do P a P b musałby meć co ajmej 9 elemetów < 6 a, b,? c >. P a P c = 0, bo podzbór ależący do P a P c musałby meć co ajmej 0 elemetów < 6 a,? b, c >. P b P c =, bo podzbór ależący do P b P c jest tylko jede < 0 a, b, c >. P a P b P c = 0, bo podzbór ależący do P a P b P c musałby meć co ajmej elemetów < 6 a, b, c >. Czyl P a P b P c = = 7, 7 podzborów 7-elemetowych zboru Y e jest podzboram X. Lczba 7-elemetowych podzborów zboru X wyos zatem P P a P b P c = 6 7 = 9 MATEMATYKA DYSKRETNA 8 J.Skorsk Stroa / 9

70 Zastosowae zasady włączaa-wyłączaa do wyzaczea lczby surjekcj Dla X =, Y = m, SurX, Y = s, m = m!, m ale spróbujmy omąć odwołae do lczb Strlga drugego rodzaju. Przyjmjmy, że Y = {y, y,..., y m } podzbór F FuX, Y jest zborem takch fukcj f, dla których y f X. Zatem zbór F F... F m jest zborem fukcj f FuX, Y, które e są surjekcjam: s, = FuX, Y F F... F m, FuX, Y = m m F F... F m = F m = { p, p F p,..., p } {,..., m} p... F p Należy zatem wyzaczyć lczośc zborów =,,..., m { p, p,..., p } {,..., m } Zauważmy, że jeśl f. F p F... F p p F p, to F... F p p y, y,..., y p p p dla f X. Zatem F p F... F p p = FuX, Y \ { y, y,..., y p p p } ; F p F... F p p = FuX, Y \ { y, y,..., y p p p } = m Podzbór { y, y,..., y p p p m } moża wybrać ze zboru Y a sposobów, a zatem F F p { p, p,..., p } {,..., m} p... F p m = m MATEMATYKA DYSKRETNA 8 J.Skorsk Stroa 6 / 9

71 MATEMATYKA DYSKRETNA 8 J.Skorsk Stroa 7 / 9 ostatecze F F... F m = = m m m. Lczba surjekcj m s, = FuX, Y F F... F m = = m = m m m = m + = m m m m s, = = 0 m m m Porówując m m! = = 0 m m m otrzymujemy wzór pozwalający bez rekurecj wyzaczać lczby Strlga drugego rodzaju: = = = = 0 0 m m m m m m m m!!!

72 Zastosowae zasady włączaa-wyłączaa do wyzaczea lczby eporządków S zbór wszystkch permutacj zboru {,,..., } Każdy elemet f S możemy zapsać w postac tablcy: f = f f f Neporządkem azywamy taką permutację f S, dla której f dla każdego {,,..., } D zbór wszystkch eporządków w zborze {,,..., } D =? Przyjmjmy, że A = { f S : f = } dla {,,..., }. W zborze A A... A są wszystke permutacje f S, które e są eporządkam, a zatem D = S A A... A. S =!, A A... A = Ap Ap... Ap. = { p, p Należy zatem wyzaczyć lczośc zborów =,,..., { p, p,..., p } {,..., m } A p A... A p. p,..., p } {,..., } A p A... A p jest zborem wszystkch takch permutacj f S, dla których f p j = p j dla j =,,...,, a zatem p dla A p A... A p p =! MATEMATYKA DYSKRETNA 8 J.Skorsk Stroa 8 / 9

73 MATEMATYKA DYSKRETNA 8 J.Skorsk Stroa 9 / 9 Podzbór { p, p,..., p } moża wybrać ze zboru {,,..., } a sposobów, a zatem!... },..., { },...,, { A A A p p p p p p = ostatecze A A... A = =!. Lczba eporządków D = S A A... A =! =! =! + =! = = 0!!. D = = 0!! Na przykład Dla = lczba eporządków D = + +!!!!!! = spośród wszystkch! = 0 permutacj, czyl poad 6% ,! = = e S D

74 GRAFY SIECI GRAFY podstawowe defcje Graf: G = V, E - para uporządkowaa V = {,,..., } - zbór werzchołków grafu E { {, j} : j, j V } - zbór krawędz grafu Termologa: graf = graf symetryczy, graf eskeroway, graf ezoretoway Rysuek grafu: werzchołek przedstawamy symbolcze krawędź {, j } przedstawamy j Przykład grafu 6 G = V, E : 7 V = {,..., 7 }, E = {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {6, 7}} Graf skeroway: D = V, A - para uporządkowaa V = {,,..., } - zbór werzchołków grafu A V V - zbór łuków grafu Termologa: graf skeroway = dgraf, graf zoretoway MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa /

75 Rysuek grafu skerowaego: werzchołek przedstawamy symbolcze łuk, j przedstawamy Przykład grafu skerowaego j 6 7 D = V, A : V = {,..., 7 }, A = {,,,,,,,,,,,,, 7, 6, 6, 7, } Dla grafu skerowaego D = V, A defujemy pochody graf eskeroway GD = V, E D : {, j } E D, j A j, A dla j Przykład grafu pochodego 6 GD = V, E D : 7 V = {,..., 7 }, E D = {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, 7}} MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa /

76 Graf azywamy pełym, jeśl dla każdej pary werzchołków steje krawędź łącząca te werzchołk. Symbolcze ozaczee grafu pełego o werzchołkach K Przykłady grafów pełych K K K K K K 6 Lczba krawędz w grafe pełym K wyos = Dopełeem grafu G = V, E azywamy graf G, który ma te sam zbór werzchołków co G wszystke krawędze grafu pełego K V e występujące w grafe G. Przykład dopełea grafu G G 6 6 W grafe G = V, E dla krawędz e = {, j} E mówmy, że werzchołk, j są cydete z krawędzą e. Dwa werzchołk grafu cydete z tą samą krawędzą azywamy sąsedm lub zależym. MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa /

77 Dwe krawędze grafu cydete z tym samym jego werzchołkem azywamy zależym. Grafem krawędzowym grafu G = V, E azywamy graf LG, którego werzchołk odpowadają krawędzom grafu G, a krawędze odpowadają parom zależych krawędz grafu G. Przykład grafu krawędzowego G L G b c g a b 6 a d f g e f e d c Podgrafem grafu G = V, E azywamy każdy graf G = V, E, dla którego V V oraz E E. Przykład grafu jego podgrafu 6 6 G : 7 G : 7 Grafy a relacje Dla grafu skerowaego D = V, A : A relacja a zborze V Dla grafu eskerowaego G = V, E : E może wykać z relacj R a zborze V, która jest symetrycza e jest zwrota:, j R j, R {, j } E MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa /

78 STOPNIE WIERZCHOŁKÓW Graf eskeroway G = V, E krawędź e = {, j} E werzchołk oraz j są cydete z krawędzą e, a oa z m. krawędź e łączy dwa werzchołk oraz j, które są jej końcam. werzchołk oraz j są sąsede lub aczej zależe. V zbór werzchołków sąsedch z werzchołkem V = { j V : {, j} E } d = V stopeń werzchołka e ozaczee deg Werzchołek stopa 0 azywamy werzchołkem zolowaym. Dla podzboru M V defujemy: V M = { j M : {, j} E } d M = V M stopeń werzchołka względem podzboru M Przykład wyzaczaa stop werzchołków w grafe 6 V = {,,, } d = ; V = {,, } d = V6 = d6 = 0 werzchołek zoloway dla M = {, }: d M =, d M =, d M = 0 MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa /

79 Graf skeroway D = V, A łuk a =, j A werzchołk oraz j są cydete z łukem a werzchołek jest początkem łuku a werzchołek j jego końcem łuku a V + zbór końców łuków wychodzących z werzchołka V + = { j V :, j A } V zbór początków łuków wchodzących do werzchołka V = { j V : j, A } d + = V + d = V d = d + + d stopeń wyjścowy werzchołka stopeń wejścowy werzchołka stopeń werzchołka Dla podzboru M V defujemy: V M + V M = { j M :, j A } = { j M : {j, } A } d M + + = V M stopeń wyjścowy werzchołka względem M d M = V M stopeń wejścowy werzchołka względem M + d M = d M + d M stopeń werzchołka względem M MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa 6 /

80 Przykład wyzaczaa stop werzchołków w grafe skerowaym 6 V + = {,, } d + = ; V = {, } d = ; zatem d = d + + d = V + 6 = {6} d + 6 = ; V 6 = {6} d 6 = ; zatem d6 = d d 6 = + M dla M = {, }: d =, d =, d M = Twerdzee lemat o uścskach dło Dla dowolego grafu eskerowaego G = V, E zachodz V M d = E Twerdzee Dla dowolego grafu skerowaego D = V, A zachodz V d = V d + = A Zatem dla grafu skerowaego D = V, A także zachodz Wosek V d = A W każdym grafe skerowaym lub eskerowaym lczba werzchołków stopa eparzystego jest parzysta. MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa 7 /

81 MACIERZ INCYDENCJI Graf eskeroway G = V, E zbór werzchołków V = {,,..., } zbór krawędz E = {e, e,..., e m } { {, j}:, j V } Macerz cydecj grafu: IG = [ a j ] =,...,, j =,..., m a j = jesl e j 0 w przecwym przypadku Przykład wyzaczaa macerzy cydecj V = {,,,, } E = {e, e, e, e, e, e 6 } = {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }} e e e e e e 6 e e e e e e d = d = I E = d = d = d = Σ d = Aby wykazać, że V d = E wystarczy zsumować wersze macerzy cydecj polczyć w ej wszystke jedyk. MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa 8 /

82 Graf skeroway bez pętl D = V, A zbór werzchołków V = {,,..., } zbór krawędz A = {a, a,..., a m } V V Macerz cydecj grafu skerowaego bez pętl: a j = 0 ID = [ a j ] =,...,, j =,..., m jesl jesl a a j j = k, =, k Przykład wyzaczaa macerzy cydecj V = {,,,, } w przecwym przypadku E = {a, a, a, a, a, a 6 } = {,,,,,,,,,,, } a a a a a a 6 a a a a a a d + =, d =, d = d + =, d =, d = I A = 0 0 d + =, d =, d = d + = 0, d =, d = d + =, d = 0, d = Σ d + = 6, Σ d = 6, Σ d = Aby wykazać, że V d = d = A wystarczy polczyć le jest V ezerowych elemetów o jedakowych zakach w werszach macerzy cydecj w całej macerzy. + MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa 9 /

83 MACIERZ SĄSIEDZTWA WIERZCHOŁKÓW Graf eskeroway G = V, E, V = {,,..., } Macerz sąsedztwa werzchołków grafu: BG = [ b j ] =,...,, j =,..., b j = b j = jesl {, j} E 0 w przecwym przypadku Przykład wyzaczaa macerzy sąsedztwa werzchołków V = {,,,, } e e e e e e d = 0 0 d = B E = 0 0 d = 0 0 d = d = d = d = d = d = d = MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa 0 /

84 Graf skeroway D = V, A, V = {,,..., } Macerz sąsedztwa werzchołków grafu: BD = [ b j ] =,...,, j =,..., b j = jesl, j A 0 w przecwym przypadku Przykład wyzaczaa macerzy sąsedztwa werzchołków V = {,,,, } a a a a a a d + = B A = d + = d + = d + = d + = d = d = d = d = d = 0 MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa /

85 IZOMORFIZM GRAFÓW Dwa grafy eskerowae G = V, E G = V, E są zomorfcze, jeśl steje wzajeme jedozacze odwzorowae f : V V, take że dla dowolej pary werzchołków, j V zachodz {, j } E { f, f j } E Dla grafów skerowaych D = V, A D = V, A odpowedo:, j A f, f j A Izomorfzm grafów zapsujemy G G Przykład grafów zomorfczych d 7 c 6 8 b h e a g f Izomorfzm: f a b c d e f g h MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa /

86 TYPY GRAFÓW Graf azywamy regularym, jeśl wszystke jego werzchołk mają te sam stopeń. Uwaga Dwa grafy regulare o tej samej lczbe werzchołków tym samym stopu werzchołków e muszą być zomorfcze. Przykład lustrujący brak zomorfzmu MATEMATYKA DYSKRETNA 9 J.Skorsk Stroa /

87 TYPY GRAFÓW c.d. Graf azywamy dwudzelym, jeśl zbór jego werzchołków moża podzelć a dwa rozłącze podzbory, tak że żade dwa werzchołk ależące do tego samego podzboru e są sąsede. G = V V, E V = r, V = s, V V = Graf G = V V, E azywamy pełym grafem dwudzelym, jeśl jest dwudzely zawera wszystke krawędze łączące werzchołk ze zboru V z werzchołkam ze zboru V. Ozaczee pełego grafu dwudzelego K r, s Przykłady pełych grafów dwudzelych K, K, Graf jest plaary płask, jeśl moża go arysować a płaszczyźe bez przecęć krawędz. a a b c d e c d e b MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa /

88 Twerdzee Kuratowsk Graf jest plaary wtedy tylko wtedy, gdy e zawera podgrafu, który moża otrzymać z grafów K lub K, przez podzał krawędz werzchołkam o stopu. Grafy, które moża otrzymać z daego grafu przez podzał krawędz, polegający a wstaweu dodatkowych werzchołków stopa, azywamy grafam homeomorfczym z jęz. łac. podobego kształtu z tym grafem. Przykłady grafów homeomorfczych z K K, Kazmerz Kuratowsk MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa /

89 Przykład zastosowaa twerdzea Kuratowskego Tzw. graf Petersea: a a b e d j f h g c b j e h a f g d c b graf Petersea e jest plaary DROGI CYKLE w grafach Dla grafu eskerowaego G = V, E drogą z werzchołka v 0 V do v t V azywamy cąg aprzemey werzchołków krawędz grafu: v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t, spełający waruek e = { v, v } dla =,..., t Przykład drog w grafe b a c e d f droga:, a,, c,, e,, f,, t = MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa /

90 Dla drog v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t : werzchołek v 0 azywamy jej początkem, werzchołek v t jej końcem a lczbę t azywamy długoścą drog. Drogę moża utożsamać dla uproszczea z cągem werzchołków sąsedch v 0, v,..., v t lub cągem krawędz zależych e,..., e t Dla grafu skerowaego D = V, A drogą z werzchołka v 0 V do v t V azywamy cąg aprzemey werzchołków łuków grafu: v 0, a, v, a,..., v t, a t, v t, spełający waruek a = v, v dla =,..., t Przykład drog w grafe skerowaym a b c d e f droga, f,, e,, d,, c,, a,, t = Drogę w grafe skerowaym moża utożsamać dla uproszczea z cągem odpowedo skerowaych łuków zależych e,..., e t droga prosta - droga, w której wszystke krawędze łuk w cągu są róże droga elemetara - droga, w której wszystke werzchołk w cągu są róże MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa /

91 Przykłady dróg w grafe droga prosta,,,,, 6 droga elemetara,,,,, 6 6 Cyklem azywamy drogę, dla której v 0 = v t droga zamkęta t > 0 Cyklem elemetarym azywamy cykl, w którym werzchołk v, v,..., v t są róże Twerdzee Drac, 9 Jeśl G = V, E jest grafem, w którym mmaly stopeń werzchołka jest rówy δ, to w grafe G steje droga elemetara o długośc co ajmej δ, dla δ w grafe G steje cykl elemetary o długośc co ajmej δ + Dowód v 0 d v > v 0 v v v k v k droga P v v v cykl C v v t v v t v MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa /

92 Nech P = v 0, v,..., v t będze drogą elemetarą w grafe G o maksymalej długośc tz. e moża jej przedłużyć a żadym końcu. Wówczas wszystke werzchołk sąsede z v 0 muszą ależeć do P. Nech k = max { : {v 0, v } E }. Z założea o maksymalej długośc drog wyka, że k dv 0 δ. Zatem droga P ma długość co ajmej δ. Poadto, jeśl δ, to C = v 0, v,..., v k, v 0 jest cyklem elemetarym o długośc co ajmej δ +. Graf eskeroway azywamy spójym, jeśl dla każdej pary werzchołków u v steje w m droga z u do v. Graf skeroway jest spójy słabo spójy, jeśl jego pochody graf eskerowy jest spójy. Graf skeroway jest sle spójy, jeśl dla każdej pary werzchołków u v steje w m droga z u do v. Przykład skerowaego grafu spójego, ale e sle spójego a a a a a a 6 Składową spóją grafu azywamy tak jego podgraf, który jest spójy e jest podgrafem ego grafu spójego. MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa 6 /

93 Przykład grafu o składowych spójych 6 7 Twerdzee Dla grafu o werzchołkach k składowych spójych lczba krawędz m jest ograczoa przez erówość: k k k m Wosek + W grafe spójym lczba krawędz m speła erówość: m Uwaga m jest maksymale dla grafu pełego K : m = m jest mmale dla drzewa : m = Waruek koeczy dostateczy dwudzelośc grafu Twerdzee Graf o werzchołkach, gdze, jest dwudzely wtedy tylko wtedy, kedy e zawera cyklu o eparzystej długośc. Zauważmy, że w grafe dwudzelym każdy cykl mus meć parzystą długość. MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa 7 /

94 Waruk koecze plaarośc grafu Rozważmy rysuek grafu plaarego G = V, E bez przecęć krawędz: 6 f f f 7 Na tym rysuku moża wyróżć podzbory puktów płaszczyzy, które mają dwe cechy: każde dwa pukty z tego samego zboru moża połączyć krzywą a płaszczyźe, e przecając żadej z krawędz grafu; każdy z tych podzborów jest maksymaly w sese relacj zaweraa. Take podzbory azywamy ścaam grafu plaarego p. f, f f. Dokłade jeda ze śca jest eograczoa. Przykład terpretacj pojęca ścay dla grafu plaarego Graf ośmoścau foremego jede z tzw. grafów platońskch: MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa 8 /

95 Twerdzee Jeśl graf o werzchołkach, m krawędzach, k składowych spójych f ścaach jest plaary, to m + f = k + Wosek Jeśl graf plaary jest spójy, to m + f = tzw. wzór Eulera Wosek Jeśl graf jest plaary, to m 6 Wosek Jeśl graf dwudzely jest plaary, to m Wosek Każdy graf plaary mus zawerać co ajmej jede werzchołek o stopu mejszym ż 6. PRZESZUKIWANIE GRAFÓW Przeszukaem grafu azywamy dokoae systematyczego przeglądu grafu w celu wymeea kolejo wszystkch jego werzchołków, bądź krawędz. Rozważmy spójy graf G = V, E o uporządkowaym zborze werzchołków przyjmjmy dla prostoty, że jego zbór werzchołków to V = {,,,..., }. Wykem przeszukaa grafu będze cąg v, v,..., v zawerający bez powtórzeń wszystke jego werzchołk. MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa 9 /

96 Obe przedstawoe metody oparte są a badau zborów werzchołków sąsedch, dopsywau werzchołków do wyzaczaego cągu adawau lub usuwau etyket z werzchołków. Metoda przeszukwaa grafu w głąb W trakce dzałaa metody kolejym werzchołkom będą adawae etykety zamkęty. Rozpoczyamy od wskazaa perwszego werzchołka w cągu v 0.. wstaw v 0 jako perwszy elemet cągu,. powtarzaj co astępuje, aż do adaa werzchołkow v 0 etykety zamkęty :.. wyberz z aktualego cągu ostat z jego werzchołków, który e ma jeszcze etykety zamkęty,.. jeśl dla wybraego werzchołka zbór werzchołków sąsedch, które jeszcze e zostały dopsae do cągu jest pusty, to adaj temu werzchołkow etyketę zamkęty, w przecwym przypadku dopsz do cągu perwszy w kolejośc z jego werzchołków sąsedch, które jeszcze e został umeszczoe w cągu. Uwaga: przed rozpoczęcem przeszukwaa grafu żade z jego werzchołków e może meć etykety zamkęty. MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa 0 /

97 Przykład przeszukaa grafu metodą w głąb Jeśl rozpoczyamy od werzchołka, to zostaje wyzaczoy cąg werzchołków grafu, 6,,, 7,, 0,, 9, 8 Metoda przeszukwaa grafu wszerz W trakce dzałaa metody będą z kolejych werzchołków usuwae etykety owy. Rozpoczyamy od wskazaa perwszego werzchołka w cągu v 0.. adaj etyketę owy wszystkm werzchołkom drzewa,. wstaw v 0 jako perwszy elemet cągu,. dopók w tworzoym cągu występuje werzchołek z etyketą owy, powtarzaj co astępuje:.. wyberz z aktualego cągu perwszy z werzchołków, które mają jeszcze etyketę owy, dodaj do cągu kolejo wszystke jego werzchołk sąsede usuń z tego werzchołka etyketę owy. MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa /

98 Przykład przeszukaa grafu metodą wszerz Jeśl rozpoczyamy od werzchołka, to zostaje wyzaczoy cąg werzchołków grafu, 6, 8,, 7, 9, 0,,, MATEMATYKA DYSKRETNA 0 J.Skorsk Stroa /

99 DROGI CYKLE EULERA w grafach Czy steje zamkęta droga spaceru przechodząca przez wszystke mosty w Królewcu dokłade jede raz? Czy moża arysować podaą fgurę e odrywając ołówka od paperu e rysując dwukrote żadego odcka? Drogą Eulera w grafe skerowaym azywamy taką drogę prostą, która zawera wszystke krawędze łuk grafu. Cyklem Eulera azywamy zamkętą drogę Eulera. Graf, który ma cykl Eulera azywamy grafem eulerowskm, a tak, który ma drogę Eulera azywamy grafem półeulerowskm. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

100 Twerdzee Euler, 76 Spójy graf G eskeroway ma cykl Eulera wtedy tylko wtedy, gdy stopeń każdego werzchołka w G jest parzysty. Leohard Euler Dowód Załóżmy, że graf ma cykl Eulera. Jeśl będzemy przechodzl wzdłuż krawędz tego cyklu, usuwając je po przejścu, to w każdym przechodzoym werzchołku stopeń będze malał o. Poeważ te cykl zawera wszystke krawędze grafu dokłade raz, to po przejścu całego cyklu wszystke werzchołk będą stopa 0. Zatem a początku wszystke musały meć stopeń parzysty. Idukcja względem lczby krawędz m. Dla m = twerdzee oczywśce zachodz. Rozważmy graf o m >, zakładając, że każdy graf o mejszej lczbe krawędz ma cykl Eulera. Ze spójośc grafu parzystośc stop werzchołków wyka, że mmaly stopeń werzchołka jest rówy. Zatem graf mus MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

101 zawerać cykl elemetary o długośc co ajmej tw. Draca. Wyberzmy tak cykl ozaczmy go przez C. Jeśl cykl C zawera każdą krawędź grafu, to dowód jest zakończoy. Jeśl e, to usuwamy z grafu krawędze ależące do cyklu C. Powstaje podgraf H, który ma mej krawędz ż graf G może e być spójy, ale adal każdy werzchołek ma w m stopeń parzysty po usuęcu cyklu C stopeń zmejsza sę o 0 lub. Na mocy założea dukcyjego w każdej składowej spójej podgrafu H steje cykl Eulera. Poadto ze spójośc grafu G wyka, że każda składowa podgrafu H ma werzchołek wspóly z cyklem C. Zatem cykl Eulera w grafe G moża skostruować przechodząc koleje krawędze cyklu C w ustaloym keruku od wybraego werzchołka początkowego włączając do drog cykle Eulera w apotkaych składowych spójych podgrafu H. W każdym werzchołku, który e jest w H werzchołkem zolowaym, przechodzmy krawędze cyklu Eulera w tej składowej podgrafu H, która zawera te werzchołek. Po obejścu cyklu Eulera w składowej podgrafu H kotyuujemy poruszae sę wzdłuż cyklu C wracamy a końcu do werzchołka początkowego. Obchodzmy w te sposób dokłade jede raz wszystke krawędze grafu G. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

102 Przykład rekurecyjego wyzaczaa cyklu Eulera C Wosek z tw. Eulera Graf spójy, który ma e węcej ż dwa werzchołk stopa eparzystego, ma drogę Eulera. Grafy reprezetujące przykładowe problemy spacer koperta e ma drog Eulera jest droga E., ale e ma cyklu Mostem azywamy taką krawędź grafu, której usuęce zwększa lczbę składowych spójych tego grafu. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

103 Prosty algorytm wyzaczaa drog Eulera tzw. alg. Fleury ego Budujemy teracyje cąg krawędz grafu drogę lub cykl.. Wyberz dowoly werzchołek v 0 o eparzystym stopu, o le tak steje; w przecwym przypadku wyberz dowoly werzchołek v 0 ; podstaw v v 0 ;. Dopók są w grafe krawędze cydete z v wykouj:.. Jeśl jest dokłade jeda krawędź cydeta z v : {v, w}, to ją wyberz;.. Jeśl steje węcej ż jeda krawędź cydeta z v, to wyberz dowolą krawędź cydetą {v, w}, która e jest mostem;.. wstaw wybraą krawędź jako kolejy wyraz cągu usuń ją z grafu; podstaw v w ;. Jeśl cąg zawera wszystke krawędze grafu, to została wyzaczoa w m droga lub cykl Eulera, a jeśl e, to graf e był spójy algorytm wyzaczył drogę lub cykl Eulera w jego składowej spójej, która zawera wybray początkowo werzchołek v 0. Przykład dzałaa algorytmu Fleury ego 7 6 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

104 DROGI CYKLE EULERA w grafach skerowaych Twerdzee Spójy graf skeroway ma cykl Eulera wtedy tylko wtedy, gdy dla każdego werzchołka v zachodz d + v = d v. Wosek Spójy graf skeroway ma drogę Eulera, gdy dla każdego werzchołka v zachodz d + v = d v, albo gdy steją dokłade dwa werzchołk v v e spełające tego waruku, dla których zachodz d + v d v = d v d + v =. DROGI CYKLE HAMILTONA w grafach Rozważmy graf eskeroway G = V, E Drogą Hamltoa w grafe G azywamy taką drogę elemetarą, która zawera wszystke werzchołk grafu. Cyklem Hamltoa w grafe G azywamy tak cykl elemetary, który zawera wszystke werzchołk grafu jest zamkętą drogą Hamltoa. Długość cyklu Hamltoa jest rówa V. Graf, który ma cykl Hamltoa azywamy grafem hamltoowskm, a tak, który ma drogę Hamltoa azywamy półhamltoowskm. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 6 /

105 Przykłady graf dwuastoścau foremego graf platońsk jest hamltoowsk graf Petersea e jest hamltoowsk Przykład cyklu Hamltoa w grafe sześcau zwązek z kodem Graya Kod Graya rzędu trzecego =: 0,0,0,0,0,,0 0,,0 0,,,,,0, 0,0, y 0,,,, 0,,0,,0 z 0,0,0 0,0,,0,0,0, x adawae etyket procesorom połączoym w tzw. kostkę MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 7 /

106 Graf peły K jest hamltoowsk dla każdego zawera! cykl Hamltoa. Przykład cykl Hamltoa w grafe K K! K : =! K : = Twerdzee Dla każdego grafu dwudzelego G = V V, E zachodz: jeśl G ma cykl Hamltoa, to V = V, jeśl G ma drogę Hamltoa, to V V. Dla każdego pełego grafu dwudzelego, w którym V V zachodz: jeśl V = V, to G ma cykl Hamltoa, jeśl V V, to G ma drogę Hamltoa. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 8 /

107 Waruk dostatecze stea cyklu Hamltoa Twerdzee Ore, 960 Graf eskeroway o werzchołkach dla, w którym dv + dw dla każdej pary werzchołków v w epołączoych krawędzą ezależych, jest hamltoowsk Przykład grafu hamltoowskego spełającego waruek Ore d= d= d= d7= 7 d6= 6 d= d= Najższy stopeń mają werzchołk 6. Dla werzchołków ezależych z w. : dv + d = 7 = 7 Dla werzchołków ezależych z w. 6: dv + d6 = 7 = 7 Przykład grafu hamltoowskego, w którym waruek Ore e jest spełoy Dla grafu: zachodz dv + dw = < = dla każdej pary werzchołków v w epołączoych krawędzą, a cykl Hamltoa oczywśce w m steje. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 9 /

108 Wosek twerdzee Draca, 9 Jeśl graf eskeroway ma werzchołków dv dla każdego werzchołka, to graf te jest hamltoowsk. Dowód v V : dv u, w V : du + dw Wosek Jeśl graf ma werzchołków co ajmej + krawędz, to jest hamltoowsk. Dowód Załóżmy, że graf G = V, E ma E = + krawędz. Wyberzmy u, v V take, że {u, v} E usuńmy z grafu werzchołk u v oraz wszystke krawędze z m cydete. Zatem usuęlśmy du + dv krawędz werzchołk. Otrzymay podgraf G = V, E jest a pewo podgrafem K, a zatem ma e węcej ż krawędz. Mamy węc: + du dv E Stąd. + = du + dv spełoe są założea twerdzea Ore. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 0 /

109 Przykład grafu hamltoowskego c.d. d= d= d= d7= 7 d6= 6 d= d= Waruek Ore jest spełoy patrz poprzed przykład. Waruek Draca e jest spełoy, bo p. d = < =,. Waruek a lczbę krawędz także e jest spełoy, bo m = < + = 7. W grafe G o werzchołkach uporządkujmy stope wszystkch werzchołków w cąg emalejący: d G, d G,..., d G, d G d G... d G; cąg te azywamy sekwecją wstępującą stop werzchołków. Cąg lczb aturalych a, a,..., a azywamy cągem hamltoowskm, jeśl każdy graf eskeroway G o werzchołkach, którego sekwecja wstępująca stop werzchołków speła waruek d G a, =,,...,, jest grafem hamltoowskm. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

110 Twerdzee Chvátal, 97 Cąg lczb aturalych a, a,..., a, w którym 0 a a... a < dla, jest hamltoowsk wtedy tylko wtedy, gdy dla każdego < spełoa jest mplkacja: a a. Przykład grafu hamltoowskego d= d= d= d7= 7 d6= 6 d= d= Sekwecja wstępująca stop werzchołków:,,,,,,. Zbadajmy, czy jest oa cągem hamltoowskm. = : = : = : a = > a 6 = < 6 ; mplkacja prawdzwa 0 0 a = > a = < ; mplkacja prawdzwa 0 0 a = a = ; mplkacja prawdzwa Zatem cąg,,,,,, jest cągem hamltoowskm, co ozacza, że graf o takej sekwecj wstępującej ma cykl Hamltoa. Waruek Ore e jest spełoy, bo p. d + d6 = < = 7 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

111 DROGI CYKLE HAMILTONA w grafach skerowaych Dla grafu skerowaego D = V, A rozważmy zagadee stea cyklu elemetarego, który zawera wszystke werzchołk grafu, czyl cyklu Hamltoa, Graf skeroway peły bez pętl D jest hamltoowsk dla każdego zawera! cykl Hamltoa. Przykład cykl Hamltoa w grafe D D D :! = D :! = 6 Twerdzee Meyel, 97 Jeśl D jest sle spójym grafem skerowaym bez pętl o werzchołkach dla dowolej pary werzchołków ezależych zachodz waruek d v + d w, to graf D ma cykl Hamltoa. odpowedk tw. Ore MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

112 Wosek twerdzee Nash-Wllams, 969 Jeśl D jest grafem skerowaym bez pętl, w którym d v d + v dla każdego werzchołka v, to graf D ma cykl Hamltoa. odpowedk tw. Draca TURNIEJE Graf skeroway bez pętl azywamy turejem, jeśl dla każdej pary werzchołków u v zawera o dokłade jede łuk: albo u, v, albo v, u. turej może reprezetować wyk spotkań par uczestczących w rozgrywkach sportowych typu każdy z każdym bez remsów Przykład tureju a b d c Twerdzee Réde, 9 Każdy turej zawera drogę Hamltoa. Przykład dróg Hamltoa w tureju: d, a, b, c, d, b, c, a d, c, a, b a b d c MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

113 Twerdzee Thomasse, 98 Każdy turej zawera drogę Hamltoa, która zaczya sę w werzchołku o ajwyższym stopu wyjścowym kończy w werzchołku o ajwyższym stopu wejścowym. Przykład tureju bez cyklu Hamltoa a b d c Te turej e jest sle spójy. Twerdzee Camo, 99 Każdy sle spójy turej zawera cykl Hamltoa. Przykład cyklu Hamltoa w sle spójym tureju a b d c cykl Hamltoa: a, b, d, c, a MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

114 DRZEWA LASY Lasem azywamy graf eskeroway, który e zawera cykl elemetarych. Drzewem azywamy graf spójy, który e zawera cykl elemetarych. Przykłady drzewa lasu take krawędze są wykluczoe drzewo las Twerdzee Nech G będze grafem eskerowaym o werzchołkach. Wówczas astępujące stwerdzea są rówoważe:. Graf G jest drzewem.. Graf G e zawera cykl elemetarych ma krawędz.. Graf G jest spójy ma krawędz.. Graf G jest spójy każda krawędź jest mostem.. Dowole dwa werzchołk grafu G są połączoe dokłade jedą drogą. 6. Graf G e zawera cykl elemetarych, ale dołączee dowolej owej krawędz do G tworzy dokłade jede tak cykl. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

115 Dowód Dla = rówoważość stwerdzeń jest oczywsta. Załóżmy zatem, że... Idukcja względem lczby werzchołków; załóżmy, że mplkacja zachodz dla dowolego drzewa o lczbe werzchołków e wększej od. Pokażemy, że zachodz dla. Usuńmy z G jedą krawędź. Poeważ G e zawera cykl elemetarych, to usuęce krawędz prowadz do rozpadu G a dwa drzewa, które a mocy założea dukcyjego mają razem krawędz. Zatem G mus meć krawędz... Gdyby G e był spójy, to łącza lczba krawędz w jego składowych, będących drzewam, byłaby co ajmej o mejsza od lczby werzchołków. Przeczy to założeu, że G ma krawędz... Usuęce dowolej krawędz daje graf o werzchołkach krawędzach, który e jest spójy... Poeważ G jest spójy, to każda para werzchołków jest połączoa co ajmej jedą drogą. Gdyby dla pewej pary werzchołków były dwe take drog, to powstałby cykl. Przeczy to założeu, że każda krawędź jest mostem.. 6. Graf G e może zawerać cyklu elemetarego, bo ozaczałoby to, że steje para werzchołków połączoa dwema drogam werzchołkowo rozłączym. Dołączee owej krawędz utworzy cykl elemetary. Może być tylko jede tak cykl, bowem stee dwóch takch cykl ozaczałoby, że w G steje cykl elemetary e zawerający dołączaej krawędz. 6.. Graf G mus być spójy. Gdyby tak e było, to dodae krawędz łączącej składowe grafu e powodowałoby powstaa cyklu elemetarego. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

116 Wosek W drzewe o werzchołkach co ajmej dwa z ch są stopa są lśćm. Dowód V d = E = =. Wosek Jeśl graf G o werzchołkach jest lasem złożoym z k drzew, to lczba jego krawędz m = k. Dla grafu spójego G = V, E każde drzewo G T = V, T take, że T E azywamy drzewem rozpającym dedrytem grafu G. Przykład drzewa rozpającego Twerdzee Cayley, 889 Graf peły K dla ma różych drzew rozpających. Przykład lczby drzew rozpających w grafe pełym K :, = = 6 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 6 /

117 Dowód zarys dowodu kostrukcja kodu Prüfera dla drzewa Załóżmy, że werzchołk grafu są poumerowae lczbam aturalym,...,. Łatwo sprawdzć, że dla = tw. zachodz. Pokażemy, że dla steje wzajeme jedozacza odpowedość pomędzy drzewam rozpającym graf peły K a cągam a, a,..., a, gdze a jest lczbą aturalą spełającą erówość a. Załóżmy, że T jest drzewem rozpającym K. Wyberamy werzchołek v stopa o ajmejszym umerze przyjmujemy jako a umer werzchołka sąsedego z v w drzewe T. Usuwamy z T werzchołek v wraz z cydetą z m krawędzą. Powtarzamy powyższe postępowae kolejo dla a, a,..., a. Aby ustalć odwrotą odpowedość pomędzy cągem a, a,..., a a drzewem rozpającym, weźmy dowoly cąg a, a,..., a, którego każdy wyraz speła waruek a, zbudujmy odpowadające mu drzewo T. Nech v będze ajmejszą lczbą ze zboru N = {,,..., }, która e występuje w cągu a, a,..., a. Dodajemy do T krawędź {a, v}. Usuwamy a z cągu podstawamy N N \ {v}. Powtarzamy to postępowae kolejo dla a, a,..., a. Na końcu łączymy krawędzą ostate dwa werzchołk, które pozostały w N. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 7 /

118 Przykład kodowaa drzew rozpających w grafe pełym K : = = 6,,,,,,,,,,,,,,,, MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 8 /

119 Przykład użyca kodu Prüfera kodowae:,, odkodowae:,, Drzewo przeglądu grafu w głąb Po zakończeu przeszukwaa grafu G = V, E metodą w głąb uzyskujemy cąg jego poumerowaych werzchołków: v,..., v. Wyzaczamy zbór krawędz T, który tworzy drzewo rozpające G:. rozpoczj od T =,. dla każdego j =,,..., wykoaj co astępuje:.. wyberz z cągu v,..., sąsed z werzchołkem v werzchołek v, który jest v ma ajwększy deks j spośród werzchołków poprzedzających w cągu.. dołącz do zboru T krawędź { v j, v}. v, j MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 9 /

120 Przykład drzewa przeglądu grafu w głąb Cąg wyzaczoy metodą przeszukaa w głąb:, 6,,, 7,, 0,, 9, Zbór krawędz drzewa rozpającego: {{8, 9}, {9, 0}, {, 0}, {0, }, {, 7}, {7, }, {, }, {, 6}, {6, }} Drzewo przeglądu grafu wszerz Po zakończeu przeszukwaa grafu G = V, E metodą wszerz uzyskujemy cąg jego poumerowaych werzchołków: v,..., v. Wyzaczamy zbór krawędz T, który tworzy drzewo rozpające G:. rozpoczj od T =,. dla każdego j =,,..., wykoaj co astępuje:.. wyberz z cągu v,..., sąsed z werzchołkem v spośród werzchołków cągu,.. dołącz do zboru T krawędź { v j werzchołek v, który jest v ma ajmejszy deks j, v}. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 0 /

121 Przykład drzewa przeglądu grafu wszerz Cąg wyzaczoy metodą przeszukaa wszerz:, 6, 8,, 7, 9, 0,,, Zbór krawędz drzewa rozpającego: {{, 7}, {, }, {, 8}, {0, 6}, {9, 6}, {7, 6}, {, 6}, {8, }, {6, }} Termologa dla drzew rozpających: Dla G T = V, T, które jest drzewem rozpającym grafu G = V, E: gałęzam drzewa azywamy elemety zboru T, cęcwam grafu azywamy elemety zboru E \ T. Jeśl e jest cęcwą, to graf V, T {e} zawera dokłade jede cykl C e. Zbór Ω = { C e : e E \ T } azywamy zborem cykl fudametalych grafu G względem drzewa rozpającego G T MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

122 Przykład gałęz, cęcw cykl fudametalych C {, } C {, } C {, } T = {{, }, {, }, {, }, {, }}, E \ T = {{, }, {, }, {, }} Ω = { C {, }, C {, }, C {, } } Twerdzee Nech G = V, E będze grafem spójym a G T = V, T jego dowolym drzewem rozpającym. Jeżel każdy cykl będzemy traktowal jak zbór krawędz, to każdy cykl prosty C w grafe G moża jedozacze przedstawć jako różcę symetryczą cykl fudametalych: C = gdze {, } Ce Ce... C e k, e...,e k = C \ T jest zborem cęcw względem drzewa G T. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

123 Przykład przedstawaa cyklu prostego jako różcy symetryczej C C {, } C {, } C {, } T = {{, }, {, }, {, }, {, }}, C \ T = {{, }, {, }, {, }} zbór cykl fudametalych {C {, }, C {, }, C {, } } C {, } C {, } {{, }, {, }, {, }} = {{, }, {, }, {, }} C {, } C = C = {{, }, {, }, {, }, {, }} = C {, } C {, } C {, } MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

124 SPÓJNOŚĆ grafów Przypomee Graf eskeroway G = V, E jest spójy, jeśl dla każdej pary werzchołków steje droga łącząca te werzchołk; graf spójy ma jedą składową spóją tożsamą z tym grafem, a graf espójy ma co ajmej dwe składowe spóje. Twerdzee Jeśl graf G ma werzchołków k składowych spójych, to lczba jego krawędz m speła erówośc: k m Przykład grafu espójego o maksymalej lczbe krawędz k k dla = 8 k = maksymala lczba krawędz wyos m = = 6 Wosek Każdy graf, który ma werzchołków poad jest spójy. krawędz Dowód Maksymala lczba krawędz dla k wyos. MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa /

125 SPÓJNOŚĆ krawędzowa werzchołkowa Zborem rozspajającym graf spójy G azywamy tak podzbór jego krawędz, którego usuęce pozbawa te graf spójośc. Mmalym zborem rozspajającym graf G azywamy tak zbór rozspajający, dla którego żade z jego podzborów właścwych e jest zborem rozspajającym. Przykład zborów rozspajających e e 6 e e e e 7 e { e, e, e } - zbór rozspajający, { e, e } { e, e, e } - mmale zbory rozspajające Spójoścą krawędzową λ G grafu spójego G dla azywamy ajmejszą moc jego zboru rozspajającego. Graf azywamy k-spójym krawędzowo, jeśl λ G k Przykład e e 6 e e e e 7 e λg = ; graf jest -spójy krawędzowo także -spójy MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa /

126 Zborem rozdzelającym graf spójy G azywamy tak podzbór jego werzchołków, którego usuęce pozbawa te graf spójośc. Mmalym zborem rozdzelającym graf G azywamy tak zbór rozdzelający, dla którego żade z jego podzborów właścwych e jest zborem rozdzelającym. Spójoścą werzchołkową κ G grafu spójego G dla azywamy ajmejszą moc jego zboru rozdzelającego. Graf azywamy k-spójym werzchołkowo, jeśl κ G k Przykład zboru rozdzelającego {,, } - zbór rozdzelający, {, } {, } - mmale zbory rozdzelające κ G =, graf jest -spójy werzchołkowo Twerdzee Dla każdego spójego grafu G zachodz erówość κ G λg. Dowód Ze zboru werzchołków cydetych z krawędzam ależącym do zboru rozspajającego o ajmejszej mocy usuwamy jede werzchołek z każdej pary werzchołków sąsedch. Powstaje zbór rozdzelający graf G o mocy e wększej ż λg. MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa /

127 Rozważmy graf spójy G = V, E oraz parę wyróżoych werzchołków v, w V v w : zborem rozspajającym werzchołk v w azywamy tak podzbór krawędz grafu, że każda droga łącząca werzchołk v w zawera krawędź z tego podzboru. zborem rozdzelającym werzchołk v w azywamy tak podzbór werzchołków ależących do V \ {v, w}, że każda droga łącząca werzchołk v w zawera werzchołek z tego podzboru. dwe drog z v do w azywamy krawędzowo rozłączym, jeśl e mają oe wspólych krawędz, dwe drog z v do w azywamy werzchołkowo rozłączym, jeśl e mają oe wspólych werzchołków z wyjątkem v w. Przykłady zborów rozspajających, rozdzelających dróg rozłączych f a d g v b w e h c {{a, d}, {b, d}, {e, h}, {e, }} {{v, a}, {v, b}, {v, c}} - zbory rozspajające v w { d, e } { a, b, h, } - zbory rozdzelające v w v, a, d, h, w v, b, d, f, w - drog rozłącze krawędzowo, v, a, d, h, w v, c, e,, w - drog rozłącze werzchołkowo, MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa /

128 Twerdzee Megera w wersj krawędzowej Maksymala lczba dróg krawędzowo rozłączych, łączących dwa róże werzchołk v w w grafe spójym G, jest rówa mmalej lczbe krawędz w zborze rozspajającym v w. Twerdzee Megera w wersj werzchołkowej, Meger 97 Maksymala lczba dróg werzchołkowo rozłączych, łączących dwa róże werzchołk esąsede v w w grafe spójym G, jest rówa mmalej lczbe werzchołków w zborze rozdzelającym v w. Wosek Graf jest k-spójy krawędzowo wtedy tylko wtedy, gdy każda para różych jego werzchołków jest połączoa co ajmej k drogam krawędzowo rozłączym. Dowód połowa Każda para różych werzch. jest połączoa co ajmej k drogam krawędzowo rozłączym dla każdej pary werzch. maksymala lczba dróg krawędzowo rozłączych wyos co ajmej k dla każdej pary werzch. mmala lczba krawędz w zborze je rozspajającym wyos co ajmej k mmaly zbór rozspajający graf lczy co ajmej k krawędz k λ G Wosek Graf o co ajmej k+ werzchołkach jest k-spójy werzchołkowo wtedy tylko wtedy, gdy każda para różych jego werzchołków jest połączoa co ajmej k drogam werzchołkowo rozłączym. MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa /

129 SEPARATORY KONEKTORY Rozważmy graf skeroway D = V, A z wyróżoym dwoma podzboram werzchołków S, T V e muszą być oe rozłącze. S-T drogą dla S, T V azywamy taką drogę elemetarą P = v,..., v k w grafe D, dla której VP S = {v } VP T = {v k } VP ozacza zbór werzchołków drog P Przykład S-T dróg S T S = {,, }, T = {,, 6, 9} S-T drog: P =,,, P =, P =, 7, 8, 9, P =, 7, 8,, Werzchołkam wewętrzym S-T drog P = v,..., v k azywamy werzchołk ze zboru VP \ {v } {v k }. Pojedyczy werzchołek w grafe skerowaym traktujemy jako drogę; zatem dla każdego v S T droga P = v jest S-T drogą o pustym zborze werzchołków wewętrzych. MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa 6 /

130 S-T separatorem grafu skerowaego D dla S, T V azywamy tak zbór Z V, dla którego podgraf dukoway przez zbór werzchołków V \ Z e zawera żadej S-T drog Z azywamy mocą S-T separatora. Dla każdego S-T separatora Z S T, bo S T Z Przykład S-T separatorów S T S = {,, }, T = {,, 6, 9} S-T separatory: Z =,, 7, Z =,, 6, 9, Z =,, 7 W przypadku S = {v} T = {w} przyjęte jest stosowae ozaczea: v-w separator. Pojęce S-T separatora jest uogóleem pojęca zboru rozdzelającego: jeżel graf skeroway D = V, A jest symetryczy tz. a, b A b, a A oraz S = {v} T = {w} v w, to każdy v-w separator w grafe D odpowada zborow rozdzelającemu werzchołk v w w pochodym grafe eskerowaym GD. MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa 7 /

131 S-T koektorem grafu skerowaego D dla S, T V azywamy tak podgraf Q = V Q, A Q grafu D, którego każda składowa spója jest S-T drogą Lczbę składowych spójych S-T koektora azywamy jego mocą. Dla każdego W S T graf skeroway pusty Q = W, jest S-T koektorem grafu skerowaego D = V, A; W jest mocą tego S-T koektora. Przykład S-T koektorów S T S = {,, }, T = {,, 6, 9} S-T koektory: Q = {},, Q = {,,,, 7, 8, 9}, {,,, 7,,, 7, 8, 8, 9} moc Q wyos, a moc Q wyos W przypadku S = {v} T = {w} przyjęte jest stosowae ozaczea: v-w koektor. MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa 8 /

132 Pojęce S-T koektora jest uogóleem pojęca zboru dróg werzchołkowo rozłączych: jeżel graf skeroway D = V, A jest symetryczy tz. a, b A b, a A oraz S = {v} T = {w} v w, to każdy v-w koektor w grafe D odpowada zborow dróg werzchołkowo rozłączych łączących v w w pochodym grafe eskerowaym GD. Prosta obserwacja: mmala moc S-T separatora w grafe D = V, A dla zadaych S, T V ogracza od góry moc wszystkch S-T koektorów grafu D. Twerdzee UM uogólee twerdzeń Megera Jeżel w grafe skerowaym D = V, A wybrao dwa podzbory S, T V oraz wyzaczoo mmalą moc S-T separatora rówą s, to steje S-T koektor Q = V Q, A Q grafu D o mocy s. Przykład lustrujący twerdzee S T S-T separator o mocy : {,, 7}, S-T koektor o mocy : Q = {,,,,, 7, 8, 9}, {,,, 7,,, 7, 8, 8, 9} MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa 9 /

133 Zborem rozspajającym sle spójy graf skeroway D azywamy tak podzbór jego łuków, którego usuęce pozbawa te graf slej spójośc. Zborem rozdzelającym sle spójy graf skeroway D azywamy tak podzbór jego werzchołków, którego usuęce pozbawa te graf slej spójośc. W przypadku S = {v} T = {w} v w z twerdzea UM wykają odpowedk obu wersj twerdzea Megera dla grafu skerowaego: Wosek wersja werzchołkowa Jeżel w grafe skerowaym D = V, A wybrao dwa róże werzchołk v w, take że v, w A, to mmala moc zboru rozdzelającego werzchołk v w jest rówa maksymalej lczbe dróg werzchołkowo rozłączych z v do w. Dowód szkc Wystarczy zdefować w aturaly sposób dla grafu skerowaego odpowedk pojęca dróg werzchołkowo rozłączych oraz zastosować twerdzee UM dla S = V + v T = V w. Przykład lustrujący dowód wosku dwe drog werzchołkowo rozłącze v v T w S w MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa 0 /

134 Wosek wersja łukowa Jeżel w grafe skerowaym D = V, A wybrao dwa róże werzchołk v w, to mmala moc zboru rozspajającego werzchołk v w jest rówa maksymalej lczbe dróg łukowo rozłączych z v do w. Dowód szkc Po perwsze, trzeba zdefować dla grafu skerowaego odpowedk grafu krawędzowego tzw. graf łukowy: LD = V, A ozacza graf skeroway, w którym V = A oraz a, a A wtedy tylko wtedy, kedy łuk a a są zależe. Po druge, trzeba zdefować w aturaly sposób dla grafu skerowaego odpowedk pojęca dróg łukowo rozłączych. Wystarczy teraz zastosować twerdzee UM dla grafu LD, gdze S jest zborem takch jego werzchołków, które odpowadają łukom wychodzącym z v w grafe D, atomast T jest zborem takch werzchołków grafu LD, które odpowadają łukom wchodzącym do w w grafe D. Przykład lustrujący dowód wosku trzy drog łukowo rozłącze v c g h a d b k e w f j S a b c d e f h g j k T D LD MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa /

135 Sle spójy graf skeroway D jest k-spójy werzchołkowo, jeśl pozbawee go slej spójośc wymaga usuęca e mej ż k werzchołków. Sle spójy graf skeroway D jest k-spójy łukowo, jeśl pozbawee go slej spójośc wymaga usuęca e mej ż k łuków. Twerdzee Graf skeroway jest k-spójy werzchołkowo, jeśl dla każdych dwóch różych jego werzchołków v w steje co ajmej k dróg werzchołkowo rozłączych z v do w. Twerdzee Graf skeroway jest k-spójy łukowo, jeśl dla każdych dwóch różych jego werzchołków v w steje co ajmej k dróg łukowo rozłączych z v do w. MATEMATYKA DYSKRETNA J. Skorsk Stroa /

136 PRZEPŁYWY W SIECIACH Secą azywamy parę uporządkowaą S = D, c, gdze: D = V, A jest grafem skerowaym, c : A R + jest fukcją, która przyporządkowuje łukow u, v lczbę rzeczywstą eujemą cu, v, azywaą przepustowoścą łuku; w grafe D wyróżoe są dwa werzchołk s, t V s t azywae: s źródłem, a t ujścem sec. Przykład sec x 6 s v z t y Czasam wygode jest zdefować fukcję c a całym zborze V V wtedy przyjmujemy, że cu, v = 0 dla u, v V V \ A Przepływem z s do t w sec S azywamy fukcję f : A R +, spełającą astępujące waruk:. 0 f u, v c u, v dla każdego u, v A. f v, u f u, v = 0 dla każdego v V \ {s, t} u V + v u V v waruek zachowaa przepływu MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

137 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / Przykład przepływu w sec v x y t s 6 0 z f s, x = 6 = c s, x, f x, t = = c x, t td. +,, x V u x V u x u f u x f = f x, t + f x, v f s, x + f z, x = = = = 0 td. Wartoścą przepływu f azywamy lczbę W f daą wzorem: + =,, s V u s V u s u f u s f f W Z waruku zachowaa przepływu wyka, że + =,, t V u t V u u t f t u f f W Przykład wyzaczaa wartośc przepływu w sec Wf = f s, x + f s, y f s, v = + = 7 lub Wf = f x, t + f z, t + f y, t = + + = 7

138 Przekrojem sec, który odpowada epustemu podzborow werzchołków sec U V U, azywamy zbór łuków P U = A U V \ U = { u, v A : u U, v V \ U } Przykład przekroju sec x 0 s v z t U y Podzbór werzchołków U = { s, v, y } jego uzupełee do V to V \ U = { x, z, t } odpowadający mu przekrój sec: P U = { s, x, y, z, y, t } Przepływem przez przekrój P U azywamy lczbę f U, V \ U = u, v P U f u, v Przykład wyzaczaa przepływu przez przekrój sec Dla przekroju sec P U = { s, x, y, z, y, t } przepływ przez te przekrój wyos f {s, v, y}, {x, t, z} = f s, x + f y, z + f y, t = + + = 9 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

139 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / Lemat Jeśl s U t V \ U dla pewego podzboru U V, to dla dowolego przepływu f z s do t zachodz rówość Wf = f U, V \ U f V \ U, U, Gdze f U, V \ U jest przepływem przez przekrój P U, a f V \ U, U jest przepływem przez przekrój P V \ U. Dowód Z defcj wartośc przepływu: + =,, s V u s V u s u f u s f f W, a z waruków zachowaa przepływu w werzchołkach v U \ {s}: + =,, 0 v V u v V u v u f u v f. Zsumujmy stroam wszystke rówaa: + + = + + \ \,,,, U V s V u U s V u U V s V u U s V u s u f s u f u s f u s f f W = \ } \{ } {,,, 0 U V v V u s U v V u s v V u u v f u v f u v f + + \ } \{ } {,,, U V v V u s U v V u s v V u v u f v u f v u f dla v U \ {s} Otrzymamy rówae: + = + } { \ } {,, s U v s v V u U s V u v u f u s f f W łuk z s do v U \{s}

140 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa / U s V u s U v s v V u s u f u v f } { \ } {,, łuk z v U \{s} do s } { \ } \{ } \{,, s U v s U v V u s U v V u v u f u v f łuk w obrębe U \{s} } { \ \ \,, s U v U V v V u U V s V u u v f u s f łuk z v U do u V \U + } { \ \ \,, s U v U V v V u U V s V u v u f s u f łuk z u V \U do v U Trzy perwsze składk redukują sę do 0 pozostaje, \ \,,, \,, U U V f U V U f v u f u v f f W U U P V v u P u v = = Przykład lustrujący lemat V U \ U v x y t s 0 z Podzbór werzchołków: U = { s, y, z }, odpowadający mu przekrój sec: P U = {s, x, y, t, z, x, z, t} przepływ przez te przekrój f {s, y, z}, {v, x, t} = = 9

141 x V \ U s v 0 z t U y Podzbór werzchołków: V \ U = { v, x, t }, odpowadający mu przekrój sec: P V \ U = {v, s, v, y} przepływ przez te przekrój f {v, x, t}, {s, y, z} = + = ; 7 = Wf = f {s, y, z}, {v, x, t} f {v, x, t}, {s, y, z} = 9 = 7 Przepustowoścą przekroju P U dla U V azywamy lczbę CP U = u, v c u, v P U Przykład wyzaczaa przepustowośc przekroju x 6 s v z t U y CP {s, v, y} = cs, x + cy, z + cy, t = = MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 6 /

142 Lemat Dla dowolego przepływu f z s do t w sec S oraz przekroju P U, wyzaczoego przez podzbór U V, dla którego s U t V \ U, zachodz erówość Wf CP U, Dowód Dla ustaloego przepływu f zboru U z twerdzea wyka Wf = f U, V \ U f V \ U, U f U, V \ U Z defcj przepływu wyka, że f U, V \ U CP U Mmalym przekrojem sec pomędzy źródłem ujścem azywamy tak przekrój P U, dla którego przepustowość jest ajmejsza ze wszystkch przekrojów sec odpowadających takm podzborom U V, że s U t V \ U. Zatem dla każdego przepływu w sec jego wartość e jest wększa od przepustowośc mmalego przekroju. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 7 /

143 Przykład wyzaczaa mmalego przekroju sec x 6 s v z t y Przekroje sec pomędzy s t odpowadają wszystkm zborom postac {s} A, gdze A jest podzborem {v, x, y, z}: U = {s}, U = {s, v}, U = {s, v, x}, U = {s, x}, U = {s, x, y}, U 6 = {s, v, x, y}, U 7 = {s, v, y}, U 8 = {s, y}, U 9 = {s, y, z}, U 0 = {s, v, y, z}, U = {s, v, x, y, z}, U = {s, x, y, z}, U = {s, x, z}, U = {s, v, x, z}, U = {s, v, z}, U 6 = {s, z}. P U =,..., 6 Wartość mmala w tym cągu to 7 = C C = 9, 0, 7, 9,, 8,,,,, 8,,, 9,, P{ s, v, x} U x 6 s v z t y Podzbór U = {s, v, x} wyzacza mmaly przekrój P U pomędzy źródłem ujścem o przepustowośc C P = 7. U MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 8 /

144 Zatem przepływ: s 6 v x 0 z t y o wartośc 7 jest przepływem o maksymalej wartośc w tej sec. Czy w każdej sec moża zaleźć przepływ o wartośc rówej przepustowośc mmalego przekroju? TAK Twerdzee Ford Fulkerso, 9 W każdej sec maksymala wartość przepływu ze źródła do ujśca jest rówa przepustowośc mmalego przekroju pomędzy źródłem ujścem. Dla daej sec S = D, c, gdze D = V, A jest grafem skerowaym rozważmy drogę prostą P = v,, v k w pochodym grafe ekerowaym GD. Drodze P odpowada cąg łuków a,, a k, w którym a A dla =,, k oraz a = v, v + albo a = v +, v. Łuk a w przypadku a = v, v + azywamy łukem zgodym z kerukem od v do v k, a w przypadku a = v +, v łukem ezgodym z tym kerukem. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 9 /

145 Dla daego przepływu f w sec S oraz drog prostej P cąg a,, a k azywamy śceżką z v do v k powększającą przepływ f, jeśl dla każdego łuku a zgodego z kerukem od v do v k zachodz f a < ca, a dla każdego łuku a ezgodego z kerukem od v do v k zachodz f a > 0. Jeżel dla daego przepływu f steje w sec śceżka z s do t powększająca te przepływ, to wartość przepływu przez seć moża zwększyć o pewą wartość ε > 0, defując owy przepływ f, w którym f a = f a + ε, dla każdego łuku a zgodego z kerukem od s do t, oraz f a = f a ε, dla każdego łuku a ezgodego z tym kerukem. Najwększa możlwa wartość ε jest rówa mmum z różc pomędzy przepustowoścą wartoścą przepływu dla łuków zgodych z kerukem z s do t oraz z wartośc przepływu dla łuków ezgodych. Przykłady śceżek powększających przepływy w sec 6 x s v z 0 t y W f = Cąg łuków s, x, z, x, z, t odpowada drodze P = s, x, z, t w GD. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa 0 /

146 Łuk s, x z, t są zgode z kerukem od s do t, a łuk z, x jest ezgody z tym kerukem. 6 x s v z 0 t y W f = Cąg łuków s, x, z, x, z, t jest śceżką z s do t powększającą przepływ f : cs, x f s, x = 6 = cz, t f z, t = 0 =, czyl dla łuków zgodych z kerukem od s do t zachodz f a < ca; f z, x = > 0 dla łuku ezgodego z tym kerukem. Moża zatem zwększyć wartość przepływu w sec przyjmując ε = ; owe wartośc przepływów przez łuk ze śceżk wyosą wtedy: f s, x = f s, x + = + =, f z, x = f z, x = = 0 f z, t = f z, t + = 0 + = ; W f = W f + = + = 6 6 x s v 0 z t y W f = 6 MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

147 6 x 0 s v z t y W f = 6 Cąg łuków v, s, x, v, x, t jest śceżką z s do t powększającą przepływ f : cx, t f x, t = =, czyl dla łuku zgodego z kerukem od s do t zachodz f a < ca; f v, s = > 0 f x, v = > 0 dla łuków ezgodych z tym kerukem. Moża zatem zwększyć wartość przepływu w sec przyjmując ε = ; owe wartośc przepływów przez łuk ze śceżk wyosą wtedy: f v, s = f v, s = =, f x, v = f x, v = = f x, t = f x, t + = + = ; W f = W f + = 6 + = 7 6 x s v 0 z t y W f = 7 Twerdzee Przepływ f w sec S jest maksymaly wtedy tylko wtedy, kedy e steje dla ego śceżka powększająca ze źródła s do ujśca t. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

148 SKOJARZENIA ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = V, E Dwe krawędze e, e E azywamy ezależym, jeśl e są cydete ze wspólym werzchołkem. Skojarzeem w grafe G azywamy dowoly podzbór krawędz param ezależych. Przykład skojarzea Dwa werzchołk v, v V azywamy ezależym, jeśl e są werzchołkam sąsedm e są cydete z tą samą krawędzą. Zborem wewętrze stablym werzchołków grafu G azywamy dowoly podzbór werzchołków param ezależych. Przykład zboru wewętrze stablego MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

149 Przykład zastosowaa zboru wewętrze stablego Na zadaym obszarze mamy ustaloą lczbę mejsc, w których możemy ulokować pewą lczbę obektów. Mejsca te są poumerowae od do będzemy je przedstawal jako werzchołk grafu. Dla każdego mejsca =,, zay jest podzbór mejsc K, w których umeszczee kolejego obektu e jest możlwe, jeśl jest o już umeszczoy w mejscu. Chcemy a podaym obszarze umeścć jak ajwększą lczbę obektów w podaych lokalzacjach Np. K = {,, 6, 8}, K = {8, 9,,, }. Opsae zagadee moża wygode przedstawć jako poszukwae wewętrze stablego zboru werzchołków o maksymalej mocy w tzw. grafe koflktów: V = {,, } E = {{, j} : V, j K}. Uwaga: Zagadee wyzaczaa maksymalego skojarzea w grafe jako problem algorytmczy ma złożoość welomaową, ale zagadee wyzaczaa maksymalego zboru wewętrze stablego werzchołków ależy estety do klasy problemów NP-trudych. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

150 Rozważmy skojarzee M E w grafe G = V, E Drogą przemeą względem skojarzea M w grafe G azywamy drogę prostą w tym grafe, której koleje krawędze a przema albo ależą, albo e ależą do M. Przykłady dróg w grafe ze skojarzeem P P Q P =, {, },, {, },, {, },, {, },, {, }, jest drogą przemeą względem skojarzea M = {{, }, {, }}; P =, {, },, {, },, {, },, {, }, jest drogą przemeą względem skojarzea M; Q e jest drogą przemeą względem M. Werzchołk grafu cydete z krawędzam ależącym do skojarzea M azywamy werzchołkam asycoym, atomast pozostałe werzchołk grafu azywamy werzchołkam easycoym. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /

151 Drogą powększającą względem skojarzea M w grafe G azywamy drogę przemeą względem M, która e jest cyklem której końce są werzchołkam easycoym względem tego skojarzea. Twerdzee Berge, 97 Skojarzee M w grafe G jest skojarzeem o maksymalej mocy wtedy tylko wtedy, kedy graf G e zawera drog powększającej względem M. Claude Berge Dowód twerdzea oparty jest a spostrzeżeu, że jeśl w grafe G steje droga P powększająca względem skojarzea M, to zbór krawędz M EP jest także skojarzeem w grafe G ma moc o jede wększą od mocy M. EP ozacza zbór krawędz w drodze P. MATEMATYKA DYSKRETNA J.Skorsk Stroa /