Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Transkrypt

1 Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk

2 Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f jest różczkowala w pukce x ( α, β ) wtw. gdy steje taka lczba a R zwaa pochodą fukcj f w pukce x, że zachodz lm f ( x) f ( x ) a ( x x ) x x = x x Pochodą fukcj f w pukce x ozaczamy f ( ) Pochoda fukcj, jeżel steje, jest określoa jedozacze ' x

3 Pochoda fukcj rzeczywstej welu zmeych rzeczywstych Nech f : R Z R, Z zbór otwarty Fukcja f jest różczkowalaw pukce x wtw. gdy steje wektor a R zway gradetemfukcj f w pukce zachodz lm f Z Gradet fukcj f w pukce x ozaczamy f ( ) Gradet w pukce x, jeżel steje, jest określoy jedozacze x ( x) f ( x ) a ( x x ) x x = x x x

4 Gradet jak go oblczać? Ozaczmy e = [ ] T , 1 wystepuje a tym mejscu Załóżmy, że f jest rózczkowala w pukce x ( ) ( ) zdefujmy D = { h R : x + he Z }, f : D R, f ( h) = f ( x + he ), wówczas f ( x + he ) f ( x ) a ( x + he x ) = = lm lm h h ( h) f ( ) h ( a e ) Zatem f '( ) = e = a, gdy f h x + he x a f ( x ) = a = [ a a... ]. 1 a T

5 Pochode cząstkowe Pochodą fukcj f '( ) azywamy pochodą cząstkową fukcj f względem -tej zmeej w pukce x ozaczamy f f ( x ) f, ( x ), f ' ( x ) x x Pochodą cząstkową względem -tej zmeej (-tej współrzędej) moża oblczyć ustalając wszystke zmee (współrzęde wektora) poza -tą oblczyć pochodą fukcj f jako fukcj tej jedej (pozostałej, e ustaloej ) zmeej x

6 Pochode cząstkowe, c. d. Zadae: oblczyć pochode cząstkowe fukcj f w pukce x, gdy ( ) ( ) 3 f x, x, x = x + x, x = 1,1, Zadae: oblczyć pochode cząstkowe fukcj tz. x 1 1 = t = 1 PYTM (, t,..., t, C,..., C ) P P P,,, = 1,,..., YTM C t C T ( 1 + YTM )

7 Gradet a różczkowalość Jeżel w pukce x steją pochode cząstkowe względem wszystkch zmeych, to steje gradet, który defujemy jako f f f f... x x1 x x ( x ) = ( x ) ( x ) ( ) Uwaga: e jest prawdą, że jeżel steje gradet, to fukcja jest różczkowala! Przykład: xy (, ), gdyx + y f xy = x + y,, gdyx= y=. e jest cągła w p. (,) chocaż steje T f (,. )

8 Kryterum różczkowalośc Prawdzwe jest astepujące Twerdzee. Nech f: R Z Rbędze określoa a zborze otwartym Z. Jeżel w każdym pukce zboru Z steją pochode cząstkowe względem wszystkch zmeych, oraz każda z fukcj f x : R Z R jest cągła, to fukcja f jest różczkowala w każdym pukce zboru Z

9 Pochode cząstkowe wyższych rzędów Nech f: Z oraz ech, Załóżmy, że w każdym pukce kul fukcja f posada pochodą cząstkową względem -tej zmeej K r Z R R ( x ) K ( x r ) Rozważamy pochodą cząstkową względem -tej zmeej jako fukcję f x ( x ) x ( x) : K, r f x,

10 Pochode cząstkowe drugego rzędu Jeżel zdefowaa a poprzedm slajdze fukcja ma pochodą cząstkową względem j-tej zmeej w pukce x, wówczas lczbę f x x j ( x ) azywamy pochodą cząstkową drugego rzędu względem zmeych oraz Twerdzee Schwarza: Przy pewych założeach regularośc moża udowodć, że x x j f f f x x x x x x ( x ) = ( x ) = : ( x ) j j j

11 Pochode cząstkowe wyższych rzędów, c. d. Pochode drugego rzędu względem tej samej zmeej f f : = x x x ( ) ( ) x x Podobe jak pochode drugego rzędu, defujemy pochode wyższych rzędów 3 3 f f f ( ), ( ),..., ( ),... x x x x x x x x x... x x j k j 1 Zadae: Oblczyć,,,,, gdy 1 (, ) = (1 + exp ( a + ax + ax )) f x x f f f f f x x x x x x

12 Wzór Taylora dla fukcj dwóch zmeych do wyrazów. rzędu Nech f: Z oraz ech K x, r ) Z Załóżmy, że każdym pukce kul K ( x, r fukcja f posada pochode cząstkowe drugego rzędu względem dowolej pary zmeych spośród zmeych, są oe fukcjam cągłym w kul K ( x, r ), wówczas f ( x, y ) f ( x, y ) (, ) (, ) R R ( ) f x + x y + y = f x y + x + y x y (, ) (, ) (, ) ( ) ( ) 1 f x y 1 f x y f x y + x + y + x y x y x y ( ( ) ( y ) ) + o x +

13 Wzór Taylora dla fukcj welu zmeych do wyrazów. rzędu Hesja fukcj welu zmeych w pukce Hf ( x ) f ( x ) = x x j, j = 1,..., Wzór Taylora do wyrazów rzędu drugego w wersj macerzowej 1 T f ( x + x) = f ( x ) + f ( x ) x + ( x) Hf ( x ) x ( x ) + o x

14 Ekstrema fukcj welu zmeych Waruek koeczy: Jeżel fukcja f: R Z R posada w pukce x K ( x, r ) Z pochodą cząstkową perwszego rzędu względem zmeej x oraz w tym pukce steje ekstremum lokale, to f ( x ) x Waruek wystarczający? Dodata (ujema) określoość hesjau: = ( ) x R, x,,..., x T Hf x x > ( < ) T

15 Waruek wystarczający a stee ekstremum lokalego, c.d. Warukem wystarczającym a stee maksmum (mmum) lokalego w pukce jest x stee zerowae sę pochodych cząstkowych rzędu 1. względem wszystkch zmeych (pukt stacjoary) ( x ) ( x ) ( x ) f f f = =... = = x x x 1 oraz ujema (dodata) określoość hesjau w pukce x

16 Zbory wypukłe w R fukcje wypukłe welu zmeych Zbór Z R azywamy zborem wypukłym, jeżel dla każdych dwóch puktów x, x Z 1 dowola kombacja wypukła tych puktów t x ( ) + 1 t x, t,1 1 ależy róweż do zboru Z. Fukcja f: R Z R, określoa a zborze wypukłym Z jest wypukła (wklęsła), jeżel dla dowolych puktów x, x Z zachodz 1 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) t,1 f tx + 1 t x tf x + 1 t f x 1 1

17 Waruek wystarczający wypukłośc Ekstrema fukcj wypukłych Nech f: R Z R, Z wypukły, otwarty Jeżel w każdym pukce x Z steje dodato hesja jest o dodato (ujeme) określoy, wówczas fukcja f jest wypukła (wklęsła) Zadae: Udowodć, że jeżel f: R V R, V domkęty oraz wypukły, o epustym wętrzu Z, f wypukła, wówczas Z wypukły, oraz fukcja przyjmuje ekstremum a zborze V\Z

18 Nech Kryterum Sylwestera Zadae T Q = a, Q = Q, j, j = 1,,..., Q = a, k = 1,,..., k, j, j = 1,,..., k Symetrycza forma Q jest dodato (ujeme) określoa, czyl x R x T Qx > ( < ), jeżel ( ) detq >, k = 1,,..., ( 1 detq >, k = 1,,..., ) k Zadae: Rozstrzygąć czy fukcja f jest wklęsła, gdy k 3 ( ) ( ) ( + R ) 1 3 = f:,, f x, x, x l x x x k

19 Wzór Taylora Wzór Taylora dla zmeych do wyrazów rzędu k 1 T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x + x = f x + f x x + x Hf x x f ( x ) 3 3 f ( x ) ( ) + x ( x1 ) ( x ) ! x 3! x x 1 1 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 3 3! f ! x x x 1 3 k ( x ) k k f ( x ) ( ) k 1 f! + x x x... x k! x!... k o ( k x ) ( ) ( ) ( ) 1 1 k x1 x xk k