Matematyczny opis ryzyka

Transkrypt

1 Aalza ryzyka kosztowego robót remotowo-budowlaych w warukach epełe formac Mgr ż Mchał Bętkowsk dr ż Adrze Powuk Wydzał Budowctwa Poltechka Śląska w Glwcach MchalBetkowsk@polslpl AdrzePowuk@polslpl Streszczee Jedym z kluczowych problemów w procese budowlaym est oszacowaa ryzyka Podstawową barerą est brak warygodych statystycze daych W artykule autorzy przedstawl autorską kocepce zmee losowe o parametrach rozmytych ako arzędza łączącego zalety podeśca probablstyczego opartego o algebrę zborów rozmytych przy elmac podstawowych ograczeń obu podeść Matematyczy ops ryzyka Z ryzykem mamy do czyea wtedy gdy poesoe koszty realzac proektu wększe od założoego pozomu kosztów maksymalych Z będą Z Z brak ryzyka ryzyko () W przypadku gdy dyspouemy odpowedo dużą lczbą formac to możemy statystycze opsać wartośc poesoych kosztów realzac przy pomocy zmee losowe ( ) : R () Teraz moża zdefować ryzyko ako prawdopodobeństwo przekroczea założoego pozomu kosztów ( ) : ( ) Z Z R = P (3) Jak wdać ryzyko est fukcą założoego pozomu kosztów zmee losowe Z Jeśl zamy dystrybuatę Z ( ) ( ) : ( ) = P = f x dx (4) Z Z to ryzyko może zostać określoe astępuąco : : ( ) ( ) R = P = P = (5) Z Z Z Z

2 Przedzałowe charakterystyk ryzyka Z uwag a różego rodzau epewośc bardzo trudo precyzye przewdzeć całkowty koszt westyc budowlae epewośc ake ależy uwzględć w tym procese moża ogóle rzecz borąc podzelć a trzy grupy: - epewośc przypadkowe wykaące z losowego charakteru welu zawsk - epewośc systematycze wykaą z braku warygodego źródła formac - błędy grube zwykle są to różego rodzau pomyłk W przypadku gdy mamy wystarczaącą lość daych epewośc przypadkowe moża opsywać przy pomocy teor prawdopodobeństwa W takm przypadku zakładamy że dyspouemy pewym zborem pomarów daego kosztu składowego : (6) Lczby (6) moża uzać za realzace pewe zmee losowe W takm przypadku moża kostruować probablstycze charakterystyk (statystk) opsuące zmeą losową : R aczęśce oblczamy wartość średą /lub waracę: ( ) = ( ) s = (7) Przy pomocy oblczoych statystyk możemy dokoywać dalsze obróbk statystycze otrzymaych daych ależy edak podkreślć że każdy pomar obarczoy est róweż błędam systematyczym a czasem róweż grubym Zatem zamast puktowe wartośc pomaru ależy rozważyć cały przedzał możlwych wartośc które może przymować (8) Górą dolą grace przedzału moża zwykle oszacować a podstawe ogóle wedzy o daym koszce Dowola statystyka h zmee losowe est fukcą daych pomarowych ( ) ( ) Zatem eśl pomary będą przedzałam przedzałem h = h (9) zatem statystyka ( ) ( ) h też będze h = h = h : (0) Przykładowo przedzałową wartość średą moża określć astępuąco: = = : ()

3 To samo dotyczy dowolych ych probablstyczych charakterystyk takch ak p fukc gęstośc rozkładu prawdopodobeństwa W tym przypadku otrzymuemy f ( x) przedzałową fukcę gęstośc rozkładu prawdopodobeństwa gdze ( ) f ( x) f x = f x : () f x est empryczą fukcą gęstośc otrzymaą a podstawe pomarów Ryzyko może zostać oszacowae est a podstawe zboru pewych formac dotyczących kosztów Zbór te moża przedstawć ako macerz o zmee lczbe elemetów w każdym werszu M = M M = (3) M M Zatem ryzyko est fukcą zboru daych gdze ( ) R( ) R = (4) Z Z Z est założoym pozomem kosztów oraz ryzyko określoe est przy pomocy wzoru otrzymuemy astępuąco: (3) Zatem przedzałową wartość ryzyka ( ) ( ) ( ) Z : Z = R Z R Z = R Z (5) Rozmyte charakterystyk ryzyka Przedzałowe charakterystyk ryzyka daą abardze pesymstycze oszacowae wartośc ryzyka ( ) = f ( ) : + R ( ) R ( ) R R Z Z Z = sup : (6) Poadto oszacowae e uwzględa zależośc pomędzy różym wartoścam Przykładowo błędy systematycze zwykle aczkolwek e zawsze maą podoby wpływ a część pomarów e trzeba uwzględać całego zakresu zmeośc przedzału Poadto przedzały są czasem zbyt szeroke zęścowym rozwązaem tych problemu est kocepca zborów rozmytych [] W tym uęcu zbór daych e składa sę tylko z przedzałów Składa sę z zageżdżoe rodzy daych przedzałowych (tzw -przekroów) Z (7) 0

4 Zakładamy przy tym że przedzałowe dae stotośc czyl zostały utworzoe a pewym pozome ( \ ) ( ) ( ) P R = P + = W tym przypadku dla każdego -przekrou możemy oblczyć przedzałowe ryzyko ( ) ( ) (8) : Z = R Z R Z = R Z (9) Teraz moża zbudować fukcę przyależośc rozmytego ryzyka ( ) sup : ( ) x = x R (0) R F Z Z Zmee losowe z rozmytym parametram W dotychczasowych rozważaach e uwzględalśmy formac a temat charakteru rozkładu prawdopodobeństwa Jedak w pewych zastosowaach e trzeba rozważać wszystkch możlwych fukc gęstośc moża sę ograczyć do pewe klasy fukc aczęśce mamy do czyea p z rozkładam ormalym beta beta-pert W takm przypadku zamy rozkład prawdopodobeństwa a e zamy ego parametrów Przykładowo parametry rozkładu ormalego określamy a podstawe wartośc średe z próby oraz warac z próby a skutek występowaa bardzo trudych do usuęca błędów grubych systematyczych dae a temat kosztów są obarczoe epewoścam Moża e edak oszacować przy pomocy przedzałów R F Z lub bardze dokłade przy pomocy lczb rozmytych o -przekroach Dlatego parametry rozkładu ormalego będą odpowedo rozmytą (przedzałową) wartoścą średą: oraz rozmytą (przedzałową) waracą = : () ( ) s = : () W tak opsay sposób moża otrzymać fukcę przyależośc rozmyte wartośc średe warac s F F ( ) sup : ( ) sup : x = x (3) F x = x s s (4) F

5 W podoby sposób moża zdefować rozmyte charakterystyk dowolych rozkładów prawdopodobeństwa Poprzez uwzględee dodatkowe formac o charakterze rozkładu prawdopodobeństwa uzyskuemy zwykle węższe oszacowae ż w przypadku zastosowaa metody opsae w poprzedm pukce Jeśl mamy day rozkład prawdopodobeństwa zależy od wektora parametrów h f ( x h) który charakteryzue rozkład kosztu całkowtego westyc budowlae to ryzyko (zależe od parametru h) moża oblczyć astępuąco ( ) ( ) R Z h = f x h dx (5) Z Teraz moża oblczyć ryzyko ako lczbę rozmytą określoą przy pomocy wzoru (5) oraz metody -przekroów : Z = R Z h h h (6) sup : ( ) x = x R (7) R F Z Z Tak określoe rozmyte ryzyko ( ) zmodyfkowae metody Mote arlo [] R F Z może zostać oblczoe p przy wykorzystau Lteratura [] eumaer A louds fuzzy sets ad probablty tervals Relable omputg 0: 004 [] Bętkowsk M Powuk A Szacowae ryzyka kosztowego procesu budowlaego z wykorzystaem zmee losowe o parametrach rozmytych w oparcu o metodę Mote- arlo ofereca aukowo-techcza pt BUDOWITWO POLSIE W RO PO WSTAPIEIU DO UII EUROPEJSIEJ Gdańsk 9 - czerwca 005