O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi"

Transkrypt

1 O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą własość mają liczby 1, 1, 2, 4: Spójrzmy a astępe przykłady: = = = = = Dla daej liczby aturalej 2 iteresować as będą ciągi (x 1,..., x ), liczb aturalych takich, że: x 1 + x x = x 1 x 2 x oraz x 1 x 2 x. Zbiór wszystkich takich ciągów ozaczać będziemy przez A(). Natomiast przez ozaczać będziemy moc zbioru A(), tz. liczbę wszystkich elemetów zbioru A(). Jedyym ciągiem ależącym do A(2) jest (2, 2); zatem a(2) = 1. Powyżej podaliśmy przykłady dla = 3, 4, 5. Wykażemy teraz, że są to wszystkie przykłady tego rodzaju. Twierdzeie 1. a(3) = 1, a(4) = 1, a(5) = 3. Dowód. Dla = 3 mamy: x 1 x 2 x 3 = x 1 + x 2 + x 3. Jest oczywiste, że liczby x 1, x 2, x 3 ie mogą być wszystkie rówe. Zatem x 1 x 2 x 3 = x 1 + x 2 + x 3 < 3x 3, skąd x 1 x 2 < 3. Para (x 1, x 2 ) jest więc jedą z par (1, 1), (1, 2). Szybko stwierdzamy, że możliwy jest tylko przypadek (x 1, x 2 ) = (1, 2) i w tym przypadku x 3 = 3. Do zbioru A(3) ależy więc tylko jede elemet (1, 2, 3). Niech = 4. Poieważ x 1 x 2 x 3 x 4 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 < 4x 4 (przypadek x 1 = x 2 = x 3 = x 4 jest oczywiście iemożliwy), więc x 1 x 2 x 3 3. Trójka (x 1, x 2, x 3 ) jest zatem jedą z trójek (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3). Jedyie przypadek (x 1, x 2, x 3 ) = (1, 1, 2) ie prowadzi do sprzeczości. Do zbioru A(4) ależy tylko elemet (1, 1, 2, 4). Dla = 5 postępujemy podobie. Najpierw zauważamy, że x 1 x 2 x 3 x 4 4 i stą wioskujemy, że (x 1, x 2, x 3, x 4 ) może być jedyie jedą z czwórek (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 3), (1, 1, 1, 4), (1, 1, 2, 2). Czwórki (1, 1, 1, 1) i (1, 1, 1, 4) ie są dobre. Dla ich ie zajdziemy odpowiediej liczby x 5. Z pozostałych trzech czwórek otrzymamy wszystkie elemety zbioru A(5): (1, 1, 1, 2, 5), (1, 1, 1, 3, 3) i (1, 1, 2, 2, 2). Ie dowody Twierdzeia 1 zajdziemy, a przykład, w książkach [2] str lub [3] str

2 Twierdzeie 2. Każdy zbiór postaci A() (gdzie 2) ma co ajmiej jede elemet. Dowód. Do zbioru A() ależy ciąg (x 1,..., x ), w którym x =, x 1 = 2 i pozostałe wyrazy x i są jedykami. Załóżmy, że (x 1,..., x ) A(). Wtedy x i x x 1 x 2... x = x 1 + x x x + x + x = x dla wszystkich i = 1,..., 1. Zatem liczby x 1,..., x 1 są miejsze lub rówe. Liczby te wyzaczają liczbę x. Przy daych x 1,..., x 1 wyraz x zajdziemy bowiem z rówości x 1 x = x x. Stąd wyika: Twierdzeie 3. Dla każdego 2 zbiór A() jest skończoy. Zaotujmy kilka zaych własości. Twierdzeie 4. Jeśli (x 1,..., x ) A() i 3, to x 1 x 2 x 1 1. Dowód. Zauważmy, że wszystkie liczby x 1,..., x ie mogą być rówe. Przypuśćmy bowiem, że x 1 = = x = x. Wtedy x = x i stąd x = 1. Ale 1 < 1 < 2 dla 3, więc mamy sprzeczość. Zatem i stąd wyika teza. x 1 x 2 x 1 x = x 1 + x x < x Twierdzeie 5 ([2] 175). Dla każdego s N istieje N takie, że > s. Dowód. Niech = 2 2s +1 i iech x 1 = x 2 = = x 2 = 1. Dla daego j = 0, 1, 2,..., s określamy: x 1 = 2 j + 1, x = 2 2s j + 1. Każdy otrzymay w te sposób ciąg (x 1,..., x ) ależy do zbioru A() i ciągów takich jest s + 1. Twierdzeie 6. Jeśli (x 1,..., x ) A(), 2, to x x 2 i przy tym rówość zachodzi tylko w przypadku ciągu (1, 1,..., 1, 2, ). Dowód. Niech b ozacza liczbę jedyek w ciągu (x 1,..., x ) A(). Ozaczmy przez k liczbę tych liczb w ciągu (x 1,..., x ), które są większe od jedyki. Liczby większe od jedyki ozaczmy odpowiedio przez y 1 + 1, y 2 + 1,..., y k + 1, gdzie 1 y 1 y 2 y k. Oczywiście k 2, b + k = oraz (1) (y 1 + 1)(y 2 + 1)... (y k + 1) = y 1 + y y k + k + b. Niech k = 2. Wtedy y 1 y 2 = 1 i stąd y 1 + y =, a zatem x x = + y 1 + y 2 2, przy czym rówość zachodzi tylko w przypadku, gdy y 1 = 1, y 2 = 1, tz. tylko wtedy, gdy (x 1,..., x ) = (1, 1,..., 1, 2, ). 2

3 Niech k 3. Wtedy z rówości (1) otrzymujemy: y y k y 1 y 2 + y 2 y y k y 1 < (y 1 + 1)(y 2 + 1)... (y k + 1) (y y k ) =. Zatem x x = y y k + < 2. Powyższe twierdzeie było zadaiem a zawodach drugiego stopia Olimpiady Matematyczej w roku szkolym 1989/1990. Iy dowód zajdziemy w [1] (stroa 44). Twierdzeie 7. Niech (x 1,..., x ) A(). Ozaczmy przez b liczbę jedyek występujących w ciągu (x 1,..., x ). Wtedy b 1 [log 2 ]. Rówość zachodzi a przykład wtedy, gdy jest liczbą postaci 2 s s (gdzie s 2) oraz (x 1,..., x ) = (1,..., 1, 2, 2,..., 2). }{{} s Dowód. Z twierdzeia 6 wyika, że: 2 b x 1 x = x x 2. Zatem b log 2 (2) = 1 + log 2 i stąd b 1 [log 2 ]. Pozostała część tego twierdzeia jest oczywista. Twierdzeie 8. Jeśli jest liczbą parzystą i (x 1,..., x ) A(), to liczba x x jest podziela przez 4. Dowód. Przypuśćmy, że wszystkie liczby x 1,..., x są ieparzyste. Mamy wówczas parzystą liczbę liczb ieparzystych. Suma x x jest wtedy liczbą parzystą, a iloczy x 1 x liczbą ieparzystą. Co ajmiej więc jeda z liczb x 1,..., x jest parzysta. Suma wszystkich liczb (jako, że jest rówa iloczyowi) jest zatem parzysta. Wśród liczb tych muszą więc być co ajmiej dwie liczby parzyste Tabelki, otrzymae przy pomocy komputerowego programu, przedstawiają liczby dla Odczytujemy z ich a przykład, że a(50) = 4, a(100) = 5. 3

4 Zbiór A(50) ma więc dokładie 4 elemety. Moża wykazać, że każdy ciąg (x 1,..., x 50 ), ależący do A(50) jest taki, że x 1 = x 2 = = x 47 = 1 oraz (x 48, x 49, x 50 ) jest jedym z ciągów: (1, 2, 50), (1, 8, 8), (2, 2, 17), (2, 5, 6). Zbiór A(100) ma dokładie 5 elemetów. Każdy z tych elemetów jest postaci (x 1,..., x 100 ), gdzie x 1 = x 2 = = x 95 = 1 oraz (x 96, x 97, x 98, x 99, x 100 ) jest jedym z ciągów: (1, 1, 1, 2, 100), (1, 1, 1, 4, 34), (1, 1, 1, 10, 12), (1, 1, 4, 4, 7), (2, 2, 3, 3, 3). Przy pomocy komputera moża wykazać, że a(1997) = 20, a(1998) = 8, a(1999) = 16, a(2000) = 10. Z tabelki odczytujemy, że 24 jest ajwiększą dwucyfrową liczbą taką, że = 1. Istieją dokładie 3 liczby aturale trzycyfrowe spełiające rówość = 1. Są to liczby 114, 174 oraz 444. Autorzy ie zają odpowiedzi a astąpujące pytaie. Czy istieje liczba aturala taka, że = 1 i > 444? Przedstawimy jeszcze kilka spostrzeżeń dotyczących przypadku = 1. Twierdzeie 9. Niech > 2. Jeśli = 1, to 1 jest liczbą pierwszą. Dowód. Przypuśćmy, że 1 ie jest liczbą pierwszą. Wtedy = ab + 1, gdzie a, b N, 2 a b i wtedy ciągi (1, 1,..., 1, 2, ), (1, 1,..., 1, a + 1, b + 1) są róże i ależą do zbioru A(). Stąd, w szczególości, otrzymujemy: Twierdzeie 10. Jeśli 4 i = 1, to 2. Wykażemy jeszcze: Twierdzeie 11. Jeśli 5 i = 1, to 3. Dowód. Z Twierdzeia 9 wyika, że ie może być postaci 3k + 1. Jeśli = 3k + 2, to oprócz ciągu (1,..., 1, 2, ) w zbiorze A() zajduje się ciąg (1, 1,..., 1, 2, 2, k + 1). Z powyższych dwóch twierdzeń otrzmujemy Twierdzeie 12. Jeśli = 1 i 5, to 6. Zaotujmy astępe fakty Twierdzeie 13. 7k + 6 (k 14). Jeśli = 1 i > 100, to jest postaci 7k lub 7k + 2 lub 7k + 3 lub Dowód. Do zbioru A() ależy zawsze ciąg (1,..., 1, 2, ). Jeśli = 7k + 1 lub 7k + 4 lub 7k + 5, to do zbioru A() rówież ależą odpowiedio ciągi (1, 1,..., 1, 8, k + 1), (1, 1,..., 1, 2, 4, k + 1), (1, 1,..., 2, 2, 2, k + 1). Twierdzeie 14. Jeśli = 1 i > 100, to jest postaci 30k lub 30k + 24 (k 3). 4

5 Dowód. Poieważ 6 (Twierdzeie 12), więc ma jedą z postaci 30k, 30k+6, 30k+12, 30k + 18 lub 30k Jeśli = 30k + 6, to 1 ie jest liczbą pierwszą; sprzeczość z twierdzeiem 9. Wiemy, że do zbioru A() ależy zawsze ciąg (1,..., 1, 2, ). W przypadku, gdy = 30k + 12 lub = 30k + 18, do zbioru A() ależą odpowiedio ciągi (1, 1,..., 1, 2, 2, 2, 2, 2k + 1), (1, 1,..., 1, 2, 3, 6k + 4). Z tych twierdzeń wyika, że jeśli > 100 ad = 1, to liczba ma jedą z postaci 210k, 210k + 24, 210k + 30, 210k + 84, 210k + 90, 210k + 114, 210k lub 210k Wykazaliśmy (patrz twierdzeie 14) że jesĺi = 1 i 5, to jest postaci 30k lub 30k + 24 (k 0). Sądzimy jedak, że przypadek = 30k ie zachodzi. Hipoteza 1. Jeśli 5 i = 1, to jest postaci 30k Hipoteza 2. Jeśli > 100 i = 1, to = 114 lub = 174 lub = 444. Literatura [1] XLI Olimpiada Matematycza 1989/90, Sprawozdaie Komitetu Główego, Warszawa [2] W. Sierpiński, Teoria Liczb, Część II, PWN, Warszawa [3] S. Straszewicz, Zadaia z Olimpiad Matematyczych, tom IV, 16-20, 64/65-68/69, PZWS, Warszawa,

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup 1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Entropia w układach dynamicznych

Entropia w układach dynamicznych Etropia w układach dyamiczych Wstęp Środowiskowe studia doktorackie Uiwersytet Jagielloński Kraków, marzec-kwiecień 203 Tomasz Dowarowicz Część II Etropia topologicza i zasada wariacyja Zaczijmy od początku.

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

O podzielności liczb

O podzielności liczb Spis treści: I. Rys historyczy... 2 II. Podzielość liczb całkowitych... 4 1. Podzielość... 4 2. Dzieleie liczb całkowitych... 5 3. Największy wspóly dzielik i ajmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3 Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

Twoja firma. Podręcznik użytkownika. Aplikacja Grupa. V edycja, kwiecień 2013

Twoja firma. Podręcznik użytkownika. Aplikacja Grupa. V edycja, kwiecień 2013 Twoja firma Podręczik użytkowika Aplikacja Grupa V edycja, kwiecień 2013 Spis treści I. INFORMACJE WSTĘPNE I LOGOWANIE...3 I.1. Wstęp i defiicje...3 I.2. Iformacja o możliwości korzystaia z systemu Aplikacja

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki 52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm Regulami Kokursu I. POSTANOWIENIA OGÓLNE. 1. Regulami określa zasady KONKURSU p. Wygrywaj agrody z KAN-therm (dalej: Kokurs). 2. Orgaizatorem Kokursu jest KAN Sp. z o.o. z siedzibą w Białymstoku- Kleosiie,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia IV i V. 1 Rozwiązanie: Π. średnia liczba obsługiwanych klientów: 6.67 w ciągu godziny = Π1

Ćwiczenia IV i V. 1 Rozwiązanie: Π. średnia liczba obsługiwanych klientów: 6.67 w ciągu godziny = Π1 Ćwiczeia IV i V We wszystkich poiższych zadaiach ależy przyjąć, że zgłoszeia (lub ich odpowiediki) przychodzą zgodie z rozkładem Poissoa, a czasy obsługi podlegają rozkładowi wykładiczemu. Zadaia r i pochodzą

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie błądzenia przypadkowego do testowania generatorów liczb pseudolosowych

Zastosowanie błądzenia przypadkowego do testowania generatorów liczb pseudolosowych Uiwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Iformatyki Istytut Iformatyki Grzegorz Łoś Zastosowaie błądzeia przypadkowego do testowaia geeratorów liczb pseudolosowych Praca magisterska apisaa pod kierukiem

Bardziej szczegółowo

CHAOS A NIEOBLICZALNOŚĆ

CHAOS A NIEOBLICZALNOŚĆ FILOZOFIA I NAUKA Studia filozoficze i iterdyscypliare Tom 2, 214 Adrzej Wilk 1 Istytut Filozofii i Socjologii PAN CHAOS A NIEOBLICZALNOŚĆ STRESZCZENIE Tekst jest poświęcoy problemowi implemetacji ieobliczalości

Bardziej szczegółowo

Materiały Konferencji MathPAD 2008

Materiały Konferencji MathPAD 2008 Materiały Koferecji MathPAD 2008 Wydział Matematyki i Iformatyki Uiwersytetu Mikołaja Koperika w Toruiu 9-22 sierpia 2008 Redakcja materiałów: Mirosław Majewski (e-mail: mirek.majewski@yahoo.com) Robert

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm SYSTEM KAN-therm Nowoczese istalacje wode i grzewcze WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm HP DESIGNJET T790 może być Twój! Szczegóły a www.kokurs-ka.pl ISO 9001 Projektuj istalacje w Systemie KAN-therm i walcz

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek

Bardziej szczegółowo

Działania wewnętrzne i zewnętrzne

Działania wewnętrzne i zewnętrzne Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Cztery punkty na okręgu

Cztery punkty na okręgu Tomasz Szymczyk V LO w ielsku-iałej ztery punkty na okręgu Przydatne fakty: (1) kąty wpisane w okrąg oparte na łukach przystających są równe, (2) czworokąt jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

Bardziej szczegółowo

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji:

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji: Wyszukiwaieiformacjitoproceswyszukiwaiawpewymzbiorze tychwszystkichdokumetów,którepoświęcoesąwskazaemuw kweredzietematowi(przedmiotowi)lubzawierająiezbędedla Wg M. A. Kłopotka: użytkowikafaktyiiformacje.

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r. Dzieik Ustaw Nr 251 14617 Poz. 1508 1508 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dia 21 paździerika 2011 r. w sprawie sposobu podziału i trybu przekazywaia podmiotowej dotacji a dofiasowaie

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Wpływ religijności na ukształtowanie postawy wobec eutanazji The impact of religiosity on the formation of attitudes toward euthanasia

Wpływ religijności na ukształtowanie postawy wobec eutanazji The impact of religiosity on the formation of attitudes toward euthanasia Ewelia Majka, Katarzya Kociuba-Adamczuk, Mariola Bałos Wpływ religijości a ukształtowaie postawy wobec eutaazji The impact of religiosity o the formatio of attitudes toward euthaasia Ewelia Majka 1, Katarzya

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

Utylizacja i neutralizacja odpadów Międzywydziałowe Studia Ochrony Środowiska. Ćwiczenie 24 WSTĘP TEORETYCZNY

Utylizacja i neutralizacja odpadów Międzywydziałowe Studia Ochrony Środowiska. Ćwiczenie 24 WSTĘP TEORETYCZNY Utylizacja i eutralizacja odpadów Międzywydziałowe Studia Ochroy Środowiska Ćwiczeie 24 WSTĘP TEORETYCZNY Recyklig surowcowy odpadowego PET (politereftalau etyleu) Opracowała dr Elżbieta Megiel I. Ogóle

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Dlaczego ekonomiści głównego nurtu mogą ignorować czas?

Dlaczego ekonomiści głównego nurtu mogą ignorować czas? Dlaczego ekoomiści główego urtu mogą igorować cza? Autor: Wojciech Czariecki Poczyając od Joh B. Clarka w główym urcie ekoomii przyjął ię pogląd, że kapitał taowi permaety, homogeiczy fuduz, w którym dobra

Bardziej szczegółowo

Bajki kombinatoryczne

Bajki kombinatoryczne Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja

Bardziej szczegółowo

Akustyka. Fale akustyczne = fale dźwiękowe = fale mechaniczne, polegające na drganiach cząstek ośrodka.

Akustyka. Fale akustyczne = fale dźwiękowe = fale mechaniczne, polegające na drganiach cząstek ośrodka. Akustyka Fale akustycze ale dźwiękowe ale mechaicze, polegające a drgaiach cząstek ośrodka. Cząstka mała, myślowo wyodrębioa część ośrodka, p. w gazie prostopadłościa o ustaloych wymiarach w pręcie prostopadłościa

Bardziej szczegółowo

PRACOWNIA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA. Zespół Szkół Technicznych w Skarżysku-Kamiennej. Sprawozdanie

PRACOWNIA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA. Zespół Szkół Technicznych w Skarżysku-Kamiennej. Sprawozdanie Zespół Szkół Tehizyh w Skarżysku-Kamieej Sprawozdaie PRCOWN ELEKTRYCZN ELEKTRONCZN imię i azwisko z ćwizeia r 1 Temat ćwizeia: UKŁDY REGULCJ NTĘŻEN PRĄDU rok szkoly klasa grupa data wykoaia. Cel ćwizeia:

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński Matematka Opracował: dr hab. Miecsław Kula, prof. WSBiF dr Michał Bacński I. Ogóle iformacje o predmiocie: Cel predmiotu: Celem główm kursu jest apoaie studetów wbrami diałami matematki stosowami w aukach

Bardziej szczegółowo

5 Nr (182) PROFESOR TADEUSZ KACZOREK DOKTOR HONORIS CAUSA POLITECHNIKI OPOLSKIEJ. kwiecień 2009

5 Nr (182) PROFESOR TADEUSZ KACZOREK DOKTOR HONORIS CAUSA POLITECHNIKI OPOLSKIEJ. kwiecień 2009 5 Nr (8) Politechika Opolska ISSN 47-89X Pismo iformacyje Politechiki Opolskiej kwiecień 9 wydaie specjale PROFESOR TADEUSZ KACZOREK DOKTOR HONORIS CAUSA POLITECHNIKI OPOLSKIEJ PROFESOR TADEUSZ KACZOREK

Bardziej szczegółowo

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb!

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb! Projekt wsp,ł.iasoway ze 4rodk,w Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Materiał pomociczy dla auczycieli kształcących w zawodzieb "#$%&'( ")*+,"+(' -'#.,('#. przygotoway w ramach projektu

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE PROCESÓW WYTWARZANIA

PLANOWANIE PROCESÓW WYTWARZANIA Politechika Pozańska Zakład Zarządzaia i Iżyierii Jakości PLANOWANIE PROCESÓW WYTWARZANIA Materiały pomocicze do projektu z przedmiotu: Zarządzaie produkcją i usługami Opracował Krzysztof ŻYWICKI Pozań,

Bardziej szczegółowo

2.2 Funkcje wyceny. Wśród autorów przeważa pogląd, iż wycenie można przypisać cztery podstawowe funkcje:

2.2 Funkcje wyceny. Wśród autorów przeważa pogląd, iż wycenie można przypisać cztery podstawowe funkcje: . Cele wycey przedsiębiorstw. Przedsiębiorstwa w rozwiiętej gospodarce rykowej są powszechie przedmiotem różorakich trasakcji hadlowych co implikuje potrzebę uzyskaia szacuków ich wartości przy pomocy

Bardziej szczegółowo

PROTOKÓŁ nr XLI/05 Z XLI SESJI RADY POWIATU OBORNICKIEGO

PROTOKÓŁ nr XLI/05 Z XLI SESJI RADY POWIATU OBORNICKIEGO PROTOKÓŁ r XLI/05 Z XLI SESJI RADY POWIATU OBORNICKIEGO która odbyła się w diu 11 paździerika 2005r. o godz. 10.00 w sali sesyjej Starostwa Powiatowego w Obor ikach, ul. 11 Listopada 2a. Obrady rozpoczęto

Bardziej szczegółowo

Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW

Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wstęp Pomiarem jest procesem pozawczm, któr umożliwia odwzorowaie właściwości fizczch obiektów w dziedziie liczb. Sam proces pomiarow jest ciągiem czości

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Metody oceny projektów inwestycyjnych

Metody oceny projektów inwestycyjnych Metody ocey projektów iwestycyjych PRZEDMIIOT : EFEKTYWNOŚĆ SYSTEMÓW IINFORMATYCZNYCH Pla wykładu Temat: Metody ocey projektów iwestycyjych 5 FINANSOWE METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH... 4 5.1. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

Dlaczego potrzebna jest reforma ochrony danych w UE?

Dlaczego potrzebna jest reforma ochrony danych w UE? Dlaczego potrzeba jest reforma ochroy daych w UE? Uija dyrektywa o ochroie daych z 1995 r. staowiła kamień milowy w historii ochroy daych osobowych. Jej podstawowe zasady, zapewiające fukcjoowaie ryku

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych Opracował: Leszek Jug Wydział Ekoomiczy, ALMAMER Szkoła Wyższa Meody ocey efekywości projeków iwesycyjych Niezbędym warukiem urzymywaia się firmy a ryku jes zarówo skuecze bieżące zarządzaie jak i podejmowaie

Bardziej szczegółowo

PORADNIK DLA PRZEDSIĘBIORCÓW PROMUJ SWÓJ EKSPORT

PORADNIK DLA PRZEDSIĘBIORCÓW PROMUJ SWÓJ EKSPORT PORADNIK DLA PRZEDSIĘBIORCÓW PROMUJ SWÓJ EKSPORT URZĄD KOMITETU INTEGRACJI EUROPEJSKIEJ Wydawca URZĄD KOMITETU INTEGRACJI EUROPEJSKIEJ Al. Ujazdowskie 9, 00-918 Warszawa http://www.ukie.gov.pl e-mail:

Bardziej szczegółowo

Akustyczno-fonetyczne cechy mowy polskiej

Akustyczno-fonetyczne cechy mowy polskiej II PRACOWNIA FIZYCZNA Akustyczo-foetycze cechy mowy polskiej Opis ćwiczeia w ramach II Pracowi Fizyczej Adrzej Wicher Aleksader Sęk Jacek Koieczy Istytut Akustyki UAM Pozań, 5 . WSTĘP... 3. SYGNAŁY ORAZ

Bardziej szczegółowo

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne K Stowarzyszeie Kosumetów Polskich Jak skuteczie reklamować towary kosumpcyje HALO, KONSUMENT! Chcesz pozać swoje praw a? Szukasz pomoc y? ZADZWOŃ DO INFOLINII KONSUMENCKIEJ BEZPŁATNY TELEFON 0 800 800

Bardziej szczegółowo

BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA

BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA SPIS TREŚCI Rozdział I O egzamiie... Rozdział II Elemety matematyki fiasowej dr hab. Michał Szurek... 6 Rozdział III Wzory... 9 Rozdział

Bardziej szczegółowo