Metody numeryczne w przykładach

Transkrypt

1 Metody umerycze w przyłdch

2 Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl

3 Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl

4 Recezet: dr hb. Stsłw Grzegórs prof. Poltech Lubelse Redc słd: Bet Pńczy Edyt Łus Publc wyd z zgodą Retor Poltech Lubelse Copyrght by Poltech Lubels ISBN: Wydwc: Poltech Lubels ul. Ndbystrzyc 38D -68 Lubl Relzc: Bblote Poltech Lubelse Ośrode ds. Wydwctw Bblote Cyfrowe ul. Ndbystrzyc 36A -68 Lubl tel eml: wydwc@pollub.pl Dru: TOP Agec Relmow Agesz Łucz Eletrocz wers sąż dostęp w Bblotece Cyfrowe PL Nłd: egz.

5 Sps treśc WSTĘP BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH..... WSTĘP..... PODSTAWOWE POJĘCIA SZACOWANIA BŁĘDÓW Źródł błędów Błędy względe bezwzględe Przeoszee sę błędów REPREZENTACJA STAŁOPOZYCYJNA I ZMIENNOPOZYCYJNA BŁĘDY ZAOKRĄGLEŃ OBLICZEŃ ZMIENNOPOZYCYJNYCH ALGORYTM NUMERYCZNIE STABILNY I POPRAWNY UWARUNKOWANIE ZADANIA OBLICZENIOWEGO.... PODSTAWY RACHUNKU MACIERZOWEGO WSTĘP PODSTAWOWE POJĘCIA ALGEBRY LINIOWEJ Mcerze bloowe Przestrzee lowe wetorowe Wrtośc włse Normy wetorów mcerzy INTERPOLACJA I APROKSYMACJA WSTĘP INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Jedozczość rozwąz zgde terpolcyego Welom terpolcyy Lgrge Wzór terpolcyy Newto INTERPOLACJA TRYGONOMETRYCZNA FUNKCJE SKLEJANE Oreślee fuc sleych Iterpolcye fuce slee stop trzecego APROKSYMACJA Sformułowe zgde prosymc Aprosymc średowdrtow WIELOMIANY ORTOGONALNE ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH WSTĘP METODY SKOŃCZONE... 84

6 6 Podstwy metod umeryczych 4... Elmc Guss Elmc Guss-Jord Rozłd LU Rozłd Cholesego Rozłd QR metodą Householder Wyzcze mcerzy odwrote Oblcze wyzcz mcerzy METODY ITERACYJNE Metod Jcobego Metod Guss-Sedel Metod SOR drelsc Metod Czebyszew Metody grdetowe MACIERZE SPECJALNE Reprezetc mcerzy w struturch dych Metody dołde dl ułdów z mcerzm rzdm Rozwązywe ułdów rówń lowych - wos PRZYKŁADY OBLICZENIOWE METODA SVD ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ NADOKREŚLONYCH ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ I UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH WSTĘP METODA BISEKCJI METODA REGULA FALSI METODA SIECZNYCH METODA NEWTONA-RAPHSONA UKŁADY RÓWNAŃ NIELINIOWYCH ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA CAŁKOWANIE NUMERYCZNE WSTĘP KWADRATURY NEWTONA-COTESA Wzór trpezów Wzór Smpso KWADRATURY GAUSSA Kwdrtury Guss-Hermte Kwdrtury Guss-Lguerre Kwdrtury Guss-Czebyszew Kwdrtury Guss-Legedre ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ I UKŁADÓW RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH WSTĘP METODA EULERA METODY TYPU RUNGEGO-KUTTY... 95

7 Sps treśc METODY RÓŻNICOWE WIELOKROKOWE METODA GEARA DLA UKŁADÓW SZTYWNYCH ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA... 6 BIBLIOGRAFIA... 8 INDEKS... 9

8 Wstęp Metody umerycze są obece przedmotem uętym w stdrdch sztłce studetów uczel techczych przede wszystm do ch est dresowy te podręcz. Zomość metod umeryczych umożlw włścwe wyorzyste gotowych petów oblczeowych Mtlb Mple Mthemtc tp. róweż de ezbęde podstwy do smodzelego rozwązyw specyfczych corz brdze złożoych problemów żyersch. Wymg to z ede stroy śwdomośc stoty rozwązywych zgdeń z druge zś zomośc metod służących do ch rozwązyw. Treść eszego podręcz stową wybre zgde z teor prty metod umeryczych. Teoretycze podstwy bzuą pozycch lsyczych [ ] tóre obemuą zcze węce mterłu ż moż przedstwć w trce trzydzestogodzego wyłdu. Neszy podręcz zwer tylo wyselecoowe formce tóre są omwe wyłdch. Autorzy ogrczyl sę do ezbędych elemetów teor brdze ocetruąc sę przyłdch dobrych w t sposób by prośce zobrzowć dzłe omwe metody umerycze. Netóre przyłdy oblczeń zostły dodtowo przedstwoe z pomocą tbel rysuów. Rozdzły 3-7 zwerą odpowedo oprcowe zbory zdń. Smodzele rozwąze tych zdń pomoże Czytelow w utrwleu prezetowego mterłu dzę zmeszczoym odpowedzom umożlw ch weryfcę. Węszość rozdzłów oprcowo wyorzystuąc mterł z podręcz [] z tórego usuęto rozdzły ueruowe zstosowe tech umeryczych w eletrotechce pozostłe uzupełoo zestwem brdze uwerslych przyłdów bzuąc wyłdch prowdzoych w osttm dzesęcolecu ze studetm eruu Iformty Wydzle Eletrotech Iformty Poltech Lubelse.

9 Wstęp 9 Cee wszów wlwe uwg recezet dr hb. Stsłw Grzegórsego prof. Poltech Lubelse przyczyły sę do podese merytorycze ośc podręcz. Wszele uwg propozyce prosmy erowć do utorów dres b.pczy@pollub.pl lub e.lus@pollub.pl. Autorzy

10 . Błędy oblczeń umeryczych.. Wstęp W teor metod umeryczych zsdczą rolę odgryw zrozumee ogrczeń de metody co est z ole ścśle zwąze z oreśleem błędu oblczeowego. W eszym rozdzle przedstwmy podstwowe defce problemy dotyczące oblczeń umeryczych. Przez zde umerycze rozumemy sy edozczy ops powąz fucolego mędzy dym weścowym zmee ezleże dym wyścowym szuym wym. Algorytm dl dego zd umeryczego est z defc pełym opsem poprwe oreśloych operc przesztłcących dopuszczle de weścowe de wyścowe. Operce ozczą tu dzł rytmetycze logcze. Dl dego zd umeryczego moż rozwżć wele różych lgorytmów. Algorytmy te mogą dwć wy o brdzo róże dołdośc []... Podstwowe poęc szcow błędów Mówąc o błędch umeryczych leży pozć podstwowe poęc z m zwąze tóre róto omówoo w oleych podrozdzłch [].... Źródł błędów Do źródeł błędów moż zlczyć: błędy dych weścowych gdy wyorzystuemy de zorągloe pochodzące p. z wcześeszych oblczeń lub gdy de weścowe są wyem pomrów welośc fzyczych obrczoych błędm pomrowym b błędy zorągleń w czse oblczeń zwąze z odpowedą reprezetcą lczby - ptrz rozdzł.3 c błędy obcęc gdy proces oblcz grcy est przerywy przed osągęcem wrtośc grcze - p. ogrczee szeregu esończoego do sończoe lczby słdów prosymc pochode z pomocą lorzu różcowego oblcze wrtośc

11 . Błędy oblczeń umeryczych cł ozczoe o grcy sum przyblżących ą podzłów tp. d uproszczee modelu mtemtyczego przyęce złożeń uprszczących e błędy progrmsty.... Błędy względe bezwzględe Złóżmy że wrtość est reprezetow o ~. Wówczs: błąd bezwzględy reprezetc est rówy ~. ~ błąd względy [%] reprezetc est rówy %. Przymmy że zps ~ ozcz że ~. Wrtość m ~ zywmy msymlym błędem bezwzględym lub błędem grczym. Mówąc o lczbe cyfr stotych w ułmu dzesętym e uwzględ sę zer początu tego ułm gdyż oreślą oe tylo pozycę rop dzesęte. Ntomst cyfry ułmowe są to wszyste cyfry po ropce dzesęte tże ewetule zer. Jeśl ~ t to mówmy że ~ m t poprwych cyfr ułmowych. Cyfry stote występuące ż do pozyc t-te po ropce zywmy cyfrm zczącym. Przyłd.. W oleych przyłdch podo lczby odpowedch cyfr:.47 5 cyfr ułmowych 3 cyfry stote.34 cyfry ułmowe 4 cyfry stote cyfr poprwych 3 cyfry zczące cyfry poprwe cyfry zczące...3. Przeoszee sę błędów Przeoszee sę błędów umeryczych lepe zobrzue przyłd.. Przyłd.. Nech

12 Metody umerycze w przyłdch czyl: Oblczmy różcę: : = =.84 = Ogóle mmy: ~ ~ ~ ~. Ztem: ~ ~ gdze: są msymlym błędm bezwzględym. Błąd bezwzględy sumy różcy est węc rówy:. W przypdu oblcz loczyu lub lorzu przeoszee sę błędów przedstwmy z pomocą błędów względych. Nech r będze rzeczywstym błędem względym tz. ~ r r. Weźmy: ~ r ~. r Wówczs: ~ ~ ~ r r r ~. r Błąd względy loczyu est ztem rówy: r r r eśl tylo r r r r r r r.

13 Błąd względy lorzu est rówy: r r r r r. Błędy oblczeń umeryczych 3 r r r r r eśl r..3. Reprezetc stłopozycy zmeopozycy Reprezetc stłopozycy operue ustloe lczbe cyfr ułmowych wszyste lczby rzeczywste src sę do t cyfr ułmowych. Długość słow mszyowego est zwyle stł p. s cyfr st st węc dopuszcz sę tylo lczby z przedzłu:. Reprezetc zmeopozycy operue tomst ustloe lczbe cyfr stotych. W przypdu reprezetc stłopozycye lczbę cłowtą l przedstwmy z pomocą rozwęc dwóowego w postc: l sb gdze b dl l s = b lub. Jeśl < t to lczb l est reprezetow w rozptrywe rytmetyce z-moduł t-cyfrowe. Lczby dołde reprezetowe w te t t rytmetyce leżą do przedzłu:. Lczbę rzeczywstą zmeopozycye: c s m moż przedstwć tże w postc gdze: s z lczby c cech lczby lczb cłowt m mtys lczby m.5 tz. rozwęce dwóowe te lczby est te że perwsz cyfr po przecu est róż od zer. Podto: d btów przezcz sę reprezetcę mtysy t-d- btów przezcz sę reprezetcę cechy.

14 4 Metody umerycze w przyłdch Rozwęce dwóowe mtysy est ogół esończoe: m b. dltego zpmętue sę tylo d-początowych cyfr dwóowych stosuąc zorąglee d+-go btu. Jeśl: m d d b b d d. to złd sę że mtys m zostł prwdłowo zorąglo do d cyfr dwóowych. Przyłd.3. Nech d = 5 =.66. Wyzcząc reprezetcę dwóową lczby po pęcu roch otrzymuemy: = Wy rozwęc dwóowego czyl:. zwęszmy o. poewż d = 5 w celu otrzym prwdłowo zorągloe mtysy:. +.. prwdłowo zorąglo mtys. Reprezetcę zmeopozycyą lczby ozczmy rd tz: rd s..3 c md Z.. otrzymuemy: d m m d błąd bezwzględy reprezetc dych..4

15 Z.3 dl mmy: rd. Błędy oblczeń umeryczych 5 d błąd względy reprezetc dych.5 lub cze rd = + gdze. Lczb cyfr cechy decydue o zrese lczb zmeopozycyych. Lczb cyfr mtysy decydue o dołdośc lczb zmeopozycyych. Cech: c c m c m gdze c m = -c m c m. td Jeśl cech de lczby c c m występue edomr pozycyy lczb est reprezetow z pomocą smych zer co powodue dużą edołdość ogół przerwe oblczeń lub przymue sę że est to lczb rów zero. Jeśl c c m - występue dmr pozycyy też ogół przerwe systemowe progrmu..4. Błędy zorągleń oblczeń zmeopozycyych Ze względu ogrczoą długość słów brych oecze est zorągle oblczych wrtośc co powodue powee sę błędów zorągleń. Zorągle występue w przypdu reprezetc wszystch lczb ewymerych t. o esończoym rozwęcu dwóowym tch p. czy lczb Euler. Przyłd.4. Dzelee dwóch lczb wymerych prowdz często do oeczośc zorągle powstłe w wyu dzele lczby ewymerep.: Jeśl y są dwem lczbm zmeopozycyym to wy dodw odemow może dzele są zpmętywe przez mszyę po zorągleu lub ucęcu.

16 6 Metody umerycze w przyłdch Wy tych dzłń ozcz sę o: fl+b fl-b fl*b fl/b. Wy te są odpowedo rówe zorągloe lub ucęte wrtośc dołdego wyu dzł orz: fl b=rd b+ gdze.6 z ozcz ede z symbol dzł: + - * /. Dzł fl b mą do pewego stop e włsośc ż dołde dzł rytmetycze. Dl dodw zmeopozycyego e zchodz ogół łączość co pozue przyłd.5. Przyłd.5. Rozwżmy dodwe +b+c z sedmocyfrowym mtysm dl: b.4735 c -b. Oblcze wyomy zmeąc oleość oblczeń zmeopozycyych: fl fl b c b fl fl b c. Ad fl b c fl fl b c Ad b b fl+b c flfl+b+c.3 4 Otrzymuemy: fl fl b c fl fl b c

17 . Błędy oblczeń umeryczych 7 J wdć e est spełoe prwo łączośc dodw w oblczech zmeopozycyych bowem: fl fl b c fl fl b c. Podczs wszelch operc rytmetyczych esteśmy rże umulowe sę błędów wet ch powstwe wsute ogrczoe dołdośc reprezetc wyu dzłń w pmęc omputer. Przyłdowo dodąc do sebe brdzo dużą brdzo młą lczbę w wyu możemy otrzymć wrtość węsze zmst sumy tych lczb co pozue przyłd.6. Przyłd.6. Błąd wycący z ewystrcząco duże mtysy moż pozć przyłdze oblcz sumy dwóch lczb: = 3. b = b = Jeśl długość mtysy wyos p. cyfr zczących to dl dodw zmeopozycyego otrzymmy: fl+b = 3. czyl: fl +b =!!!. Wsute powyższego może powć sę problem p. pętl esończoe eśl w oleych tercch wrue zończe bzue dodwu brdzo młe do brdzo duże wrtośc. Błędy wyące z reprezetc lczb moż zmeszyć ustląc umeęte sposób oleość wyoywych dzłń. Wpływ rytmety zmeopozyce wy oblczeń w zleżośc od zstosowego lgorytmu pozue przyłd.7. Przyłd.7. Dl dych b oblczyć wrtość wyrże w= -b. Złdmy że mtys est reprezetow d btch orz błędy reprezetc d wyoszą. Oblcze wyomy dwom lgorytmm.

18 8 Metody umerycze w przyłdch Algorytm Oblczmy oleo: =* y=b*b w=-y. Z wzoru.6 otrzymuemy: * fl * b b y fl ] * * [ 3 3 b b b b b b w fl gdze: 3 3 O b b b b O est pomle młe. Jeśl b mow bls orz mą przecwe z to błąd może być brdzo duży. Algorytm Tym rzem oblczmy oleo: =+b y=-b w=*y. Z wzoru.6 otrzymuemy: b fl b y fl ] [ 3 b b b w fl gdze: W tym przypdu ezleże od wrtośc b mmy zwsze:. 3 d Błąd dl drugego lgorytmu est meszy e zleży od wrtośc b.

19 . Błędy oblczeń umeryczych 9.5. Algorytm umerycze stbly poprwy Wemy uż że eśl wet rgumety dzł mtemtyczego wyrżą sę w omputerze dołde to e est pewe że wy tego dzł róweż będze dołdy. W rozdzle.4 pozlsmy że wy żde operc rytmetycze est obrczoy błędem reprezetc lczby zmeopozycye. W przypdu lgorytmów estblych prowdz to często do wyów ezgodych z oczewm wet co do zu. Nestblość umerycz powste wówczs edy mły błąd umeryczy w trce dlszych oblczeń powęsz sę p. przemż sę powodue duży błąd wyu. Nestblość umeryczą możemy łtwo zobserwowć oblcząc cąg cłe pozy w przyłdze.8. Przyłd.8. Oblczyć dl =..5 cł: y Zuwżmy że: y 5y 5 5 d. 5 5 d d 5 Otrzymuemy wobec tego wzór reurecyy: y 5y podstwe tórego zbuduemy dw lgorytmy. Ob lgorytmy zmplemetowo w ęzyu C przyłdowe oblcze relzowo z zstosowem reperezetc zmeopozycye poedycze precyz wrtośc rzeczywste reprezetowe 4 btch. Algorytm Korzystąc z wzoru: y 5 y mmy: d y l 5 l 6 l

20 Metody umerycze w przyłdch Przymuąc y oblczmy oleo: y 5y.884 / 5y 3 / 3 5y y.58 y y / 9 5y.4 9 / 5y y.37 wy błędy wrtość cł ozczoe uem?. Powodem otrzym złego wyu est to że błąd zorągle wrtośc y est możoy przez -5 przy oblczu y. T węc wrtość y est obrczo błędem -5. Te błąd tworzy błąd 5 w y -5 w y 3 td. Nłdą sę to błędy zorągle popełe w oleych roch oblczeń mące ed stosuowo młe zczee. Podstwąc y l6 l 5 popełmy meszy błąd zorągle tóry tże powodue duże zesztłcee wyu oblczeń y dl 6. Oczywśce otrzymywe wy zleżą tże od precyz z ą przeprowdzo oblcze. Dl podwóe precyz oblczeń reprezetc lczby 8 btch wyrźe błęde wy występuą dl >. Algorytm Te sm cąg cłe możemy wyzczyć cze. Jeśl przesztłcmy wzór zleżość reurecyą t żeby oblczć w oleych tercch elemety cągu w drugą stroę mmy: y y. 5 5 Dzę temu w żdym rou błąd będze dzeloy przez -5. Poewż y mlee gdy rośe możemy przypuszczć że dl dużych y mlee wolo. Wobec tego przymuąc y6 y7 orzystąc z wzoru: y6 y otrzymuemy: 5 y6 y6 y

21 . Błędy oblczeń umeryczych Nstępe oblczmy: y 5 y y 4. y y.8356 wy poprwy. W przypdu lgorytmu mmy do czye z estbloścą umeryczą bowem młe błędy popełe pewym etpe oblczeń rosą w stępych etpch stote zesztłcą osttecze wy wet co do zu!. Msymly przewdywly błąd wyły wyłącze z przeese błędu reprezetc dych wy oblczeń zywmy optymlym pozomem błędu dego zd w rytmetyce t-cyfrowe. Algorytm stbly gwrtue otrzyme wyu ceptowego z pozomem błędu tego smego rzędu co optymly pozom błędu. Rozwąze oblczoe lgorytmem umerycze poprwym est eco zburzoym rozwązem zd o eco zburzoych dych tz. eśl de są obrczoe błędem to wy est obrczoy porówywlym błędem. Stblość est mmlą włsoścą e wymgmy od lgorytmu poprwość msymlą włsoścą e możemy oczewć od zstosowego lgorytmu [ 4 5]..6. Uwruowe zd oblczeowego Ozue sę że powszech tuc że młe zburze dych powy dwć młe zburze wyu e zdue potwerdze wet w prostych przypdch. Umeętość ocey oścowego wpływu zburze dych wy est podstwą w oblczech umeryczych. Wrżlwość rozwąz de początowe oreśl tzw. uwruowe zd umeryczego. Zde est źle uwruowe eśl młe względe zmy w dych początowych wywołuą duże względe zmy wyów. Zde źle

22 Metody umerycze w przyłdch uwruowe obrczoe est dużym błędm wyów ezleże od obre metody rozwązyw. Przypuśćmy że zde oblczeowe poleg wyzczeu f dl dego. J brdzo będze odległe f ~ gdy ~? Rozwż sę dw przypd: uwruowe względe: względe zburzee dych wpływ błąd względy wyu: f f ~ ~ cod rel f. f Nmeszy moż cod rel f spełący powyższą erówość zywmy współczyem uwruow względego zd oblcze f dl dego. uwruowe bezwzględe: bezwzględe zburzee dych wpływ błąd bezwzględy wyu: f f ~ cod f ~ bs. Nmeszy moż cod bs f spełący powyższą erówość zywmy współczyem uwruow bezwzględego zd oblcze f dl dego. Symbol w powyższych erówoścch w ogólym przypdu ozcz ormę czyl mrę pewe odległośc. Dl lczb rzeczywstych ormą może być wrtość bezwzględ. Przyłdy orm dl wetorów mcerzy podo w rozdzle..4 tomst ormy defowe o mry odległośc pomędzy fucm rozwże są w rozdzle Mówmy że zde f est dobrze uwruowe w puce gdy cod f źle uwruowe w puce gdy cod f źle postwoe w puce gdy cod f.

23 . Podstwy rchuu mcerzowego..wstęp W metodch umeryczych wodącą rolę odgrywą operce mcerzowe. Celowym est wobec tego przypomee ezbędych poęć defc zwązych z lgebrą lową []. W zstosowch mtemty do rozmtych zgdeń uowych brdzo często wyorzystue sę prostszy typ opertorów - opertory lowe. Ozczmy pewą dą mcerz wdrtową o A. Podstwowym problemm lgebry lowe będą: rozwąze ułdu rówń A = b rozwąze zd włsego czyl oreślee wrtośc włsych wetorów włsych tch że A dl =... Rozwązywe ułdów rówń lowych est zdem występuącym często w różych problemch żyersch. Nwet ułdy rówń elowych rozwązue sę często przyblżąc e cągm ułdów lowych p. w metodze Newto rozdzł Podstwowe poęc lgebry lowe Mcerzą A zywmy ułd m lczb rzeczywstych lub zespoloych. Lczby te są zgrupowe w tblcę: A m m... m gdze m ozcz że mcerz m m werszy olum.

24 4 Metody umerycze w przyłdch Defcę mcerzy A moż też zpsć róce: A... m Jeśl = to mcerz słd sę tylo z ede olumy zyw sę wetorem olumowym tóry ozczmy o:... m..3 Dl m = mcerz A zywmy mcerzą wdrtową tomst - stopem mcerzy wdrtowe. Jedym z rodzów mcerzy wdrtowych są mcerze przeątowe dgole tóre mą wrtośc róże od zer tylo główe przeąte dgol: d... d... D dg d d... d d Ntomst szczególym przypdem mcerzy D est mcerz edostow I stop oreślo wzorem: I dg gdze est symbolem deltą Kroecer: dl.6 dl. Mcerz edostową często oreśl sę smym symbolem I. Mcerze A B są sobe rówe A = B eśl mą te sme wymry ch wszyste wyrzy są rówe: b dl... m;.... Iloczy mcerzy A lczby est mcerzą A.

25 . Podstwy rchuu mcerzowego 5 Sum dwóch mcerzy o tch smych wymrch C = A + B est mcerzą o elemetch c b. Iloczy dwóch mcerzy: A m p B p est mcerzą C m o elemetch oblczych ze wzoru: c p b..7 Możee mcerzy ogół e est przemee czyl: AB BA. Ie włsośc może to: A BC AB C A B C AB AC..8 Trspozycą A T mcerzy A zywmy mcerz tóre wersze są olumm mcerzy A. Jeśl B = A T to b. T Wetor olumowy... est trspozycą pewego wetor werszowego. W przypdu trspozyc loczyu mcerzy występue tożsmość: A T T T AB B..9 Mcerzą sprzężoą A zywmy mcerz zespoloą tóre żdy elemet zostł zstąpoy lczbą z m sprzężoą. Mcerz A T ozcz sę symbolem A H. Mcerz tróąt m postć: l... r r... r l l... r r... L lub R l l... l... r przy czym L est mcerzą tróątą lewą dolą R - prwą górą. Sumy loczyy mcerzy tróątych dolych są tże mcerzm tróątym dolym sumy loczyy mcerzy tróątych górych są mcerzm tróątym górym.

26 6 Metody umerycze w przyłdch Wyzcz mcerzy wdrtowe A stop m symbol deta: det A det Przy oblczu wyzcz obowązuą wzory: dl det A. dl det A A... A A.3 gdze A... ozcz wyzcz stop - tóry powste przez sreślee perwszego wersz -te olumy z mcerzy A. Dl dowole mcerzy wdrtowe A obowązuą stępuące reguły: wrtość wyzcz e zme sę eśl do wersz olumy dod sę loczy ego wersz lub e olumy przez lczbę wyzcz mcerzy tróąte est rówy loczyow elemetów główe przeąte: det L ll... l det R rr... r przestwee dwóch werszy lub dwóch olum zme edye z wyzcz T det A det A det AB det Adet B. Podwyzczem A czyl morem mcerzy odpowdącym elemetow zywmy wyzcz podmcerzy stop - tór powste z de mcerzy przez opuszczee -tego wersz -te olumy. Mcerz A est zyw eosoblwą eśl deta w przecwym wypdu oreśl sę ą o osoblwą. Do żde mcerzy eosoblwe stee mcerz odwrot A spełąc zleżość AA A A I. W przypdu odwrotośc loczyu speło est tożsmość: AB B A.

27 . Podstwy rchuu mcerzowego 7 Mcerz symetrycz est rów swoe trspozyc A A T. Iloczy dwóch mcerzy symetryczych A B est symetryczy tylo pod wruem że AB BA. Mcerz symetryczą zyw sę dodto oreśloą eśl zwąz T T z ą form wdrtow A speł wrue A dl żdego rzeczywstego. Mcerzą ortogolą Q zywmy mcerz m spełącą T zleżość Q Q I. W przypdu gdy m = mmy Q T Q orz T T Q Q QQ. Rzeczywstym mcerzom symetryczym ortogolym odpowdą zespoloe mcerze hermtowse o zleżośc A H A orz mcerze H utre dl tórych U U I.... Mcerze bloowe Dowolą mcerz A moż przedstwć o mcerz bloową zbudową z pewe lczby mcerzy o meszych wymrch: A A A... A m A A A... m A A.4... Am gdze A est mcerzą o wymrch p q. Nbrdze teresuący est przypde edy mcerze przeąte A są wdrtowe. W tm przypdu mcerz A róweż mus być wdrtow p q.... Dodwe możee tch mcerzy bloowych wyoue sę t smo gdyby blo były lczbm. N przyłd dl C = AB stee zleżość: C A B..5 Mcerzą bloowo-przeątową zyw sę mcerz tórą moż zpsć w postc bloowe o: A dg A A... A

28 8 Metody umerycze w przyłdch przy czym mcerze A muszą być wdrtowe. Alogcze defue sę mcerz bloowo-tróątą. Dl mcerzy bloowo-tróąte lewe wyzcz oblcz sę ze wzoru: det L det Ldet L...det L podobe dl mcerzy bloowo-tróąte prwe. Mcerze bloowe mogą być tże wyorzystywe do uprszcz oblczeń lczbch zespoloych. Dowolą mcerz zespoloą moż zstąpć mcerzą rzeczywstą dwurote węszą. T sm reguł odos sę tże do wetorów. Rozptrzmy mcerz zespoloą A wetor zespoloy : A = B+C = y+z gdze B C - mcerze rzeczywste y z - wetory rzeczywste. Moż wtedy zpsć że: ~ B C ~ y A.6 C B z gdze ~ A ~ ozczą rzeczywste odpowed A.... Przestrzee lowe wetorowe Wetor możemy zdefowć o uporządowy zbór lczb rzeczywstych lub zespoloych o postc:.... Zbór wszystch tch wetorów tworzy przestrzeń wetorową R dl lczb rzeczywstych lub C dl lczb zespoloych o wymrze. Jeśl złożymy że lczby są współrzędym w ułdze prostoątym to loczy slry wetorów y w przypdu zespoloym oreśl sę wzorem: y y y... y..7 Jeśl est wetorem olumowym to loczy slry y moż uzć z przypde szczególy może mcerzy: H y y. Dl wetorów rzeczywstych te sm wzór przyme postć: T y y.

29 Wetor: y c... c c. Podstwy rchuu mcerzowego 9 zywy est ombcą lową wetorów.... Wetory te są zywe lowo ezleżym eśl rówość: c c... c zchodz tylo pod wruem że c c... c. W przecwym wypdu wetory te oreśl sę o lowo zleże. Zbór wszystch możlwych ombc lowych wetorów... zyw sę podprzestrzeą lową R w R. Mów sę że podprzestrzeń t est rozpęt wetorch.... W przestrze R stee co wyże wetorów lowo ezleżych. Dowoly zbór tch wetorów: y y... y tworzy bzę przestrze R. Kżdy wetor z R moż węc wyrzć o: y y... y.8 gdze... zyw sę współrzędym tego wetor względem bzy y y... y. Jo prostszy przyłd bzy w R moż rozptrzyć olum mcerzy edostowe I e e... e. Dowolą mcerz A moż uwżć z zbudową z wetorów olumowych lub werszowych: A.9 T T T T... A... m gdze... m. Nwęsz lczb ezleżych lowo wetorów olumowych w mcerzy A est rów węsze lczbe ezleżych lowo wetorów werszowych w A. Jeśl lczb t wyos r to ozcz o rząd mcerzy A oreśly o: ra = r przy czym r mm. W szczególym przypdu eśl r m mcerz A est eosoblw.

30 3 Metody umerycze w przyłdch Ułd m rówń z ewdomym postc:... b... b... m m... m b w symbolce mcerzowe może zostć zpsy o: A = b. m. Jeśl b = ułd t zyw sę edorodym. Ułd edorody m zwsze trywle rozwąze =. Jeśl r A r to edorody ułd A = m -r rozwązń ezleżych lowo. Te sm ułd rówń moż tże zpsć w postc:... b.. Wetor b moż ztem oreślć o ombcę lową wetorów olumowych mcerzy A. Wy z tego wrue rozwązlośc ułdu rówń: A = b b RA gdze RA ozcz przestrzeń rozpętą olumch mcerzy A. Te sm wrue moż zpsć o: rab = ra. Jeśl r m to R A R wrue rozwązlośc est spełoy przez żdy wetor b. W tm przypdu rozwąze est edozcze oreśloe wzorem: A b. Uwg te są tże prwdzwe w przypdu zespoloym...3. Wrtośc włse Jeśl dl de lczby wetor speło est rówość: A =

31 . Podstwy rchuu mcerzowego 3 to zyw sę wrtoścą włsą mcerzy A - wetorem włsym odpowdącym wrtośc. Rówe A= moż tże zpsć w postc: A - I = est to ułd edorody względem. Ułd te m rozwąze tylo pod wruem że: deta - I =. Rówe: deta - I = zywe est rówem chrterystyczym mcerzy A. Poewż est oo rówem -tego stop względem węc m dołde perwstów rzeczywstych lub zespoloych:... lcząc rotośc. Zbór wrtośc włsych... mcerzy wdrtowe A zywmy wdmem te mcerzy. Jeśl C est mcerzą eosoblwą to mcerz: B C AC zyw sę podobą do A przesztłcee A w B - przesztłceem mcerzy A przez podobeństwo. Jeśl est wrtoścą włsą -\odpowedm wetorem włsym mcerzy A to zchodzą stępuące zleżośc: A C AC C C.. Wy z tego że est tże wrtoścą włsą mcerzy B wetorem włsym te mcerzy est y C. Kżd mcerz wdrtow m wrtośc włsych wetorów włsych: A.... Tę smą zleżość moż tże zpsć róce: AX ΛX dl X... dg Jeśl wetory włse... są ezleże lowo to mcerz X est eosoblw z czego wy rówość X AX. Poprzez przesztłcee mcerzy A przez podobeństwo z pomocą X uzysue sę mcerz przeątową. Tą mcerz A zyw sę wtedy dgolzowlą.

32 3 Metody umerycze w przyłdch Jeśl wszyste wrtośc włse są róże dl to wetory włse są zwsze lowo ezleże. Isteą ed mcerze z welorotym wrtoścm włsym tórych e moż dgolzowć. Nprostszym przyłdem te mcerzy est: A..4 Jeżel elemety mcerzy A są lczbm rzeczywstym to e wrtośc włse są lczbm rzeczywstym lub zespoloym prm sprzężoym. Jeśl tomst mcerz A est rzeczywst symetrycz to e wrtośc włse są lczbm rzeczywstym. Wetory włse odpowdące dwóm różym wrtoścom włsym są ortogole czyl T. Zwsze moż t dobrć wetory włse odpowdące welorote wrtośc włse by były ortogole. N przyłd żdy wetor est wetorem włsym mcerzy edostowe I odpowdącym wrtośc włse. Z zleżośc A A ci c wy że: A.5 A dl. Ozcz to że mcerze o postc A mą wrtośc włse mcerz A c I - wrtośc włse c. Ogóle eśl P z z z... to mcerz PA m wrtośc włse P...4. Normy wetorów mcerzy Normą mcerzy lub wetor zywmy lczbę euemą będącą w pewym sese mrą welośc te mcerzy lub wetor.

33 . Podstwy rchuu mcerzowego 33 Normę wetor defuemy o: p p p..6 Często używ sę dwóch szczególych przypdów: dl p = orm euldesow.7 m dl p orm msyml.8 Normy wetorów muszą meć stępuące włsośc: dl dl gdze - dowol lczb.9 y y. Ntomst orm mcerzy mus spełć stępuące wru: A dl A A dl A A A.3 A B A B AB A B. Trzec erówość we wzorch.9.3 zyw est erówoścą tróąt tomst ostt erówość we wzorze.3 - erówoścą Schwrz. Z tego osttego wruu wy w szczególośc że: m m A A..3 Normę euldesową mcerzy oreśl sę wzorem: m A..3

34 34 Metody umerycze w przyłdch Jeśl orm mcerzy orm wetor są t ze sobą zwąze że speło est erówość: A A..33 to te dwe ormy zyw sę zgodym. Dl żde ormy wetor stee zgod z ą orm mcerzy. Jest to tzw. orm mcerzy duow przez ormę wetor: A A m dl..34 Normę mcerzy duową przez ormę msymlą wetor.8 oblcz sę ze wzoru: A m..35

35 3. Iterpolc prosymc 3.. Wstęp Wele zws fzyczych est opsywych przez fuce tórych postc e zmy le potrfmy oblczyć lub zmerzyć wrtośc tych fuc orz ch pochodych dl oreśloych wrtośc rgumetu. N przyłd możemy dyspoowć zborem pomrów wrtośc pewych prmetrów uzysych w oreśloych chwlch czsowych. Iterpolcą zywmy postępowe prowdzące do zleze wrtośc pewe fuc f w dowolym puce przedzłu podstwe zych wrtośc te fuc w putch... zwych węzłm terpolc < <... < [ ]. Postępowe prowdzące do zleze wrtośc fuc f w puce leżącym poz przedzłem zywmy estrpolcą. Iterpolcę lub estrpolcę stosuemy częśce w stępuących przypdch: gdy e zmy sme fuc f tylo e wrtośc w pewych putch t przewże byw w uch dośwdczlych; gdy oblcze wrtośc pewe fuc F bezpośredo z oreślącego ą wzoru stręcz zbyt duże trudośc rchuowe; wtedy zstępuemy ą prostszą fucą f o tóre złdmy że w putch... m te sme wrtośc co fuc F; w tym przypdu F zywmy fucą terpolową zś f fucą terpoluącą rys. 3.. Fuc terpoluące poszuue sę zwyle w pewe oreśloe postc. Nczęśce złd sę że est to welom lub fuc wymer. Przedmotem szych rozwżń będze terpolc welomm lgebrczym welomm trygoometryczym orz fucm sleym. Obece stosue sę lbo proste metody terpolc low czy wdrtow lbo też brdze złożoe wymgące użyc omputer p. terpolc z pomocą fuc sleych.

36 36 Metody umerycze w przyłdch F - fuc terpolow -putyemprycze y=f - fuc terpoluąc y=f F F F Rys. 3.. Iterpretc geometrycz zgde terpolc Wzory terpolcye są putem wyśc do wyprowdze welu metod stosowych w różych dzłch metod umeryczych rozwązywe rówń różczowe cłowe umerycze umerycze rozwązywe rówń różczowych zwyczych. 3.. Iterpolc welomow 3... Jedozczość rozwąz zgde terpolcyego Welomem terpolcyym W zywmy welom stop co wyże tóry w putch... speł wru terpolc: W =y dl =. 3. Twerdzee 3.. Istee dołde ede welom terpolcyy tóry w putch... przy złożeu że speł wru terpolc 3..

37 3. Iterpolc prosymc 37 Węzły terpolc... mogą być rozmeszczoe w zupełe dowoly sposób szuy welom moż zpsć w postc: W = Korzystąc z defc welomu terpolcyego otrzymuemy ułd + rówń z + ewdomym współczym... : { 3.3 Mcerz współczyów tego ułdu est mcerzą Vdermode postc: A zś wyzcz D mcerzy A m postć:... D Przy złożech że dl mmy zwsze D =. Ztem ułd 3.3 m dołde edo rozwąze wrtośc według twerdze Crmer są oreśloe wzorem: D y D 3.6

38 38 Metody umerycze w przyłdch gdze D =... są oleym dopełem lgebrczym elemetów -te olumy wyzcz D Welom terpolcyy Lgrge Twerdzee 3.. Welom W postc 3.7 est welomem terpolcyym dl dowolego wyboru + węzłów terpolc... tch że dl.. = = = y y y y W 3.7 Przymuąc ozcze: = wrtość pochode welomu w puce będącym zerem tego welomu welom terpolcyy W moż zpsć w postc: y W '. 3.8 Wzór 3.7 zywmy wzorem terpolcyym Lgrge oprtym węzłch.... Welom te est welomem stop co wyże est edozczym rozwązem zd terpolcyego dl dowolego wyboru + różych węzłów terpolc. Przyłd 3.. Zleźć welom terpolcyy Lgrge tóry w putch: - - przymue odpowedo wrtośc. Oblczyć tże przyblżoą wrtość fuc de powyższym wrtoścm w puce =.

39 3. Iterpolc prosymc 39 Stosuąc wzór Lgrge 3.7 dl = 3 otrzymuemy: + W3 = Używąc tego welomu moż terz terpolowć wrtośc fuc f w putch przedzłu [-]. Przyblżo wrtość fuc f w puce to wrtość welomu W 3 : 3 f W Welom terpolcyy stosue sę róweż do oblcz ego wrtośc w putch e leżących do przedzłu obemuącego puty... wtedy mmy do czye z estrpolcą. Nezleże od tego czy put leży do tego przedzłu czy zdue sę poz m leży do ocey błędu posłużyć sę tzw. twerdzeem o reszce prosymc welomem terpolcyym. Nech W będze welomem terpolcyy Lgrge orz I I[... ] ozcz przedzł zwerący węzły terpolc.... Twerdzee o reszce terpolcye Dl żde fuc f C I żdego I stee t put I że: gdze : f W p. f p!

40 4 Metody umerycze w przyłdch fuc R=f-W est tzw. resztą terpolc. Dl dowolego M> rozwżmy terz lsę fuc: C [ b] f C M [ b]: f [ b] M. Jeśl węzły terpolc... leżą do przedzłu [b] f C [ b] wtedy: M R p! gdze p m p est ormą edostą welomu p. b Wzór terpolcyy Newto Wzór terpolcyy Lgrge est ewygody do stosow w przypdu gdy zme sę lczb węzłów. Wtedy do wyzcze welomu oreśloego stop trzeb powtrzć oblcze od początu. Ztem poprzez dode owych węzłów terpolcyych e moż modyfowć wcześe wyzczoego welomu Lgrge. Wzór terpolcyy Newto rówowży welomow Lgrge usuw tę edogodość. Nech... będą węzłm terpolc w tórych welom terpolcyy przymue odpowedo wrtośc y y... y. Moż wówczs zdefowć wyrże zwe lorzm różcowym: - perwszego rzędu: [ [... [ y - y ] = - y ] = y ] = y y - -

41 3. Iterpolc prosymc 4 - drugego rzędu logcze: [ [... [ [ ] [ ] = [ ] = - -tego rzędu: [ ] = ] 3] [ 3 - ] [ ] ] [... ] [... ] + dl = [... + ] = + orz =.... Z lorzów różcowych tworzy sę zzwycz tblcę tbel 3.. Tbel 3.. Tblc lorzów różcowych y rzędu rzędu rzędu 3 rzędu 4 rzędu y y y y 3 y 4 [ ] [ ] [ 3 ] [ 3 4 ] [ 4 5 ] [ ] [ 3 ] [ 3 4 ] [ ] [ 3 ] [ 3 4 ] [ ] [ 3 4 ] [ ]... 5 y 5 Twerdzee 3.3. Jeśl y y... y są wrtoścm welomu stop to lorz różcowy rzędu + est tożsmoścowo rówy zeru tz. : [... ]. 3.9

42 4 Metody umerycze w przyłdch Korzystąc z twerdze 3.3 orz z defc lorzu różcowego moż psć: [ o... ] [... - ] [... ] =. Wy stąd że: [... ] = [... ] węc: [ czyl:... - ] [ ] [... [... ] = [... ] [... ]. ] Korzystąc dle logcze z defc lorzów różcowych otrzymuemy wzór terpolcyy Newto z lorzm różcowym: y = W +[ +[ = y... +[ ] ] ] Nleży zwrócć uwgę ż do wyzcze wzoru welom terpolcyy Newto wyorzystue sę tylo lorzy różcowe zczyące sę od węzł czyl te tóre w tbel 3. zduą sę o perwsze w żde olume. Jed oblczee cłe tbel lorzów est oecze euoe. Wzór terpolcyy Newto m tę włsość że rozszerzee zd terpolc o dodtowy węzeł sprowdz sę do oblcze dołącze do poprzedo wyzczoego welomu dodtowego słd. Przyłd 3.. Zleźć welom terpolcyy Newto tóry w putch: przymue odpowedo wrtośc

43 3. Iterpolc prosymc 43 Nperw dl = 4 musmy oblczyć tblcę lorzów różcowych tą poz zostł w tbel 3.. Tbel 3.. Przyłdow tblc lorzów różcowych dl przyłdu 3. y rzędu rzędu rzędu 3 rzędu Oblczee lorzów różcowych rzędu -go m postć: [ ] [ ] [ ] [ ]. N podstwe lorzów rzędu -go wrtośc węzłów możemy terz oblczyć lorzy różcowe rzędu -go: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] W dlsze oleośc musmy oblczyć lorzy różcowe rzędu 3-go: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]..

44 44 Metody umerycze w przyłdch stępe rzędu 4-go: [ ] [ ] [ ]. Dl =4 welom terpolcyy Newto m postć ze wzoru 3.: [ ] [ ] [ ] [ ] A ztem otrzymuemy welom o współczych: Przyłd 3.3. Wyzcz przyblżoą wrtość fuc f stosuąc terpolcę Newto w puce =3. Węzły terpolc to: wrtośc fuc w tych putch wyoszą odpowedo: Ilorzy różcowe mą wrtośc pozo w tbel 3.3. Welom terpolcyy Newto m postć:

45 3. Iterpolc prosymc 45 Przyblżoą wrtość fuc w puce =3 możemy oblczyć stosuąc otrzymy welom gdyż 3[-44] wyos o:. Tbel 3.3. Tblc lorzów różcowych dl przyłdu 3.3 y rzędu rzędu rzędu 3 rzędu 4 rzędu Iterpolc trygoometrycz Iterpolcę trygoometryczą stosue sę do wyzcz fuc oresowych często susodlych p. fuc opsuących sygły eletrycze lub drg w mechce. Złdmy że d est fuc f zmee rzeczywste o wrtoścch zespoloych oresow o orese czyl dl żdego : f f. Jeśl fuc g byłby fucą oresową o orese t tz. dl żdego y: g y t g y to doouąc podstwe y otrzymmy fucę oresową: t t f g o orese.

46 46 Metody umerycze w przyłdch Moż węc bez zmesze ogólośc rozptrywć tylo fuce o orese. Zde terpolc trygoometrycze poleg zlezeu dl de fuc f welomu trygoometryczego postc: m F c e c cos m s m 3. m m m m gdze. Welom te w + różych putch =... l dl l z przedzłu przymue te sme wrtośc co fuc f. Tz. dl =...: F f. 3. Twerdzee 3.4. Zde terpolc trygoometrycze m dołde edo rozwąze. Wru terpolc moż zpsć w postc ułdu + rówń lowych z + ewdomym c c... c : m c z m m f dl =... gdze z = e. Mcerz tego ułdu est mcerzą Vdermode' est eosoblw gdyż e wyzcz 3.4 e zerue sę mocy złoże że węzły są róże. Ztem zde terpolcye m edozcze rozwąze. Potrzeb wyzcz współczyów welomu terpolcyego fuc f oprtego dowolych węzłch pow sę w prtyce brdzo rzdo. Z tego powodu ogrczymy sę tylo do przypdu węzłów rówoodległych: = Przy tym złożeu rozwąze zd terpolcyego uprszcz sę w stoty sposób.

47 3. Iterpolc prosymc 47 Fuce e m m=... tworzą ułd ortogoly w sese loczyu slrego: f g f g 3.4 poewż: e l e m l e l e e l e m m m e lm dl dl l m l m. Z te włsośc wy olee twerdzee. 3.5 Twerdzee 3.5. Współczy welomu trygoometryczego 3. terpoluącego fucę f oprtego węzłch 3.3 są rówe: c m m f e f e m Z złoże 3. wyą rówośc:. 3.6 m - m - m m F e = F e f e f e = z włsośc loczyu slrego orz ze wzoru 3.5 otrzymuemy: m l m l m F e = cle e = cl e e = + cm. l= l= Współczy c m oreśloe wzorem 3.6 są rówe współczyom rozwęc Fourer fuc f względem loczyu slrego 3.4. Stąd zde wyzcz współczyów welomu trygoometryczego terpoluącego fucę f zywe est dysretą lzą Fourer []. Welom trygoometryczy stosue sę często w postc 3.7 szczególe przydte w przypdu terpolc fuc o wrtoścch rzeczywstych.

48 48 Metody umerycze w przyłdch Twerdzee 3.6. Trygoometryczy welom terpolcyy fuc f oprty węzłch 3.3 może być przedstwoy w stępuące postc: F p m cos m bm s m + p cos p m przy czym: dl przystego p=.5; dl eprzystego = p=.5- współczy m orz b m mą postć: b m m f f cos m s m m... p m... p. 3.8 Welom 3.7 est trygoometryczym odpowedem wzoru Lgrge'. Moż sprwdzć że eśl f est fucą przystą tz. f=f- to b m = dl żdego m. Jeśl tomst f est fucą eprzystą tz. f = -f- to m = dl żdego m. Isteą róweż brdze efetywe lgorytmy oblcz współczyów welomu F p. lgorytm Goertzel czy lgorytm Resch [5]. Przyłd 3.4. Zleźć trygoometryczy welom terpolcyy F 4 przechodzący przez węzły terpolc 3.3 dl = 4 przyblżący fucę dą w postc dysretych wrtośc f = f = f = f 3 = f 4 =. Zgode ze wzorem 3.7 dl p=.5 = mmy: F 4 =.5 m + cos + b m cos m b m s + s m = cos + b s.

49 Wyzczmy węzły terpolc: = =/5 =4/5 3. Iterpolc prosymc 49 3 =6/5 4 =8/5 zś ze wzorów 3.8 otrzymuemy: 4 m f cos m m 5 4 b m f s m m. 5 Ztem: 4 4 f f cos f cos b f s b f s Osttecze: F 4 =.8 -. cos -.66 s -. cos +.45 s. Moż sprwdzć że: F 4 = F 4 =.6 F 4 = F 4 3 =. F 4 4 =.6. Ilustrc grfcz przyłdu 3.4 rys. 3. pozue że fuc terpolcy est fucą oresową o orese. Wrtośc fuc F 4 porywą sę w węzłch terpolc z wrtoścm dym.

50 5 Metody umerycze w przyłdch Rys. 3.. Wyres fuc terpolcye z przyłdu Fuce slee Oreślee fuc sleych Nech w przedzle < b> dych będze + putów... przy czym =... = b. Puty =... oreślą pewe podzł przedzłu < b> podprzedzłów. Podzł te ozczymy symbolem. Fucę S=S oreśloą przedzle < b> zywmy fucą sleą stop m m eżel: S est welomem stop co wyże m żdym podprzedzle + =... - S e pochode stop... m- są cągłe w rozptrywych przedzłch. Zbór wszystch fuc sleych stop m o węzłch w putch ozczymy S m. Jeśl SS m to żdym przedzle

51 3. Iterpolc prosymc 5 + =... fuc S est welomem stop co wyże m: S m m c m cm... c c dl Mmy węc m+ dowolych stłych c. Żąde cągłośc pochodych rzędu... m- w żdym węźle wewętrzym de m- wruów. T węc fuc S zleży od: m+ - m- =+m prmetrów. Dowole fuce brdzo często przyblż sę fucm sleym. Wąże sę to z łtwoścą wyzcz ch wrtośc orz ze zbeżoścą dl lczych ls fuc. W prtyce często stosue sę fuce slee stop trzecego tóre dl welu zgdeń są wystrcząco głde szybość ch zbeżośc do fuc prosymowe est zdowląc Iterpolcye fuce slee stop trzecego Fucę S S 3 zywmy terpolcyą fucą sleą stop trzecego dl fuc f eżel S = f = y =... >. Fuc S stop trzecego zleży od +3 prmetrów. Poewż de są wrtośc fuc f =y w + putch to terpolcye fuce slee stop trzecego leży łożyć dw dodtowe wru: lub: S S S b 3. S b 3. gdze są ustloym lczbm rzeczywstym. Jeżel fuc f m pochode w putch b są oe ze to moż e przyąć o lczby występuące po prwych stroch wruów Wyzczymy terpolcyą fucę sleą dl węzłów dowole rozłożoych. Ozczmy: M = S =.... Zgode z oreśleem fuc slee trzecego stop pochod S est fucą cągłą przedzle < b> lową podprzedzle -.

52 5 Metody umerycze w przyłdch Moż węc przedstwć ą w postc: h M h M S 3. przy czym h. Cłuąc strom 3. otrzymuemy: A h M h M S B A h M h M S gdze A B są stłym. Nłdąc S wru terpolc: 6 6 y B A h h M S y B h M S wyzczmy stłe A B :. 6 6 M M h h y y A h M y B 3.4 Żądmy by pochod S był fucą cągłą < b>. W tym celu oblczmy grce edostroe: h y y M h M h S h y y M h M h S 3.5 łdmy wrue: S S =

53 3. Iterpolc prosymc 53 Po podstweu 3.5 do 3.6 otrzymuemy ułd - rówń: h y y h y y M h M h h M h Á przy czym = Rów 3.7 moż zpsć w postc: d M M M = gdze: ]. 6[ 6 h y y h y y h h d h h h Jeżel M =... spełą powyższy ułd to fuc S oreślo wzorm est żdym podprzedzle =... terpolcyą fucą sleą stop trzecego. Do ułdu 3.8 leży dołączyć eszcze dw rów wyące ze spełe przez fucę S edego z dodtowych wruów 3. lub 3.. Rów te dl wruów 3. mą postć: d M M d M M gdze: 6 6 h y y h d h y y h d. zś dl wruów 3. są postc: M M.

54 54 Metody umerycze w przyłdch Ułd rówń zpsy w postc mcerzowe m postć: d d d d M M M M = Mcerz współczyów ułdu est mcerzą dgolą o elemetch główe przeąte zcze przewyższących co do modułu sumę modułów pozostłych elemetów wersz. Stąd wy że ułd 3.9 m edozcze rozwąze [4]. Istee ztem ed fuc terpoluąc stop trzecego spełąc ede z wruów 3. lub 3.. Do wyzcz terpolcyych fuc sleych o przedstwoe wyże postc są ezbęde stępuące de: węzły wrtośc druge pochode fuc slee M = S orz wrtośc fuc y = f. Często wygode est przedstwć poszuwą fucę S w postc ombc lowe elemetów bzy przestrze S m m. Wyzczymy bzę przestrze fuc S stop trzecego z węzłm rówoodległym h h b... Dodtowo przez 3 3 ozczmy puty h dl = oreślmy fuce 3 = z pomocą wzoru: 3.3. h pozostlyc dl : ; ; ; 3 3 ; R h h h h h h h

55 3. Iterpolc prosymc 55 Fuce te są lsy C. W tblcy 3.4 pode są wrtośc fuc 3 orz e perwsze druge pochode w putch dl = Poz przedzłem < - + > fuc t est tożsmoścowo rów zeru. Tbel 3.4. Wrtośc fuc 3 e pochodych /h -3/h 3 3/h -/h 6/h Twerdzee 3.7. Fuce 3 = oreśloe przedzle < b> stową bzę przestrze fuc sleych trzecego stop. Kżdą fucę S moż przedstwć w postc ombc lowe: 3 S c b 3.3 gdze 3 są oreśloe wzorem 3.3 c są lczbm rzeczywstym. W przypdu węzłów rówoodległych szumy terpolcye fuc slee w postc ombc lowe 3.3. N podstwe tblcy 3. moż stwerdzć że stłe c muszą spełć ułd + rówń: c 4 c c y = Jeśl fuc speł dodtowe wru 3. to dodtowe dw rów będą stępuące: h h c c c c. 3 3

56 56 Metody umerycze w przyłdch Po wyelmowu z ułdu współczyów c - orz c + pozostłe współczy c =... rozwęc będą rozwązem ułdu: c y c c 4 c y h / 3 y y h / 3 tórego mcerz współczyów est mcerzą tródgolą o domuących elemetch główe przeąte. Ułd m węc edozcze rozwąze. Przyłd 3.5. Mąc de węzły terpolcye w tbel 3.5 zleźć sześceą fucę sleą. Tbel 3.5. De do przyłdu y Korzystąc z progrmu oprcowego podstwe rozwżń z beżącego rozdzłu otrzymue sę stępuącą fucę sleą: w przedzle < > = < 3 >: S = b w przedzle < > = < 3 5 > : S = c w przedzle < 3 > = < 5 8 >: S = Przyłd 3.6. Zstosowć terpolcę fucą sleą trzecego stop do prosymc chrterysty prądowo-pęcowe dody tuelowe

57 3. Iterpolc prosymc 57 tóre chrterysty przedstwo est w tbel 3.6. Rolę zmee peł wrtość pęc U rolę y wrtość tęże prądu I. Grfcze wy terpolc welomową fucą sleą prezetue rys Tbel 3.4. Chrterysty dody tuelowe U=fI Lp. U[V] I[mA] Lp. U[V] I[mA] Rys Wy terpolc fucą sleą dl dych z przyłdu 3.6.

58 58 Metody umerycze w przyłdch 3.5. Aprosymc Sformułowe zgde prosymc Zde prosymcye może być sformułowe brdzo róże. W lsyczym przypdu dl de fuc f spośród fuc ustloe lsy poszuue sę fuc F też ustloe lsy tór w oreśloym sese lepe przyblż f. Iym zdem est wyzczee możlwe sm osztem przyblże F fuc f z zdą dołdoścą. Moż róweż stwć problem prosymc e ede le cłe lsy fuc fucm e lsy. Rozwąz t róże postwoych zdń są oczywśce róże e stee węc ed optyml prosymc [ ]. Fucę f zą lub oreśloą tblcą wrtośc będzemy prosymowć zstępowć ą fucą F zwą fucą prosymuącą lub przyblżeem fuc f. Oczywśce przyblżee te powodue powste błędów prosymc. Nech f będze fucą tórą chcemy prosymowć X - pewą przestrzeą lową uormową tz. oreślo est w e fuc zyw ormą zś X m+ m+-wymrową podprzestrzeą lową przestrze X. Aprosymc fuc f poleg wyzczeu tch współczyów... m fuc: F... m m by spełł o pewe wru p. mmlzowł ormę różcy f - F przy czym... m są fucm bzowym m+ wymrowe podprzestrze lowe X m+. Wybór odpowede podprzestrze X m zwąze z ą bzy fuc bzowych est zgdeem stotym ze względu umeryczy oszt rozwąz błędy zorągleń. Często oberą podprzestrzeą X m+ est: podprzestrzeń fuc trygoometryczych z bzą: s cos s cos... s cos szczególe przydt gdy prosymow fuc f est fucą oresową; podprzestrzeń welomów stop co wyże m z bzą edomów: 3... m.

59 3. Iterpolc prosymc 59 Mmo prostoty dzłń welomch bz t m stotą wdę - wrżlwość błędy zorągleń; umuluące sę błędy w przypdu dzłń młych orz ewele różących sę lczbch mogą cłowce zesztłcć oblcze. podprzestrzeń welomów stop co wyże m oreśloych przedzle <- > z bzą welomów Czebyszew opsych dle wzorem 3.65: T T T... T m czy też z bzą welomów Legedre' wzór 3.56: L L L... L m. Zgdee prosymc przy wybrych fucch bzowych sprowdz sę do edozczego wyzcze wrtośc współczyów zpewących mmum ormy f - F czyl: f -... m m. Norm est tu rozum w sese mry odległośc mędzy dwom fucm. Nczęśce stosowe ormy w prosymc to: orm edost Czebyszew wzór 3.34 orm L wzór 3.35 orm średowdrtow wzór W zleżośc od stosowe ormy mówmy odpowedo o prosymc edoste Czebyszew prosymc z ormą L prosymc średowdrtowe. Aprosymc w przypdu ormy Czebyszew Dl fuc f oreśloe przedzle < b> poszuuemy fuc F zpewące mesze msmum różcy mędzy F f cłym przedzle < b >: F f F f sup b Aprosymc t zyw sę prosymcą edostą. Poleg o tm wyzczeu fuc F by węsz odległość e wrtośc od wrtośc fuc de f był mesz rys Odległość t oreśl edocześe msymly błąd bezwzględy z m fuc F przyblż dą fucę f.

60 6 Metody umerycze w przyłdch y = f f F - fuc d tblcą wrtośc - f - fuc prosymuąc - F Rys Iterpretc grfcz prosymc edoste Aprosymc w przypdu ormy L z wgą Dl fuc f oreśloe cągłe przedzle < b> poszuuemy mmum cł: F b f wf f d 3.35 gdze w est cągłą euemą fucą wgową dodtą poz zborem mry zero. Ntomst dl fuc f de dysretym zborze rgumetów poszuuemy mmum sumy metod meszych wdrtów: F f w F f 3.36 przy czym w est fucą wgową tą że w dl =.... Aprosymc t zyw sę prosymcą średowdrtową. Poleg o tm wyzczeu fuc F by sum wdrtów odległośc e wrtośc od wrtośc de fuc f był mesz rys Aprosymc średowdrtow zcze lepe od prosymc edoste elmue duże błędy przypdowe p. wyące z pomyłe przy pomrch.

61 3. Iterpolc prosymc 6 y = f f F - fuc d tblcą wrtośc - f - fuc prosymuąc - F Rys Iterpretc grfcz prosymc średowdrtowe Aprosymc średowdrtow Nech będze d fuc y = f tór pewym zborze X putów:... przymue wrtośc y y y... y. Wrtośc te mogą być przyblżoe obrczoe pewym błędm p. błędm obserwc pomrowych. Nleży zleźć fucę F mło odchylącą sę od de fuc f zrówo mędzy węzłm w węzłch... tór przyblżłby dą fucę t by ą wygłdzć. Nech =... m będze ułdem fuc bzowych podprzestrze X m. Poszuuemy welomu uogóloego postc: lub: F F... m m 3.37 m 3.38 będącego lepszym przyblżeem średowdrtowym fuc f przy czym współczy są t oreśloe by wyrżee 3.36 było mmle. Ozczmy: H... m f w w m R 3.39

62 6 Metody umerycze w przyłdch gdze w est ustloą z góry fucą wgową tą że w dl =... zś R est odchyleem w puce. Nczęśce przymue sę że fuc wgow w m stłą wrtość rówą tożsmoścowo edośc moż ed dobrć ą fucę wgową p. eżel wrtośc fuc f w pewych putch ze są z meszym błędem to w celu otrzym lepszego przyblże przymue sę w tych putch węsze wrtośc fuc wgowe. W celu zleze tch współczyów dl tórych fuc H osąg mmum oblczmy pochode cząstowe względem zmeych przyrówuemy e do zer: H... m. Otrzymuemy ułd m+ rówń z m+ ewdomym =... m: H m w f 3.4 zwy ułdem ormlym. Poewż fuce tworzą bzę przestrze X m ztem wyzcz ułdu 3.4 est róży od zer edozcze rozwąze tego ułdu zpew mmum fuc H. W zpse mcerzowym ułd 3.4 przymue postć: D T DA=D T f 3.4 gdze: m m D m f f A. f. :.. :. m f Mcerz współczyów ułdu est mcerzą symetryczą dodto oreśloą co zpew edozczość rozwąz. Ułd 3.4 lub 3.4 powste z rów 3.37 po podstweu wrtośc putów węzłowych =.... Otrzymuemy wówczs doreśloy ułd + rówń z m+ ewdomym DA = f z tórego po pomożeu lewostroe przez D T dochodz sę do 3.4.

63 3. Iterpolc prosymc 63 Jeżel z fuce bzowe przymue sę cąg edomów 3... m to wzór 3.4 moż zpsć w postc: m f m... lub po przesztłceu: f m =... m. 3.4 Ozcząc: f g otrzymuemy ułd ormly 3.4 postc: m g m lub: m m m m m m m m m m m f f f f gdze wszyste sumow wyoywe są od = do =. Moż wyzć że eżel puty... są róże m to wyzcz ułdu 3.43 est róży od zer węc ułd te m edozcze rozwąze. Jeżel m = to welom prosymcyy F poryw sę z welomem terpolcyym dl putów... wówczs H=. W prtyce stopeń welomu m est powe być zcze ższy od lczby putów wtedy bowem orzystmy z duże lośc formc p. wyów pomrów uzysuąc rówocześe prostsze sego stop fuce prosymuące.

64 64 Metody umerycze w przyłdch Welom prosymuący dą fucę f w sese meszych wdrtów powe meć stopeń tyle wyso by dosttecze przyblżć prosymową fucę edocześe stopeń te powe być wystrcząco s by welom te wygłdzł losowe błędy wyące p. z pomrów. W prtyce stopeń welomu oreślmy pror podstwe lzy modelu fzyczego bdego zws bądź też przeprowdzmy prosymcę oleo welomm corz to wyższych stop oblczmy odchyle fuc H. Dl m 6 ułd 3.43 est źle uwruowy wsute czego otrzyme wy oblczeń mogą być t brdzo zburzoe ż e dą sę do prtyczego wyorzyst. Nech będą rozłożoe w edowych odstępch w przedzle < >. Lczby g występuące we wzorze 3.43 moż dl dużych m przyblżyć stępuąco: m m g m d =... m. Mcerz współczyów ułdu 3.43 m postć:... m A... 3 m m m m Elemety mcerzy odwrote G - są rzędu 3 co powodue błędy zorągleń t duże że wy prtycze trcą ses. Ztem stosowe prosymc z fucm bzowym typu edomów m ses edye dl młych m m < 6. W celu prosymc de fuc welomm wyższych stop leży: zstosowć speclą metodę rozwązyw ułdów rówń tórych mcerz współczyów m wyzcz bls zeru; zwęszyć precyzę dołdość wyoyw oblczeń; zstąpć bzę edomów bzą złożoą z welomów ortogolych.

65 3. Iterpolc prosymc 65 Przyłd 3.7. W tbel 3.5 de są wy pewych pomrów. Metodą meszych wdrtów zleźć fucę lową tór lepe prosymue pode de. Tbel 3.5. Wy pomrów do przyłdu f W celu zleze fuc lowe prosymuące de z tbel leży wyzczyć fucę postc 3.37: y F dl =...7 orz. Oreśląc fucę H zgode z 3.39 otrzymuemy: f f F f H W celu wyzcze szuych współczyów oblczmy pochode cząstowe fuc H względem zmeych orz przyrówuemy e ptrz wzór 3.4 do zer: 7 m f H W te sposób otrzymuemy ułd dwóch rówń lowych z dwem ewdomym:. 7 7 m m f H f H

66 66 Metody umerycze w przyłdch Podstwąc do powyższego ułdu orz dzeląc obustroe ob rów przez - mmy: 7 7 f f. Podstwąc stępe z f =...7 wrtośc z tbel 3.5 perwsze rówe powyższego ułdu przyme postć: druge: Po dlszych uproszczech otrzymuemy: Rozwązem ułdu est: 7 6. Poszuw fuc F m wobec tego postć: F 7 6. Grfczą reprezetcę przyłdu demostrue rys. 3.6.

67 3. Iterpolc prosymc 67 Rys Ilustrc grfcz przyłdu 3.7 Przyłd 3.8. Dl dych z tbel 3.6 zleźć metodą meszych wdrtów fucę postc:. Tbel 3.6. De do przyłdu y Po sprowdzeu problemu do postc lowe: gdze dl = 4 moż zstosowć metodę dl fuc lowe czyl moż od początu wyprowdzć fucę H lczyć e pochode przyrówywć e do zer lbo po prostu wyorzystć wzór 3.43 dl m= lczb szych fuc bzowych orz =4 lczb węzłów prosymc: {.

68 68 Metody umerycze w przyłdch Nstepe leży polczyć odpowede sumy występuące w tym ułdze rówń:. Osttecze otrzymuemy ułąd rówń postc: Rozwązem ułdu są lczby = 3 = 3 czyl szu fuc m postć:. Przyłd 3.9. Dl dych dośwdczlych z tbel 3.7 zleźć metodą meszych wdrtów rzywą typu hperbol. Tbel 3.7. De do przyłdu y Poszuuemy fuc prosymuących typu: y = / + b b y = /+b c y = /+b. W żdym przypdu zde sprowdz sę do problemu lowego. Wy oblczeń przedstwoe są rys. 3.7.

69 3. Iterpolc prosymc y y=/+b y=/+b. 4 y=/+b. p u t y p o m r o w e Rys Ilustrc grfcz do przyłdu 3.9. W welu zgdech techczych często stosową fucą przyblżącą est sus hperbolczy lub cosus hperbolczy tóre defuemy stępuąco:. Przyłdowo pr putów pomrowych duc mgetycze tęże pol eletromgetyczego B H B H... B H tworzy dośwdczlą rzywą mgesow. Stosuąc metodę meszych wdrtów moż zleźć fucę: H = sh B t by zmmlzowć wyrżee: S w H sh B 3.44 gdze w est wgą sttystyczą - tego putu =...

70 7 Metody umerycze w przyłdch W tym celu leży wyzczyć pochode cząstowe fuc S względem orz przyrówć e do zer. Otrzymmy ułd rówń: B B w B B w H B S B w H B w S ch sh ch sh sh Z perwszego z rówń 3.45 wyzczmy współczy : sh sh B w B w H 3.46 po wstweu do drugego rów otrzymuemy rówe z ewdomą :. ch sh sh sh ch B B w B B w H B w B w H B 3.47 Rówe 3.47 rozwązue sę stosuąc edą z metod omówoych w rozdzle 4. Zmst mmlzow błędu bezwzględego 3.44 moż mmlzowć błąd względy: H B H w S wzgl sh Podobe w przypdu błędu bezwzględego uzysue sę rówe z ewdomą. W przypdu prosymc średowdrtowe fuc f cągłe przedzle < b> poszuue sę fuc: F m m... gdze... m są elemetm bzy pewe podprzestrze fuc cłowlych z wdrtem przedzle < b>.

71 3. Iterpolc prosymc 7 Aprosymc średowdrtow fuc cągłych poleg zlezeu tego cągu współczyów =... m by otrzymć mmum ormy W celu rozwąz zd leży utworzyć ułd m+ rówń z m+ ewdomym : H H... m gdze:... m b b w w F f m f d. d Rozwąze tego ułdu wyzczy poszuwą fucę prosymuącą. Przyłd 3.. Zleźć prosymcę dośwdczle rzywe mgesow obwodu mgetyczego dl dych zestwoych w tbel 3.8 z pomocą fuc sus hperbolczy. Tbel 3.8. De weścowe do prosymc rzywe mgesow Lp. B[T] H[A/m] Wg Lp. B[T] H[A/m] Wg Stosuąc metodę meszych wdrtów do fuc sh o współczych tz.: H= sh B

72 7 Metody umerycze w przyłdch otrzymo stępuące wrtośc współczyów: =.9966 A/m =4.538 /T. Wy prosymc przedstwoo grfcze rys Rys Wyres wyów prosymc rzywe mgesow 3.6. Welomy ortogole Aprosymc z fucm bzowym typu powodue że wrz ze wzrostem stop welomu oblcze stą sę corz brdze prcochłoe podto ch wy są epewe. Podto zm stop welomu przyblżącego wymg poowego rozwązyw ułdu ormlego 3.43 co też przemw przecwo stosowu bzy fuc = do prosymc. Obe te trudośc moż usuąć używąc do prosymc welomów ortogolych.

73 3. Iterpolc prosymc 73 Cąg P P... P gdze P =... est welomem stop dołde zywmy: cągem welomów ortogolych przedzle [ b] z wgą p eśl tworzą oe ułd ortogoly w przestrze L p [ b] tz. b P P P p d dl l l P l l b cągem welomów ortogolych zborze dysretym {... N } z wgą p eśl tworzą oe ułd ortogoly w przestrze L pn tz.: N P P P P p dl l l... l gdze N- zś dodtm. l 3.5 p =... N są dym lczbm W przypdu cąg P P... P może być esończoy zś w przypdu b est sończoy. Tm gdze e będze to stote e będzemy rozróżć welomów ortogolych w sese b mówąc po prostu o welomch ortogolych. Welomy ortogole P P... P tworzą bzę przestrze lowe W welomów stop e wyższego ż. Twerdzee 3.8. W przestrze L p [ b] lub w przestrze l pn cąg welomów ortogolych est wyzczoy edozcze z dołdoścą do możów lczbowych. Welomy ortogole spełą tże zleżość reurecyą tzw. regułę tróczłoową.

74 74 Metody umerycze w przyłdch Twerdzee 3.9. Welomy ortogole P =... spełą zleżość:.... P P P P P 3.5 gdze: P P P P P P P P 3.5 ozczą współczy welomu P = Z defc - ty welom ortogoly P est dołde stop ztem ego współczy. Jeśl / to P - P - est welomem stop - moż go przedstwć w postc: P b P P W przestrzech L p[ b] l pn zchodz rówość: P P P P. Ztem podstwe twerdze 3.8 dl <- mmy: P P P P P P P. Z zleżośc 3.5 otrzymue sę: P P b P P b P P P czyl b = dl < -. Wzór 3.53 moż ztem zpsć w postc: P = P - + P - + P gdze = b - = b -. Stłe te moż wyzczyć możąc slre obe stroy rówośc 3.54 przez P - : = P P - = P - P - + P - P -

75 3. Iterpolc prosymc 75 sąd otrzymue sę wrtość we wzorch 3.5. Alogcze wyzcz sę wrtość dl = W przypdu welomów ortogolych zborze dysretym {... N } zleżość reurecy 3.5 est speło tylo dl N-. Zuwżmy że welom stop N: N N 3.55 zerue sę w żdym z putów sąd wy że est prostopdły do wszystch welomów ortogolych P ższego stop. Tym smym N - ty welom ortogoly P N musłby być postc 3.55 poewż z twerdze 3.8 wdomo że est o wyzczy edozcze z dołdoścą do stłego czy. Dl welomu: P N = N N zchodz rówość P N P N = co dowodz że est o zerowym elemetem przestrze zerowe l pn e może węc być elemetem ułdu ortogolego. Jest to oczywste bo przestrzeń l pn m wymr N e może węc zwerć ułdu lowo ezleżego o węce ż N elemetch. Reguł tróczłoow 3.5 umożlw ostrucę welomów ortogolych. Są oe wyzczoe edozcze z dołdoścą do możów lczbowych. Możemy węc dowole ustlć wrtośc współczyów. Borąc = =... otrzymuemy = tym smym prostszą postć wzorów 3.5. Ząc uż welomy P = P P... P - wyzczmy P z zleżośc: P = + P - + P -. Koszt otrzym oleego welomu ortogolego est rówy osztow oblcze dwóch loczyów slrych P - P - orz P - P - - loczy P - P - musł być oblczoy wcześe przy wyzczu welomu P -. Zlezee welomów ortogolych z reguły tróczłoowe wymg ztem oblcze - loczyów slrych.dzee

76 76 Metody umerycze w przyłdch Twerdzee 3.. Nech P będze cgem welomów ortogolych w przedzle b z wgą p. Wówczs welom P =... m zer rzeczywstych poedyczych leżących w przedzle b. Twerdzee 3.. W przypdu welomów ortogolych ułd rówń w prosymc średowdrtowe sprowdz sę do mcerzy dgole. W oblczech umeryczych e powo sę welomów ortogolych ch ombc lowych reprezetowć względem bzy.... Cł formc o welomch ortogolych pow wyrżć sę współczym formuły tróczłoowe ewetule ormm P = P P. Z formuły tróczłoowe leży orzystć tże przy oblczu wrtośc welomu ortogolego w dym puce przy wyzczu wrtośc ch ombc lowe. Przyłdm cągów welomów ortogolych są welomy Legedre Hermte Grm Czebyszew. Welomy Legedre' Welomy Legedre' są zdefowe wzorm: d P P dl ! d tworzą oe cąg welomów ortogolych przedzle [- ] z fucą wgową p= orz spełą zleżość reurecyą: P P P P dl Korzystąc z 3.57 moż pozć że: P Podto: / P P d. 3.59

77 3. Iterpolc prosymc 77 Welomy Hermte' Welomy Hermte' są oreśloe wzorem: H d 3.6 d H e e dl... lub w postc we: /!! H. 3.6! Tworzą oe cąg welomów ortogolych w przestrze L p-+ z fucą wgową p e. Reguł tróczłoow w tym przypdu m postć: H H H H Norm H est rów: H e P d! 3.63 Welomy Grm Jeśl w przestrze l pn puty... N położoe są w rówe odległośc bez zmesze ogólośc moż złożyć że leżą oe w przedzle [- ] czyl: N zś wg p są rówe edośc to cągem welomów ortoormlych zborze dysretym {... N } węc ortoormlych w l pn są welomy Grm G G... G N- : N dl l G G G G l... l l Spełą oe zleżość reurecyą: G N dl l.

78 78 Metody umerycze w przyłdch G przy czym: G G... N 3.64 N 4. N Dl zcze meszych od N welomy Grm G są blse welomów Legedre' P. Ntomst dl stote węszych od N welomy G mą dużą ormę edostą w przedzle [- ] ch wrtośc sle oscyluą mędzy putm. Welomy Czebyszew Welomy Czebyszew perwszego rodzu są zdefowe wzorem: dl... T Dl podstwąc = cos t tz. t = rccos dostemy: T ztem: cos t s t cos t s t cos rccos cos t 3.66 T Z 3.67 orz z tożsmośc trygoometrycze: cos t + cos-t = cos t cos-t wy zleżość reurecy dl welomów Czebyszew: T T T T T Łtwo sprwdzć że dl > welomy Czebyszew spełą tże rówość 3.68.

79 Mmy węc: T = T = T = T 3 = T 4 = td. 3. Iterpolc prosymc 79 Z defc 3.65 wy że welomy Czebyszew stop przystego są fucm przystym stop eprzystego - fucm eprzystym tz. T - = - T. Twerdzee 3.. Welomy Czebyszew T =... tworzą ułd ortogoly w przestrze L p [- ] z fucą wgową: p =. Podto welom T =... w przedzle [- ] m + putów estremlych y m : m y m cos m... w tórych T y m = - m. Współczy przy wyższe potędze -tego welomu Czebyszew est rówy -. Przyłd 3.. Zlzowć wrtośc welomów stop przyblżących fucę f stce: 5 węzłów rówoodległych =... b węzłów Czebyszew cos =.... Wy oblczeń są zestwoe w tbel 3.9 przedstwoe rys. 3.9.

80 8 Metody umerycze w przyłdch Tbel 3.9. Wrtośc welomów prosymuących z przyłdu 3. Węzły terpolc Wrtośc fuc f Wrtośc welomu prosymuącego stce węzłów: rówoodległych F Czebyszew F

81 3. Iterpolc prosymc 8 F..8.6 y F.4 f Rys Ilustrc grfcz przyłdu Zd do smodzelego rozwąz Zde 3.. Dl dych z tbel 3. wyzczyć welom terpolcyy Lgrge oblczyć przyblżoą wrtość fuc w putch orz 7. Tbel 3.. De do zd f Odp. f 6 f7 e moż terpolowć w puce =7 gdyż leży o poz zresem węzłów.

82 8 Metody umerycze w przyłdch Zde 3.. Dl dych z tbel 3. oblczyć wyorzystuąc welom terpolcyy Lgrge przyblżoą wrtość fuc w putch -. Tbel 3.. De do zd f Odp. f 34 f- 8. Zde 3.3. Dl dych z tbel 3. wyzczyć tblcę lorzów różcowych wyorzystywych w terpolc Newto. Tbel 3.. De do zd f Odp. [ ] = 3 [ ] = 5 [ 3 ] = 9 [ 3 4 ] = 47 [ ] = [ 3 ] = 8 [ 3 4 ] = 64 [ 3 ] = [ 3 4 ] = [ 3 4 ] =. Zde 3.4. Dl dych z tbel 3.3 wyzczyć welom terpolcyy Newto oblczyć przyblżoą wrtość fuc w putch orz -. Tbel 3.3. De do zd f

83 3. Iterpolc prosymc 83 Odp. f 97 f- 3. Zde 3.5. Wyzczyć fucę lową tór w sese metody meszych wdrtów prosymue de z tbel 3.4. Tbel 3.4. De do zd f Odp.. Zde 3.6. Wyzczyć fucę postc y=/+b tór w sese metody meszych wdrtów prosymue de z tbel 3.5. Tbel 3.5. De do zd 3.6 /5 /9 /3 /5 f Odp.. Zde 3.7. Sprwdzć czy cąg welomów: est cągem welomów ortogolych przedzle [-] z fucą wgową Odp. Welomy te e stową cągu ortogolego poewż.

84 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 4.. Wstęp W rozdzle tym przedstwmy metody sończoe orz tercye [ ] rozwązyw ułdów rówń lowych postc: A = b 4. gdze: A est mcerzą b b... b b... dym wetorem szuym rozwązem ułdu rówń lowych Metody sończoe 4... Elmc Guss Metod elmc Guss est częśce stosową sończoą metodą umeryczego rozwązyw eosoblwych ułdów rówń lowych.

85 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 85 Ułd rówń lowych 4. moż zpsć w postc mcerzowe: A b 4. lub bezpośredo:... b... b b Ides w wse ozcz tu oley ro relzowmy w wyu dzł metody elmc Guss. W metodze wyróż sę dw etpy: postępowe proste postępowe odwrote. Perwszy etp elmc elmc w przód czyl tzw. postępowe proste sprowdz ułd do postc góre tróąte. Perwszy ro metody poleg odęcu od -tego wersz ułdu 4.3 =3... wersz perwszego pomożoego odpowedo przez: lub: m. Po wyou perwszego rou elmc otrzymuemy ułd: A b b b... b. 4.5 Wyelmowlśmy w te sposób ewdomą z rówń leżących w werszch o umerch = 3....

86 86 Metody umerycze w przyłdch Podobe w rou drugm elmuemy zmeą z rówń leżących w werszch odemuąc od -tego wersz = wersz drug pomożoy przez m gdze olee moż wyzcze są ze wzoru: czyl: m /... = Postępuąc w te sposób otrzymmy przesztłcoy ułd rówń: 3 3 A b. Po wyou - elmc uzysmy tróąty ułd rówń: A b... b b... b W drugm etpe rozwąz postępowe odwrote lub postępowe wstecze w celu zleze rozwąz ułdu rówń orzyst sę z uzyse w wyu postępow prostego mcerzy tróąte góre 4.6 wzorów reurecyych : b b Metod Guss zpew uzyse wyów z ewelm błędem eżel tylo wrtośc współczyów osttecze zreduowego ułdu rówń leżących główe przeąte e są blse zeru. Gdyby moduł tóregoś z dzelów był mły w porówu z ym współczym to mógłby powstć zczy błąd umeryczy. Istee zer przeąte wyluczłoby rozwąze ułdu ptrz przyłd 4.3. Aby tego uąć stosue sę edą z metod wyboru elemetu główego []: wybór częścowy elemetu główego wybór peły elemetu główego.

87 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 87 Wybór częścowy elemetu główego poleg tym że w -tym rou elmc wyber sę te elemet -te olumy lbo -tego wersz mcerzy tóry m węszy moduł tz.: r m stępe dooue sę przestwe werszy o umerze z werszem o umerze r lub r m orz przestwe olumy umer z olumą umer r. Nleży przy tym pmętć o edoczese zme oleośc zmeych w wetorze wyowym. Wybór peły elemetu główego poleg tym że w -tym rou elmc wyber sę węszy co do modułu elemet r s tz.: rs m stępe dooue sę rs przestwe werszy r orz olumy s. W prtyce wybór częścowy elemetu główego zwyle wystrcz ze względu zcze węszy oszt poszuw rzdo stosue sę wybór peły. Z druge stroy ed metod Guss est umerycze poprw tylo w przypdu pełego wyboru elemetu główego. Łącz lczb operc w metodze elmc Guss wyos ooło 3 / 3 /. Poewż smo rozwąze ońcowego ułdu tróątego wymg / operc toteż dl dużego osztoweszą częścą oblczeń est reduc do postc tróąte. Przyłdy przedstwą róże ułdy demostruące przypde edy częścowy wybór elemetu główego e est wystrczący. Przyłd 4.. Rozwązć metodą elmc Guss z wyborem elemetu podstwowego w olume ułd rówń: {.

88 88 Metody umerycze w przyłdch Postępowe proste N począte tworzymy mcerz współczyów 44 powęszoą o wetor wyrzów wolych tego ułdu: [ ]. Kro perwszy elmc Guss Chcemy zstosowć wybór elemetu podstwowego w olume węc w perwszym rou leży wybrć elemet węszy co do modułu z olumy perwsze u s est to elemet =- tóry sto w werszu drugm dltego zmemy wersz z werszem. Mcerz m postć: [ ]. Nstępe wyzczmy moż m ze wzoru 4.7 dl = =34 orz podemy od rzu wzory oblczee owych werszy mcerzy współczyów z wyorzystem polczoych możów:. Wyouemy perwszy ro według powyższych wzorów wersz perwszy oczywśce e uleg zme: [ ]. Kro drug elmc Guss Stosuemy wybór elemetu podstwowego w olume węc w drugm rou leży wybrć elemet węszy co do modułu z olumy druge werszy od drugego do czwrtego bez elemetu te olumy stoącego w werszu perwszym u s est to elemet =-5 stoący w werszu drugm wobec czego e doouemy żde zmy.

89 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 89 Alogcze oblcze w rou perwszym wyouemy w celu otrzym możów dl = orz =34 przesztłce werszy:. W wyu przesztłceń opsych powyższym wzorm otrzymuemy mcerz: [ ]. Kro trzec elmc Guss Stosuąc wybór elemetu podstwowego w olume w trzecm rou leży wybrć elemet węszy co do modułu z olumy trzece werszy od trzecego do czwrtego bez elemetów te olumy stoących w werszu perwszym drugm w szym przyłdze est to elemet 33 = stoący w werszu trzecm wobec czego poowe e trzeb dooywć żde zmy moż wyzczmy ze wzoru: W wyu przesztłce otrzymuemy mcerz: [ ] tór est efetem ońcowym elmc proste. Postępowe odwrote Po wyou trzech roów elmc Guss otrzymlśmy mcerz górą tróątą dl tóre leży przeprowdzć postępowe odwrote zmerzące do rozwąz t otrzymego ułdu rówń: {.

90 9 Metody umerycze w przyłdch Te etp est uż brdzo prosty: z rów osttego wylczmy zmeą 4 z trzecego 3 td. ż dodzemy do rów perwszego. W te sposób uzysuemy rozwąze: z rów czwrtego ; z rów trzecego ; z rów drugego ; z rów perwszego. Zm werszy e pocąg z sobą zmy zmeych w wetorze rozwązń. Ztem rozwązem podego ułdu rówń est wetor: [ ]. Przyłd 4.. Metodą elmc Guss z wyborem elemetu podstwowego w werszu rozwązć ułd rówń: {. Początowo mcerz ułdu est postc: [ ]. Postępowe proste Kro perwszy Chcemy zstosowć wybór elemetu podstwowego w werszu - w perwszym rou leży wybrć elemet węszy co do modułu z wersz perwszego. W szym przyłdze est to elemet 3 =5 tóry sto w olume trzece dltego zmemy olumę z olumą 3.

91 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 9 Mcerz po zmch m postć: [ ]. Nstępe wyzczmy moż: po oblczech uzysuemy mcerz: [ ]. Kro drug Elemet węszy co do modułu z wersz drugego est to elemet 3 =7 tóry sto w olume trzece dltego zmemy olumę z olumą 3. Mcerzpo zme m postć: [ ]. Wyzczmy olee moż: uzysuemy mcerz: [ ].

92 9 Metody umerycze w przyłdch Kro trzec Elemet węszy co do modułu z wersz trzecego est to elemet 34 =3 tóry sto w olume czwrte dltego zmemy olumę 3 z olumą 4. Mcerz po zme m postć: [ ]. Wyzczmy moż: osttecze otrzymuemy mcerz: [ ]. Postępowe odwrote Zm olum pocąg z sobą zmy w wetorze rozwązń: wyścow sytuc dl umerów zmeych to: [ 3 4]; perwsz zm dotyczył olum 3: [3 4]; drug zm dotyczył olum 3: [3 4]; trzec zm dotyczył olum 3 4: [3 4 ]. Dl te oleośc w wetorze zmeych wyouemy postępowe odwrote: {. Szuym rozwązem est:. Ztem rozwązem podego ułdu rówń est wetor: [ ].

93 Przyłd Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 93 Metodą elmc Guss bez wyboru elemetu podstwowego rozwązć pody ułd rówń: {. Mcerz wyścow m postć: [ ]. Kro perwszy Doouemy oblczeń: otrzymuemy mcerz: [ ]. Po perwszym rou metody elmc Guss elemet est rówy zero co powodue emożlwość prowdze dlszych oblczeń. Metodę elmc Guss bez wyboru elemetu podstwowego leży w tym mescu zończyć. Ne uzyslśmy rozwąz ułdu. Ne ozcz to ed że mcerz est osoblw. Te sm ułd moż spróbowć rozwązć metodą elmc Guss z wyborem elemetu podstwowego. W tym przypdu róweż t metod e d rozwąz co ozcz że mcerz est osoblw ułd est sprzeczy.

94 94 Metody umerycze w przyłdch 4... Elmc Guss-Jord Metod elmc Guss-Jord est modyfcą metody elmc Guss. Ułd rówń lowych 4. tz.... b... b b drogą elemetrych trsformc przesztłcy est t że zrówo powyże poże główe przeąte występuą współczy zerowe. Ułd rówń 4.9 przesztłcmy zgode z poższym lgorytmem. Perwsze rówe dzelmy obustroe przez stępe od -tego wersz =3... odemuemy wersz perwszy pomożoy przez otrzymuąc ułd rówń: A b 4. postc: b b... b. 4. Nstępe druge rówe dzelmy obustroe przez od -tego wersz =34... odemuemy wersz drug pomożoy przez otrzymuąc ułd: 3 3 A b 4.

95 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 95 postc: b b b Po - elmcch otrzymue sę ułd o mcerzy dgole: b b... b ztem uż gotowe rozwąze. Metod t zw metodą elmc Jord lub metodą elmc zupełe wymg wyo ooło półtor rz węce dzłń ż w przypdu metody elmc Guss. Lczb zętych omóre pmęc est t sm. Aby e wystąpło dzelee przez zerowy elemet leży zstosowć odpowed wybór elemetu podstwowego. Zletą reduc Guss-Jord est możlwość rozwązyw ułdu rówń obcętego do początowych rówń ewdomych w przypdu gdy doouemy reduc bez wyboru elemetów podstwowych. Metod t umożlw podto rozwązywe ułdu rówń przy oszczędeszym wyorzystu pmęc opercye co pozwl rozwązywe ułdów o węsze lczbe zmeych. Istotą wdą est tu ed duży łd oblczeń tóry e uleg zmeszeu podczs poowego rozwązyw ułdu rówń przy zmeoe prwe stroe ułdu wetor b Rozłd LU W welu zgdech umeryczych dotyczących mcerzy wdrtowych A poszuuemy tch mcerzy tróątych L U zobcz wzór. by: A=LU est to tzw. rozłd tróąty lbo rozłd LU. Metod elmc Guss umożlw wyzczee tego rozłdu.

96 96 Metody umerycze w przyłdch Ułd: A=b est rówowży ułdow: LU=b tóry rozpd sę dw ułdy tróąte: Ly=b U=y. Ząc czy L U moż rozwązć ułd A=b osztem / operc elmc Guss wymg tomst 3 / 3 operc. Nech A będze mcerzą wymru ech A ozcz mcerz utworzoą z elemetów początowych werszy olum z A. Jeśl det A =...- to stee edyy rozłd A=LU czy te że: L est mcerzą dole tróątą m elemety mcerz l l =... mcerz U u est mcerzą góre tróątą. Zuwżmy podto że mcerz U est ońcową mcerzą tróątą otrzymą z pomocą elmc Guss. Aby otrzymć mcerz L leży zchowć moż m / tóre oreśl sę w elmc Guss 4.7 t że ste sę zerem moż węc mescu wpsć m t to pozo schemce 4.5. Wtedy. Ne trzeb też pmętć edye z główe przeąte mcerzy L dltego e est potrzeb dodtow pmęć. Efet rozłdu LU mcerzy A moż zobrzowć schemtem: u m m u u m u u m... u u u

97 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 97 Bezpośrede wzory elemety mcerzy U orz L przedstwą sę stępuąco dl =.. orz =..: Wzory te leży stosowć przemee dl obu mcerzy tz. początu oblczmy perwszy wersz mcerzy U: u u u oleo perwszą olumę mcerzy L: l l 3 l stępe drug wersz mcerzy U drugą olumę mcerzy L td. Zomość rozłdu LU mcerzy A est ezbęd do oblcze wyzcz mcerzy zleze mcerzy odwrote A -. Przyłd 4.4. Metodą rozłdu LU rozwązć ułd rówń: {. Mcerz wyścow m postć: [ ]. Dl = oblczmy perwszy wersz mcerzy U:.

98 98 Metody umerycze w przyłdch orz perwszą olumę mcerzy L:. Dl = oblczmy drug wersz mcerzy U począwszy od głowe przeąte orz drugą olumę mcerzy L poże główe przeąte:. Kolee elemety mcerzy U orz L oblczmy ze wzorów: Osttecze mcerze L U są postc:. [ ] [ ]. Koley etp oblczeń to rozwąze dwóch ułdów rówń: Ly = b U = y. Rozwązuąc perwszy ułd rówń Ly = b otrzymuemy: { [ ].

99 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 99 Rozwązuąc drug ułd U = y mmy: { [ ]. Osttecze rozwązem podego ułdu rówń est wetor: [ ] Rozłd Cholesego Przy złożeu że mcerz A o wymrze est mcerzą symetryczą dodto oreśloą deompozyc LU te mcerzy m dużo prostszą postć zyw sę ą rozłdem Cholesego. Dl te mcerzy wszyste mory główe są dodte rozłd sę o edozcze czy tróąte: gdze mcerz L m postć: 4.8 [ ]. Elemety mcerzy L oblczmy według wzorów: b Mcerz L oblczmy olumm. W rozłdze LU leżło polczyć elemetów tomst w rozłdze Cholesego wystrczy polczyć +/. Elemety mcerzy L T mogą być przechowywe w mcerzy L węc epotrzeb est dodtow pmęć. Rozwąze ułdu rówń A=b est rówowże ułdow LL T =b tóry rozpd sę dw ułdy tróąte: Ly=b L T =y. Koszt rozwąz lczb możeń wyos w tym przypdu /6 3.

100 Metody umerycze w przyłdch Przyłd 4.5. Wyorzystuąc rozłd Cholesego rozwązć ułd rówń postc: {. N początu sprwdzmy czy mcerz ułdu [ ] est dodto oreślo. W tym celu leży oblczyć mory główe: [ ] [ ]. Wszyste mory główe są dodte co gwrtue że mcerz A est dodto oreślo moż zstosowć rozłd Cholesego. Oblczmy elemety mcerzy L: Mcerz L m ztem postć: [ ]. Po wyzczeu mcerzy L leży rozwązć dw ułdy rówń: Ly=b L T =y.

101 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych Rozwązuemy perwszy ułd Ly = b: { [ ]. Rozwązuemy drug ułd L T =y: { [ ]. Rozwązem podego ułdu rówń est ztem wetor: [ ] Rozłd QR metodą Householder Nech de będą :. Jeśl <m mówmy że ułd rówń A=b est doreśloy tz. mmy węce rówń m ż ewdomych. T ułd e zwsze posd rozwąze le zwsze moż zleźć przyblżoe rozwąze zgode z pewym złożem. Zde wygłdz lowego poleg zlezeu wetor * tóry mmlzue wetor resduly wetor reszty tz.:. 4. Zde wygłdz lowego est węc uogóleem rozwązyw wdrtowych ułdów rówń lowych. Metod Householder est edą z metod zdow rozwąz dl ułdów rówń prostoątych. Odbc Householder Dl dego wetor o orme odbce mcerz Householder defuemy o: Zuwżmy ż:

102 Metody umerycze w przyłdch gdze r est rzutem prostopdłym erue wetor w. Ze wzoru 4. wy twerdzee 4.. Twerdzee 4. Przesztłcee Householder przyporządowue wetorow ego odbce lustrze względem hperpłszczyzy prostopdłe do wetor w. Twerdzee 4. Odbc Householder są przesztłcem symetryczym ortogolym t. ezmeącym długośc wetor tz Przesztłecee Householder stosue sę do przeprowdze wetor erue ego wetor ezerowego e czyl: Złóżmy że W szczególośc dl e=e otrzymuemy wzory: 4.5 gdze { orz sgt ozcz z lczby t. Współczy ze wzoru 4.4 m wrtość:. 4.7 Rozłd QR Odbć Householder moż użyć do uzys rozłdu mcerzy loczy ortogolo-tróąty. Twerdzee 4.3 Kżdą mcerz dl m tóre czyl tą tóre olumy są lowo ezleże moż przedstwć w postc: 4.8

103 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 3 gdze m olumy ortogole est mcerzą uogóloą tróątą górą. Nech: [ ] 4.9 gdze ozcz -tą olumę mcerzy A. Nech H przesztłc wersor. Wtedy [ ] 4.3 [ ] 4.3 W oleym rou wybermy przesztłcee Householder t by przesztłcło oo wetor erue wersor. Wtedy przymuemy: [ ] 4.3 Pomożee mcerzy A z lewe stroy przez H spowodue wyzerowe druge olumy mcerzy poże elemetu przy czym perwszy wersz perwsz olum mcerzy pozostą ezmeoe. Ztem: postć osttecz: [ ] 4.33 [ ] 4.34 Po wyou roów otrzymuemy mcerz: 4.35

104 4 Metody umerycze w przyłdch postc: [ ] gdze H przesztłc wersor. Ozczmy [ ] Wtedy: [ ] 4.38 est uogóloą mcerzą tróątą górą wymru m tą że: Soro: to podstwąc: dostemy rozłd mcerzy A loczy mcerzy ortogole Q mcerzy góre tróąte R 4.8. Koszt metody Householder to. Dl m= de to czyl dw rzy węce ż metod elmc Guss. Metod Householder est umerycze poprw dele de sę do oblczeń rówoległych. Newątplwą e zletą est ft ż możemy ą stosowć w przypdu ułdów prostoątych. Dl ułdów doreśloych otrzymuemy rozwąze mmlzuące sumę wdrtów w przypdu ułdów edooreśloych rozwąze o mmle orme. Metod t posd tże węszą dołdośc oblczeń w porówu z metodą Guss.

105 Przyłd Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 5 Wyorzystuąc odbce Householder przeprowdzć wetor [ ] wetor [ ]. Nperw polczymy długość wetor : Nstępe leży oblczyć współczy ze wzoru 4.7:. W tym przypdu e est oecze oblcze cłego H. Otrzymuemy wetor [ ] Wyzcze mcerzy odwrote Przy złożeu że mcerz A o wymrze est mcerzą eosoblwą możemy wyzczyć rozłd tróąty mcerzy A=LU. Tz.:... u u... u u l u u u A l l... l... u oblczyć mcerz odwrotą do A o loczy mcerzy odwrotych do U do L czyl: A U L. Mcerz odwrot do L est tże mcerzą dolotróątą:... l' L L L - =I l' l'... l'

106 6 Metody umerycze w przyłdch Elemety l mcerzy odwrote L - wyzczmy ze wzorów: 4.4 gdze =... =.... Mcerz odwrot do U est mcerzą górotróątą: U ' u u u ' ' u u ' '... u u u ' ' ' U U - =I. Elemety u ` mcerzy odwrote U - wyzczmy ze wzorów: gdze =... = Gdy L U są ze metod wymg operc. Poewż rozłd tróąty mcerzy A wymg 3 / 3 operc to ogóly oszt odwrc mcerzy wyos 3 operc Oblcze wyzcz mcerzy W celu oblcze wyzcz mcerzy A doouemy rozłdu mcerzy A metodą LU. Jest to pomoce dltego że wyzcz mcerzy tróąte est rówy loczyow elemetów te mcerzy stoących główe przeąte. Jeżel węc A=LU wówczs: det A det L det U det U uu... u.

107 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 7 W przypdu przestw werszy mcerzy A wyzcz te leży pomożyć przez s gdze s est łączą lczbą przestweń werszy Metody tercye W poprzedch podrozdzłch przedstwoo wżesze metody sończoe rozwązyw ułdów rówń lowych. Relzc tych metod dl ułdu wymg omóre w pmęc opercye orz wyo rzędu 3 dzłń rytmetyczych. Jeśl węc tylo e est zbyt duże ułd est dosttecze dobrze uwruowy to rozwąze zd e stręcz żdych trudośc. W prtyce oblczeowe pową sę ed dosyć często ułdy lowe tórych wymr est rzędu 3 lub wet węszy. Podstwowym źródłem tch zdń są metody przyblżoego rozwązyw rówń różczowych cząstowych. Prwe zwsze mcerze welch ułdów lowych e są mcerzm pełym le rzdm tz. mą ewele elemetów ezerowych. Jedym ze sposobów rozwązyw welch ułdów rówń est stosowe metod tercyych tóre złdą edye możlwość może dowolego wetor przez mcerz ułdu lub przez mcerz od e pochodzącą. Jeśl mcerz est rozrzedzo to możee te wymg wyo ooło dzłń rytmetyczych e w przypdu ogólym. Zletą metod tercyych est róweż możlwość wyzcze przyblże rozwąz z zdą dołdoścą eedy osztem stote meszym od osztu metod sończoych. Dl etórych zdń metody tercye są węc efetywesze. Jedą z prostszych metod tercyych est metod terc proste. Poleg o prześcu od dego ułdu rówń lowych 4. do rówowżego tz. mącego te sme rozwąz ułdu: = B+c Sposób wyzcze mcerzy B wetor c zleży od rodzu stosowe metody tercye ptrz rozdzł

108 8 Metody umerycze w przyłdch Ząc 4.43 wyzczmy cąg... oleych przyblżeń rozwąz A b ze wzoru: B c Odemuąc strom rówe 4.43 od rów 4.44 otrzymuemy: B... stąd: gdze: B BB... B B B B... B rzy = Przechodząc do orm otrzymuemy oszcow: B B Istotą rzeczą est zomość wruu wystrczącego zbeżośc metody tercye. Wystrczącym wruem to by cąg... zdefowy wzorem 4.44 był zbeży do rozwąz ułdu 4. est by dowol orm mcerzy B był mesz od edośc. Dl welu metod sprwdzee erówośc B est możlwe. Metody Jcobego Guss-Sedel drelsc SOR są wrtm metody terc proste Metod Jcobego Przedstwmy mcerz wyścowego ułdu w postc: A=L+D+U 4.49 gdze D est mcerzą dgolą L - mcerzą dolą tróątą U - mcerzą górą tróątą o zerowych elemetch dgolych.

109 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 9 Przyłd 4.6. Rozłd przyłdowe mcerzy według wzoru 4.49 est postc: Rozwązywy ułd A=b moż zpsć o: L+D+U =b stąd: D=-L+U+b. 4.5 Jeśl mcerz D est eosoblw est t p. w przypdu mcerzy symetrycze dodto oreśloe to możemy prześć do ułdu rówowżego: J c B 4.5 gdze:. J b D c U L D B 4.5 Przesztłcąc rówe 4.5 zpse w postc: D + =-L+U +b otrzymuemy: b.... Po dlszych przesztłcech dochodzmy do zleżośc:.... dl b 4.53 Jo początowe przyblżee wyber sę często wetor =. Wrue oeczy dostteczy zbeżośc est spełoy m.. gdy A est ereduowl dgole domuąc. Mcerz A est ereduowl eżel poprzez przestwee werszy olum e moż e sprowdzć do postc bloowe góre tróąte.

110 Metody umerycze w przyłdch Mcerz A o wymrze zywmy dgole domuącą eśl dl =... zchodz erówość Przyłd 4.7. Zgode z defcą mcerz: 3 A 4 5 est mcerzą dgole domuącą poewż dl żdego =3 zchodz. 3 Jeśl A est mcerzą ereduowlą dgole domuącą to A est eosoblw wszyste elemety dgole mcerzy A są róże od zer. Róweż mcerze symetrycze dodto oreśloe są eosoblwe wszyste ch elemety dgole są dodte Metod Guss-Sedel Złóżmy że zmy uż przyblżee.... T. W metodze Guss-Sedl stępe przyblżee wyzcz sę t by ego olee współrzęde =... spełły rów: b 4.54 Korzystąc z przedstwe 4.49 mcerzy A możemy te zleżośc zpsć w stępuący sposób: L D stąd: B U GS b c 4.55

111 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych gdze: B GS L D c L D b. U 4.56 Wruem to żeby mcerz B GS był dobrze oreślo est ezerowość wszystch elemetów dgolych mcerzy A. Przesztłcąc rówe 4.54 otrzymuemy stępuącą zleżość pomędzy współrzędym oleych przyblżeń: b Metod Guss-Sedel o ulepszee metody Jcobego zchowue te sme wru zbeżośc. Jeżel mcerz A est dodto oreślo to metod Guss-Sedel est zbeż dl dowolego wetor początowego [8 ]. Metodę Guss-Sedel stosue sę eml wyłącze do ułdów z mcerzą dgole domuącą gdyż w welu prtyczych zstosowch est to łtwy do spełe wrue gwrtuący zbeżość metody Metod SOR drelsc Modyfc metody Guss-Sedel przyspesząc zbeżość ostruowego cągu 4.57 poleg przemożeu poprw oblcze w 4.57 przez odpowedo dobrą lczbę. Poowe orzystąc z wzoru 4.49 mmy: L D U b D L D D L D U b D lub w rówowże postc: D U b 4.58 D L U b Przesztłcąc dle otrzymuemy zleżość: B c 4.6

112 Metody umerycze w przyłdch gdze: B D L c D L D U b. Wzór 4.6 moż zpsć w postc: dle: b b. 4.6 Dl = est to metod SOR g. successve over relto. Zwęsząc współczy moż próbowć przyspeszć e zbeżość. Prmetr może przymowć wrtośc co wyże z przedzłu gdyż dl pozostłych wrtośc metod może e być zbeż dl pewych przyblżeń początowych. Metody Jcobego Guss-Sedel moż ewetule stosowć do ułdów brdzo dobrze uwruowych. Zcze efetywesze szczególe dl zdń o dużym wsźu uwruow est użyce metody SOR lub metody Czebyszew. Przyłd 4.8. Dl ułdu: oblczoo l przyblżeń metodm Jcobego Guss-Sedel SOR. We wszystch metodch przyęto =. Metod Jcobego Dl metody Jcobego orzystąc ze wzoru 4.5 : D + = -L+U +b

113 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 3 stąd: + = -D - L+U +D - b. Oblczmy oleo: = -D - L+U +D - b= = -D - L+U +D - b= = -D - L+U 3 +D - b=[ ] 5 = -D - L+U 4 +D - b=[ ]. Metod Guss-Sedel Korzystąc z metody Guss-Sedel oreśloe wzorm : + = -D+L - U +D+L - b wyzczmy olee przyblże: = -D+L - U +D+L - b=[ ] 3 = -D+L - U +D+L - b=[ ] 4 = -D+L - U 3 +D+L - b=[ ] 5 = -D+L - U 4 +D+L - b=[ ]. Metod SOR W przypdu wyorzyst metody SOR zdefowe wzorem 4.6: b L D U D L D dl =. otrzymuemy oleo: = [ ] 3 = [ ] 4 = [ ] 5 = [ ] tomst dl =. mmy: = [ ] 3 = [ ] 4 = [ ] 5 = [ ].

114 4 Metody umerycze w przyłdch Dołde rozwąze ułdu est rówe: =[ ]. Z powyższych zestweń wy węc że metod Jcobego est zbeż wole tomst szybce zbeż est metod SOR w przypdu = Metod Czebyszew Zmemy sę terz metodą rozwązyw welch ułdów rówń lowych A=b o symetrycze dodto oreśloe mcerzy A wymru. Chcemy sostruowć cąg { - } przyblżeń rozwąz = A b spełący rówośc : = W A 4.63 gdze W est welomem stop e węszego ż est dym przyblżeem początowym. Przesztłcąc 4.63 otrzymuemy zleżość: W A W A - I. W celu wyzcze wetor leży oblczyć W A + I. Wetor te est rówy: W A + I = A A A A A + Ib +. Musmy ztem złożyć że co odpowd wruow W. Z zleżośc 4.63 wy oszcowe: W. A Aby zpewć lepszą zbeżość cągu { } musmy wybrć welom W o możlwe młe orme W A. Poewż A est z złoże mcerzą symetryczą to W A m W gdze leży do zboru wrtośc włsych mcerzy A. N ogół e zmy wrtośc włsych mcerzy A edye pewe przedzł <b> zwerący te wrtośc <<b. Wówczs: W A W mw.

115 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 5 Ne ząc wrtośc włsych mcerzy A potrzebych do mmlzc W A będzemy mmlzowl W do czego wystrcz m zomość przedzłu < b>. Twerdzee 4.4. o welomch Czebyszew Nech b będą zdym lczbm. Spośród wszystch welomów w stop spełących rówość w b = meszą ormę m welom : w b T T gdze T est -tym welomem Czebyszew oreśloym wzorem: T = [ Z powyższego twerdze wy że w lse welomów stop co wyże spełących wrue W meszą ormę m welom: W T f / T f 4.65 gdze: b + f = -. b - b - Metod 4.63 w tóre welomy oreśloe są przez 4.65 os zwę metody Czebyszew. Zbeżość cągu { } ostruowego w metodze Czebyszew est oreślo erówoścą: b b W celu sostruow cągu zdefumy: t T f = T b + / b w metodze Czebyszew

116 6 Metody umerycze w przyłdch Z zleżośc welomów Czebyszew wdomo że spełą oe stępuącą zleżość reurecyą wzór 3.68: T T... = - + T T T. Dl = mmy ztem: A A t f T W = = A A b b b b b b b T b b b T + A I b stąd: + / b r 4.67 gdze b A r. Dl możemy zpsć stępuący zwąze: t f T t t t f T f t t t f T A A A A czyl: = A A A A W t t W f t t W. dle [5]: = + + A I t t b b b t t. Uwzględąc zleżość t t b b t / - - orz wzór 4.67 otrzymuemy zleżość reurecyą:... / q p r 4.68 gdze: b A r

117 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 7 b - t - p p- 4 t b - t- q b + / q =. 4 t Główą częścą osztu wyzcze oleego przyblże est oszt może wetor przez mcerz A wyoywego przy oblczu wetor r. Relzc metody Czebyszew wymg pmęt dwóch poprzedch przyblżeń węc co me 3 mesc w pmęc. W prtyce do rozwązyw welch ułdów lowych często stosue sę połączee metody Czebyszew z edą z metod grdetowych omwych w stępym rozdzle Metody grdetowe Podobe poprzedo złdmy że mcerz A rozwązywego ułdu est symetrycz dodto oreślo. Dl oreśle rozwże lsy metod rozwązyw tch ułdów potrzeb est m orm B zdefow rówoścą: B T B gdze B B tomst B est dowolą mcerzą symetryczą dodto oreśloą tą że AB=BA eśl AB=BA to mcerz B est mcerzą omutuącą z mcerzą A. W metodch grdetowych ostruue sę cąg przyblżeń { } rozwąz A b ze wzorów: c r r A b Współczy c dober sę t by zmmlzowć błąd tz. f c r B c. Mmlzc t m B chrter loly. W dym rou dl przyblże szumy ego lepsze poprw w eruu wetor r. Moż sprwdzć że: c r B. 4.7 r Br

118 8 Metody umerycze w przyłdch T oreśloy współczy c potrfmy oblczyć edye dl pewych mcerzy B. Jest t p. dl B A p gdze p est lczbą turlą. Wtedy bowem zchodz rówość: r B r A p- r. Dl B=A metod os zwę metody szybszego spdu. W żdym e rou mmlzow est welość: + A + + r + +. A W ogólym przypdu dowodz sę że: B cod A cod A gdze coda ozcz lczbę uwruow mcerzy A defową o: cod A A A. Metod grdetow może węc defowć cąg przyblżeń { } brdzo wolo zbeży do rozwąz dl zdń źle uwruowych duż lczb uwruow. Wyde sę węc rzeczą turlą że do ostruc metod szybce zbeżych moż dość w podoby sposób w przypdu metody Czebyszew. Rozwżmy poowe metody tercye W A gdze W est welomem stop co wyże spełącym wrue W. Wyberąc odpowede welomy W mmlzuące błąd z r otrzymuemy reurecyą defcę tworzoego cągu { } : B c r A y gdze: c z B b 4.7 u y z r B r Br

119 u 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 9 y B z u dl = y By Kżdy ro metody 4.7 słd sę z dwóch etpów. Nperw edym roem metody grdetowe 4.69 wyzczmy z czyl możlwe lepe poprwmy przyblżee w eruu wyzczoym przez wetor r. W drugm etpe postępuemy t smo z z zmeąc erue poprw y. Zleże od wyboru mcerzy B defue sę róże wrty omwe metody. Przyęce B A p gdze p= wyde sę wyczerpywć wszyste przypd o prtyczym zczeu. Dl B A I metod os zwę metody mmlych błędów gdyż weloścą mmlzową est. Odos sę to tylo do T przypdu ułdu A=b gdze A M M M est zą mcerzą eosoblwą. Złożee te est potrzebe by móc wyzczyć współczy c u oreśloe wzorm 4.7. Dl B = A otrzymuemy metodę sprzężoych grdetów g. cougte grdet C-G mmlzuącą A /. Metod t de dołde rozwąze po tercch le est umerycze e poprw to powodue że brdzo szybo stępue low zleżość grdetów. Jedym ze sposobów rdze sobe z tą doleglwoścą est stosowe tzw. RESTART-u co l lub lśce terc. Wrt metody dl B A w tórym mmlzowe są wetory resdule r gdyż A A zywy est metodą mmlych resduów. Metody grdetowe e są polece ze względu umeryczą estblość. Dobre wy de tomst połączee metod grdetowych z umerycze stblą metodą Czebyszew Mcerze specle Wele problemów żyersch prowdz do rozwązyw ułdów rówń lowych z tzw. mcerzą rzdą. Mcerzą rzdą zywmy mcerz zwerącą dużo zer. Mrą rzdośc mcerzy est stosue lczby e elemetów ezerowych do

120 Metody umerycze w przyłdch ogóle lczby elemetów: s=lczb_zer/lczb_elemetów Przyłdm mcerzy rzdch są mcerze wstęgowe dgole tródgole tróąte. Wele zgdeń p. metody umerycze służące do rozwązyw rówń różczowych cząstowych prowdz do ułdów lowych rzdch w tórych elemety ezerowe są rozmeszczoe wzdłuż główe przeąte. Ogóle mcerz A tą że = eżel > +p lub > +q zyw sę mcerzą wstęgową o szeroośc wstęg w = p+q. Lczb ezerowych elemetów w dowolym werszu lub olume mcerzy A e przewyższ w ogól lczb ezerowych elemetów est mesz od w gdze ozcz stopeń mcerzy A. Dl mcerzy symetrycze stee eszcze defc: szeroość wstęg wyos m wtedy tylo wtedy gdy eżel - m. Jeżel w= otrzymuemy mcerz dgolą eżel p=q= otrzymuemy mcerz tródgolą. Do rozwązyw ułdów z mcerzm rzdm moż stosowć zrówo metody omówoe do te pory p. elmcę Guss też metody orzystące w stoty sposób z rzdośc mcerzy. Metody te pozwlą rozwązć ułd rówń z mcerzą rzdą wyouąc zcze me dzłń rytmetyczych ż w przypdu ułdu o te sme lczbe rówń z mcerzą gęstą. Umożlwą tże wyzczee rozwąz z węszą dołdoścą przy oszczędeszym wyorzystu pmęc omputer. Tech mcerzy rzdch pozwl : oszczęde gospodrowe pmęcą przez zpmęte tylo ezerowych współczyów ułdu ch pozyc w mcerzy orz mmum dych umożlwących efetywe docere do tych elemetów. Wówczs zętość pmęc est proporcol tylo do lczby elemetów ezerowych; wyoywe operc tylo elemetch ezerowych mcerzy wetor prwych stro prowdzące do zmesze lczby operc w stosuu rówym merze rzdośc; suteczy szyb wybór elemetów podstwowych przy zchowu rzdośc mcerzy.

121 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych Reprezetc mcerzy w struturch dych Ortogole lsty powąze Nwżeszym systemem reprezetc mcerzy w struturch dych est strutur ortogolych lst powązych. System lst powązych stow dwueruowo zwązy wsźm system strutur. Kżd strutur reprezetue ede elemet ezerowy. Zwer o stępuące de: vlue - wrtość elemetu ezerowego row - umer wersz elemetu col - umer olumy elemetu et row - wsź do te sme strutury reprezetuące stępy elemet ezerowy w werszu et col - wsź do te sme strutury reprezetuące stępy elemet ezerowy w olume. Ortogoly dwueruowy chrter lst poleg tym że od żdego elemetu mcerzy poprzez wsź moż dostć sę do stępego elemetu w werszu orz stępego elemetu w olume. Aby zleźć elemety perwsze w werszch lub olumch potrzebe są dodtowo dwe tblce: frst row[] - zwerąc wsź strutury w lstch reprezetuące perwsze elemety w żdym werszu frst col[] - zwerąc wsź strutury w lstch reprezetuące perwsze elemety w żde olume. Dodtowo tworzy sę tblcę dg[] zwerącą wsź strutury reprezetuące elemety z główe przeąte mcerzy. Wsź zerowy ozcz br elemetu stępego w lśce. Wetory su dl mcerzy symetryczych Doly tróąt mcerzy symetrycze A stop zpmętue sę wersz po werszu. W żdym werszu pmęt sę tylo elemety począwszy od perwszego elemetu ezerowego ż do główe przeąte wrz z zerm eżel są w te częśc wersz. Zpmęte elemety mcerzy tworzą wetor s=s s...s U. Wrz z m zpmętue sę wetor wsźów: u=u u...u gdze wrtość u wszue pozycę -tego elemetu w wetorze s.

122 Metody umerycze w przyłdch Przyłd 4.9. Mcerz symetryczą: [5] 3 [ 3 ] 4 A [ 3] [4 ] [ ] zpmętuemy w postc wetorów s u: s [5] [3 ] [ 3] [4 u 3 5 ] W tym przyłdze przyęty sposób pmęt mcerzy A e przyósł żde oszczędośc le cze byłoby p. dl mcerzy o 4 ezerowych elemetch. Grf 8 [ ] Struturę mcerzy symetrycze rzde moż wyrzć z pomocą grfu w tórym werzchoł są połączoe łuem wtedy tylo wtedy gdy. Mówmy wtedy że werzchoł są sąsede. Lczb łuów wychodzących z dego werzchoł zyw sę stopem. Permutc ozcz zmę symbol werzchołów. Dl mcerzy esymetrycze elemety e muszą być edocześe zerm. W tm przypdu trzeb posługwć sę grfem zoretowym w tórym żdy łu m wyróżoy erue. Wetory AN JA IA. W pewych zstosowch występuą brdzo duże mcerze esymetrycze rzde o wysoce eregulrym rozmeszczeu ezerowych elemetów. Moż wtedy opsć struturę dych mcerzy rzde A z pomocą trzech wetorów AN JA IA. Wetor AN zwer ezerowe elemety z oleych werszy zer występuących mędzy m e trzeb pmętć. Dl elemetu AN w JA pode sę umer olumy w tóre te elemet zdue sę w mcerzy A. Ntomst IA zwer pozycę perwszego elemetu -tego wersz z mcerzy A w tblcch JA AN.

123 Przyłd Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 3 Mcerz rzdą 6 6 przedstwmy z pomocą odpowedch wetorów AN JA IA A Odpowede wetory mą postć: AN= JA = IA = Metody dołde dl ułdów z mcerzm rzdm Metod elmc Guss orz metod LU e zlzły szeroego zstosow do rozwązyw ułdów z mcerzm rzdm. Spowodowe est to przede wszystm brem suteczych metod wyboru elemetu podstwowego tóre z ede stroy zpewłyby ezwodość stblość umeryczą z druge zś stroy e powodowłyby powe sę duże lczby owych elemetów ezerowych. W etórych przypdch wrto ed sorzystć z metod stosowych dl mcerzy gęstych p. dl ułdów z mcerzm tródgolym. Ułdy o mcerzch wstęgowych Wele zgdeń prowdz do ułdów lowych rzdch w tórych elemety ezerowe są rozmeszczoe wzdłuż główe przeąte. Proces elmc Guss e zme strutury mcerzy wstegowe. Jeśl e przestw sę werszy olum to czy tróąte L=l U=u są mcerzm wstęgowym tm że: l = eśl > lub >+q u = eśl >+p lub >. Jeżel doouemy częścowego wyboru elemetu główego to w mcerzy L szeroość wstęg e zme sę tomst szeroość wstęg w U będze t w A czyl: u = eśl >+p+q lub >.

124 4 Metody umerycze w przyłdch Rozwązywe ułdów o mcerzch tródgolych Częstym przypdem mcerzy wstęgowe est mcerz w tóre p=q= tz. tróprzeątow tródgol. Ułd rówń o te mcerzy rozwązue sę zcze szybce prośce. Jeśl stee e rozłd tróąty to moż go przedstwć w postc: c y c b c z y c b c z y b z gdze: y z b c y / y esl tylo y - y zc = Jeśl y dl pewego to musmy sorzystć z omówoe uż metody Guss-Jord lub LU. Nstępe rozwązuemy ułd A=f gdze f est zym wetorem prwe stroy stosuąc podstwee wprzód wstecz : g f g f z g 3... g / y g c / y... Łącz lczb dzłń rytmetyczych wyos tu tylo 3- dodwń możeń - dzeleń Rozwązywe ułdów rówń lowych - wos W przypdu mcerzy pełych lczb oblczeń potrzeb do uzys rozwąz metodą tercyą est zwyle zcze węsz ż przy stosowu metod dołdych. Jed w przypdu mcerzy rzdch metody tercye mogą być lepsze ż metody dołde. Ne łd oblczeń ed decydue o tym chocż zwyle est meszy lecz ft że podczs oblczeń e zmemy położe elemetów mcerzy A ułdu rówń A=b ztem zchowuemy e rzdą struturę. Możemy wówczs przyąć edą z podych metod zpmętyw mcerzy A orz orzystć z prostych lgorytmów oblczeowych. Ne możemy ed tegorycze stwerdzć że w przypdu mcerzy

125 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 5 rzdch metody tercye są brdze wsze poewż w szczególych przypdch lczb terc może być brdzo duż Przyłdy oblczeowe Przyłd 4.. Zleźć mcerz odwrotą A mcerzy: A 3 4 rozwązuąc ułd AX=I z częścowym wyborem elemetów główych b zduąc rozłd tróąty orzystąc z wzoru A U L. Po oblczeu mcerzy odwrote metodą AX=I szu mcerz odwrot m postć: Po sorzystu z metody A - = U - L - szu mcerz odwrot m postć: W obydwu metodch wywoływ est t sm procedur elmc Guss z częścowym wyborem elemetów główych le wdć dołdość metody perwsze A X = I est eco mesz.

126 6 Metody umerycze w przyłdch Przyłd 4.. Pozć że mcerz symetrycz: A est dodto oreślo b Wyzczyć mcerz tróątą R tą że A R T R. Ad Z symetrycze wers elmc Guss: m m = = +... otrzymuemy oleo stępuące zreduowe mcerze wystrcz tylo przesztłcć ch częśc góre tróąte: Poewż elemety główe: ;.; ;.5 są dodte węc mcerz A est dodto oreślo. Ad b Z twerdze o rozłdze tróątym dl mcerzy A symetrycze dodto oreśloe stee edy mcerz tróąt gór R o dodtch elemetch główe przeąte t że A R T R. Z twerdze o rozłdze LU wy że: A=LU det A gdze u = > u =3.... det A Wprowdząc mcerz przeątową D dg u u... u możemy psć rozłd: A LDD U LDU' gdze U' D U mcerze L U są tróąte mą edy główe przeąte są edozcze oreśloe.

127 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 7 Z symetr A wy że: T ' T T A A U DL czyl: L T U D ' U. Przymuąc R D U gdze mcerz przeątow D m dodte elemety u otrzymuemy: T T R R U D U LU A. W symetrycze elmc Guss e trzeb pmętć możów. Ułd A bw tym przypdu rozłd sę dw ułdy tróąte: T U y b U Dy umy w te sposób perwstow. Wobec tego R D U est mcerzą tróątą górą o dodtch elemetch główe przeąte tą że A=R T R R ; 3.5 D Przyłd 4.3. dg. W ułdze rówń A=b de są: A b Dołdym rozwązem est wetor: T [ ]. Dodtowo de są dw rozwąz przyblżoe: T [ ] T [ ]. Oblczyć wrtośc resduów r r orz wyzczyć wsź uwruow coda orzystąc z ormy msmum orz z mcerzy: A

128 8 Metody umerycze w przyłdch Jeżel ' est oblczoym rozwązem ułdu A = b to wetor resduum m postć: r = b A'. Resduum r = b - A ' dl rozwąz przyblżoego : r Resduum r = b - A ' dl rozwąz przyblżoego : r Z powyższego wy że e zwsze mesz wrtość resduum odpowd lepszemu rozwązu. Może sę t zdrzyć w przypdu mcerzy o dużym wsźu uwruow lczb wruow t m to mesce w lzowym przypdu. Wsź uwruow coda dl mcerzy oreśl sę wzorem ptrz rozdzł 4..5 cod A A A. W przyłdze rozwżmy ormę msmum defową o: m A. Normy mcerzy A orz mcerzy A - są rówe: A m A.78 m.343; m ; 93 = m.343; wsź uwruow coda: cod A ;

129 Przyłd Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 9 Oblczyć przyblżoe rozwąze ułdu A=b gdze:.95.7 A b Oblcze wyoć dl lu wybrych metod tercyych. Jo ryterum ońc oblczeń przyąć: r. Oblcze przeprowdzoo dl stępuących dołdośc :.... przymuąc początowe przyblże... rówe oleo: rozwąz 6 [] [] [...] [...]. Tbel 4.. przedstw porówe wybrych metod pod względem lczby oeczych terc przy de dołdośc bezwzględe dych początowych przyblżech rozwąz. N podstwe tbel 4. dl rozptrywe mcerzy A szybce zbeż est metod Czebyszew. Metody Jcobego Guss-Sedel są porówywle przy czym ewelą przewgę m metod Guss- Sedel.

130 3 Metody umerycze w przyłdch Tbel 4.. Wy otrzyme w przyłdze 4.4 Początowe przyblżee Lczb terc w metodze Jcobego Guss-Sedel Czebyszew bezwzględ dołdość = [] [...] [...] [...] bezwzględ dołdość = [] [...] [...] [...] bezwzględ dołdość = [] 7 7 [...] 9 9 [...] [...] bezwzględ dołdość = [] 9 9 [...] [...] [...] Przyłd 4.5. D est mcerz A wetor b postc poże.: A b Porówć zbeżość metod Jcobego Guss-Sedel w zleżośc od dołdośc oblczeń. Jo ryterum ońc oblczeń przyąć: r.

131 4. Metody rozwązyw ułdów rówń lowych 3 Rozwąze rów A = b est stępuące: W celu lepszego zobrzow różc szybośc zbeżośc metod tercyych otrzyme wy zestwoo w tbel 4. wyresch rysu N podstwe przeprowdzoych oblczeń stwerdzoo że: węsz co do wrtośc bezwzględe wrtość włs lzowe mcerzy wyos.859 est mesz od edośc tym smym speł wrue oeczy dostteczy zbeżośc metod tercyych; węsz co do wrtośc bezwzględe orm mcerzy wyos.965 poewż e moduł est meszy od edośc węc wrue wystrczący zbeżośc metod tercyych est róweż spełoy; szybsz zbeżość metody Guss-Sedel est prwdą w przypdu gdy put strtowy est w poblżu rozwąz w przecwym rze szybce zbeż est metod Jcobego; dl osągęc dzesęcorote węsze dołdośc potrzeb ooło dw rzy węsze lczby terc; różce w szybośc zbeżośc poszczególych metod są mmle szczególe przy oblczech z dużą dołdoścą.

132 Wrtośc -6 w oleych tercch 3 Metody umerycze w przyłdch 3 WYKRES ZALEZNOSCI SZYBKOSCI ZBIEŻNOŚCI LICZBA ITERACJI e-6 e-3 e- e- metod Jcobego e-6 e-3 e- e- metod Guss-Sedl relsc przy w= Rys. 4.. Zleżość lczby terc od dołdośc oblczeń dl metod Jcobego Guss-Sedel 4. PROCES ZBIEŻNOŚCI DLA METOD ITERACYJNYCH Numer terc Rys. 4.. Proces zbeżośc dl metod tercyych