Miara ryzyka estymacji parametrów modelu VaR

Transkrypt

1 Zeszyy Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Naukowe 4 (976) ISSN e-issn Zesz. Nauk. UEK, 2018; 4 (976): hps://doi.org/ /znuek Miara ryzyka esymacji paramerów modelu VaR Sreszczenie Obecnie warość zagrożona jes jedną z najpopularniejszych miar ryzyka finansowego. W lieraurze przedmiou można spokać się z wieloma podejściami do walidacji modeli warości zagrożonej. W prakyce oprócz przeprowadzania esów ex pos należy zweryfikować model w momencie jego worzenia i wedy można dokonać zw. analizy ryzyka modelu. W dziedzinie finansów szczególnie isone jes ryzyko esymacji modelu ze względu na ograniczoną liczbę danych hisorycznych, kóre są dosępne do esymacji paramerów. Celem arykułu jes zaproponowanie miary ryzyka esymacji paramerów modelu VaR oparej na przedziałowej esymacji warości zagrożonej. Słowa kluczowe: warość zagrożona, esymacja przedziałowa, ryzyko modelu, ryzyko esymacji paramerów modelu. Klasyfikacja JEL: G Wprowadzenie W procesie zarządzania ryzykiem konieczne jes weryfikowanie wykorzysywanych modeli, zarówno przed ich wdrożeniem, jak i podczas ich regularnego sosowania. Przeprowadzanie konroli w ym zakresie pozwala na zidenyfikowanie modeli wymagających poprawienia lub wprowadzenia zmiany, czyli akich, kóre w niewysarczający sposób odwzorowują zjawiska zachodzące na rynkach, Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu, Wydział Zarządzania, Informayki i Finansów, Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem, ul. Komandorska 118/120, Wrocław, aleksander. mercik@ue.wroc.pl

2 184 finansowych. W eorii opracowano wiele narzędzi umożliwiających odrzucenie nieodpowiednich meod. W prakyce modele powinny nie ylko odzwierciedlać rzeczywise zjawiska, ale również spełniać dodakowe warunki. Po pierwsze, powinny mieć możliwie jasną inerpreację ekonomiczną, aby zminimalizować ryzyko zasosowania ich w sposób nieadekwany do budowy. Po drugie, nie powinny być bardziej złożone, niż jes o porzebne, np. nie powinny posiadać zby dużej liczby paramerów. Po rzecie, paramery ych modeli nie mogą być zby rudne do esymacji dużo rudniej w prakyce zasosować esymację bayesowską niż meodę maksymalizacji warości funkcji wiarygodności. Zasosowanie ych meod wymaga wykonywania symulacji w zaawansowanych środowiskach obliczeniowych, nie zawsze dosępnych w firmach, kóre sają przed problemem zarządzania ryzykiem rynkowym. Drugi i rzeci warunek służą ograniczeniu ryzyka esymacji paramerów. Oba podrodzaje ryzyka, zn. ryzyko błędnej specyfikacji modelu oraz ryzyko esymacji, składają się na zw. ryzyko modelu (Jajuga 2013). Im inerpreacja modelu jes mniej jasna, im więcej ma on paramerów albo im rudniej dosępne są dane porzebne do ich esymacji, ym ryzyko modelu jes wyższe. Celem arykułu jes zaproponowanie miary ryzyka esymacji paramerów modelu VaR w oparciu o przedziałową esymację warości zagrożonej oraz z wykorzysaniem koncepcji esu Kupca. 2. Ryzyko modelu Jakość modeli służących do pomiaru ryzyka finansowego jes prawdopodobnie jednym z najważniejszych elemenów modelu biznesowego wielu dużych przedsiębiorsw z branży finansowej. W skrajnych przypadkach może ona przesądzić o przerwaniu lub bankrucwie danego podmiou. Z ego powodu meodyka weryfikacji i selekcji sosowanych meod jes szczególnie isona. Waro zauważyć, że przydaność modeli sosowanych w modelowaniu zjawisk ekonomicznych zależy od sopnia, w jakim przybliżają one rzeczywise zjawisko (Jajuga 2013). W pewnych syuacjach przybliżenie o jes saysfakcjonujące, a w innych może prowadzić do wielu pomyłek i błędów. Aby swierdzić, czy dany model może być przydanym narzędziem, należy przeprowadzić jego weryfikację ex pos, czyli porównać przeszłe prognozy ze znanymi już prawdziwymi warościami prognozowanych wielkości. Czasami jednak zachodzi porzeba zweryfikowania modelu w momencie jego worzenia i wedy można dokonać zw. analizy ryzyka modelu (Kuziak 2011). Zgodnie z definicją podaną we wprowadzeniu ryzyko modelu wynika z zasosowania błędnego modelu w świecie rzeczywisym. Można wyróżnić rzy podsawowe rodzaje ryzyka modeli w dziedzinie finansów:

3 Miara ryzyka esymacji paramerów modelu VaR 185 ryzyko w zakresie srukury modelu, ryzyko esymacji paramerów modelu, ryzyko zasosowania modelu. Ryzyko w zakresie srukury modelu może być związane z nieprawidłową posacią funkcyjną modelu, czyli np. nieuwzględnieniem w nim isonych zmiennych lub dynamiki. Sprawdzenie poprawności srukury modelu polega na przeprowadzeniu analizy jakościowej. W pierwszej kolejności powinny zosać zweryfikowane założenia modelu. W wypadku wielu podsawowych modeli przyjmuje się np. założenie, że rozkład resz jes normalny. Zasadność ego założenia można zweryfikować poprzez analizę danych hisorycznych. Kolejnym elemenem weryfikacji może być przeprowadzenie esów wsecznych. Waro jednak podkreślić, że wiele modeli, kóre bardzo dobrze odzwierciedlały rzeczywisość w odniesieniu do przeszłości, daje niezadowalające rezulay odnośnie do przyszłości. Problem en doyczy przede wszyskim modeli zawierających dużą liczbę paramerów. Im model jes bardziej złożony, ym ławiej dopasować go do danych hisorycznych, ale jego przydaność w zakresie prognozowania przyszłych zjawisk może być znikoma. Ryzyko esymacji paramerów modelu można zdefiniować jako możliwość błędnej esymacji parameru na skuek wybrania nieprawidłowej meody esymacji lub zasosowania źle dobranego zbioru danych. Ryzyko o w dziedzinie finansów jes szczególnie isone, m.in. ze względu na ograniczoną liczbę danych hisorycznych. Oprócz skończonej długości próby błąd w oszacowaniu paramerów może wynikać również z przyjęcia nieprawidłowej meody esymacji (np. wykorzysania meody, w kórej nie uwzględnia się wysępowania obserwacji nieypowych, lub esymacji paramerów bez wzięcia pod uwagę niesacjonarności szeregów czasowych). Do oszacowania ego ryzyka można wykorzysać narzędzia ilościowe, do kórych należą m.in.: analiza wrażliwości modelu na zmiany warości paramerów, kóra ma na celu określenie najbardziej isonych elemenów modelu, esymacja przedziału ufności dla parameru przy znanej wielkości próby. Ryzyko zasosowania modelu doyczy syuacji, w kórej model jes wykorzysywany w innych warunkach niż e, w jakich zosały oszacowane paramery lub przeprowadzono walidację. Ocenienie ego, czy model zosał poprawnie zasosowany, powinno polegać na sprawdzeniu spełnienia wszyskich założeń, na kórych się opiera. Przykładów złego zasosowania modeli jes wiele. Szczególnie problemayczna jes syuacja podwyższonej zmienności (np. podczas krachów na giełdach). Wiele modeli esymowanych w warunkach sabilności rynków finansowych przesaje działać prawidłowo, gdy pojawiają się obserwacje skrajne. Innym przykładem jes próba sosowania modeli finansowych sworzonych na rynkach rozwinięych (np. modelu wyceny opcji) do wyceny insrumenów pochodnych na

4 186 rynku wschodzącym, w wypadku kórego inny jes proces zmienności, a płynność radykalnie niższa. Waro również podkreślić, że im większa jes złożoność sosowanych modeli, ym mniejsza jes ich przejrzysość, a ym samym większe ryzyko modelu. Narzędzia saysyczne wykorzysywane na rynkach finansowych powinny być odporne na zmiany warunków rynkowych i na yle klarowne, aby odporność ę dało się zweryfikować już w momencie worzenia modelu. Prosoa modelu jes również niezbędna do określenia założeń, na kórych zosał opary, co umożliwia przeprowadzenie analizy ryzyka zasosowania modelu. 3. Kwanylowe miary ryzyka i warość zagrożona Spośród modeli ryzyka rynkowego szczególne znaczenie mają e, kóre służą do szacowania kwanylowych miar ryzyka. Są o miary opare na kwanylach rozkładu zmiennej ryzyka. Zmienną ryzyka może być w ym przypadku sopa zwrou z inwesycji, jej warość albo sraa wyrażona w jednoskach pieniężnych (Zarządzanie ). Najbardziej popularną kwanylową miarą ryzyka jes warość zagrożona (value a risk VaR) (Jajuga 2001). Definiuje się ją jako pewien kwanyl z górnego ogona rozkładu sray wyrażonej w jednoskach pieniężnych. Jej szacowanie sprowadza się jednak do wyznaczania kwanylu z dolnego ogona rozkładu sopy zwrou, a o najczęściej wymaga oszacowania zmienności. Do szacowania kwanylowych miar ryzyka zazwyczaj wykorzysuje się modele zmienności, ak więc isnieje ścisły związek między modelami zmienności i kwanylowymi modelami ryzyka. W większości kwanylowych modeli ryzyka model zmienności jes wręcz głównym elemenem konsrukcyjnym (Doman i Doman 2009). Obecnie warość zagrożona (nazywana również warością narażoną na ryzyko) jes jedną z najpopularniejszych miar ryzyka finansowego. Mimo że zosała pierwonie zasosowana do pomiaru ryzyka rynkowego, o z dużym powodzeniem może być używana do pomiaru innego ypu ryzyka (zwłaszcza ryzyka kredyowego i operacyjnego). Pierwszą insyucją finansową, kóra opublikowała maeriały doyczące warości zagrożonej, był bank J.P. Morgan (w październiku 1994 r.) 1. Kolejne isone opracowania poświęcone warości zagrożonej zosały opublikowane przez RiskMerics Group (kóra działała wedy jako jednoska banku J.P. Morgan), były o: CrediMerics (w kwieniu 1997 r.) oraz Corporae- Merics (w kwieniu 1999 r.). 1 Koncepcja warości zagrożonej była wspierana przez Grupę rzydziesu (G30) międzynarodowy organ skupiający najlepszych finansisów i uczonych.

5 Miara ryzyka esymacji paramerów modelu VaR 187 W najprosszy sposób warość zagrożoną można zdefiniować jako sraę warości rynkowej (np. insrumenu finansowego, porfela, insyucji), aką że prawdopodobieńswo osiągnięcia jej lub przekroczenia w danym okresie jes równe określonemu poziomowi olerancji (Zarządzanie ). Formalnie warość zagrożoną można zapisać za pomocą nasępującego wzoru: PW ^ W VaR W,,,? =?, ^ hh (1) gdzie: W obecna warość inwesycji (np. insrumenu finansowego, porfela, insyucji), W warość inwesycji w chwili końcowej, α poziom olerancji (najczęściej 1% lub 5%), VaR^W,,,? h warość zagrożona obliczona w momencie począkowym dla horyzonu i poziomu isoności α. Najczęściej uwzględnianym przez banki horyzonem czasowym jes jeden dzień (Rokia 2004). Wybór ak krókiego erminu nie jes przypadkowy. Skład porfela, dla kórego dokonuje się pomiaru ryzyka, może szybko ulec zmianie, co sprawia, że esymacja warości zagrożonej dla okresów dłuższych niż miesiąc posiada wiele ograniczeń, m.in. ze względu na rudności w zesawieniu prognozy ze zrealizowanym wynikiem (Bes 2000). Inne insyucje finansowe, w wypadku kórych ekspozycja nie ulega ak szybko zmianie (np. fundusze inwesycyjne i przedsiębiorswa), biorą pod uwagę okres miesięczny. Najczęściej uwzględnianymi poziomami olerancji, zalecanymi przez insyucje nadzorujące rynek finansowy, są 1% i 5%. Im poziom olerancji jes niższy, ym wyższy jes poziom warości zagrożonej. 4. Klasyczne meody walidacji modeli warości zagrożonej W lieraurze przedmiou opisano dwa podejścia do walidacji modeli warości zagrożonej. Pierwsze z nich opiera się na analizie empirycznej realizacji przekroczeń VaR i zosało zaproponowane przez P.H. Kupca (1995). W meodzie ej szereg przekroczeń (failure process, hi funcion) można zdefiniować w nasępujący sposób (Pionek 2007): gdzie: r + 1 sopa zwrou z okresu + 1, VaR warość zagrożona w czasie. 1, r < VaR + 1 I =, * (2) 0, r VaR + 1

6 188 W drugim podejściu korzysa się ze saysyk opisowych mierzących wielkość przekroczeń warości zagrożonej. Najlepszym przykładem zasosowania ego podejścia są zw. funkcje sray. Najczęściej wykorzysywanym esem modelu warości zagrożonej jes es analizujący fakyczną liczbę przekroczeń w odniesieniu do założonego poziomu olerancji (Kupiec 1995). es en zosał opracowany, aby można było odpowiedzieć na pyanie, czy liczba sra przekraczających oszacowaną warość zagrożoną jes zbliżona do założonego poziomu olerancji (Dowd 2006), czyli przeprowadzając go, dokonuje się porównania empirycznego udziału przekroczeń z prawdopodobieńswem sukcesu w eoreycznym modelu niezależnych prób Bernoulliego. Hipoezą zerową w eście jes: H : p= p = x, 0 hipoezą alernaywną: H : p p, 1 gdzie: x liczba przekroczeń, liczba wszyskich obserwacji, p poziom olerancji w modelu VaR. Kryerium oceny ex pos prognoz VaR sformułowano w posaci esu ilorazu wiarygodności resrykcji parameru p. Saysyka esowa ma posać: x x ^1 ph p LR = 2 ln x x. POF f x x a 1 k a k p (3) Jes o saysyka LR POF rozkład χ 2 z jednym sopniem swobody. W abeli 1 przedsawiono minimalną i maksymalną liczbę przekroczeń dla różnych poziomów olerancji i wielkości prób, aby model nie zosał odrzucony. abela 1. Przedziały liczby przekroczeń dla współczynnika ufności 0,95 Poziom olerancji VaR (w %) Wielkość próby min max min max min max 1, , , , , Źródło: opracowanie własne.

7 Miara ryzyka esymacji paramerów modelu VaR 189 0,09 Szerokość przedziału zapewniająca akcepację modelu 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Wielkość próby Poziom ufności 5% Poziom ufności 1% Poziom ufności 0,5% Rys. 1. Szerokość przedziału częsości wysępowania przekroczeń dla poszczególnych wielkości próby i współczynnik ufności, dla kórych nie ma powodów modelu Źródło: opracowanie własne. Im długość szeregu przekroczeń jes większa (im większa jes próba wykorzysana do esu), ym mniejsza jes szerokość przedziału, w kórym powinna się mieścić liczba przekroczeń, przy założeniu, że wybrany model prawidłowo odzwierciedla badane zjawisko. Na rys. 1 pokazano, jak w miarę zwiększania próby dla każdego z poziomów olerancji zmniejsza się szerokość przedziału. Waro jednak zauważyć, że zwiększanie próby w coraz mniejszym sopniu przekłada się na zmniejszanie szerokości przedziału. 5. Przedziałowa esymacja warości zagrożonej Esymacja warości zagrożonej oraz oczekiwanego niedoboru jes zwykle esymacją punkową, czyli wynikiem jes konkrena warość liczbowa. Waro zauważyć, iż w wypadku rozkładu ciągłego prawdopodobieńswo, że ocena punkowa parameru przyjmie warość równą warości szacowanego parameru, jes równe zero (Wawrzynek 2007). Alernaywnym rozwiązaniem jes esymacja przedziałowa, w kórej oceną parameru nie jes konkrena warość, ale pewien przedział, do jakiego z określonym prawdopodobieńswem należy szacowana warość parameru (Osasiewicz, Rusnak i Siedlecka 2011). Podsawowym poję-

8 190 ciem doyczącym esymacji przedziałowej jes przedział ufności. Można go zdefiniować jako aki przedział (θ 1, θ 2 ), kóry spełnia nasępujący warunek: P(θ 1 < θ < θ 2 ) = 1 α, (4) gdzie 1 α nazywane jes współczynnikiem ufności. Im warość ego współczynnika jes większa, ym szerszy jes przedział ufności, a więc mniejsza dokładność esymacji parameru. Im warość 1 α jes mniejsza, ym większa jes dokładność esymacji, ale również ym większe prawdopodobieńswo popełnienia błędu. Wybór odpowiedniego współczynnika decyduje więc o dokładności esymacji (wielkości ryzyka błędu), wiąże się zaem z koniecznością pójścia na pewien kompromis. W prakyce przyjmuje się zazwyczaj warości: 0,99, 0,95 lub 0,90, zależnie od parameru. W wypadku esymacji warości zagrożonej lub oczekiwanego niedoboru esymacja przedziałowa może być przydanym narzędziem do analizy ryzyka modelu, a w szczególności ryzyka błędów w oszacowaniu paramerów modelu powsałych w wyniku zasosowania nieprawidłowej meody esymacji lub skończonej długości próby 2. W lieraurze przedmiou przedsawiono dwa podejścia do esymacji przedziałów ufności dla miary VaR: 1) podejście asympoyczne (Duan i in. 2004), w kórym wykorzysuje się nierówność Rao-Cramera i wrażliwość (dela mehod), 2) podejście, w kórym wykorzysuje się meodę boosrapową (Chrisoffersen i Gonçalves 2005; Pascual, Romo i Ruiz 2006). Pierwsze podejście można nazwać klasycznym, opiera się na asympoycznej normalności rozkładów esymaorów. Zgodnie z ym założeniem: q q VaR ~ N^VaR, δ 2 h, (5) 2VaR 2VaR 2 δ = Σ, 2θl 2θ ln L^θ0h Σ = ; E E, (7) 2θ2θl 2 gdzie jako θ oznacza się zbiór paramerów modelu, a δ o zmienność rozkładu. W drugim podejściu wykorzysuje się szereg pierwony do esymacji paramerów modelu (np. modelu MGARCH), aby nasępnie oszacować sandaryzowane reszy z modelu. W kolejnym kroku generowane są rajekorie procesu z wykorzysaniem oszacowanych wcześniej paramerów i resz (w losowaniu ze zwra- (6) 2 Na podsawie wykładu n. Przedziałowa esymacja VaR i ES w modelach klasy AR-GARCH wygłoszonego przez dra hab. Krzyszofa Pionka, prof. UE we Wrocławiu, podczas Seminarium Kaedry Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersyeu Ekonomicznego we Wrocławiu (Wrocław 2016).

9 Miara ryzyka esymacji paramerów modelu VaR 191 caniem). Dla każdej rajekorii esymowane są ponownie paramery modelu oraz warość zagrożona. Gdy liczba rajekorii jes wysarczająca, możliwe jes oszacowanie przedziału dla warości zagrożonej. Meodę ę można również zasosować do oszacowania przedziału ufności dla niedoboru oczekiwanego. Dla jednowymiarowego szeregu czasowego r, przy założeniu, że model AR-GARCH ma nasępującą posać: r = μ ^ θ h+ h ^ θ hz ^ θ h, (8) przedziałowa esymacja warości zagrożonej może zosać przeprowadzona według nasępującego schemau: 1. Esymacja paramerów θ, θ, θ modelu, np. poprzez wykorzysanie meody największej wiarygodności. Dla najprosszej posaci modelu AR-GARCH zbiorem paramerów będzie aμ, μ, ωαβ,,, υ, λ. 0 1 k 2. Oszacowanie resz sandaryzowanych dla = 1, 2,, za pomocą nasępującego wzoru: r μ z =, (9) h gdzie: μ warunkowa warość oczekiwana, h warunkowa wariancji. Przy założeniu, że zosanie zasosowany model AR-GARCH, warości e będą oszacowywane w nasępujący sposób: μ = μ + μ r, (10) gdzie: r 1 sopa zwrou z poprzedniego okresu, h 2 = ω + α r μ + β h, ^ 1 1h (11) 1 h ω =. 1 1 α β (12) 3. Generowanie szeregu danych poprzez losowanie ze zwracaniem ze sandaryzowanych resz z)^i h, będących nasępnie podsawą do generowania rajekorii procesu AR-GARCH o paramerach θ, θ, θ : ) r ^ i h ) i, f, r ^ h % /, (13) 1 i= 1, f, B i i i r =μ + μ ) r + h z ) ^ h ^ h ) ^ h ) ^ i h (14) h ) i i i 2 ^ h i = ω + α ) ) r ^ h ) μ ^ h a + β h ^ h k. (15) Ponowna esymacja paramerów θ) ^ i h, θ) ^ i h ), θ ^ i h dla każdej wygenerowanej rajekorii.,

10 Wyznaczanie prognozy zmienności, kwanylu rozkładu oraz warości zagrożonej dla każdego zbioru paramerów θ) ^ i h, θ) ^ i h ), θ ^ i h Wyznaczanie na podsawie oszacowań VaR dysrybuany empirycznej oraz przedziału ufności, co można przedsawić za pomocą równań: Q q VaR ^1h qb, f, VaR ^ h % /, (16) * VaR q # VaR ^1h % x + 1 / ^xh = B, (17) ; qγ ^Q ) x, q Q ) x. VaR^ hh γ ^ VaR ^ hhe (18) Przedsawione podejście powinno być rakowane jako uzupełnienie esymacji punkowej przeprowadzanej w celu analizy błędu oszacowania warości zagrożonej. Na błąd esymacji miary ryzyka ma wpływ zarówno błąd esymacji paramerów modelu, jak i kwanylu rozkładu warunkowego. Może być ono szczególnie przydane podczas sosowania bardziej złożonych wielowymiarowych modeli, kiedy liczebność próby jes ograniczona, ponieważ w akich syuacjach niezwykle isona jes analiza ryzyka błędu esymacji. Podczas przeprowadzania procedury ważne jes odpowiednie dobranie długości próby: dopasowanie jej do długości próby dosępnych danych finansowych. 6. Miara ryzyka esymacji paramerów modelu VaR Rozkład prognoz VaR, będący podsawą do oszacowania przedziału ufności, zosał przygoowany z wykorzysaniem meody boosrapowej (Chrisoffersen i Gonçalves 2005, Pascual, Romo i Ruiz 2006). W przeprowadzonych badaniach wykorzysano współczynnik ufności na poziomie 0,95. Na podsawie górnej i dolnej granicy przedziału (θ 1 < θ < θ 2 ) obliczane są dwa szeregi przekroczeń, co można opisać za pomocą nasępujących wzorów: I I, θ1, θ2 1, r < VaR + 1 r,, θ1 = * 0, r VaR, (19) + 1 r,, θ1 1, r < VaR + 1 r,, θ2 = * 0, r VaR. (20) + 1 r,, θ2 Wykorzysując szereg przekroczeń, można obliczyć nasępujący przedział: / / / i = 1, θ1 = 1 i = 1, θ2 I I i < < gdzie: liczba wszyskich obserwacji. f I p, (21)

11 Miara ryzyka esymacji paramerów modelu VaR 193 Szerokość przedziału określona jes wzorem: * θ = f / i 1, θ / = 1 i = 1, θ2 I ak obliczona szerokość przedziału jes porównywana do szerokości przedziału liczby przekroczeń, kóra zgodnie z esem Kupca nie daje podsaw modelu. Współczynnik jes obliczany zgodnie ze wzorem: δ = lub eż w uproszczonej formie: f a δ = I x max I / i 1, θ / = 1 = 1, θ2 I x max I i xmin / I i 1, θ / = 1 i = 1, θ2 gdzie: x min minimalna liczba przekroczeń zapewniająca akcepację modelu zgodnie z esem Kupca, x max maksymalna liczba przekroczeń zapewniająca akcepację modelu zgodnie z esem Kupca. Miarę δ zdefiniowano więc jako iloraz przedziałowej esymacji VaR (wykorzysano współczynnik ufności na poziomie 0,95) oraz szerokości przedziału warości zagrożonej wynikającej z minimalnej i maksymalnej liczby przekroczeń dla danego poziomu olerancji i wielkości prób, aby model nie zosał odrzucony na podsawie wyników esu Kupca. Przedziałowa esymacja VaR zosała przeprowadzona zgodnie z podejściem, w kórym wykorzysuje się meodę boosrapową, zasosowaną przez P.F. Chrisoffersena i S. Gonçalves (2005) oraz L. Pascuala, J. Roma i E. Ruiz (2006). Im warość zaproponowanego współczynnika jes mniejsza, ym większą precyzję wykazuje model. Wysoka warość wskaźnika może oznaczać, że ryzyko esymacji paramerów modelu jes znaczne, zweryfikowanie modelu za pomocą esów saysycznych nie powinno wówczas być podsawą do jego wdrożenia. x min p. p. k, (22) (23) (24) 7. Badania empiryczne W ramach przykładu obrazującego zasosowanie zaproponowanej miary ryzyka modelu przeprowadzono badania na danych hisorycznych z porfela składającego się z siedmiu insrumenów: rzech insrumenów z rynku owarowego (konraków erminowych na złoo, srebro, ropę nafową ypu bren), rzech

12 194 par waluowych związanych z dolarem amerykańskim (EURUSD, USDGBP, USDJPY) oraz konraku na 10-lenie obligacje emiowane przez Sany Zjednoczone. Badanie zosało przeprowadzone na danych z okresu od 14 czerwca 1996 r. do 15 lipca 2016 r. (z 5000 sesji giełdowych). Podzielono je na próbę uczącą się oraz esową dla pierwszej prognozy w nasępujący sposób: dane doyczące okresu od 14 czerwca 1996 r. do 28 kwienia 2008 r. (3000 sesji giełdowych) sanowiły począkową próbę uczącą, a dane doyczące okresu od 30 kwienia 2008 r. do 15 lipca 2016 r. (2000 sesji giełdowych) próbę esową, dla kórej sporządzono prognozy warości zagrożonej. Na rys. 2 przedsawiono prose sopy zwrou z orzymanego porfela Rys. 2. Prose sopy zwrou z porfela 7-składnikowego o równych wagach Źródło: opracowanie własne. Analizie poddano rzy modele: model warości zagrożonej, w kórym wykorzysano rozkład normalny (meodę wariancji i kowariancji) (Rokia 2004), model warości zagrożonej z wykorzysaniem modelu AR-GARCH założono warunkową macierzy kowariancji (Bollerslev 1987) oraz rozkład normalny jako rozkład resz, model warości zagrożonej, w kórym wykorzysano model SV (sochasic volailiy) w ym wypadku również założono warunkową macierzy kowariancji (aylor 1994) oraz rozkład normalny jako rozkład resz. W przedsawionym przykładzie analizowano jedynie warość zagrożoną z przedziałem ufności 0,95. W pierwszej kolejności na podsawie sporządzonych prognoz warości zagrożonej zosały przeprowadzone esy szeregu przekroczeń, m.in. es Kupca (Kupiec 1995), es Chrisoffersena (Chrisoffersen 1998), es

13 Miara ryzyka esymacji paramerów modelu VaR 195 LR (Campbell 2005). Dla każdego modelu obliczono dodakowo warość rzech funkcji sray: funkcji Lopeza (Lopez 1998), Mohameda (Mohamed 2005), Sarmy- -homas-shaha (Sarma, homas i Shah 2003), oraz przeprowadzono esy zgodności empirycznego rozkładu resz z modelu z założonym: esy Ljunga-Boksa (es niezależności resz), Engle a (Engle 1982) efek ARCH lub Pearsona (es zgodności rozkładu). Wyniki przeprowadzonych badań przedsawiono w abelach 2 4. Waro podkreślić, że model, w kórym założono proces sochasycznej wariancji SV, wypadł źle jedynie w esach Engle a i Pearsona podczas przeprowadzenia pozosałych esów nie było podsaw ego modelu. Pozosałe modele powinny zosać odrzucone na podsawie esu LR. Jeżeli do wyboru właściwego modelu zosały zasosowane jedynie esy saysyczne, o jako najlepszy powinien zosać wybrany właśnie model sochasycznej wariancji, esymowany zgodnie z podejściem bayesowskim. abela 2. Miary i kryeria oceny modelu Wyszczególnienie Wielowymiarowy rozkład normalny AR-GARCH Współczynnik ufności 0,95 0,95 0,95 Przekroczenia es Kupca es Chrisofersena es LR próba liczba przekroczeń procenowy udział przekroczeń oczekiwana liczba przekroczeń warość saysyki esowej SV 5,25 5,40 5, ,25 0,65 2,55 p-value 0,6144 0,4205 0,1102 wynik esu warość saysyki esowej brak podsaw brak podsaw brak podsaw 1,11 0,25 0,26 p-value 0,2915 0,6190 0,6120 wynik esu Źródło: opracowanie własne. brak podsaw brak podsaw brak podsaw saysyka 176,40 142,55 140,09 p-value 0,0000 0,0145 0,0634 wynik esu odrzucenie odrzucenie brak podsaw

14 196 abela 3. Funkcje sray Wyszczególnienie Wielowymiarowy rozkład normalny AR(1)- -GARCH(1,1) Współczynnik ufności 0,95 0,95 0,95 Funkcje sray Źródło: opracowanie własne. Lopez 0,0525 0,0540 0,0580 Mohamed 0,0411 0,0229 0,0251 Sarma-homas-Shah 0,0042 0,0042 0,0041 SV abela 4. esy zgodności empirycznego rozkładu resz z modelu z założonym Wyszczególnienie Wielowymiarowy rozkład normalny AR-GARCH Próba es Ljunga-Boksa (1 opóźnienie) es Ljunga-Boksa (2 opóźnienia) es Ljunga-Boksa (5 opóźnień) es Ljunga-Boksa (10 opóźnień) es Engle a (1 opóźnienie) es Engle a (2 opóźnienia) es Engle a (5 opóźnień) es Engle a (10 opóźnień) es Pearsona Źródło: opracowanie własne. p-value 0,7227 0,2974 0,2398 wynik esu: brak podsaw brak podsaw SV brak podsaw p-value 0,9191 0,3959 0,4798 wynik esu brak podsaw brak podsaw brak podsaw p-value 0,6167 0,1818 0,3056 wynik esu brak podsaw brak podsaw brak podsaw p-value 0,9036 0,4565 0,5768 wynik esu brak podsaw brak podsaw brak podsaw p-value 3,35E-11 0,3910 0,0021 wynik esu odrzucenie brak podsaw odrzucenie p-value 0,0000 0,0338 0,0005 wynik esu odrzucenie odrzucenie odrzucenie p-value 0,0000 0,0035 0,0000 wynik esu odrzucenie odrzucenie odrzucenie p value 0,0000 0,0018 0,0000 wynik esu odrzucenie odrzucenie odrzucenie p-value 6,67E-17 0,0000 0,0180 wynik esu odrzucenie odrzucenie odrzucenie

15 Miara ryzyka esymacji paramerów modelu VaR 197 abela 5. Pomiar ryzyka esymacji paramerów Wyszczególnienie Wielowymiarowy rozkład normalny W nasępnej kolejności oszacowano warości parameru δ, kóry zgodnie z przedsawionymi rozważaniami można zinerpreować jako relację empirycznego rozsępu przekroczeń obliczonego na podsawie przedziałowej esymacji VaR do szerokości przedziału zdeerminowanego przez saysykę esu Kupca. W abeli 5 zaprezenowano wyniki pomiaru ryzyka esymacji paramerów. Paramer δ jes znacznie wyższy dla modelu SV, ponieważ zakłada się, że proces wariancji również zawiera elemen losowy oraz że procedura esymacji jes bardziej skomplikowana ze względu na konieczność wykonania wielu symulacji. W wypadku dwóch pozosałych meod wariancja, na podsawie kórej sporządzana jes prognoza warości zagrożonej, jes albo sała, albo jes procesem deerminisycznym. AR(1)- -GARCH(1,1) Współczynnik ufności 0,95 0,95 0,95 Przekroczenia Esymacja przedziałowa próba liczba przekroczeń procenowy udział przekroczeń oczekiwana liczba przekroczeń przekroczenia (niedoszacowanie) procenowy udział przekroczeń przekroczenia (przeszacowanie) procenowy udział przekroczeń średnia szerokość sandaryzowanego przedziału θ* (liczba przekroczeń) Źródło: opracowanie własne. SV 5,25 5,40 5, ,50 6,00 11, ,95 5,10 2,65 0,1131 0,0596 0, δ 0,29 0,47 4,55 Po przeanalizowaniu wyników można swierdzić, że mimo iż model SV, kóry dobrze wypadał w klasycznych esach VaR, daje zadowalające prognozy, możliwy do zaakcepowania jes akże model AR-GARCH. Miara δ jes w ym wypadku

16 198 niewiele większa niż w wypadku prosego modelu oparego na wielowymiarowym rozkładzie normalnym i znacznie mniejsza niż w wypadku modelu sochasycznej wariancji. δ o warości 4,55 oznacza, że szerokość esymacji przedziałowej jes prawie pięciokronie większa niż przedział wyznaczony na podsawie przeprowadzenia esu Kupca. Oznacza o, że błąd wynikający z ograniczonej próby i posaci modelu jes ak duży, iż zasosowanie klasycznych esów saysycznych podczas analizy szeregu przekroczeń daje mało wiarygodne wyniki. Dodakowo w modelu AR-GARCH uwzględnia się auokorelacje kwadraów resz, co powierdzają wyniki esu Engle a, niższe są akże warości funkcji sray niskie warości funkcji sray świadczą o dobrym dopasowaniu modelu. 8. Zakończenie Ryzyko esymacji modelu w finansach jes szczególnie isone m.in. ze względu na ograniczoną liczbę danych hisorycznych. Modele pomiaru ryzyka sosowane w prakyce nie powinny być bardziej złożone, niż o porzebne, np. nie powinny mieć zby dużej liczby paramerów. Paramery ych modeli nie mogą być akże zby rudne do esymacji. Sosowanie się do ych zasad służy ograniczeniu ryzyka esymacji paramerów. Błąd w oszacowaniu paramerów, oprócz ego, że może wynikać ze skończonej długości próby, może również być skukiem przyjęcia nieprawidłowej meody esymacji (np. wykorzysania meody nieuwzględniającej wysępowania obserwacji nieypowych lub dokonania esymacji paramerów nieuwzględniających niesacjonarności szeregów czasowych). Z ego względu należy zweryfikować model w momencie worzenia go i przeprowadzić wówczas analizę ryzyka modelu. Celem pracy było zaproponowanie miary ryzyka esymacji paramerów modelu warości zagrożonej na podsawie esymacji przedziałowej. Miarę δ zdefiniowano jako iloraz przedziałowej esymacji VaR (wykorzysano współczynnik ufności na poziomie 0,95) oraz szerokości przedziału warości zagrożonej, wynikający z minimalnej i maksymalnej liczby przekroczeń dla zadanego poziomu olerancji i wielkości prób niepowodujących odrzucenia modelu na podsawie esu Kupca. Przedziałowa esymacja VaR zosała przeprowadzona zgodnie z podejściem, w kórym wykorzysuje się meodę boosrapową, zasosowaną przez P.F. Chrisoffersena i S. Gonçalves (2005) oraz L. Pascuala, J. Roma i E. Ruiz (2006). Im warość zaproponowanego współczynnika była mniejsza, ym większą precyzję wykazywał model. Duża warość wskaźnika może oznaczać, że ryzyko esymacji paramerów modelu jes znaczne, samo przeprowadzenie esów nie powinno więc być podsawą do wdrożenia modelu. Im większa jes długość szeregu przekroczeń (im większa próba wykorzysana do esu), ym mniejsza

17 Miara ryzyka esymacji paramerów modelu VaR 199 jes szerokość przedziału, w kórym powinna się mieścić liczba przekroczeń, przy założeniu, że wybrany model prawidłowo odzwierciedla badane zjawisko. Miarę można zasosować również do wyznaczania liczby danych hisorycznych niezbędnej do poprawnego przeprowadzenia walidacji modelu. Z ego względu dalsze badania związane z emayką przedsawioną w pracy będą doyczyły zaprojekowania meody uławiającej dobór właściwej próby w zależności od maksymalnego poziomu ryzyka esymacji paramerów modelu. Lieraura Bes P. (2005), Warość narażona na ryzyko. Obliczanie i wdrażanie modelu VaR, Dom Wydawniczy ABC, Kraków. Bollerslev. (1987), A Condiionally Heeroskedasic ime Series Model for Speculaive Prices and Raes of Reurn, he Review of Economics and Saisics, vol. 69, nr 3, hps://doi.org/ / Campbell S.D. (2005), A Review of Backesing and Backesing Procedures, Finance and Economics Discussion Series Divisions of Research & Saisics and Moneary Affairs Federal Reserve Board No , Washingon, DC. Chrisoffersen P.F. (1998), Evaluaing Inerval Forecass, Inernaional Economic Review, vol. 39, nr 4, hps://doi.org/ / Chrisoffersen P.F., Gonçalves S. (2005), Esimaion Risk in Financial Risk Managemen, Journal of Risk, vol. 7, nr 3, hps://doi.org/ /jor Doman M., Doman R. (2009), Modelowanie zmienności i ryzyka. Meody ekonomerii finansowej, Wolers Kluwer, Kraków. Dowd K. (2006), Rerospecive Assessmen of Value a Risk (w:) Risk Managemen: A Modern Perspecive, red. M.K. Ong, Elsevier, San Diego. Duan J.Ch., Simonao J.G., Gauhier G., Zaanoun S. (2004), Esimaing Meron s Model by Maximum Likelihood wih Survivorship Consideraion, EFA 2004 Maasrich Meeings Paper No 4190, hps://doi.org/ /ssrn Engle R.F. (1982), Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion, Economerica, vol. 50, nr 4, hps://doi. org/ / Jajuga K. (2001), Value a Risk, Rynek erminowy, nr 13. Jajuga K. (2013), Ryzyko modelu a miary ryzyka, Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach, nr 53. Kupiec P.H. (1995), echniques for Verifying he Accuracy of Risk Measuremen Models, he Journal of Derivaives, vol. 3, nr 2, hps://doi.org/ /jod Kuziak K. (2011), Pomiar ryzyka przedsiębiorswa. Modele pomiaru i ich ryzyko, Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego we Wrocławiu, Wrocław. Lopez J. (1998), Mehods for Evaluaing Value-a-Risk Esimaes, Economic Policy Review, Ocober. Mohamed A.R. (2005), Would Suden s -GARCH Improve VaR Esimaes?, Universiy of Jyväskylä, (daa dosępu: ). Osasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka U. (2011), Saysyka. Elemeny eorii i zadania, Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego we Wrocławiu, Wrocław.

18 200 Pascual L., Romo J., Ruiz E. (2006), Boosrap Predicion for Reurns and Volailiies in GARCH Models, Compuaional Saisics & Daa Analysis, vol. 50, nr 9, hps://doi. org/ /j.csda Pionek K. (2007), Przegląd i porównanie meod oceny modeli VaR (w:) Maemayczne i ekonomeryczne meody oceny ryzyka finansowego, red. P. Chrzan, Prace Naukowe, Akademia Ekonomiczna w Kaowicach, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Kaowicach, Kaowice. Rokia P. (2004), Koncepcja warości zagrożonej (VaR) w analizie ryzyka inwesycji banków na rynku polskim, praca dokorska, Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu, Wrocław. Sarma M., homas S., Shah A. (2003), Selecion of Value-a-Risk Models, Journal of Forecasing, vol. 22, nr 4, ideas.repec.org/s/jof/jforec.hml (daa dosępu: ). aylor S.J. (1994), Modeling Sochasic Volailiy: A Review and Comparaive Sudy, Mahemaical Finance, vol. 4, nr 2, hps://doi.org/ /j b00057.x. Wawrzynek J. (2007), Meody opisu i wnioskowania saysycznego, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław. Zarządzanie ryzykiem (2008), red. K. Jajuga, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa. Model Risk for Value a Risk (Absrac) Value a risk is one of he mos common measures of financial risk. here are many approaches o validaing value-for-value models. In addiion o ex pos ess, ex ane models mus also be validaed. he risk of model esimaion is paricularly imporan in finance due o he limied number of hisorical daa ha is available o esimae he parameers. he aim of his paper is o propose a measure of he risk of esimaing he VaR model based on he inerval of he value a risk. Keywords: value a risk, inerval esimaion, model risk, esimaion risk of model parameers.