2. Wprowadzenie. Obiekt

Transkrypt

1 POLITECHNIKA WARSZAWSKA Insyu Elekroenergeyki, Zakład Elekrowni i Gospodarki Elekroenergeycznej Bezpieczeńswo elekroenergeyczne i niezawodność zasilania laoraorium opracował: prof. dr ha. inż. Józef Paska, mgr inż. Pior Marchel Ćwiczenie nr. Budowa modeli niezawodności i analiza właściwości podsawowych rozkładów zmiennych losowych sosowanych w eorii niezawodności. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes zaznajomienie się z podsawowymi pojęciami z zakresu niezawodności, poznanie podsawowych cech elemenów niezawodnościowych i ich klasyfikacji oraz poznanie podsawowych wielkości charakeryzujących modele niezawodnościowe. 2. Wprowadzenie a Podsawowe pojęcia Niezawodność (urządzenia / sysemu jes o zdolność do poprawnego wykonywania zadań przez urządzenie/sysem w określonym czasie i warunkach eksploaacyjnych. Oiek jes o pojęcie pierwone określające w zależności od porze: niepodzielny elemen (ez uwzględnienia jego srukury wewnęrznej ziór elemenów worzących sysem. Oiek Prosy (elemen Złożony (sysem Rys.. Klasyfikacja oieków Elemen jes o aki oiek, kóry podczas analizy niezawodności jes rakowany jako niepodzielna całość. Klasyfikacje elemenów zosała przedsawiona na rys. 2. Sysem jes o grupa niezależnych elemenów, połączonych ze soą w celu wykonywania określonego zadania i worzących określoną srukurę niezawodnościową. sr.

2 Rozparywany elemen T Czy elemen podlega odnowie? N Elemen odnawialny Elemen nieodnawialny T Czy odnowa polega na naprawie? N Elemen remonowalny Elemen odnawialny nieremonowalny Rys. 2. Klasyfikacja elemenów Wskaźniki niezawodności elemenów nieodnawialnych Elemen nieodnawialny jes w pełni scharakeryzowany przez rozkład czasu funkcjonowania τ (ezawaryjnej pracy. Podsawowe charakerysyki (wskaźniki niezawodności elemenu nieodnawialnego o: F( = P{τ < } = Q( funkcja zawodności (dysryuana rozkładu; ( = P{τ } = F( funkcja niezawodności; (2 df( f ( gęsość prawdopodoieńswa, (3 d gdzie: F( dysryuana zmiennej losowej; prawdopodoieńswo funkcjonowania elemenu (niezawodność elemenu; f( gęsość prawdopodoieńswa rozkładu. Względną gęsość prawdopodoieńswa zmiennej losowej τ nazywa się inensywnością niesprawności awaryjnych (uszkodzeń zwana jes ona również funkcją ryzyka: f ( F'( d ( (4 F( d sr. 2

3 Poza powyższymi charakerysykami (wskaźnikami niezawodności elemenu nieodnawialnego (, λ( są podawane: Skumulowana inensywność niesprawności awaryjnych (uszkodzeń, zwana eż skumulowaną funkcją ryzyka: Λ( ( d (5 Zachodzi związek: ep ( d ep Λ( (6 Najczęściej zakłada się, że w chwili rozpoczęcia eksploaacji = elemen jes w sanie zdaności, czyli że =. Wedy: ep Λ( Λ( ln Średnia warość funkcji ryzyka (inensywności uszkodzeń w przedziale [, ]: Λ( ( (8 Pozosały oczekiwany czas poprawnej pracy (do uszkodzenia r( E[ ] d d, (9 gdzie: E[τ] jes oczekiwanym czasem funkcjonowania (poprawnej pracy do uszkodzenia. Pozosały oczekiwany czas poprawnej pracy lepiej charakeryzuje niezawodność elemenu od oczekiwanego czasu funkcjonowania E[τ]. Dla = : r( = r( = E[τ], zaś dla > : r( ma zwykle przeieg malejący, gdyż w rzeczywisych urządzeniach zachodzą procesy sarzeniowe. c Wskaźniki niezawodności elemenów odnawialnych Elemen odnawialny ma w ogólnym przypadku czery sany podsawowe: funkcjonowania, remonu awaryjnego, remonu profilakycznego, rezerwy. Jeśli pominie się sany remonu profilakycznego i rezerwy o modelem procesu eksploaacji elemenu odnawialnego jes proces odnowy o skończonym nie zerowym czasie odnowy. Przykład akiego procesu przedsawiono na rys. 3. (7 sr. 3

4 T T 2 T Θ Θ 2 Rys. 3. Przykład procesu odnowy z niezerowym czasem odnowy Ciąg, 3,, 2k+, worzą chwile kolejnych uszkodzeń, naomias ciąg 2, 4,, 2k, chwile odnowień. Są u również dwa ciągi zmiennych losowych T, T2,, Tk, oraz Θ, Θ 2,, Θ k, określające czasy funkcjonowania (pracy i czasy odnowy. Ciągi e worzą dwa srumienie zdarzeń: srumień niesprawności (uszkodzeń i srumień odnów. Rzeczywisy proces odnowy można zaem analizować za pomocą dwóch procesów losowych: {N(, }, wyrażającego liczę uszkodzeń w przedziale czasowym [, ]; {m(, }, wyrażającego liczę odnowień w przedziale czasowym [, ]. W związku z ym można rozparywać dwie funkcje: H( = E[N(] ( wyrażającą oczekiwana liczę uszkodzeń w przedziale [, ] i zwaną funkcją odnowy, oraz I( = E[m(] ( określającą oczekiwaną w danym przedziale czasowym liczę odnów i mającą analogiczne jak funkcja odnowy właściwości. Gdy zmienne losowe T k mają en sam rozkład o paramerach E[T] i σ T oraz zmienne losowe Θ k o paramerach E[Θ] i σ Θ (srumienie rekurenne, wówczas przy oszacowaniu funkcji można wykorzysać zw. elemenarne wierdzenie odnowy: H ( lim, (2 E[ T ] zaś zmienna losowa H( ma rozkład asympoycznie normalny o warości oczekiwanej: lim E[ m( ] i wariancji E[ T ] E[ Θ] (3 sr. 4

5 2 2 ( T Θ lim Var[ m( ] (E[ T ] E[ Θ] 3 (4 Wskaźnikiem niezawodności elemenu, kórego modelem niezawodnościowym procesu eksploaacji jes rzeczywisy proces odnowy z niezerowym czasem odnowy, jes współczynnik goowości. Definiuje się go jako prawdopodoieńswo, że w chwili oiek znajduje się w sanie funkcjonowania (zdaności i i K ( P( Tk Θk ( Tk Θk Ti (5 i k k Gdy warość jes dosaecznie duża można posługiwać się asympoycznym współczynnikiem goowości E[ T ] K lim K( E[ T] E[ Θ] (6 Dla przypadku, gdy czas funkcjonowania i czas odnowy mają rozkłady wykładnicze, mamy: ep[ ( ] K lim gdzie: μ - inensywność odnowy, λ - inensywność uszkodzeń. (7 sr. 5

6 d Najczęściej sosowane rozkłady w eorii niezawodności Taela. Charakerysyki najczęściej sosowanych rozkładów Rozkład R ( ( ( r ( Wykładniczy EXP( T, +, > Weiulla WEI(, T, +, >, > Warości najmniejszych MIV(, >, Poęgowy POW (, T,, >, > Gamma GAM(, p T, +, >, p > Normalny NO,, > ep / / / ν ep(-( / / ep - ep / ( - ep ( / ep - ( / / δ ( / [ ( / ] ln p, / p p / / ep / p p, ln p, / / p,5 Φ,5 Φ / / ln,5 Φ ep ( / ( / [ ( / i ( δ ( / [ p i / ] i ( / i!( iν ( / p i, / / p i p, / / p ]

7 Rozkład R ( ( ( r ( Logarymo normalny LNO, T, +,, > ln,5 Φ ln,5 ln Φ ln,5 ln Φ (p funkcja gamma Eulera: p p d ep( ( ; (p, niekomplena (niepełna funkcja gamma Eulera: p p d ep(, ( ; ( funkcja Gaussa: 2 ep( 2 ( 2, ( całka Laplace a: z z Φ d ( (

8 Rys. 4. Przeiegi funkcji, Λ(, λ( i r( w przypadku rozkładu EXP( 3. Zadania do wykonania Poniższe zadania należy wykonać używając arkusza kalkulacyjnego Ecel z pakieu MS Office oraz programu Srukura. Inensywność niesprawności pewnego urządzenia jes sała i wynosi λ = -5 [/h]. Może yć ono zasąpione innym urządzeniem o inensywności uszkodzeń λ( = -8. Kóre z urządzeń jes ardziej niezawodne po pierwszych: a h; h; c h? Przedsawić graficznie funkcję niezawodności ych urządzeń. 2 Przy pomocy programu Srukura wykonaj oliczenia funkcji niezawodności nasępujących urządzeń: a o sałej inensywności uszkodzeń λ = 2-4 [/h], o rozkładzie jednosajnym z paramerami a = 2 4 h oraz = 7 4 h. Wykonaj oliczenia meodami: analiyczną oraz symulacyjną przy,, symulacji. Porównaj wyniki. Załącz odpowiednie wykresy. 3 Na podsawie danych saysycznych swierdzono, że rwałość pewnego urządzenia elekroenergeycznego ma rozkład wykładniczy. W przeciągu 5 la użykowania 25 egzemplarzy ych urządzeń zanoowano 5 awarii. Oliczyć i przedsawić wykres funkcji niezawodności ego urządzenia. Jakie jes prawdopodoieńswo wysąpienia uszkodzenia ego urządzenia w przeciągu pierwszych dwóch la funkcjonowania? Jaki jes czas użykowania ego urządzenia, podczas kórego warość jego funkcji niezawodności ędzie nie mniejsza niż,995? sr. 8

9 4 Populacja jednego z elemenów pompy liczy 6 egzemplarzy. Na podsawie adań eksperymenalnych, przeprowadzonych na próce saysycznej ej populacji swierdzono, że główną przyczyną uszkodzeń ych elemenów są ich pęknięcia zmęczeniowe. Rozkład rwałości zmęczeniowej T jes zliżony do rozkładu normalnego o warości oczekiwanej m = 25 h i odchyleniu sandardowym σ = 3 h. Należy wyznaczyć, ile elemenów spośród populacji, liczącej 6 egzemplarzy, ulegnie uszkodzeniu w okresie pomiędzy = 2 h i 2 = 26 h ich funkcjonowania w pompach. 5 Warość oczekiwana długości okresów zdaności pewnego urządzenia wynosi E[T] = 2 h, zaś warość oczekiwana okresów odnowy E[Θ] = 2 h. Oliczyć dla chwil odległych od począku eksploaacji prawdopodoieńswo przeywania urządzenia w sanie zdaności w dowolnej chwili. 4. Sprawozdanie Sprawozdanie powinno zawierać: Taelę yułową (nazwa i numer ćwiczenia, nazwiska i imiona wykonujących ćwiczenie, daa wykonania ćwiczenia oraz daa oddania sprawozdania; 2 Rozwiązania zadań wraz z opisem oraz koniecznymi wykresami i schemaami; 3 Wnioski i oserwacje z wykonanego ćwiczenia. 5. Lieraura [] Paska J.: Niezawodność sysemów elekroenergeycznych. Oficyna Wydawnicza PW. Warszawa 25 [2] Szopa T.: Niezawodność i ezpieczeńswo. Oficyna Wydawnicza PW. Warszawa 29 sr. 9