Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 3

Transkrypt

1 Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 3 1

2 1. Zmienne sacjonarne 2. Zmienne zinegrowane 3. Regresja pozorna 4. Funkcje ACF i PACF 5. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) 2

3 1. Zmienne sacjonarne 2. Zmienne zinegrowane 3. Regresja pozorna 4. Funkcje ACF i PACF 5. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) 3

4 Sandardowa definicja sacjonarności w wielu przypadkach okazuje się zby resrykcyjna: zmienne ekonomiczne oscylują nie yle wokół sałej ale wokół pewnego rendu. Zmienna sacjonarna wokół rendu (rendosacjonarna) jeśli odchylenie od rendu: jes sacjonarne. y E ( y ) 4

5 Przykład zmiennej rendosacjonarnej: rend liniowy y E( y ) y E( ) y 5

6 1. Zmienne sacjonarne 2. Zmienne zinegrowane 3. Regresja pozorna 4. Funkcje ACF i PACF 5. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) 6

7 Zmienne zinegrowane: zmienne niesacjonarne, kóre można sprowadzić do sacjonarności poprzez różnicowanie. Zmienna, kóra po zasosowaniu d-ych różnic saje się zmienną sacjonarną oznaczamy jako: y ~ I d y Mówimy, ze zmienna jes zinegrowana rzędu d. Zmienne sacjonarne są zinegrowane rzędu 0: y ~ I(0) 7

8 Przykład zmiennej niesacjonarnej: błądzenie przypadkowe (random walk) y y Różnicując zmienną : 1 ~ IID(0, y 2 ) y Biały szum, zmienna I(0). Wobec ego błądzenie przypadkowe jes zmienną I(1) 8

9 1. Zmienne sacjonarne 2. Zmienne zinegrowane 3. Regresja pozorna 4. Funkcje ACF i PACF 5. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) 9

10 Dlaczego w ogóle zajmować się sacjonarnością zmiennych? Założenie o sacjonarności zmiennych w modelu jes niezbędne przy wyprowadzaniu rozkładów ypowych saysyk esowych używanych przy esowaniu hipoez. Jeśli zmienne w modelu są niesacjonarne o rozkłady asympoyczne saysyk esowych są niesandardowe, co może prowadzić do błędnych wyników wnioskowania saysycznego. Przykładem jes problem regresji pozornej. 10

11 Wysępuje gdy część zmiennych w modelu nie jes sacjonarna (najczęściej I(1)). W akim przypadku saysyki dla zmiennych I(1) okazują się częso isone nawe jeśli między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi nie ma żadnego związku. 11

12 Generujemy obserwacje dwóch niezależnych zmiennych niesacjonarnych: u ~ ~ N(0,1) N(0,1) y x y x 1 1 Nasępnie przeprowadzamy regresję y na, zapisujemy saysykę i DW. u x 12

13 Nasępnie powarzamy całość 1000 razy zapisując za każdym razem wynik. Mając serię saysyk obliczamy średnią, odchylenie sandardowe, skośność, kurozę i porównujemy z paramerami esu -Sudena. Przy poziomie isoności 5% powinniśmy uzyskać isony wynik w mniej więcej 5% przypadków. 13

14 Teoreyczne Regresja y na x Średnia 0,000 0,048 Odch.sand. 1,021 4,849 Skośność 0,000-0,214 Kuroza 3,125 3,845 5% percenyl 1,677 8,294 % isonych wyników 5,000 64,200 Saysyka DW Średnia 2,000 0,313 14

15 1. Zmienne sacjonarne 2. Zmienne zinegrowane 3. Regresja pozorna 4. Funkcje ACF i PACF 5. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) 15

16 Funkcja auokorelacji (Auocorrelaion Funcion) o współczynnik korelacji między dwoma realizacjami y oddalonymi w czasie o k okresów. k ( y, y Cov Var ( y ) k ) [1,1] 16

17 Funkcja auokorelacji cząskowej (Parial Auocorrelaion Funcion) mierzy korelację między obserwacjami y oddalonymi od siebie o k okresów bez uwzględnienia wpływu yk 1, yk 2,..., y 1 Funkcja a jes równa wyesymowanemu współczynnikowi w modelu auoregresyjnym k ego rzędu: k y 1y 1... k y k 17

18 ACF dla białego szumu 18

19 PACF dla białego szumu 19

20 ACF i PACF dla białego szumu 20

21 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor] H 0 proces jes białym szumem 21

22 ACF dla AR(1) gdy 1 22

23 PACF dla AR(1) gdy 1 23

24 ACF i PACF dla AR(1) gdy 1 24

25 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor]

26 ACF dla błądzenia przypadkowego 26

27 PACF dla błądzenia przypadkowego 27

28 ACF i PACF dla błądzenia przypadkowego 28

29 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor]

30 1. Zmienne sacjonarne 2. Zmienne zinegrowane 3. Regresja pozorna 4. Funkcje ACF i PACF 5. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) 30

31 Najwcześniejszy i najpopularniejszy es, za pomocą kórego badamy czy zmienna jes sacjonarna. Mamy model: y ~ y 1 IID(0, 2 ) H0 : 1 H1 : 1 y - błądzenie przypadkowe (zmienna niesacjonarna) - jes procesem AR(1) (zmienna sacjonarna) y 31

32 Odejmując od obu sron : - jes niesacjonarne - jes sacjonarne 32 y y y y y y y y ) ( 0 : 0 H 2,0) ( : 0 H y y y 1

33 Problem: nie można używać sayski do esowania isoności parameru ponieważ rozkłady saysyk esowych są niesandardowe jeśli w modelu zmienne niesacjonarne. Specjalne ablice z warościami kryycznymi dla esu DF. Uwaga echniczna: wielkości kryyczne rozkładu sayski DF są zawsze ujemne. 33

34 Tes DF przeprowadzamy w nasępujący sposób: 1. regresja y na y 1 2. porównujemy saysykę dla y 1z warościami kryycznymi esu DF: a) warość saysyki jes mniejsza od warości kryycznej - odrzucamy H 0 o niesacjonarności y i przyjmujemy H 1 o sacjonarności ; y b) warość saysyki jes większa od warości kryycznej nie ma podsaw do odrzucenia H 0 34

35 Tes DF dla białego szumu: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.x Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] x L

36 Tes DF dla białego szumu: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.x Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] x L

37 Tes DF dla białego szumu: Source SS df MS Number of obs = F( 1, 19998) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.x Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] x L

38 Tes DF dla białego szumu: Source SS df MS Number of obs = F( 1, 19998) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.x Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] x L

39 Breusch-Godfrey LM es for auocorrelaion lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlaion 39

40 Tes DF dla błądzenia przypadkowego: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.rw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw L

41 Tes DF dla błądzenia przypadkowego: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.rw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw L

42 Tes DF dla błądzenia przypadkowego Source SS df MS Number of obs = F( 1, 998) = 0.08 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.rw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw L

43 Tes DF dla błądzenia przypadkowego Source SS df MS Number of obs = F( 1, 998) = 0.08 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.rw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw L

44 Breusch-Godfrey LM es for auocorrelaion lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlaion 44

45 Tes DF dla zróżnicowanego błądzenia przypadkowego: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.drw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] drw L

46 Tes DF dla zróżnicowanego błądzenia przypadkowego: Dickey-Fuller es for uni roo Number of obs = Inerpolaed Dickey-Fuller Tes 1% Criical 5% Criical 10% Criical Saisic Value Value Value Z() D.drw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] drw L

47 Tes DF dla zróżnicowanego błądzenia przypadkowego Source SS df MS Number of obs = F( 1, 997) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.drw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw LD

48 Tes DF dla zróżnicowanego błądzenia przypadkowego Source SS df MS Number of obs = F( 1, 997) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Toal Roo MSE = D.drw Coef. Sd. Err. P> [95% Conf. Inerval] rw LD

49 Breusch-Godfrey LM es for auocorrelaion lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlaion 49

50 1. Podać definicję zmiennej sacjonarnej i rendosacjonarnej. 2. Wyjaśnić, co o są zmienne I(0) i I(1) i udowodnić, że biały szum jes zmienną I(0) a błądzenie przypadkowe zmienną I(1). 3. Wyjaśnić na czym polega zjawisko regresji pozornej. 4. Dlaczego przed przysąpieniem do weryfikacji hipoez o isoności zmiennych w modelu szacowanym na szeregu czasowym powinniśmy przeesować ich rząd inegracji?

51 Dziękuję za uwagę 51