OBLICZANIE TERMINU REALIZACJI PRZEDSIĘWZIĘĆ BUDOWLANYCH METODĄ CCPM NA PODSTAWIE MULTIPLIKATYWNEGO MODELU CZASU TRWANIA CZYNNOŚCI

Transkrypt

1 Dane bibliograficzne o arykule: hp://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/mppublikacje Mieczysław POŁOŃSKI 1 OBLICZANIE TERMIN REALIZACJI PRZEDSIĘWZIĘĆ BDOWLANYCH METODĄ CCPM NA PODSTAWIE MLTIPLIKATYWNEGO MODEL CZAS TRWANIA CZYNNOŚCI 1. Wsęp Od kilku la meoda CCPM znajduje coraz szersze zasosowanie w planowaniu przedsięwzięć [,3,6]. Ze względu na specyfikę i złożoność harmonogramów sieciowych sosowanych w planowaniu obieków budowlanych możliwość prakycznego sosowania meody CCPM wymaga jednak rozwiązania szeregu problemów akich jak np. konieczność uwzględniania nieypowych relacji między zadaniami, uwzględniania w obliczeniach kilku czynności począkowych i/lub końcowych czy erminów dyrekywnych. Konieczność rozważenia ych elemenów przy opracowywaniu meodyki wykonywania obliczeń erminu i prawdopodobieńswa zakończenia przedsięwzięcia w meodzie CCPM wynika głównie z ich bezpośredniego wpływu na przebieg ścieżki kryycznej a ym samym lokalizację buforów czasu i ich wielkość. Problem sposobu wyznaczania wielkości buforów (niezależnie od ich rodzajów i lokalizacji) ma zasadnicze znaczenie dla osaecznych wyników obliczeń erminu zakończenia danego przedsięwzięcia i jego prawdopodobieńswa dorzymania. Twórca meody sosowania buforów w sieciach zależności E. Goldra nie sprecyzował dokładnie meodyki wyznaczania ich wielkości []. W lieraurze można spokać różne, mniej lub bardziej uzasadnione eoreycznie propozycje [4,7]. W niniejszym arykule wskazano na meodę obliczania wielkości buforów oparą na założeniu, że czas rwania czynności pojedynczego zadania podlega rozkładowi logarymiczno-normalnemu. Wyprowadzono wzory umożliwiające wykonanie akich obliczeń oraz zamieszczono przykład obliczeniowy wyznaczenia erminu realizacji robó konkrenego obieku budowlanego.. Podsawy eoreyczne Jednym z podsawowych paramerów wpływających na osaeczny wynik obliczeń jes yp rozkładu czasu wykonania pojedynczego zadania. Pomimo, że ma on ak zasadnicze znaczenie dla wyników dalszych obliczeń, jes on rudny do jednoznacznego określenia. W lieraurze i prakyce inżynierskiej zakłada się najczęściej rozkład: bea, bea-pert, normalny, rójkąny, rzadziej logarymiczno-normalny, równomierny czy wykładniczy. 1 Dr hab. inż., prof. nadzw. SGGW, Wydział Inżynierii i Kszałowania Środowiska,

2 Przyjmowane ypy rozkładów wynikają bądź z założeń szeroko znanej meody PERT (rozkłady bea, bea-pert), bądź próby wykonania obliczeń na prosych i dobrze znanych rozkładach (rozkład rójkąny czy normalny). Zdaniem auora, waro przy wykonywaniu ych obliczeń rozważyć rozkład logarymiczno-normalny (zwany eż lognormalnym). Genezą ego ypu rozkładu jes przyjęcie założenia, że kszał rozkładu i jego charakerysyczne paramery podlegają mechanizmowi muliplikaywnemu, a więc wynikają z iloczynu licznych czynników losowych wpływające na rozparywaną zmienną losową. W wyniku ego założenia uzyskuje się rozkład niesymeryczny, prawoskośny, w kórym zmienna losowa ma rozkład lognormalny, podczas gdy jej logarym podlega rozkładowi normalnemu. Podana charakerysyka rozkładu dobrze pasuje do rozkładu czasu pojedynczego zadania, na kórą wpływa liczna grupa czynników losowych a wspomniana prawoskośność rozkładu dobrze pasuje do przewidywanego rozkładu czasu rwania pojedynczej czynności, gdyż prakyka wskazuje, że znacznie częściej mamy do czynienia z jej opóźnieniem niż przyśpieszeniem. Wykonanie obliczeń wielkości buforów wymaga znajomości dwóch paramerów każdego zadania: warości średniej m oraz odchylenia sandardowego δ. Warość średnią czasu czynności w rozkładzie lognormalnym określa wzór [1] : ln m 0,5 exp (1) gdzie m warość średnia czasu zadania, 0,5 - kwanyl 0,5 czasu czynności, δ ln - kwadra odchylenia sandardowego logarymu czasu czynności. W celu wyznaczenia parameru δ ln zosanie zasosowany wzór na odchylenie sandardowe w rozkładzie normalnym δ obliczane na podsawie znajomości dwóch kwanyli. W ym wypadku założono, że drugim znanym kwanylem jes kwanyl, jednak podobny wzór można wyprowadzić dla dowolnego innego kwanyla. 0,5 () gdzie - kwanyl czasu czynności, 0,5 - kwanyl 0,5 czasu czynności, - warość dysrybuany sandardowego rozkładu normalnego N(0,1) dla prawdopodobieńswa. Na podsawie wzoru () i założeń rozkładu lognormalnego można zauważyć, że a poszukiwana warość średnia m ln ln( ) ln( 0,5) (3) ln m 0,5 exp (4) 0,5

3 gdzie m warość średnia czasu zadania o rozkładzie lognormalnym, a pozosałe użye symbole opisano we wzorach (1) i (). Wyznaczenie wielkości buforów czasu wymaga również znajomości odchylenia sandardowego zmiennej losowej podlegającej rozkładowi lognormalnemu. Można je wyznaczyć z nasępującego wzoru [1]: 0,5 exp ( ln) 0,5 exp( ln) (5) co po przekszałceniach prowadzi do wzoru 0,5 (exp( ln )) (exp( ln (6) gdzie δ - kwadra odchylenia sandardowego czasu rwania czynności o rozkładzie lognormalnym a pozosałe użye symbole opisano we wzorach (1) i (). Rozważając rozkład erminu zakończenia dowolnego ciągu czynności nasępujących kolejno po sobie (np. ścieżki kryycznej lub jej fragmenu) odwołujemy się do wierdzenia cenralnego (granicznego), na mocy kórego przyjmujemy, że rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych (o dowolnym rozkładzie) zbliża się do rozkładu normalnego w miarę, jak liczba ych zmiennych losowych rośnie. Należy również podkreślić, że nawe gdy liczba rozparywanych zmiennych jes ylko umiarkowanie duża, o jeśli żadna ze zmiennych nie dominuje nad pozosałymi i o ile e zmienne nie są w wysokim sopniu zależne, rozkład ich sumy będzie bliski rozkładowi normalnemu [1]. Wiadomo również, że przy małej liczbie zmiennych rozkład sumy ych zmiennych bliższy będzie rozkładowi -Sudena niż rozkładowi normalnemu. Ponieważ przy wyznaczaniu warości buforów częso mamy do czynienia z syuacja, gdy ciąg czynności, na podsawie kórego wyznaczamy warość bufora nie jes zby liczny, waro zbadać jaki wpływ na końcowy wynik obliczeń ma przyjęcie jednego z ych dwóch ypów rozkładów. Wiedząc, że ermin zakończenia ciągu czynności podlega rozkładowi normalnemu N (m T, δ T ) o paramerach ) 1) k m T mi, i 1 T i k 1 i (7) gdzie k - liczba czynności w rozparywanym ciągu. można wyznaczyć ermin zakończenia ego ciągu na określonym poziomie prawdopodobieńswa. I ak np. zakładając poziom prawdopodobieńswa równy ermin zakończenia ciągu czynności z ym prawdopodobieńswem wynosi: k i 1 i 1 k i T0,9 mi (8)

4 gdzie T - ermin zakończenia ciągu k czynności z prawdopodobieńswem 0.9, mi - średni czasy rwania i-ej czynności, δ i - kwadra odchylenia sandardowego czasu i-ej czynności, - warość dysrybuany sandardowego rozkładu normalnego N(0,1) dla prawdopodobieńswa, k - liczba rozparywanych czynności w ciągu. Przy małej liczbie czynności w ciągu (k) warość zmiennej sandaryzowanej powinna raczej być odczyana z rozkładu -Sudena (dla k-1 liczby sopni swobody), gdyż rozkład en lepiej opisuje rozkład badanego parameru, w ym wypadku łącznego czasu rwania ciągu rozparywanych czynności. Meoda CCPM zakłada skracanie czynności. Chcąc obliczyć czasy rwania poszczególnych zadań z określonym prawdopodobieńswem wysąpienia (określone kwanyle) należy wyprowadzić właściwy wzór. W przypadku rozkładu normalnego kwanyl czasu czynności o prawdopodobieńswie p można obliczyć ze wzoru p 5 (9) 0, p gdzie p kwanyl p czasu rwania zadania, δ - odchylenie sandardowe czasu rwania czynności, p - warość dysrybuany sandardowego rozkładu normalnego N(0,1) dla prawdopodobieńswa p. Pamięając, że w rozkładzie lognormalnym rozkładowi normalnemu podlegają logarymy zmiennej losowej, zakładając, że do obliczenia odchylenia sandardowego δ zasosowano kwanyle czasu czynności 0,5 i, wykorzysując wzór (), oraz korzysając z definicji logarymu można obliczyć: exp( 5 ) 1 p p 0, = exp p ln ln( 0, 5) (10) 0,5 Zakładając A p oraz przekszałcając powyższy wzór orzymujemy p (11) exp ( A ln( ) ln( 0,5) ln( 0, 5)) gdzie p kwanyl p czasu rwania zadania o rozkładzie lognormalnym, p - warość dysrybuany sandardowego rozkładu normalnego N(0,1) dla prawdopodobieńswa p. 3. Przykład obliczeniowy Poniżej zamieszczone zosały wyniki obliczeń wykonane na podsawie przykładowego harmonogramu sieciowego obieku budowlanego. Inwesycją dla jakiej zosał sporządzony harmonogram w prezenowanym przykładzie jes rozbudowa i modernizacja gminnej oczyszczalnia ścieków w Baranowie [8]. Harmonogram pierwony liczył 66 zadań. Z uwagi jednak na możliwość prezenacji danych objęych obliczeniami dokonano jego agregacji i skrócenia ylko do pewnego fragmenu sieci, kóry jednak zosał ak dobrany, by reprezenował najbardziej złożony echnologicznie i organizacyjnie fragmen robó.

5 Ograniczono się w en sposób do 41 czynności i rzech punków konrolnych (bez buforów) (rys. 1). W srukurze sieci wsawiono 5 buforów: 3 bufory zasilające (BZ1, BZ, BZ3), jeden bufor wspomagający na ścieżce kryycznej (BWP1) oraz bufor projeku (BP) na końcu ścieżki kryycznej [5]. Liczba i rodzaje buforów zosały dobrane na podsawie srukury analizowanej sieci zależności. Na rysunku grubymi ramkami zosały zaznaczone zadania leżące na ścieżce kryycznej. Sieć zależności zosała opracowana w programie MS Projec. W abeli (1) zamieszczono zesawienie zadań z powyższej sieci wraz z podsawowymi danymi porzebnymi do dalszej analizy. Termin zakończenia całego przedsięwzięcia przy czasach wyniósł 9 dni a 0,5 136 dni. Rys. 1. Wybrany fragmen sieci z zaznaczoną ścieżką kryyczną i lokalizacją buforów Założono, że przyjęe wsępnie czasy rwania czynności ( ) zosały określone przez wykonawcę z prawdopodobieńswem i podlegają rozkładowi lognormalnemu. Nasępnie oszacowano czasy rwania zadań 0,5, kórych prawdopodobieńswo określono na 0,5 (ab. 1). Dysponując dwoma kwanylami czasu rwania każdej czynności na podsawie wzoru (4) obliczono warości średnie czasu wszyskich zadań a na podsawie wzoru (6) wyznaczono kwadray odchylenia sandardowego ego czasu. Z kolei znając kwanyle 0,5 i czasu czynności na podsawie wzoru (11) policzono dowolne inne kwanyle. W dalszych rozważaniach brano pod uwagę kwanyle o prawdopodobieńswie: 0,55; 0,60; 0,65; 0,70 i 0,80. Kolejnym eapem obliczeń było wyznaczenie erminów ukończenia całego przedsięwzięcia oraz wyznaczonych ciągów chronionych poszczególnymi buforami z założonym prawdopodobieńswem. W przykładzie przyjęo prawdopodobieńswo dorzymania wyznaczonych erminów na poziomie. Za rozkład końcowy ciągu czynności przyjmowano rozkład normalny N (m T, δ T ) o paramerach wyznaczonych na podsawie wzoru (7) lub -Sudena o liczbie sopni swobody k-1, gdzie k jes liczbą czynności o czasie rwania większym od zera w analizowanym ciągu. W abeli zesawiono ciągi czynności chronione poszczególnymi buforami, a w abeli 3 przykładowe wyniki obliczeń dla bufora BZ1. Wszyskie obliczenia wykonano w arkuszu kalkulacyjnym Excel. Zbudowano szablon, w kórym wysarczyło wsawić czasy 0,5 i czynności na podsawie kórych, liczono wielkość danego bufora a wszyskie poszukiwane warości obliczane były auomaycznie. Czas bufora obliczono jako różnicę między erminem zakończenia całego ciągu z prawdopodobieńswem, a sumą czasów czynności przyjęych dla danego kwanyla.

6 Tabela 1. Zesawienie czynności wybranego fragmenu sieci zależności ID 0,5 Poprzedniki ID 0,5 Poprzedniki ID 0,5 Poprzedniki Całość ;37;33; ; ; ; ; Tabela. Zesawienie buforów i ciągów czynności chronionych ymi buforami Lp Bufor Chroniony ciąg czynności ID Liczba czynności ciągu Liczba czyn. ciągu > 0 1 BZ1 9;10;11;1;13;14; BZ 18;19;0;1;; BZ3 34;35;38;39;40;41; BWP1 ;3;5;6;7;8;5;6;7;8;9;30;31; BP 17;45;47; Tabela 3. Przykład obliczeń wielkości bufora BZ1 dla rozkładu czasu chronionego ciągu normalnego i -Sudena oraz różnych kwanyli czasu czynności ego ciągu ID czyn. 0,5 m δ 0,55 0,60 0,65 0,70 0, ,48 1,817 3, 3,3 3,5 3,7 4, , ,93 5,5 7, 9,0 31,0 36, ,496 7,67 6,3 6,6 7,0 7,4 8, ,496 7,67 6,3 6,6 7,0 7,4 8, ,158 0,455 1,1 1,1 1, 1,3 1, ,000 0,000 1,0 1,0 1,0 1,0 1, ,496 7,67 6,3 6,6 7,0 7,4 8,4 Suma ,96 3,365 49,7 5,6 55,7 59, 68, Czas bufora przy czasach czyn. 0,50 m 0,55 0,60 0,65 0,70 0,80 Typ rozkładu: normalny 4,1 19, 1,4 18,6 15,4 11,9,9 Typ rozkładu: -Sudena 34,0 9,0 31,3 8,4 5,3 1,8 1,8 Termin zakończenia ciągu z prawdopodobieńswem dla roz. Normalnego 71,1 Termin zakończenia ciągu z prawdopodobieńswem dla roz. -Sudena 81,0 Po przeprowadzeniu podobnych obliczeń dla wszyskich buforów wykonano obliczenia sieci zależności w programie MS Projec. W każdym analizowanym wariancie wsawiano po zaokrągleniu do całych dni czasy wszyskich czynności dla badanego kwanyla oraz czasy buforów odpowiadające danemu kwanylowi i założonemu ypowi rozkładu końcowego czasu: normalnemu lub -Sudena. Osaeczne wyniki obliczeń zesawiono w abeli 4.

7 Tabela 4. Terminy zakończenia całego przedsięwzięcia, prawdopodobieńswa ich dorzymania oraz procenowe skrócenie dla różnych czasów czynności i dwóch ypów rozkładu czasu rwania badanego ciągu: normalnego i -Sudena Lp Kwanyl czasu czynnosci Czasy buforów BZ1 BZ BWP1 BZ3 BP Rozkład erminu końcowe. ciągu Ter. zak całego przed. % skrócenie całego przeds. Prawdop. erminu końcowego wg rozkładu norm. 1 m ,416 0,000 m Norm ,803 3 m T-S , ,37 0, , Norm , , T-S , ,358 0, , Norm , , T-S , ,475 0, , Norm , , T-S , ,671 0, , Norm , , T-S , ,787 0, , Norm , , T-S Podsumowanie i wnioski Łącznie wykonano 18 warianów obliczeń analizowanej sieci zależności. We wszyskich badanych warianach ścieżka kryyczna nie zmieniła swego położenia. Kolejne wariany obliczono dla m i kwanyli czasu zadań: 0,50; 0,55,0,60, 065 i 070 w ym samym schemacie: z buforami równymi 0 (dla porównania), oraz buforami wyznaczonymi dla rozkładu końcowego normalnego i -Sudena. Analizując wyniki podane w abeli (4) należy zauważyć, że czasy rwania zadań i buforów były zaokrąglane do całych dni, co w niewielkim sopniu wpłynęło na uzyskane dane. Przeprowadzone obliczenia pozwalają na wyciągnięcie nasępujących wniosków: do wyznaczenia paramerów opisujących przebieg rozkładu lognormalnego czasu rwania zadania wysarczy znajomość dwóch kawanyli ego czasu, isony wpływ na końcowy ermin zakończenia ciągu (szczególnie przy małej liczbie czynności ciągu) ma zakładany yp rozkładu czasu całego ciągu (normalny lub - Sudena), erminy zakończenia przedsięwzięcia wyznaczone dla ego samego poziomu prawdopodobieńswa na podsawie rozkładu -Sudena są w każdym przypadku dłuższe niż dla rozkładu normalnego, zasosowanie proponowanego modelu wyznaczania czasów zadań i buforów pozwala na skrócenie czasu całego analizowanego przedsięwzięcia dla rozkładu normalnego o około 5%, a dla rozkładu -Sudena o około 17%, przyjęy sposób wyznaczania wielkości buforów w zależności od założonego kwanyla czasu rwania czynności pozwala przyjąć mniej lub bardziej agresywny warian -S.

8 harmonogramu przez rozłożenie proporcji pomiędzy sumą czasów czynności a wielkością buforów, muliplikaywny charaker rozkładu lognormalnego i jego prawoskośna charakerysyka dobrze odwzorowuje rozkład czasu rwania pojedynczego zadania. Lieraura [1] Benjamin J. R., Cornell C. A., Rachunek prawdopodobieńswa, saysyka maemayczna i eoria decyzji dla inżynierów, WNT, Warszawa, [] Goldra E., Łańcuch kryyczny, Wyd. WERBEL, Warszawa, 000. [3] Hajducki Z., Rogalska., Shorening he realisaion ime of building projecs wih applicaion of heory of consrains and criical chain scheduling, Journal of Civil Engineering and Managemen, 004, Vol. X, Suppl., s [4] Milian Z., Meoda określania rozkładu czasu realizacji przedsięwzięć budowlanych w acyklicznych sieciach sochasycznych, Poliechnika Krakowska, 006. [5] Połoński M., Pruszyński K., Lokalizacja buforów czasu w meodzie łańcucha kryycznego w harmonogramach robó budowlanych (cz. I) - podsawy eoreyczne. Przegląd budowlany, 008, No., s [6] Raz T., Barnes R., Dvir D., A criical look a Criical Chain Projec Managemen, Projec Managemen Journal, 003, Vol. 34, No. 4, s [7] Sępień P., Ścieżka projeku - suma zadań, [8] Szulc M., Harmonogram sieciowy rozbudowy i modernizacji oczyszczalni ścieków w Baranowie, maszynopis, SGGW, 008. ESTIMETING COMPLETION DATE OF BILDING PROJECTS SCHEDLES BASED ON CCPM METHOD AND MLTIPLICATIVE FNCTION OF TIME DRATION OF TASK This paper is devoed o buffer esimaing in Criical Chain Projec Managemen (CCPM) of building projec. A grea deal of aenion was focused on he probabiliy disribuion of he ask duraion. I is assumed ha probabiliy densiy funcion of random variables which represen duraions of he ask is lognormal. In he paper are proposed formulas and fundamenals elemens o analysis ime duraions of asks which are conneced wih various ypes of buffers. In he second par of he aricle heoreical divagaions were suppored by calculaed example based on a real building schedule.