Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU

Transkrypt

1 Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa / 18

2 Proces Hazardu τ - nieujemna zmienna losowa na (Ω, G, Q) Q(τ = 0) = 0, Q(τ > ) > 0, 0. Proces indykaora defaulu H := 1 { τ}, 0, H = σ(h u : u ). Mamy dana filrację zw. referencyjna F aka, że G = H F, zn. G = H F, 0. τ nie musi być F-momenem sopu. hazardu Warszawa / 18

3 Proces Hazardu Dla każdego 0, F = Q(τ F ) a przez G oznaczmy F-survival process Własności Czy G jes malejacy? G = 1 F = Q(τ > F ) G 0 = 1, lim G = 0 G jes ograniczonym supermaryngałem, można więc wziaść cadlag modyfikacje. hazardu Warszawa / 18

4 Proces Hazardu Definicja Niech F < 1, dla 0. F-proces hazardu τ względem Q jes zdefiniowany wzorem Γ = ln G = ln(1 F ), 0. Mamy analogiczne własności jak funkcja hazardu Γ 0 = 0, lim Γ = + Założenie F < 1, dla wszyskich 0 implikuje, że τ nie jes F-momenem sopu. hazardu Warszawa / 18

5 Proces Hazardu Jeżeli F jes absolunie ciagłym procesem rosnacym zn. dla nieujemnego procesu f, F = 0 f u du o proces Γ jes akże rosnacy i absolunie ciagły zn. isnieje nieujemny F-adapowany proces γ aki, że dokładniej Γ = 0 γ u du γ u = 1 F u γ jes F-hazard rae (F-inensywnościa) f u hazardu Warszawa / 18

6 Konsrukcja kanoniczna Mamy zadany F-adapowany proces Γ na (Ω, G, Q), spełniajacy Γ 0 = 0, lim Γ = + Czy isnieje τ dla kórego F-proces hazardu jes równy Γ? Inaczej: Czy można skonsruować momen losowy τ o F-procesie hazardu równym Γ? Prosa konsrukcja wymaga pewnych dodakowych założeń: 1 Γ jes procesem rosnacym, 2 isnieje z.l. ξ U[0, 1] niezależna od F przy Q, Wedy można pokazać, że τ zdefiniowany τ := inf { 0 : e Γ ξ} jes G-momenem sopu z F-procesem hazardu Γ. hazardu Warszawa / 18

7 Konsrukcje τ cd... Czy jak już mamy τ z F procesem hazardu Γ o czy ma on reprezenację τ = inf { 0 : e Γ ξ}? Można pokazać, że ak rzeczywiście jes przy założeniach 1 Γ jes procesem ciagłym, ściśle rosnacym, 2 Q(τ > F ) = Q(τ > F ) = e Γ Założenie 2 jes spełnione w konsrukcji kanonicznej, jes zwiazane z zw. własnościa niezmienności maryngałów. W osanich laach pojawiły się ogólne konsrukcje w kórych Γ nie jes procesem rosnacym... hazardu Warszawa / 18

8 Proces Hazardu : Lema kluczowy Lema Dla każdej G-mierzalnej z.l. X L 1 (Q) mamy E(1 {<τ} X G ) = 1 {<τ} E(X G ) = 1 {<τ} E(X1 {<τ} F ) Q( < τ F ) 0. W szczególności dla wszyskich s Q( < τ s G ) = 1 {<τ} Q( < τ s F ) Q( < τ F ) = 1 {<τ} E(1 e Γ Γ s F ) hazardu Warszawa / 18

9 Proces Hazardu : Lema kluczowy Wniosek Niech X będzie F T -mierzalna z.l. (X L 1 (Q)). Wedy dla wszyskich [0, T ] mamy E(X1 {T <τ} G ) = 1 {<τ} E(X1 {T <τ} F ) Q( < τ F ) = 1 {<τ} E(Xe Γ Γ T G ). W dowodzie przydany jes nasępujacy lema Lema Niech G = F H. Wedy G G gdzie G jes filracja zdefinowana G = {A G : A {τ > } = B {τ > }dla pewnego B F }. hazardu Warszawa / 18

10 Lema Załóżmy, że Z jes procesem F-prognozowalnym akim, że Z (τ)1 {τ T } L 1 (Q). Wedy, dla wszyskich T, zachodzi ( T ) 1 {<τ} E(Z (τ)1 {τ T } G ) = 1 {<τ} e Γ E Z (u)df u F Niech F = N + C będzie rozkładem DM F, gdzie N jes F-maryngałem a C jes F-prognozowlanym procesem rosnacym. Wedy dla każdego T mamy ( T 1 {<τ} E(Z (τ)1 {τ T } G ) = 1 {<τ} e Γ E Z (u)dc u F ). Jeżeli F jes procesem ciagłym i rosnacym o ( T 1 {<τ} E(Z (τ)1 {τ T } G ) = 1 {<τ} E Z (u)e Γ Γ u dγ u F ). hazardu Warszawa / 18

11 Proces Hazardu : Lemay kluczowe Proposiion Niech A będzie procesem ograniczonym, F-prognozowalnym o skończonym wachaniu. Wedy, dla wszyskich T, zachodzi ( T ) ( T 1 {<τ} E (1 H u )da u G = 1 {<τ} e Γ E (1 F u )da u F ). lub równoważnie ( T ) ( T 1 {<τ} E (1 H u )da u G = 1 {<τ} E e Γ Γ u da u F ). hazardu Warszawa / 18

12 Proces Hazardu : wycena wypła Proposiion Dla każdego [0, T ), cena ex-dividend wypłay (X, A, Z, τ) ma przedsawienie ( S = 1 {<τ} G 1 B E Q (,T ] B 1 u (G u da u Z u dg u ) + G T B 1 X F Jeżeli F jes procesem rosnacym i ciagłym o wedy S = 1 {<τ} B E Q ( (,T ] T ). Bu 1 e Γ Γ u (da u + Z u dγ u ) + B 1 T XeΓ Γ T F ). hazardu Warszawa / 18

13 Proces Hazardu : wycena wypła Uwaga Zauważmy, że mamy S = 1 {<τ} S gdzie S jes F-adapowanym procesem sochasycznym reprezenujacym warość przed defaulem (X, A, Z, τ). Wniosek Niech F będzie ciagłym i rosnacym procesem. Wedy warość warość przed defualem (X, A, Z, τ) jes równa warości przed defaulem (X, Â, 0, τ), gdzie  = A + Z u dγ u 0 hazardu Warszawa / 18

14 Wycena wypła gdy τ ma F-inensywność Jeżeli τ ma F-inensywność γ o mamy formułę wyceny wypłay narażonej na ryzyko (X, A, Z, τ) S = 1 {<τ} E Q ( (,T ] e u (r v +γ v )dv (da u + Z u γ u du) +Xe T (r v +γ v )dv F ). hazardu Warszawa / 18

15 Wycena wypła gdy τ ma F-inensywność Bardziej inuicyjna formuła jes nasepujaca: Niech r u = r u + γ u będzie sopa procenowa uwzględniajac a ryzyko kredyowe wedy B ( ) B = exp r u du 0 można inerpreować jako rachunek bankowy uwzględniajacy ryzyko kredyowe. Wedy mamy wzór S = 1 {<τ} B E Q ( (,T ] 1 T 1 B u dau + B u Zu γ u du + X B 1 T F ). hazardu Warszawa / 18

16 Obligacje z ryzykiem kredyowym: Rozważmy obligację z częściowym odzyskiem warości Par. W T mamy obiecana wypłaę L-nominał obligacji, kóra dochodzi do skuku jeżeli τ > T. Jeżeli τ T o mamy w momencie τ wypłae o wielkości δl dla δ [0, 1] Mamy więc formalnie (L, 0, δl, τ). Cena ex-dividend jes więc wedy dana wzorem D δ (, T ) = LB E(δBτ 1 1 {<τ T } + B 1 T 1 T <τ G ) Jeżeli τ ma F-inensywność o mamy T ) D δ (, T ) = L B 1 E Q (δ B u γu du + B 1 T F hazardu Warszawa / 18

17 Obligacje z ryzykiem kredyowym: Rozważmy obligację z częściowym odzyskiem warości skarbowej (Treasury Value). W T mamy obiecana wypłaę L-nominał obligacji, kóra dochodzi do skuku jeżeli τ > T. Jeżeli τ T o mamy w momencie T wypłae o wielkości δl dla δ [0, 1]. Mamy więc wypłaę Y = L(1 {τ>t } + δ1 {τ T } ). Cena ex-dividend jes więc wedy dana wzorem D δ (, T ) = LB E(B 1 T (δ1 {τ T } + 1 {τ>t } ) G ) Lub równoważnie D δ (, T ) = LB E Q ( δb 1 τ B(τ, T )1 {<τ T } + B T 1 1 {τ>t } F ) hazardu Warszawa / 18

18 Obligacje z ryzykiem kredyowym: Wedy, jeżeli τ ma F-inensywność o orzymujemy T ) D δ (, T ) = L B 1 E Q (δ B u B(u, T )γu du + B 1 T F hazardu Warszawa / 18