EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE

Transkrypt

1 Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji na warunkową wariancję w szeregu sóp zwrou najczęściej wykorzysuje się modele: EGARCH, AGARCH oraz GRJ-GARCH będące uogólnieniami modelu GARCH. W pracy rozważano zasadność sosowania modeli uwzględniających efek dźwigni w warunkach GPW w Warszawie. Badania oparo na analizie dziennych sóp zwrou dla indeksów: WIG, WIG oraz MIDWIG. Uzyskane wyniki sugerują, że w przeciwieńswie do rynków rozwinięych efek dźwigni na GPW w Warszawie nie wysępuje (WIG, WIG ) lub jes bardzo słaby (MIDWIG). Słowa kluczowe: efek dźwigni, GARCH WPROWADZENIE Praca doyczy jednego z aspeków modelowania szeregu sóp zwrou z porfela akcji. Tym aspekem jes wpływ osanich informacji na wielkość warunkowej wariancji. W modelach najczęściej sosowanych do modelowania szeregów sóp zwrou o zmiennej wariancji ARCH [Engle 98] oraz GARCH [Bollerslev 986] zakłada się aki sam wpływ dobrych i złych informacji. Jednak w wielu badaniach empirycznych swierdzono asymerię wpływu dobrych i złych informacji na warunkową wariancję, złe informacje powodowały zwiększenie wariancji podczas, gdy dobre zmniejszenie wariancji. Ta cecha szeregów sóp zwrou znana jes pod nazwą efeku dźwigni. Pierwszymi i najbardziej popularnymi modelami [Pionek 4] pozwalającymi na uwzględnienie asymerycznego wpływu informacji są uogólnienia modelu GARCH: EGARCH [Nelson 99], AGARCH [Engle i Ng 993] oraz GJR-GARCH [Glosen i in. 993]. Jak wspomniano efek dźwigni zosał powierdzony w badaniach empirycznych, jednak badania e doyczyły giełd funkcjonujących na dojrzałych rynkach np. giełda w Nowym Jorku. Celem niniejszej pracy jes sprawdzenie w jakim sopniu efek dźwigni wysępuje na warszawskiej GPW. Przez informację najczęściej rozumie się różnicę pomiędzy obserwowaną i oczekiwaną sopą zwrou. Informacją dobrą jes sopa zwrou wyższa od oczekiwanej, naomias informacją złą jes sopa zwrou niższa od oczekiwanej.

2 7 FUNKCJA WPŁYWU INFORMACJI Pojęcie funkcji wpływu informacji NIF 3 zosało wprowadzone przez Engle a i Ng a [Engle i Ng 993] i oznacza relację pomiędzy informacją z osaniego momenu czasowego ( ) i warunkową wariancją w chwili : h ( ) f () Równanie () jes pewnym uproszczeniem zn. pominięo w nim wpływ warunkowej wariancji w poprzednich momenach czasowych. Z rysunku nie wynika, że isnieje jakakolwiek zależność między i dla kolejnych noowań WIG. Na podsawie analizy ego rysunku należałoby raczej swierdzić, że nie ma żadnego związku między informacją z osaniego momenu czasowego ( ) i warunkową wariancją w chwili h. Jes o jednak wniosek przedwczesny Rys.. Zależność pomiędzy i dla noowań WIG z dni do Źródło: opracowania własne. Rysunek zosał sporządzony w oparciu o e same dane co rysunek. Zosały one jednak poddane wsępnej analizie. W pierwszym eapie błędy losowe zosały pogrupowane w szereg rozdzielczy o sałej liczebności w klasach po 3 Skró NIF pochodzi od słów news impac funcion.

3 7 obserwacji, w drugim eapie dla ak wyznaczonych przedziałów klasowych zosały obliczone średnie dla i Rys.. Zależność pomiędzy średnimi warościami i dla noowań WIG z dni do Źródło: opracowania własne. Teraz związek między informacją z osaniego momenu czasowego ( ) i warunkową wariancją w chwili h jes oczywisy. Isnienie asymerii jes jednak nadal problemayczne i wymaga dokładniejszej analizy. Dla porównania na rysunku 3 przedsawiono podobnie skonsruowany wykres przedsawiający noowania DJIA, w ym przypadku isnienie asymerycznego funkcji wpływu informacji jes wyraźne Rys. 3. Zależność pomiędzy średnimi warościami i dla noowań DJIA z dni do Źródło: opracowania własne.

4 7 W kolejnym rozdziale zosały formalnie wprowadzone najczęściej sosowane modele heeroskedasyczne. ROZPATRYWANE MODELE akcji Niech r oznacza sopę zwrou obliczaną na podsawie warości porfela y w momencie w sosunku do warości w momencie ( ) : y y r () y Zgodnie z modelem ARCH(p) warość sopy zwrou w momencie jes uzależniona od sóp zwrou w poprzednich momenach czasowych i warości zmiennej losowej 4 : r µ + µ + h h z, z ~ i. i. d. N(,) p ω. i i i W klasycznych specyfikacjach modelu ARCH przyjmuje się, że warunkowa warość oczekiwana µ jes równa zero i w konsekwencji pomijana, a r. Bollerslev [Bollerslev 986] zaproponował uogólnienie modelu (3) wprowadzając model GARCH(p,q), w kórym uzależnił warunkową wariancję dodakowo od wariancji w poprzednich momenach czasowych: p q α i i + i j (3) h ω + β h. (4) j j W prakyce najczęściej sosowany jes model GARCH(,): h ω + β h. (5) W przypadku modeli ARCH() i GARCH(,) NIF przyjmuje nasępującą posać: f ( ) A. (6) Przy czym sała A w modelu ARCH() wynosi ω naomias w modelu GARCH(,) A ω + β h. Ponieważ funkcja (6) jes parabolą symeryczną wokół zera o ym samym nie pozwala na modelowanie efeku dźwigni. 4 Ponieważ rozkład błędów nie był przedmioem głównego zaineresowania, w pracy ograniczono się do przypadku błędów losowych o rozkładzie normalnym.

5 73 W 993 Engle i Ng zaproponowali pod nazwą AGARCH [Engle i Ng 993] uogólnienie modelu GARCH pozwalające modelować efek dźwigni, gdzie: h ω ( α ) + β h. (7) W ym przypadku NIF przyjmuje nasępującą posać: f ( ) A ( α ). (8) Podobnie jak w przypadku modelu GARCH jes o parabola, jednak w ym przypadku osiąga ona minimum dla α. W ym samym roku Glosen i in. zaproponowali inne uogólnienie modelu GARCH znane pod nazwą GJR-GARCH, gdzie: h ω (9) I ( < ) + β h gdzie I ( ) < jeżeli ( < ) i w przeciwnym razie. Dla modelu GJR-GARCH NIF przyjmuje posać: f ( ) A I( < ). () W przeciwieńswie do wcześniejszych modeli wykres ej funkcji nie jes parabolą lecz złożeniem ramion dwóch różnych paraboli. Jeżeli o < współczynnik przy wynosi α, w przeciwnym przypadku jes równy α. Przy czym minimum jes osiągane dla. W modelu EGARCH [Nelson 99] zaproponowanym przez Nelsona logarym warunkowej wariancji wyraża się wzorem: Jeżeli log h z ω () podlega sandardowemu rozkładowi normalnemu, o h E + β log h h h h wyrażenie () przyjmuje posać: log h ω, () + β log h h h π

6 74 zaś NIF może być przedsawiona jako: przy czym sała f ( α α ) h ( ) exp + A, (3) ω α β A h exp. π OPIS BADAŃ EMPIRYCZNYCH W pracy posłużono się sopami zwrou obliczonymi dla podsawowych indeksów GPW w Warszawie: WIG, WIG, MIDWIG oraz dla porównania sopami zwrou indeksu DJIA. Sopy zwrou zosały obliczone na podsawie kursów zamknięcia: dla indeksów GPW w Warszawie z dni od do i dla indeksu DJIA z dni od do 6-5-6, w sumie po 6 obserwacji sóp. Wybór day począkowej związany jes z rozpoczęciem noowania indeksu MIDWIG, zaś przesunięcie dla indeksu day począkowej dla DJIA wynika z różnic w liczbie dni bez noowań na obydwu giełdach. Aby określić w jakim sopniu można mówić o wysępowaniu efeku dźwigni na warszawskiej GPW dla szeregów sóp zwrou wymienionych indeksów oszacowano nasępujące modele: GARCH, AGARCH, GRJ-GARCH, EGARCH i EGARCH z warością parameru odpowiedzialnego za asymerię NIF α, model en w dalszej części pracy oznaczano jako regarch. Wybrano dwie miary dopasowania: logarym z funkcji wiarogodność LLF i kryerium informacji Akaike AIC [Akaike 973]. AIC LLF + K, (4) Gdzie K oznacza liczbę paramerów. Jakość dopasowania jes ym lepsza im niższa jes warość AIC. Tabela. Warości LLF dla rozparywanych modeli Model Liczba paramerów WIG WIG MIDWIG DJIA GARCH 4 65,4 574,6 666, ,9 AGARCH 5 66,6 575, 6665,75 679,76 GJR-GARCH 5 66,6 575, ,7 675,6 EGARCH 5 64, 573, 6664,5 6734,6 regarch 4 6,6 57,37 666,99 668,4 Źródło: obliczenia własne.

7 75 Analizując warości miar jakości dopasowania modeli przedsawione w abelach i można swierdzić, że w przypadku wszyskich indeksów najlepsze okazały się modele uwzględniające asymeryczność funkcji wpływu informacji. Tabela. Warości AIC dla rozparywanych modeli Model Liczba paramerów WIG WIG MIDWIG DJIA GARCH 4 -,8-4, -335, -337,38 AGARCH 5-3,4-4,4-33,5-349,5 GJR-GARCH 5-3, -4,38-33,4-344, EGARCH 5-8, -46, -338,3-3458,5 regarch 4-7, -46,74-337, ,8 Źródło: obliczenia własne. W przypadku indeksów noowanych na GPW w Warszawie najlepsze okazały się modele AGARCH i GJR-GARCH, naomias w przypadku DJIA najlepszym modelem jes EGARCH. Jednak, o że modele uwzględniające asymerię są lepiej dopasowane nie jes wysarczającą podsawą do wyciągnięcia wniosku o wysępowaniu efeku dźwigni w szeregach sóp zwrou z indeksów noowanych na GPW w Warszawie. Należy jeszcze sprawdzić czy różnica w dopasowaniu jes wysarczająco duża. Formalnie należałoby w ym celu przeesować hipoezę o zerowej warości parameru odpowiedzialnego za asymerię w poszczególnych modelach. H : α. (5) Do weryfikacji ej hipoezy można posłużyć się esem bazującym na ilorazie funkcji wiarogodności LRT (Likelihood Raio Tes) [Greene ] LRT ( LLF LLF ), (6) W przypadku, gdy hipoeza jes prawdziwa, saysyka LRT ma asympoycznie rozkład χ ( p p ), gdzie p i p oznaczają liczby paramerów odpowiednich modeli. Zasosowanie ego esu do porównania dwóch modeli, z kórych jeden zawiera paramer odpowiedzialny za modelowanie efeku dźwigni, zaś drugi 5 nie, powinno dać odpowiedź co do wysępowania efeku dźwigni. Modele AGARCH oraz GJR-GARCH były porównywane z modelem GARCH, naomias model EGARCH z modelem regarch. 5 Porównywany model powinien zawierać się w modelu.

8 76 Tabela 3. Warości saysyki esowej LRT dla hipoezy H α. : Model WIG WIG MIDWIG DJIA AGARCH 3,63,88 8,44 6,4 GJR-GARCH 3,44,63 9,4 7,88 EGARCH,8,75,3 5,7 Źródło: opracowania własne. Warość kryyczna dla wszyskich obliczonych warości saysyk esowych jes aka sama χ 3, 845. Z rzech rozparywanych indeksów noowanych (.5,) na GPW w Warszawie ylko dla MIDWIG odrzucana jes hipoeza o braku asymerii, na poziomie isoności,5. Waro jednocześnie zauważyć, że nawe w ym przypadku warości saysyk esowych dla DJIA są wielokronie wyższe. PODSUMOWANIE Przeprowadzone analizy wykazały, że ylko w przypadku indeksu MIDWIG można mówić o wysępowaniu efeku dźwigni. Jednak nawe w ym przypadku siła wspomnianego efeku jes o wiele mniejsza niż w przypadku indeksu DJIA. Pomimo, że z uwagi na mały zakres przeprowadzonych badań nie można formułować zby zdecydowanych wniosków o uzyskane wyniki sugerują, że w warunkach GPW w Warszawie sosowanie modeli uwzględniających efek dźwigni nie jes konieczne. LITERATURA Akaike, H. (973). Informaion heory and an exension of he maximum likelihood principle, nd Iner. Symp. On Informaion Theory (Perov, B.N. and Csaki, F. Eds.), Akademiai Kiado, Budapes, Bollerslev, T. (986), Generalized Auorregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 3, Engle, R. (98), Auorregressive Condiional Heeroskedasiciy wih Esimaes of Unied Kingdom Inflaion, Economerica, 5, Engle, Rober F., and Vicor K. Ng, (993), Measuring and Tesing he Impac of News on Volailiy, Journal of Finance 48,

9 77 Glosen, Lawrence R., Ravi Jagannahan, and David E. Runkle, (993), On he Relaion Beween he Expeced Value and he Volailiy of he Nominal Excess Reurns on Socks, Journal of Finance 48, Greene, William H. (), Economeric Analysis, Nelson, Daniel B., 99, Condiional Heeroskedasiciy in Asse Reurns: A New Approach, Economerica,59, Pionek, K. (4), Modelowanie efeku dźwigni w finansowych szeregach czasowych Maeriały Konferencyjne Akademii Ekonomicznej w Krakowie Nauki Finansowe wobec współczesnych problemów gospodarki polskiej, om IV (Rynki Finansowe), pod red. Jana Czekaja, Kraków 4, sr. 9 4 Leverage effec on Warsaw Sock Exchange Summary: Models mos frequenly used for modelling asymmerical impac of good and bad reurn news on volailiy response are generalizaions of GARCH namely: EGARCH, AGARCH and GRJ-GARCH. In his paper suppor for applicaion of hose models is considered in he case of Warsaw Sock Exchange. Researches are based on analysis daily reurn series of indexes: WIG, WIG, MIDWIG. Resuls indicae, ha in conras o developed markes here is very weak evidence supporing hypohesis of leverage effec. In he case of WIG and WIG he leverage effec is insignifican and for MIDWIG weak comparing for example wih DJIA, hough significan. Key words: leverage effec, GARCH