Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH

Transkrypt

1 Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele e, a w szczególności model GARCH, powierdzają przydaność w analizie finansowych szeregów czasowych (por. [2][5][6][7][9]). Nie rozwiązują one jednak, w swej klasycznej posaci 1, problemu opisu zmiennych w czasie warości macierzy kowariancji szeregów sóp zwrou. Prawidłowe wyznaczanie prognoz ej macierzy nie jes sprawa błahą i może przyczynić się do poprawy osiąganych wyników ekonomicznych w akich zagadnieniach jak: analiza porfelowa, modele równowagi rynków kapiałowych, wycena pewnych opcji egzoycznych, pomiar ryzyka według koncepcji VaR oraz zabezpieczanie insrumenu lub porfela insrumenów (hedging) (por. [1][3][5][6][9]). Nauralnym rozszerzeniem modeli GARCH są wielowymiarowe modele ej klasy (Mulivariae GARCH MGARCH); umożliwiające opis zmiennych w czasie warunkowych warości macierzy wariancji-kowariancji. Pomimo, iż od wprowadzenia poszczególnych, podsawowych wielowymiarowych modeli klasy MGARCH (por. [1][4][5]) upłynęło już 10, a czasami 20 la, o modele e nadal są wykorzysywane jedynie w niewielkim sopniu. Niniejsza praca ma na celu przybliżenie wybranych, podsawowych modeli MGARCH (modeli warunkowej macierzy kowariancji) w konekście problemów z ich prakycznym wykorzysaniem. W prakyce, najczęściej wykorzysywane są modele dwuwymiarowe pozwalające na analizę zmiennego w czasie współczynnika zabezpieczenia insrumenu bazowego konrakami fuures (por. np. [1][5]). Pracę kończy więc przykład empiryczny, kórego celem jes odpowiedź na pyanie, kóry z podsawowych modeli dwuwymiarowych dopasowuje się najlepiej (z punku widzenia kryerium Akaike a) do wybranych par szeregów i powinien sanowić obszar poencjalnego zaineresowania prakyków. 1 Pomijane jes uaj wykorzysanie modeli jednorównaniowych w modelu CCC (sałej korelacji warunkowej); por. np [1][5][6][9][10]. 1

2 1. Wielowymiarowy model sóp zwrou Punkem wyjścia są pojęcia wekora warunkowych warości oczekiwanych ( µ ), warunkowej macierzy kowariancji ( H ) oraz posaci warunkowego rozkładu sandaryzowanych resz modelu ( z ). Więcej informacji na en ema znaleźć można np. w pracach [1][6][7][9]. Poniżej przedsawione zosaną jedynie niezbędne informacje. Główna uwaga skupiona zosanie na opisie warunkowej macierzy ( H ). Rozparywany w niniejszej pracy wielowymiarowy model sóp zwrou zadany jes nasępującym równaniem (por. [6][8][9]): r = µ + ε, (1) gdzie: µ oznacza wekor warunkowych warości oczekiwanych sóp zwrou wyznaczanych na podsawie informacji ( I ) dosępnej w chwili -1, a ε o wekor błędów modelu. Wekor warunkowych warości oczekiwanych wyznacza się najczęściej na podsawie modelu klasy VAR (vecor auoregressive model) (por. [6][7]). Zazwyczaj zakłada się dodakowo, że sopy zwrou pochodzą z wielowymiarowego warunkowego rozkładu normalnego 2. W większości przypadków wysarczający okazuje się model VAR rzędu 1. Modele wyższego rzędu wykorzysuje się rzadko ze względu na szybko rosnącą liczbę paramerów. Podsawowy model k-wymiarowy, rozparywany akże w ej pracy, zadany jes wzorem: r1, µ 10 ϕ 11 ϕ 1k r1, 1 ε 1, = + +. (2) r µ ϕ ϕ r ε k, k 0 k1 kk k, 1 k, Podejście o wydaje się być obecnie sandardem w przypadku analiz wielowymiarowych. 2. Modele klasy MGARCH Związki pomiędzy warunkową macierzą ( H ), wekorem błędów modelu ( ) ε oraz wekorem sandaryzowanych resz modelu ( z ) dla modelu k-wymiarowego dane są wzorami (por. np. [1][5][6][8][9]): 1 2 = ε H z, (3) gdzie: iid E[ ] 0, var[ ] z z = z = I (4) k 2 Możliwe są oczywiście rozwiązania z warunkowymi rozkładami o grubszych ogonach, np. z wielowymiarowym rozkładem -Sudena (por. [1][5][9]). 2

3 = I = I oraz var[ 1] E 1 = ( ) H ε ε ε H H. (5) Ogólna posać modelu MGARCH zaproponowana zosała w pracy [3] (por. akże [1][5][10]) nosi nazwę VECH-GARCH. Macierz H zadana jes nasępującym równaniem: ( ) = ( ) + ( ) + ( ) vech H vech W Avech ε ε Bvech H, (6) gdzie operaor vech ( ) o operaor wekoryzacji macierzy symerycznej (por. [1]-[10]). Model (6) jes odpowiednikiem jednowymiarowego modelu GARCH(1,1). Możliwa jes analiza modeli MGARCH klasy VECH wyższych rzędów, ale w prakyce nie jes spoykana. Dla przypadku k-wymiarowym, W jes symeryczną macierzą o wymiarach k k, naomias macierze A i B są symerycznymi macierzami o wymiarach 0, 5k ( k 1) 0, 5k ( k 1) + +. Podsawowymi problemami, kóre wysępują w przypadku próby prakycznego zasosowania modelu VECH jes duża liczba paramerów, konieczność zapewnienia dodaniej określoności macierzy w każdej chwili oraz skończoności warości bezwarunkowej macierze kowariancji. Liczbę paramerów k wymiarowego modelu VECH(1,1) określa wzór 0, 5k ( k 1) 1 k ( k 1) W przypadku dwuwymiarowego modelu VECH niezbędna jes więc esymacja 21 paramerów (ylko w zakresie modelu warunkowej macierzy wariancji-kowariancji) co już samo w sobie prakycznie uniemożliwia sosowanie ego rozwiązania (por. [1][10][5][4]). Warunek wysarczający zapewnienia dodaniej określoności macierzy ( H ) dla każdej chwili czasu przedsawiony zosał w pracy [4] (por. akże [5]). Dla uproszczenia poniżej zaprezenowany zosał warunek dla modelu VECH(0,1), kóry można przedsawić w równoważnej posaci do modelu (6) jako: ( 1 ) ( 1 ) H = W + I ε A I ε, (7) k k czyli: a 11 1, 1 ε1, 1 ε 2, a12 2 a 0 13 ε 2, ε1, 1 ε 2, 1 a21 a22 2 a31 0 ε1, 1 a22 2 a23 a32 2 a33 0 ε 2, 1 H = W +, (8) gdzie X Y o iloczyn Kroneckera. ε Warunkiem wysarczającym zapewnienia dodaniej określoności jes zagwaranowanie dodaniej określoności symerycznych macierzy à oraz W. 0 3

4 Warunkiem wysarczającym dodaniej określoność macierzy H w modelu VECH(1,1) jes zapewnienie ponado dodaniej określoności analogicznej macierzy B 3. W procesie esymacji paramerów modelu k-wymiarowego problemem jes więc zagwaranowanie dodaniej określoności dwóch macierzy o wymiarach k 2 2 wprowadza bardzo skomplikowane, nieliniowe warunki ograniczające. k, oraz jednej o wymiarach k k, co Kolejnym warunkiem, pożądanym w odniesieniu do modelu opisującego zmienną w czasie macierz H, jes zapewnienie (obserwowalnych w prakyce) skończonych warości bezwarunkowej macierzy wariancji-kowariancji - H. Proces VECH(1,1) jes sacjonarny ylko i ylko wedy, gdy wszyskie warości własne macierzy ( A B) + leżą wewnąrz kola jednoskowego (por. [1][5][10]). Bezwarunkowa macierz wariancji-kowariancji zadana jes wedy nasępującym wzorem: vech 1 ( ) vech ( ) ( ) = ( + ) gdzie: k H = I A + B W, (9) k I o macierz jednoskowa o wymiarze k = 0,5k ( k + 1) = +. Duża liczba paramerów, konieczność zapewnienia dodaniej określoności oraz sacjonarności macierzy ( H ), powodują, iż model VECH w swej pełnej posaci nie znajduje zasosowania nawe dla najprosszych przypadków dwuwymiarowych. Zaproponowano więc szereg modeli zawierających się w ogólnym modelu VECH, kóre ograniczają liczbę paramerów lub zapewniają dodanią określoność macierzy. Odbywa się o jednak koszem ogólności modelu. Do najczęściej wykorzysywanych rozwiązań zalicza się modele diagonalne VECH oraz modele klasy BEKK (por. np. [1][4][5][6][9][10]). Model diagonalny (diagonal VECH DVECH) zaproponowany zosał w pracy [3] (por. akże [5][6]). Macierze A i B (por. wzór (6)) są macierzami diagonalnymi. Dla k- wymiarowego diagonalnego modelu VECH, niezbędna jes esymacja 1,5k ( k + 1) paramerów. Dla 2-wymiarowego modelu niezbędne jes wyznaczenie warości 9 paramerów, co oznacza znaczną redukcje w sosunku do modelu pełnego (21 paramerów). Elemeny h ij, + 1 macierzy H zależą jedynie od swoich przeszłych warości h ij, oraz odpowiednich iloczynów błędów +1 z chwili ( ε i, ε j, ), co powoduje, że brak jes zw. efeku przenikania wariancji. Elemeny h ii opisane są klasycznymi, jednowymiarowymi modelami GARCH(1,1), a elemeny h ij ( i j ) - 3 Formalnie wysarczające jes by dwie z macierzy A, B, W były połówkowo dodanio określone, a rzecia dodanio określona. 4

5 ich odpowiednikami (por. np. [1][5][8]). Model DVECH można przedsawić w nasępującej posaci, kóra uławia dalsze analizy (por. [4]): ( ε ) H = W + A ε + B H, (10) + 1 A = ivech ( diag( A )), B = ivech ( diag ( B )), (11) gdzie X Y o iloczyn Hadamarda (por. np. [1][8]), a ivech ( ) - operaor odwrony do vech. Z faku, że suma macierzy dodanio określonych jes macierzą dodanio określoną wynikają warunki wysarczające, by zapewnić dodanią określoność macierzy macierze W, A, B muszą być dodanio określone 4, macierz H 1 musi być dodanio określona, co najprościej zapewnić przyrównując ją do bezwarunkowej macierzy wariancji-kowariancji 5. Dla modelu 2-wymiarowego pierwszy warunek sprowadza się do zagwaranowania nasępujących prosych nierówności: 2 x >, x x x >, (12) gdzie x ij o odpowiednie elemeny macierzy W, A, B. Warunki zapewniające skończoność paramerów macierzy bezwarunkowej dla modelu DVECH mają prosą posać, analogiczną jak dla modeli jednowymiarowych: a ij + b < 1, i, j = 1,2, k. (13) ij Modelem rozwiązującym w prosy sposób problem dodaniej określoności macierzy kowariancji dla przypadku k-wymiarowego jes zw. model BEKK (por. np. [1][4][5][6][10]): H = W W + A ε ε A + B H B. (14) akże w ym modelu przyjmuje się, że H 1 równe jes macierzy bezwarunkowej, co gwaranuje dodanią określoność macierzy macierzy H ; H dla każdej chwili czasu, o ile ylko rzędy W, A, B równe są wymiarowi modelu. W sandardowym rozwiązaniu macierz W jes górną macierzą rójkąną, naomias A i B są dowolnymi macierzami kwadraowymi o rzędzie równym wymiarowi modelu. Liczba paramerów w modelu BEKK 2 dana jes wzorem 0,5k ( k 1) 2k + +. Model dwuelemenowy ma więc 11 paramerów. W przeciwieńswie do modelu DVECH, w modelu BEKK rudno zagwaranować sacjonarność bezwarunkowej macierzy wariancji-kowariancji. Warunkiem jes bowiem, by 4 Por. przypis 3. 5 Dla procedury esymacji jes o macierz wariancji-kowariancji szacowana z próby, naomias w procedurach symulacyjnych jes o macierz wynikająca z przyjęych paramerów modelu. 5

6 wszyskie warości własne macierzy ( + ) A A B B leżały wewnąrz koła jednoskowego. Już dla 2-wymiarowego procesu wymaga o analizy warości własnych macierzy o wymiarach 4 4, co sanowi na yle skomplikowane zagadnienie, iż zazwyczaj pomija się en warunek podczas esymacji modeli BEKK. Bezwarunkowa macierz H dla modelu BEKK dana jes nasępującym wzorem: vec 1 ( ) vec k ( ) ( ) = 2 ( ) + ( ) H = I A A + B B W W, (15) gdzie vec( ) o operaor wekoryzacji całej macierzy, a nie jedynie elemenów leżących na oraz poniżej przekąnej, jak ma o miejsce dla operaora vech ( ). Propozycją pozwalającą uniknąć skomplikowanych warunków gwaranujących sacjonarność macierzy H w modelu BEKK jes model diagonalny (diagonal BEKK DBEKK), w kórym macierze A oraz B są macierzami diagonalnymi. Warunek skończonych warości macierzy H dla ego modelu dany jes układem nierówności: ( aii ) ( bii ) < 1, i = 1,2,, k. (16) Model DBEKK jes szczególnym przypadkiem modelu DVECH i posiada k ( k ) 0, k paramerów. W prosy sposób gwaranuje on zarówno dodanio określoność macierzy, jak i jej sacjonarność. Uzyskuje się o jednak koszem znacznego zmniejszenia ogólności modelu. Najprosszym modelem BEKK jes model ze skalarnymi macierzami A i B, zw. model skalarny (scalar BEKK SBEKK). 3. Problemy prakyczne Znaczna część problemów prakycznych zosała zasygnalizowana w rozważaniach eoreycznych. Związana jes ona przede wszyskim z szacowaniem paramerów. Esymacji paramerów dokonuje się najczęściej meodą największej wiarygodności, co wymaga maksymalizowania skomplikowanej funkcji wielu zmiennych przy spełnieniu dodakowych nierówności nałożonych na paramery. Funkcja największej wiarygodności jes prawie płaska wokół maksimum, co powoduje szereg problemów opymalizacyjnych. Wyznaczone paramery zależą od przyjęych punków sarowych. Szczególne znaczenie ma o dla modeli niediagonalnych. W przypadku modeli diagonalnych (DVECH lub DBEKK) przynajmniej część paramerów można oszacować na podsawie modeli jednorównaniowych i wykorzysać bądź o jako warości osaeczne paramerów, bądź jako punky sarowe do esymacji modelu wielowymiarowego jako całości. Powyższe problemy ujawniają się w fakcie orzymywania 6

7 odmiennych oszacowań paramerów dla różnych pakieów obliczeniowych, co urudnia porównywanie wyników. Duża liczba paramerów wraz z opymalizacją przy pewnych skomplikowanych warunkach sanowi właściwie problem informayczny, lecz wydaje się, że w chwili obecnej przesądza o małej popularności ych modeli w zagadnieniach finansowych. rudnością w sosowaniu ych modeli jes akże problem jakości oszacowanych paramerów w przypadku sosunkowo krókich szeregów finansowych (np. gdy na podsawie średnio 2000 obserwacji należy oszacować kilkanaście paramerów modelu VAR-MGARCH). Aby uzyskać prawidłowe wyniki dla modeli wielowymiarowych należy w odpowiedni sposób przygoować wielowymiarowy wekor danych. Zazwyczaj usuwa się sopy zwrou dla okresów, w kórych brakowało sopy zwrou choćby dla jednego insrumenu. Prowadzi o do dalszego skracania długości analizowanych szeregów. Błędna specyfikacja modelu wekora warunkowych warości oczekiwanych (modelu VAR) powoduje zazwyczaj kłopoy z oszacowaniem modelu MGARCH, gdyż meody ieracyjne mogą prowadzić do modelu z macierzą kowariancji na granicy dodaniej określoności. W wielu przypadkach niezbędne jes eż odpowiednie przeskalowanie danych, w celu poprawy jakości meod opymalizacyjnych. Przeszkodą do prakycznego upowszechnienia modeli wielowymiarowych jes niewąpliwie brak ogólnie dosępnych anich lub darmowych pakieów ekonomerycznych pozwalających inwesorowi szacować paramery modeli MGARCH, bądź symulować dane, a nasępnie na podsawie uzyskanych wyników weryfikować różne sraegie inwesycyjne. Wszyskie zaprezenowane powyżej problemy powodują, iż ewenualne zasosowanie prakyczne znajdują jedynie modele dwuwymiarowe mogące w prakyce posłużyć do wyznaczania np. zmiennego w czasie współczynnika zabezpieczenia (hedge raio) (por. np. [5][9][1]) lub współczynnika bea. Dla liczby wymiarów powyżej dwóch zasosowanie znajdują nadal modele wygładzania wykładniczego lub sałej macierzy wariancji-kowariancji. 4. Przykład empiryczny Analizie poddano 2-wymiarowe modele klasy diagonal VECH (9 paramerów), BEKK (11 paramerów), diagonal BEKK (7 paramerów) oraz scalar BEKK (5 paramerów). Są o modele najczęściej wykorzysywane w prakyce. Wszyskie prezenowane wyniki badań empirycznych uzyskano za pomocą auorskich procedur napisanych w środowisku MALAB 6.0. Próbę do badań sanowiło 15 szeregów dziennych logarymicznych sóp zwrou z nasępujących insrumenów 6 6 We wszyskich przypadkach daą zakończenia szeregów był dzień W nawiasach podano daę począkową szeregu oraz liczbę obserwacji. Wszyskie dane pochodzą z serwisu bossa.pl. 7

8 (waluy, akcje, indeksy): CHF ( , 3240), GBP ( , 3240), USD ( , 3240), JPY ( , 3240), BRE ( , 3073), ELEKRIM ( , 3126), KROSNO ( , 3173), WÓLCZANKA ( , 3167), Żywiec ( , 3120), CAC40 ( , 2740), DAX ( , 2739), F-SE100 ( , 3292), NIKKEI ( , 8841), SP500 ( , 9051), WIG ( , 3188). Kryerium wyboru poszczególnych szeregów była liczba obserwacji. Analizie poddano wszyskie dwuelemenowe kombinacje szeregów. Łącznie przeanalizowano więc 105 par szeregów oraz 420 modeli 2- wymiarowych. Każdorazowo z oryginalnych szeregów sóp zwrou usunięo dni z brakującymi obserwacjami. Do uzyskanych w en sposób szeregów dopasowano model VAR(1), a nasępnie do resz ego modelu dopasowywano odpowiednie modele MGARCH. Jako kryerium dopasowania modelu wykorzysano kryerium informacyjne Akaike a. Uzyskane wyniki prezenuje ab 1. abela 1. Wyniki dopasowania poszczególnych modeli l.p. Para insrumenów Liczba obserw. Warość kryerium AIC DVECH SBEKK DBEKK BEKK Opymalny model 1 CAC40 BRE , , , ,14262 DVECH 2 CHF BRE , , , ,14262 DVECH 3 CHF CAC , , , ,49105 BEKK 4 DAX BRE , , , ,25376 DVECH 5 DAX CAC , , , ,79163 SBEKK-NS 6 DAX CHF , , , ,58579 DVECH 7 ELEKRIM BRE , , , ,55061 DVECH 8 ELEKRIM CAC , , , ,99855 DBEKK 9 ELEKRIM CHF , , , ,86728 DVECH 10 ELEKRIM DAX , , , ,11579 DVECH 11 F-SE100 BRE , , , ,77711 DVECH 12 F-SE100 CAC , , , ,25363 DVECH 13 F-SE100 CHF , , , ,83339 DVECH 14 F-SE100 DAX , , , ,61836 DVECH 15 F-SE100 ELEKRIM , , , ,53889 DVECH 16 GBP BRE , , , ,89495 DVECH 17 GBP CAC , , , ,36069 DVECH 18 GBP CHF , , , ,34661 BEKK 19 GBP DAX , , , ,46770 DVECH 20 GBP ELEKRIM , , , ,65411 DVECH 21 GBP F-SE , , , ,62517 DVECH 22 JPY BRE , , , ,47316 DVECH 23 JPY CAC , , , ,94790 SBEKK-NS 24 JPY CHF , , , ,19027 BEKK 25 JPY DAX , , , ,04178 DVECH 26 JPY ELEKRIM , , , ,23086 DVECH 27 JPY F-SE , , , ,24519 DVECH 28 JPY GBP , , , ,97455 BEKK-NS 29 KROSNO BRE , , , ,31761 BEKK-NS 30 KROSNO CAC , , , ,50187 DBEKK-NS 31 KROSNO CHF , , , ,53098 BEKK-NS 32 KROSNO DAX , , , ,59211 DBEKK-NS 33 KROSNO ELEKRIM , , , ,08564 BEKK-NS 34 KROSNO F-SE , , , ,21144 DBEKK-NS 35 KROSNO GBP , , , ,35192 BEKK-NS 36 KROSNO JPY , , , ,88245 BEKK-NS 37 NIKKEI BRE , , , ,64250 DVECH 38 NIKKEI CAC , , , ,87047 DVECH 39 NIKKEI CHF , , , ,67473 DVECH 40 NIKKEI DAX , , , ,95843 DVECH 41 NIKKEI ELEKRIM , , , ,43429 DVECH 8

9 Warość kryerium AIC 42 NIKKEI F-SE , , , ,18340 DVECH 43 NIKKEI GBP , , , ,46492 DVECH 44 NIKKEI JPY , , , ,04963 DVECH 45 NIKKEI KROSNO , , , ,18083 BEKK-NS 46 SP500 BRE , , , ,86193 DVECH 47 SP500 CAC , , , ,02639 DBEKK 48 SP500 CHF , , , ,89890 DVECH 49 SP500 DAX , , , ,05548 DVECH 50 SP500 ELEKRIM , , , ,68196 DVECH 51 SP500 F-SE , , , ,19700 SBEKK-NS 52 SP500 GBP , , , ,68197 DVECH 53 SP500 JPY , , , ,27213 DVECH 54 SP500 KROSNO , , , ,37338 BEKK-NS 55 SP500 NIKKEI , , , ,73768 DVECH 56 USD BRE , , , ,88380 DVECH 57 USD CAC , , , ,34325 DVECH 58 USD CHF , , , ,69217 BEKK-NS 59 USD DAX , , , ,40511 DVECH 60 USD ELEKRIM , , , ,64446 DVECH 61 USD F-SE , , , ,63161 DVECH 62 USD GBP , , , ,16063 BEKK-NS 63 USD JPY , , , ,89284 BEKK 64 USD KROSNO , , , ,28120 BEKK-NS 65 USD NIKKEI , , , ,44604 DVECH 66 USD SP , , , ,67843 DVECH 67 WIG BRE , , , ,52897 DVECH 68 WIG CAC , , , ,95996 DVECH 69 WIG CHF , , , ,00546 DVECH 70 WIG DAX , , , ,06518 DVECH 71 WIG ELEKRIM , , , ,34882 DVECH 72 WIG F-SE , , , ,67594 DVECH 73 WIG GBP , , , ,78878 DVECH 74 WIG JPY , , , ,39232 DVECH 75 WIG KROSNO , , , ,24744 BEKK-NS 76 WIG NIKKEI , , , ,63811 DVECH 77 WIG SP , , , ,83138 DVECH 78 WIG USD , , , ,78654 DVECH 79 WOLCZANKA BRE , , , ,18012 DVECH 80 WOLCZANKA CAC , , , ,46535 DVECH 81 WOLCZANKA CHF , , , ,43653 DVECH 82 WOLCZANKA DAX , , , ,56005 DVECH 83 WOLCZANKA , , , ,97114 DVECH 84 ELEKRIM WOLCZANKA F , , , ,10613 DVECH 85 SE100 WOLCZANKA GBP , , , ,20394 DVECH 86 WOLCZANKA JPY , , , ,78557 DVECH 87 WOLCZANKA , , , ,64881 BEKK-NS 88 KROSNO WOLCZANKA NIKKEI , , , ,00160 DVECH 89 WOLCZANKA SP , , , ,22243 DVECH 90 WOLCZANKA USD , , , ,18399 DVECH 91 WOLCZANKA WIG , , , ,00834 BEKK 92 ZYWIEC BRE , , , ,48376 BEKK-NS 93 ZYWIEC CAC , , , ,73931 DVECH 94 ZYWIEC CHF , , , ,71834 DVECH 95 ZYWIEC DAX , , , ,83118 DVECH 96 ZYWIEC ELEKRIM , , , ,28582 DVECH 97 ZYWIEC F-SE , , , ,43054 DVECH 98 ZYWIEC GBP , , , ,50205 DVECH 99 ZYWIEC JPY , , , ,09951 DVECH 100 ZYWIEC KROSNO , , , ,05754 BEKK-NS 101 ZYWIEC NIKKEI , , , ,31536 DVECH 102 ZYWIEC SP , , , ,54802 DVECH 103 ZYWIEC USD , , , ,48104 DVECH 104 ZYWIEC WIG , , , ,41284 BEKK-NS 105 ZYWIEC WOLCZANKA , , , ,88153 DVECH Źródło: obliczenia własne. 9

10 Wyróżnione zosały modele, dla kórych kryerium AIC przyjmuje warości minimalne. W osaniej kolumnie abeli. 1. umieszczono informację o opymalnym modelu. Oznaczenie -NS w przypadku modeli klasy BEKK informuje, iż dla danego przypadku uzyskany model nie spełnia warunku sacjonarności macierzy H. Na podsawie orzymanych wyników swierdzić można, iż w zdecydowanej większości (76 przypadków na 105) najlepszym modelem z punku widzenia kryerium AIC okazał się model diagonalny VECH. Uzyskany wynik sugeruje, iż uwzględnienie efeku przenikania koszem zwiększonej liczby paramerów przy ograniczeniach gwaranujących prosoę uzyskania dodaniej określoności macierzy, nie wpływa zazwyczaj na poprawę modelu. Jedynie w 29 przypadkach na 105 kryerium AIC wskazało jako model opymalny jeden z modeli klasy BEKK. W 21 przypadkach z owych 29 wybrane zosały pełne modele BEKK, kóre w zdecydowanej większości (16 przypadków na 21) nie spełniają warunku sacjonarności macierzy wariancjikowariancji. Jedynie w 8 przypadków na 105, opymalne okazały się uproszczone modele BEKK (diagonalne lub skalarne), kóre ylko w 2 przypadkach spełniały warunki sacjonarności. Podsumowanie Uzyskane wyniki, przynajmniej w odniesieniu do modeli dwuwymiarowych, sugerują zwrócenie szczególnej uwagi w zagadnieniach prakycznych na modele diagonalne klasy VECH. Jes o wynik o yle pozyywny, iż modele e sprawiają najmniej prakycznych problemów. Są prose do esymacji, gdyż za modele warunkowej wariancji można przyjąć dowolne jednowymiarowe modle GARCH, co pozwala na esymację dwueapową modelu i jes bardzo korzysne w przypadku krókich szeregów. Ławo zapewnić w ogólności warunki sacjonarności oraz dla przypadku dwuwymiarowego warunki dodaniej określoności modelu. Modele e posiadają również inuicyjną inerpreację paramerów. Powierdzenie przewagi modeli DVECH akże na podsawie kryeriów ekonomicznych w procesie zabezpieczania insrumenu bazowego konrakami fuures z wykorzysaniem zmiennego w czasie współczynnika zabezpieczenia sanowić będzie obszar dalszych prac auora. Lieraura 1. Bauwens L., Lauren S., Rombous J.V.K. (2004). Mulivariae Garch Models: A Survey. Bauwens/Papers/ JAEfinal.pdf 2. Bollerslev., Engle. R., Nelson D. (1994) ARCH Models. W: Handbook of Economerics. Volume IV. Amserdam. Holland. 10

11 3. Bollerslev., Engle R., Wooldridge J. (1988). A Capial Asse Pricing Model wih ime- Varying Covariance., J. of Poliical Economy. Universiy of Chicago Press, vol. 96(1). 4. Engle R., Kroner K., (1995) Mulivariae Simulaneous Generalized Arch. Universiy of California. cieseer.is.psu.edu/engle93mulivariae.hml 5. Gourieroux C. (1997). ARCH Models and Financial Applicaions. Springer. New York. 6. Osińska M. (2006). Ekonomeria finansowa. PWE. Warszawa. 7. Pionek K. (2002). Modelowanie i prognozowanie zmienności insrumenów finansowych. Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu (praca dokorska) 8. Pionek K. (2005). Prognozowanie macierzy kowariancji i korelacji finansowych szeregów czasowych, Modelowanie preferencji a ryzyko, Akademia Ekonomiczna w Kaowicach. (w druku) 9. say R. (2002). Analysis of Financial ime Series. Wiley and Sons. 10. Zahnd E. (2002). he applicaion of mulivariae GARCH models o urbulen financial markes. Universiy of Basel. hp:// Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Praca ma na celu przybliżenie podsawowych wielowymiarowych modeli MGARCH w konekście problemów z ich prakycznym wykorzysaniem. Szczególną uwagę zwrócono na zagadnienie liczby paramerów, warunków gwaranujących dodanią określoność macierzy oraz jej sacjonarność. Omówiono pełen i diagonalny model VECH oraz pełen, diagonalny i skalarny model BEKK. W przykładzie empirycznym analizowano dwuwymiarowe modele MGARCH dla par wybranych szeregów sóp zwrou. Uzyskane wyniki sugerują zwrócenie szczególnej uwagi w zagadnieniach prakycznych na modele diagonalne klasy VECH. Pracical Challenges in Mulivariae GARCH Modelling he aricle presens some informaion abou seleced Mulivariae GARCH Models and challenges in pracical applicaion of hose models. Main aenion is paid here o he following problems: number of parameers o esimae, posiive-definieness and saionariy condiion for covariance marix. Full and diagonal VECH models, as well as full, diagonal and scalar BEKK models, are considered. he resuls obained from he empirical research indicae ha he 2- dimensional diagonal VECH model is opimal for he mos daa- ses. he resuls can be applied o ime-varying hedge raio esimae. 11