MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH

Transkrypt

1 Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wsęp MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Nowoczesne echniki zarządzania ryzykiem rynkowym (ryzykiem zmian cen insrumenów finansowych) bazują przede wszyskim na modelach wywodzących się z eorii procesów sochasycznych. Za pomocą procesów sochasycznych opisuje się zmiany cen insrumenów finansowych (w ym również zmiany poziomu sóp procenowych), bądź sopy zwrou z insrumenów. Możliwe jes również opisywanie bardziej złożonych zależności pomiędzy grupami insrumenów, np. macierzy kowariancji (por. Tsay (00)). Modele e wykorzysuje się nasępnie między innymi w zagadnieniach związanych z analizą porfelową, z wyceną opcji, czy pomiarem ryzyka rynkowego meodą Value a Risk (por. Gourieroux (1997), Tsay (00), Pionek (00)). Wybór modelu zależy od ego jakie obserwowalne w rzeczywisym szeregu czasowym własności powinien on opisywać. Celem niniejszej pracy jes przedsawienie podsawowych echnik opisu efeku dźwigni wysępującego w szeregach sóp zwrou z akcji oraz indeksów akcji. Rozparywane będą jedynie jednorównaniowe modele będące rozszerzeniem klasycznego już modelu GARCH. Niniejsza praca w żaden sposób nie preenduje do przedsawienia całej gamy możliwych rozwiązań. Do analizy wybrano modele najpopularniejsze, kóre częso wykorzysuje się nasępnie do bardziej złożonych zagadnień (pomiar ryzyka, wycena opcji ip.) (por. Pionek (00)). W części empirycznej pracy przedsawiono wykorzysanie modeli z warunkową warością oczekiwana oraz z warunkową wariancją do opisu szeregu sóp zwrou z indeksu WIG. Celem jes odpowiedź na pyanie, kóry z podsawowych, najpopularniejszych modeli najlepiej opisuje własności danych z rynku polskiego. 1. Własności finansowych szeregów czasowych sóp zwrou Dalsza część pracy doyczy jedynie rozwiązań ypowych w analizie szeregów sóp zwrou kursów akcji i indeksów akcji. Tylko w ych szeregach obserwuje się bowiem własność będącą emaem pracy (por. Pionek (00)). 1

2 Badania empiryczne szeregów sóp zwrou akcji i indeksów akcji prowadzą do odrzucenia hipoezy, że ceny ych insrumenów zmieniają się zgodnie z geomerycznym ruchem Browna o sałych paramerach (por. Pionek (00)). W wielu pracach (por. Box, Jenkins (1986), Bollerslev (1986), Tsay (00), Pionek (00), Pionek (003)) przedsawiono wyniki badań empirycznych dla różnych insrumenów, kóre przeczą emu założeniu. Badania e wykazały wysępowanie w szeregach sóp zwrou: efeku skupiania (gromadzenia) zmienności (volailiy clusering), czyli niesałości wariancji 1 sóp zwrou w czasie (por. rys.1.), efeku lepokurozy i grubszych ogonów rozkładów sóp zwrou od rozkładu normalnego (por. rys..), efeku skośności rozkładów sóp zwrou, efeku auokorelacji sóp zwrou (por. rys. 3.), efeku dźwigni czyli asymerycznego wpływu informacji pozyywnych i negaywnych na poziom przyszłej wariancji, efeku długiej pamięci w szeregach zmienności (por. rys. 4.). Rysunki 1-4 prezenują niekóre opisywane własności na podsawie szeregu dziennych, prosych sóp zwrou z indeksu WIG z okresu od (dzień wprowadzenie pięciosesyjnego ygodnia na GPW) do (por. Pionek (00) i Pionek (003)). Rys. 1. Efek gromadzenia zmienności dla indeksu WIG Źródło rys. 1 i : obliczenia własne (por. Pionek(003)). Rys.. Efek grubych ogonów rozkładu sóp zwrou indeksu WIG 1 W ogólności wariancja może w ogóle nie isnieć.

3 Rys. 3. Auokorelacja szeregu sóp zwrou dla indeksu WIG Źródło rys. 3-4 : obliczenia własne (por. Pionek (003)). Rys. 4. Auokorelację kwadraów sóp zwrou dla indeksu WIG W związku z wysępowaniem powyższych własności, niezbędne saje się poszukiwanie modeli bardziej skomplikowanych (niż model geomerycznego ruchu Browna), kóre uwzględniałyby przynajmniej niekóre z efeków. Najpopularniejszym rozwiązaniem są uogólnienia modelu AR-GARCH.. Klasyczny model AR-GARCH Zanim zaprezenowane zosaną najpopularniejsze rozwiązania w zakresie modelowania efeku dźwigni, niezbędne jes wprowadzenie podsawowych wiadomości na ema ogólnej koncepcji opisu szeregów sóp zwrou oraz klasycznego już modelu AR-GARCH. Rozparywany w dalszej części pracy model w czasie dyskrenym opisujący szereg czasowy prosych sóp zwrou dany jes równaniem (por. Pionek (00)): X X 1 r = = µ + ε = µ + h z, (1) X 1 gdzie: X - cena w chwili, µ - warunkowa warość oczekiwana sopy zwrou w chwili, µ E [ r I 1] h - warunkowa wariancja sopy zwrou w chwili, = var [ ], h r I 1 =, z - niezależne (sandaryzowane) reszy modelu o zerowej średniej i jednoskowej wariancji, z = iid D(0,1), I - informacja dosępna w chwili

4 Konsrukcja dobrego modelu szeregu sóp zwrou uwzględniać powinna: wybór posaci funkcji gęsości sandaryzowanych resz modelu modelowanie warunkowej warości oczekiwanej procesu, modelowanie warunkowej wariancji procesu. Wszyskie rzy zagadnienia należy rozparywać łącznie, gdyż wzajemnie wpływają na siebie i wspólnie deerminują własności osaecznego modelu (por. Pionek (003)). Sandaryzowane reszy modelu W podsawowych wersjach modeli zaproponowanych przez Engle a i Bollersleva (por. Bollerslev, Engle, Nelson (1994)) sandaryzowane reszy modelu ( z ): r µ ε z = =, () h h posiadają warunkowy rozkład normalny: z I 1 ~ N( µ, h ), (3) o funkcji gęsości danej znanym wzorem: 1 ε f N ( z ; ε, h, θ ) = exp, (4) π h h gdzie θ o wekor paramerów modelu sóp zwrou dla warunkowej warości oczekiwanej ( µ ) i warunkowej wariancji ( h ) (por. wzór (1) lub ()). Badania empiryczne wykazały, że rzeczywise reszy modelu posiadają rozkłady warunkowe o grubszych ogonach niż rozkład normalny. Zaproponowano więc szereg innowacji w ym zakresie. Najczęściej wykorzysuje się nasępujące rozkłady : uogólniony rozkład błędu (General Error Disribuion, GED), skośny oraz symeryczny rozkład -Sudena oraz rzadziej warości eksremalnych (por. Pionek (00)). Aby zachować koncepcyjną spójność w zakresie modelowania warunkowej warości oczekiwanej oraz warunkowej wariancji z klasycznym modelem AR-GARCH, musi isnieć możliwość skalowania wykorzysywanych rozkładów, ak aby uzyskać zerową średnią i jednoskową wariancję. Warunkowa warość oczekiwana Wprowadzenie do modelu warunkowej warości oczekiwanej umożliwia w prosy i elegancki sposób uwzględnić efek auokorelacji w szeregach sóp zwrou. W przypadku większości szeregów sóp zwrou dla akcji i przede Oprócz rozkładu normalnego, kóry nadal jeszcze dominuje. 4

5 wszyskim indeksów obserwuje się isoną, dodania warość auokorelacji pierwszego rzędu. Znaczące auokorelacje rzędów wyższych od pierwszego wysępują rzadko i najczęściej posiadają znak ujemny (por. Jajuga (000), Tsay (00)). Do opisu obserwowanej auokorelacji szeregów sóp zwrou wykorzysuje się znane procesy z klasy liniowych procesów auoregresji i średniej ruchomej (ARMA) (por. Box, Jenkins (1986), Milo (1990)). Zaznaczyć należy, iż najczęściej sosuje się czyse modele AR(m), gdyż wykorzysuje się w nich zmienne obserwowalne ( r k ), a nie jak w przypadku modeli średniej ruchomej i mieszanych zmienne nieobserwowalne ( ε k ). Zazwyczaj wykorzysuje się proces AR(1), kórego warunkowa warość oczekiwana dana jes wzorem: µ = E r I = µ + ϕ r, (5) [ ] gdzie µ 0, ϕ 1 - paramery modelu. Model en będzie wykorzysany również w części empirycznej do opisu szeregu sóp zwrou z indeksu WIG. Sosowanie modeli wyższych rzędów w przypadku szeregu dla rynku polskiego jes niewskazane (nieisone warości współczynników dla modelu wyższych rzędów niż 1) (por. Pionek (00)). Warunkowa wariancja procesu Z punku widzenia niniejszej pracy zdecydowanie najważniejsze pozosają modele warunkowej wariancji procesu. To właśnie e modele pozwalają opisać najciekawsze efeky obserwowane w szeregach sóp zwrou; gromadzenia zmienności, grubych ogonów rozkładów sóp zwrou, dźwigni i długiej pamięci w szeregach zmienności. Pierwszym modelem uwzględniającym zależność warunkowej wariancji procesu od poprzednich resz modelu był model ARCH (Auoregressive Condiional Heeroskedasic Model) wprowadzony w 198 roku przez Engle a (por. Engle (198), Bollerslev, Engle, Nelson (1994)). Odpowiednie dopasowanie modelu ARCH do danych wymaga jednak uwzględnienia wysokiej warości rzędu modelu, co jes wadą ego rozwiązania. Niedogodności ej pozbawiony jes niewąpliwie najpopularniejszy model (w zakresie opisu warunkowej wariancji procesu) - model GARCH (Generalized ARCH Model), wprowadzony przez Bollersleva (por. Bollerslev (1986)). Model en sanie się bazą do opisu dalszych uogólnień. Równanie warunkowej wariancji w modelu GARCH(p,q) dane jes nasępującą zależnością (por. wzór (1) lub ()): h q p = ω + αiε i + β jh j i= 1 j= 1, (6) 5

6 gdzie ω 0, αk 0, k = 1,,..., q 1 i α q > 0 oraz βk 0, k = 1,,..., p 1i β p > 0. W większości przypadków wysarczające pozosaje wykorzysanie modelu GARCH(1,1) 3 : h = ω + αε 1 + β h 1. (7) Odpowiednie warunki zapewniające isnienie momenów i 4 rzędu dla procesu ε znaleźć można np. w pracy Tsay a (por. Tsay (00)). Powyżej zdefiniowany zosał klasyczny model AR-GARCH. Wzory (1), (5), (7) opisują najpopularniejszy (w zasosowaniach prakycznych) klasyczny model AR(1)-GARCH(1,1). Model en umożliwia opis grubych ogonów rozkładu sóp zwrou, gromadzenia zmienności, auokorelacji sóp zwrou. Nie opisuje jednak efeku dźwigni. Poniżej zaprezenowane zosaną podsawowe modele umożliwiające uchwycenie i ego efeku. Kolejne modele prezenowane będą jako uogólnienia modelu rzędu (1,1). Waro jednak pamięać, iż każdy z ych modeli może być modelem dowolnie wyższego rzędu. Sosowanie modeli wyższych rzędów jes jednak uzasadnione bardzo rzadko. 3. Modelowanie efeku dźwigni Krzywa wpływu informacji Efek dźwigni zdefiniowany zosał jako asymeryczna reakcja w poziomie wariancji sóp zwrou na pojawiające się informacje pozyywne i negaywne. Ujemna korelacja pomiędzy poziomem cen a warunkową wariancją udokumenowana zosała w wielu pracach (por. np. Nelson (1991), Glosen, Jagannahan, Runkle (1993), Engle, Ng (1993)) szczególnie w odniesieniu do szeregów sóp zwrou z akcji i indeksów. Efek en nazywa się efekem dźwigni, gdyż przyjmuje się, że spadek ceny akcji zwiększa dźwignię finansową, powodując wzros ryzyka związanego z inwesycją w akcje analizowanej spółki, co w konsekwencji prowadzi do wzrosu zmienności. Jako drugie, uzupełniające uzasadnienie efeku dźwigni podaję się zazwyczaj isnienie zmiennej w czasie premii za ryzyko. Za łączna miarę informacji docierającej do rynku w chwili uznaje się reszę modelu ε. Dobre wiadomości ( ε > 0 ) skukują poencjalnie wzrosem 4 3 Dla uproszczenia zapisu, w dalszej części pracy, pominięe zosały indeksy przy paramerach α i β. 4 Oczywiście należy uwzględnić również wpływ parameru µ. 6

7 ceny insrumenu (dodania warości sopy zwrou), naomias złe wiadomości ( ε < 0 ), o poencjalny spadek ceny w kolejnym podokresie. Warość ε określa wagę informacji (por. Engle, Ng (1993)). Wygodnym narzędziem opisu w jaki sposób informacja z chwili poprzedzającej wpływa na warunkowa wariancję procesu jes zw. krzywa wpływu informacji (News Impac Curve), kóra jes graficznym obrazem zależności h = f ( ε 1 ). Meoda a wprowadzona zosała przez Pagana i Schwera w 1990 roku (por. Pagan, Schwer (1990)), a nasępnie spopularyzowana przez Engle a i Ng (por. Engle, Ng (1993)). Ideę ego podejścia najławiej przedsawić na przykładzie modelu GARCH(1,1). Warunkowa wariancja w chwili procesu zależy od informacji (zaburzenia) z chwili -1 poprzez zależność h = f ( ε 1) = A + α1ε 1, gdzie A = ω + β1h 1. Funkcja ( ) f ε opisuje właśnie krzywą wpływu informacji. Jak ławo 1 zauważyć, dla modeli GARCH, krzywa a opisywana jes przez funkcję symeryczną względem ( ε 1 = 0 ) o kszałcie paraboli. Pozyywne i negaywne informacje mają aki sam wpływ na warunkową wariancję. Model GARCH nie pozwala więc na uwzględnienie efeku dźwigni. Uogólnienia modelu GARCH prowadzące do możliwości opisu efeku f ε. dźwigni sprowadzają się do odmiennego zdefiniowania funkcji ( ) Uzyskuje się o poprzez odpowiednią modyfikację kszału lub położenia krzywej wpływu informacji. Poniżej zaprezenowane zosaną najpopularniejsze propozycje. Także w ym przypadku, rozróżnienia własności modeli najprościej dokonać poprzez analizę krzywej wpływu informacji. Efek asymerycznego wpływu informacji można uzyskać poprzez: przesunięcie symerycznej krzywej wpływu informacji ak, by minimum funkcji nie wypadało dla ε 1 = 0, f ε dla ε 1 = 0, ale wprowadzenie zagwaranowanie minimum funkcji ( ) 1 asymerii w nachyleniu obu ramion krzywej. Modele z przesunięciem krzywej wpływu informacji Podsawowym modelem, w kórym opis efeku dźwigni uzyskuje się poprzez przesunięcie symerycznej krzywej wpływu informacji jes model AGARCH (Asymmeric GARCH) 5, kórego warunkowa wariancja zadana jes w przypadku modelu rzędu (1,1) nasępującym równaniem: 1 5 Model en znany jes również zamiennie jako model QGARCH (Quadraic GARCH). 7

8 h ( ) = ω + α ε κ + β h. (8) 1 1 Funkcja wpływu informacji dana jes dla ego modelu nasępującym wzorem: h ( ε ) A α ( ε κ ) = +. (9) 1 1 Dla κ > 0 uzyskuje się model, w kórym krzywa wpływu informacji przesunięa jes w prawo, co pozwala uchwycić silniejszy wpływ informacji złych niż dobrych (o ej samej ważności) na kolejną warość warunkowej wariancji. Rys. 5. prezenuje krzywą wpływu informacji w modelu AGARCH dla różnych warości parameru κ. Modele z asymeryczną krzywą wpływu informacji Odmiennym podejściem jes wykorzysanie asymerycznej krzywej wpływu informacji, kóra jednak posiada swoje minimum dla ε 1 = 0. W podejściu ym narzuca się warunek, że lewe ramię krzywej ma rosnąć szybciej niż prawe, czyli f ( x) > f ( x) dla x > 0. Najpopularniejszymi rozwiązaniami w ym zakresie są modele GJR-GARCH (por. Glosen, Jagannahan, Runkle (1993)), Pionek (00) oraz EGARCH (Exponenial GARCH) (por. Nelson (1991), Pionek (00)). W modelu GJR-GARCH każde z ramion jes opisane przez połówkę paraboli o różnym nachyleniu, a w modelu EGARCH ramiona opisują funkcje wykładnicze. Poniżej przedsawione zosały posaci modeli oraz przykładowe kszały funkcji wpływu informacji. W modelu GJR-GARCH(1,1) warunkowa wariancja zadana jes nasępującym wzorem: h = ω + ( α + α I( ) ) ε β h ε +, (10) < gdzie: 1; gdy p = prawda I( p) =. 0; gdy p = fałsz Model en posiada nasępującą funkcje wpływu informacji: A + αε 1; ε 1 0 h ( ε 1) =. (11) A + ( α + α ) ε 1; ε 1 < 0 Dodanie, isone od zera warości parameru α świadczą o wysępowaniu w szeregu sóp zwrou efeku dźwigni. Im wyższa warość parameru, ym silniejszy efek dźwigni. Rysunek 6. Prezenuje odpowiednie dla ego modelu krzywe wpływu informacji dla różnych warości parameru α. 8

9 Warunkowa wariancja w modelu EGARCH(1,1) 6 zadana jes naomias poprzez równanie: ε 1 ε 1 ln h = ω + αa + αb + β ln h 1, (1) h h π 1 1 co definiuje funkcję wpływu informacji w posaci: ε 1 A'exp ( αa + αb ) ; ε 1 0 h 1 h ( ε 1) =, (13) ε 1 A'exp ( αa αb ) ; ε 1 < 0 h 1 gdzie: A' = h β 1 exp ω α1 π W modelu ym paramer α odpowiedzialny jes za uwzględnienie efeku znaku a reszy ε 1 (informacja negaywna lub pozyywna), naomias αb odpowiada za uwzględnienie ważności informacji. Ujemna warość α a umożliwia opis efeku dźwigni. Poprzez zasosowanie we wzorze (1) przekszałcenia logarymicznego, zagwaranowana jes dodaniość warunkowej wariancji niezależnie od warości i znaków paramerów modelu. Brak resrykcji jes zaleą ego modelu. Wadą naomias modelu jes znacznie bardziej skomplikowana posać wzorów na bezwarunkową warość wariancji procesu oraz wzorów prognoz kolejnych warości wariancji niż w modelu GJR-GARCH (por. np. Pionek (00)). Większe problemy esymacyjne wpływają również na mniejszą popularność modelu EGARCH. Rysunek 7. prezenuje odpowiednie krzywe wpływu informacji dla ego modelu. 6 Model EGARCH jes modelem, kórego posać zależy od przyjęego rozkładu warunkowego błędu modelu, czyli rozkładu z (por. Pionek (00)). Wzory (1) i (13) prawdziwe są ylko dla warunkowego rozkładu normalnego. 9

10 Rys. 5. Krzywe wpływu informacji dla modelu AGARCH Rys. 6. Krzywe wpływu informacji dla modelu GJR-GARCH Rys. 7. Krzywe wpływu informacji dla modelu EGARCH Źródło rys. 5-7: opracowanie własne (por. Pionek (00)). Model ogólny Zaprezenowane powyżej rzy modele nie wyczerpują zbioru proponowanych w lieraurze rozwiązań. Są o jednak najczęściej spoykane podejścia. Bardzo szeroką klasę modeli (w ym modele zaprezenowane powyżej) zawiera model o posaci zaproponowanej przez Henschela w 1995 roku (por. Henschel (1995)): λ λ λ ν ω αh 1 g ( z ) h β 1 h 1 1 = + +, λ λ (14) gdzie: g z = z b c z b. (15) ( ) ( ) 10

11 Model en umożliwia jednoczesne ujęcie przesunięcia krzywej wpływu informacji oraz asymerii w kszałcie krzywej. Zawiera on oczywiście w sobie również klasyczny model GARCH. Dodakowo model en umożliwia opis nie ylko warunkowej wariancji ( h ), ale również dowolnych innych warości ( h λ ) w zależności od przyjęej lub wysymowanej warości parameru λ. Przyjęcie warości λ=1 prowadzi do modelu TARCH (Threshold GARCH), kórego posać jes analogiczna jak dla modelu GJR-GARCH, ylko opisowi podlega nie warunkowa wariancja, lecz warunkowe odchylenie sandardowe (por. Pionek (00)). Model en nie jes szerzej rozparywany, ponieważ badania dla rynku polskiego dowodzą, iż paramer λ ma warość ponad 1,8. Znacznie lepszym modelem ej klasy jes więc model GJR-GARCH z paramerem λ= (por. wyniki w przykładzie empirycznym na końcu pracy). Model Henschela w swojej ogólnej posaci jes używany wyjąkowo rzadko. W poniższej pracy pominięa zosała całkowicie analiza efeku długiej pamięci w szeregu zmienności sóp zwrou z indeksu WIG. Wyniki badań doyczące modeli klasy FIGARCH (Fracionally Inegraed GARCH) odnośnie rynku polskiego znaleźć można w pracy Pionka (por. Pionek (003)). 4. Przekład empiryczny Celem przykładu empirycznego jes odpowiedź na pyanie, kóry z modeli podsawowych ujmujących efek dźwigni (wzory (8), (10), (1)) najlepiej opisuje szereg sóp zwrou z indeksu WIG. Próbę do badań sanowił szereg prosych, dziennych sóp zwrou z indeksu WIG liczonych według cen zamknięcia rynku w kolejnych dniach sesyjnych. Łączna długość szeregu o 36 obserwacji (od r. do r.). Esymacji paramerów analizowanych procesów dokonano za pomocą auorskich procedur napisanych w środowisku MATLAB 6.0. Do wyboru opymalnej posaci modelu wykorzysano kryerium Akaike a: LLF (liczba paramerów modelu) AIC = +, (16) liczba obserwacji gdzie LLF o logarym funkcji największej wiarygodności maksymalizowany w procesie esymacji paramerów. Tabela 1 prezenuje uzyskane przez auora wyniki dopasowania poszczególnych modeli do szeregu sóp zwrou z indeksu WIG. 11

12 Tabela. 1. Wyniki dopasowania dla różnych modeli Model (rozkł. norm.) LLF liczba paramerów kryerium AIC AR 634,38 3-5,7636 GARCH 6449,46 4-5,45763 AR-GARCH 6477,14 5-5,480 AR-AGARCH 6479,59 6-5,48145 AR-GJR-GARCH 6481,8 6-5,4888 AR-EGARCH 6476,3 6-5,4786 AR-TARCH 6476,68 7-5,47814 Źródło: obliczenia własne. Powyższe wyniki obrazują, że najlepszym modelem do opisu własności szeregu sóp zwrou z indeksu WIG jes w ym przypadku model AR-GJR- GARCH o funkcji wpływu informacji zadanej przez połówki paraboli o różnym nachyleniu ramion. Co wyjąkowo ciekawe bardzo źle wypadł model AR- EGARCH, kóry według kryerium AIC jes gorszy nawe od modelu AR- GARCH (kóry nie uwzględnia asymerii). Jedynym uzasadnieniem ego faku jes o, że widać rzeczywisa krzywa wpływu informacji wysępująca na rynku swoim kszałem znacznie bardziej przypomina złożenie funkcji parabolicznych niż wykładniczych. Także model AR-TARCH gorzej dopasowuje się do danych z rynku polskiego niż model AR-GJR-GARCH, co jes powierdzeniem, faku, ze paramer λ z wzoru (14) ma warość znacznie bliższą warości niż 1. Tabela. prezenuje wyesymowane warości paramerów modelu wraz z oceną ich isoności. Jak ławo zauważyć wszyskie paramery poza µ są isone przy poziomie 0,05. Tabela. Paramery modelu AR-GJR-GARCH Paramer waroś ć saysyka µ 3,815e-4 1,35 ϕ 0,164 7,814 ϕ 1,16e-5 5,840 α 0,0865 6,09 α - 0,0567 3,61 β 0, ,87 Źródło: obliczenia własne. Analizę jakości modelu przeprowadza się również odnośnie własności szeregu resz modelu. Wybrany model usuwa z szeregu resz efek auokorelacji 1

13 oraz auokorelacji kwadraów resz. Zmniejsza również grubość ogonów (por. rys. i rys. 9). Rys. 8. Hisogram resz modelu AR-GJR- GARCH z rozkładem normalnym Źródło rys. 8-9: obliczenia własne. Rys. 9. Wykres kwany-kwanyl dla resz modelu w porównaniu z rozkł. normalnym Z rysunków 8 i 9. wynika jednak jednoznacznie, że kolejnym krokiem do poprawienia własności modelu powinno być zasosowanie warunkowego rozkładu resz modelu o grubszych ogonach niż rozkład normalny, np. rozkładu -Sudena. Rysunki odnośnie efeków auokorelacji resz i ich kwadraów zosały pominięe ze względu na ograniczony rozmiar pracy Model AR-GJR-GARCH, po wyesymowaniu paramerów może być przydany w prognozowaniu zmienności, wycenie opcji, czy pomiarze ryzyka meodą Value a Risk (por. Pionek (003)). Lieraura T. Bollerslev, Generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 31, 1986, sr T. Bollerslev, R. Engle, D. Nelson, ARCH models (w: Engle, MacFadden, Handbook of economerics). Norh-Holland, Amserdam, 1994 G. Box, J. Jenkins, Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i serowanie. Pańswowe Wydawnicwo Naukowe, Warszawa, 1986 R. Engle, Auoregressive condiional heeroskedasiciy wih esimaes of he variance of UK inflaion, Economerica, 50, 198, sr R. Engle, V. Ng, Measuring and esing he impac of news on volailiy, Journal of Finance, 48, 1993, sr

14 L. Glosen, R. Jagannahan, D. Runkle, On he relaion beween he expeced value and he volailiy of he nominal excess reurn on socks, Journal of Finance,48, 1993, sr C. Gourieroux, ARCH Models and Financial Applicaions, Springer Verlag, New York, 1997 L. Henschel, All in he family. Nesing symmeric and asymmeric GARCH models, Journal of Financial Economics, 39, 1995, sr K. Jajuga, Meody ekonomeryczne i saysyczne a analizie rynku kapiałowego, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław (pod red.), 000 W. Milo, Szeregi czasowe. Pańswowe Wydawnicwo Ekonomiczne, Warszawa, 1990 D. Nelson, Condiional heeroskedasiciy in asses reurns: A new approach, Economerica, 59(), 1991, sr K. Pionek, Modelowanie i prognozowanie zmienności insrumenów finansowych. Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu. Wrocław (rozprawa dokorska), 00 K. Pionek, Modelowanie długiej pamięci w szeregach zmienności sóp zwrou. Konferencja Modelowanie Preferencji a Ryzyko (w druku),. Usroń, 003 R. Tsay, Analysis of Financial Time Series. Wiley and Sons. Chicago, 00 14