Heteroskedastyczność szeregu stóp zwrotu a koncepcja pomiaru ryzyka metodą VaR

Transkrypt

1 Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Heeroskedasyczność szeregu sóp zwrou a koncepcja pomiaru ryzyka meodą VaR Wsęp Spośród wielu rodzajów ryzyka na rynkach finansowych [6], szczególną uwagę zwrócono na ryzyko rynkowe. Jedną z grup meod pomiaru ryzyka rynkowego sanowią miary zagrożenia (downside risk measures) [7], z kórych najpopularniejszą miarą pozosaje Value A Risk (VaR). U podsaw rozważań o miarach zagrożenia znajduje się dyskusja o rozkładach sóp zwrou oraz o dynamicznych modelach opisujących zmianę ceny insrumenu finansowego. Sandardowe modele zakładają, że procesem kszałującym zmiany cen insrumenów bazowych jes geomeryczny proces Browna ze sałymi paramerami dryfu oraz zmienności. Model en zakłada że rozkład sop zwrou jes rozkładem normalnym, jednak badania empiryczne wykazały wysępowanie na rynkach finansowych: efeku skupiania danych, grubych ogonów rozkładów, skośności rozkładu, długoerminowej zależności danych, auokorelacji sóp zwrou. Niezbędne sało się więc poszukiwanie modeli lepiej opisujących rynek, kóre można by wykorzysać w wyznaczaniu miary VaR. W niniejszej pracy jako poencjalne modele umożliwiające wyznaczenie warości VaR przyjęe zosały modele zawierające się w klasie AR(1)-GARCH(1,1). Procesy e umożliwiają modelowanie szeregów z auokorelacją oraz zmienną wariancją sóp zwrou. Dokonano weryfikacji przydaności poszczególnych modeli dla danych z Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie. Analizowanym szeregiem czasowym były dzienne logarymiczne sopy zwrou z indeksu WIG.

2 1. Analizowane modele finansowych szeregów czasowych Rozważania o pomiarze ryzyka rynkowego meodą VaR rozpocząć należy od wyboru i uzasadnienia modeli dynamiki sóp zwrou. O ile odpowiednie esy wykażą wysępowanie auokorelacji sóp zwrou, niezbędne wydaje się zasosowanie procesów auoregresji, a o ile odpowiednie esy powierdzą wysępowanie zmiennej w czasie wariancji (heeroskedasyczności), rozwiązaniem może być zasosowanie modeli klasy ARCH lub GARCH wprowadzonych przez Engla [4] i Bollersleva []. Próbę do badań sanowiły dzienne sopy zwrou z indeksu WIG. Indeks WIG wybrany zosał do badań ze względu na o, że jes o jeden z najdłuższych dosępnych szeregów czasowych dziennych sóp zwrou na rynku polskim. Próba rozpoczyna się (dzień wprowadzenia pięciosesyjnego ygodnia na GPW) a kończy Łączna długość szeregu wynosi 1750 obserwacji. Zosał on podzielony na próbę uczącą o długości 1000 obserwacji, kóra posłużyła do uzasadnienia wyboru odpowiednich modeli i ich kalibracji oraz na próbę esową o długości 750 obserwacji, na kórej dokonano weryfikacji przydaności poszczególnych modeli do wyznaczania miary VaR. Na próbie uczącej dokonano uzasadnienia wykorzysania modeli auregresyjnych oraz heeroskedasycznych. Isoność auokorelacji rzędu pierwszego sóp zwrou zbadano przy pomocy esu isoności współczynnika korelacji [16]. Weryfikacji podlegała hipoeza H 0 :[ ρ = 0 ] wobec hipoezy alernaywnej H 1 :[ ρ 0 ] dla τ = 1. τ τ I τ = ˆ ρ τ n τ 1 ˆ ρ τ (1) gdzie n - długość analizowanego szeregu, ρˆ τ - oszacowanie współczynnika auokorelacji rzędu τ. W przypadku prawdziwości H 0, saysyka I τ ma rozkład -Sudena z ( n τ ) sopniami swobody.

3 Dla próbki uczącej o długości n=1000, uzyskano ˆ1 ρ = 0, 14, co daje warość saysyki I 1 = 6, 949. Dla poziomu isoności 0,05 warość kryyczna wyznaczona z rozkładu -Sudena wynosi 1,963, hipoezę H 0 odrzucamy na rzecz hipoezy alernaywnej H 1 ; współczynnik auokorelacji rzędu pierwszego jes isony. Isoność pozosałych auokorelacji zbadano łącznie wykorzysując es Q Ljunga-Boxa-Pierce'a [3]. Z szeregu sóp zwrou usunięo auokorelację rzędu pierwszego i dla ak uzyskanego nowego szeregu zbadano isoność pierwszych 15 auokorelacji. Warość saysyki Q=14,53, co wobec warości kryycznej esu odczyanej z rozkładu χ (dla poziomu isoności 0.05 oraz ilości sopni swobody równej 15) wynoszącej 4,996 pozwala swierdzić, że brak jes podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej o nieisoności obserwowanych auokorelacji. Pozwala o skupić nasze rozważania na modelach auoregresyjnych o rzędzie auoregresji nie większym niż 1. Wysępowanie efeku ARCH można zbadać przy pomocy esu zaproponowanego przez Engle'a [4].Tes polega na sprawdzeniu, czy składnik losowy ma sała wariancję wobec alernaywy, że wariancja zmienia się. Sprawdzianem efeku ARCH(p) jes saysyka TR o rozkładzie χ oraz p sopniach swobody (T - liczba obserwacji, R - współczynnik deerminacji równania auoregresji kwadraów resz modelu). Tes efeku GARCH(p,q) jes równoważny esowi ARCH(p+q). Dla naszej próbki uczącej uzyskano dla esu efeku ARCH(5) TR =161, 9 oraz warość kryyczną esu dla 5 sopni swobody i poziomu isoności 0,05 równą 11,07. Isnieją więc podsawy do odrzucenia hipoezy zerowej o braku heeroskedasyczności w analizowanym szeregu czasowym. Uzasadnieniem sosowania modeli heeroskedasycznych jes również zaprezenowana na rys.. silna auokorelacja kwadraów sóp zwrou. Dla pierwszych 15 warości auokorelacji warość Q esu wynosi 401,6 a warość kryyczna esu dla poziomu isoności 0,05 wynosi 4,99, co jes również powierdzeniem efeku ARCH.

4 Rys. 1 przedsawia auokorelację sóp zwrou w próbce "uczącej". Źródło - obliczenia własne. Rys. przedsawia auokorelację kwadraów sop zwrou w próbce "uczącej" W związku z wykazanymi właściwościami analizowanego szeregu sóp zwrou w dalszej części pracy rozparywane będą modele zagnieżdżone w modelu AR(1)-GARCH(1,1) danym równaniami: r = µ + ϕ 1 + ε () r ε = h η (3) h ϖ αε βh (4) = η ~ N(0,1) (5) Tak zdefiniowany model zakłada, że warunkowa warość oczekiwana sóp zwrou wynosi m µ + ϕr 1 (6), = a warunkowa wariancja zadana jes równaniem (4). Spośród rożnych dosępnych w ramach wzorów ()-(5) modeli do analiz wybrano nasępujące modele: Model Resrykcje AR(0)-GARCH(0,0) ϕ = α = β = 0 AR(1)-GARCH(0,0) α = β = 0 AR(0)-GARCH(1,1) ϕ = 0 AR(1)-GARCH(1,1) Brak

5 Wybór ych modeli, a akże ograniczenie się do odpowiednio niskich rzędów modeli podykowany był zby krókim szeregiem czasowym, by esymować bardziej skomplikowane modele. Dopasowanie modeli do danych zbadano poprzez analizę logarymu funkcji wiarygodności. Przykład esymacji paramerów modelu GARH(1,1) dla indeksu WIG można znaleźć np. w pracy [15] Model Resrykcje Logarym funkcji wiarygodności AR(0)-GARCH(0,0) ϕ = α = β = 0 474,7983 AR(1)-GARCH(0,0) α = β = 0 498,8841 AR(0)-GARCH(1,1) ϕ = 0 603,8038 AR(1)-GARCH(1,1) Brak 636,6637 Źródło - obliczenia własne. Ze względu na fak, że rozparywane modele zawierają się w sobie, do wyboru modelu, kóry najlepiej nadaje się do modelowania zadanego szeregu zasosowano es opary na warościach funkcji wiarygodności (Likelihood Raio Tes) dany nasępującą saysyką LRT = ( LLF 1 LLF ) (7), 0 gdzie: LLF 1 - warość logarymu funkcji największej wiarygodności dla modelu z mniejszą liczbą resrykcji, LLF 0 - warość logarymu funkcji największej wiarygodności dla modelu z większą liczbą resrykcji. Saysyka LRT ma rozkład χ z ilością sopni swobody równą różnicy w liczbie resrykcji. Model z większą Model z mniejszą Saysyka LTR Warość kryyczna liczbą resrykci liczbą resrykcji esu AR(0)-GARCH(0,0) AR(1)-GARCH(0,0) 48,171 3,841 AR(0)-GARCH(0,0) AR(0)-GARCH(1,1) 58,01 5,981 AR(0)-GARCH(0,0) AR(1)-GARCH(1,1) 33,73 7,81 AR(1)-GARCH(0,0) AR(1)-GARCH(1,1) 75,599 5,991 AR(0)-GARCH(1,1) AR(1)-GARCH(1,1) 65,70 3,841 Źródło - opracowanie własne

6 We wszyskich zesawieniach es wykazał, że model z większą ilością paramerów w lepszy sposób modeluje zrealizowane sopy zwrou. Ponieważ modele AR(1)-GARCH(0,0) oraz AR(0)-GARCH(1,1) nie zawierają się w sobie do ich oceny wykorzysano kryerium Akaike'a (AIC) [3]. Model Warość AIC AR(1)-GARCH(0,0) -4991,76819 AR(0)-GARCH(1,1) -5199,6076 Źródło - obliczenia własne. Kryerium Akaike'a preferuje model AR(0)-GARCH(1,1). Na podsawie powyższych analiz można powiedzieć, że najlepszym spośród analizowanych modeli (pod względem dopasowania do danych) jes model AR(1)-GARCH(1,1), a najgorszym model AR(0)-GARCH(0,0) odpowiadający klasycznemu ruchowi Browna dla czasu dyskrenego. W dalszej części pracy przedsawiona zosanie meoda wykorzysania zdefiniowanych modeli do pomiaru VaR oraz weryfikacja uzyskanych na ej podsawie wyników.. Pomiar ryzyka meodą VaR Warość narażona na ryzyko (warość zagrożona, Value a Risk - VaR) o maksymalna kwoa, jaką można sracić w wyniku inwesycji w porfel o określonym horyzoncie czasowym i przy założonym poziomie olerancji [1][10]. Powyższą definicję można zapisać w posaci: ( W W VaR) = α P 0 (8) gdzie: W 0 - obecna warość insrumenu, W - warość insrumenu na końcu okresu, α - poziom olerancji. Nie znając warości porfela W 0, nie zmniejszając ogólności rozważań, powyższą zależność można zapisać wykorzysując pojęcie sopy zwrou:

7 ( r F 1 ( α ) = α P co oznacza, że prawdopodobieńswo, że sopa zwrou w danym horyzoncie czasu nie przekroczy warości równej odpowiedniemu kwanylowi rozkładu sóp 1 zwrou F ( α ) (9),, wynosi α. Podejście o wywodzi się ze saycznego zarządzania ryzykiem (saic risk managemen), w kórym analizujemy jedynie bezwarunkowy rozkład sóp zwrou. Z akim podejściem konrasuje dynamiczne zarządzanie ryzykiem (dynamic risk managemen), pozwalające uchwycić akie zależności jak auokorelacje sóp zwrou i gromadzenie zmienności. Dla wersji dynamicznej zależność (9) przyjmuje posać: P 1 ( r m + h F ( α) ) α η = (10) gdzie: m -warunkowa oczekiwana sopa zwrou dla horyzonu w kórym liczymy VaR, h - warunkowa oczekiwana wariancja dla horyzonu, w kórym liczymy VaR, F 1 η ( α ) - kwanyl odpowiadający prawdopodobieńswu α dla warunkowego rozkładu zdefiniowanego wzorem (5). Ponieważ w analizowanym przypadku rozkład warunkowy zadany wzorem (5) jes rozkładem N(0,1), wiec dla sandardowych poziomów olerancji 0,05 oraz 0,01 uzyskujemy nasępujące 1 1 warości kwanyli: F ( 0,05) 1, 65 oraz ( 0,01), 33 η = F =. Poniżej, na rys. 3., przedsawiono liczbę oraz rozmieszczenie w czasie przekroczeń dziennej warości VaR dla poszczególnych modeli dla poziomu olerancji 0,05. Badanie przeprowadzono na próbce esowej o długości 750 sóp zwrou. Każdorazowo dokonywano ponownej esymacji modelu na podsawie osanich 1000 obserwacji, wyznaczano warunkową wariancję oraz warunkową oczekiwaną sopę zwrou, a nasępnie sprawdzano, czy ( r m h ) η. Jeśli ak, o w danym dniu sraa przekraczała VaR. Jedynie dla modelu AR(0)-

8 GARCH(0,0) prognoza sopy zwrou w kolejnym dniu oraz prognoza odchylenia sandardowego dokonywana była na podsawie osanich 150 obserwacji 1. Przekroczenie przez sraę warości VaR przedsawione zosało na poniższych rysunkach przez pionowy prążek. Rys. 3. Przekroczenia VaR. Źródło - obliczenia własne. 3 Tesowanie wseczne modelu Tesowanie wseczne modelu (backesing) [10][6][1] jes niezbędną procedurą, aby swierdzić, czy można sosować dany model. Tesu dokonuje jednoska, kóra wdraża dany model. Od wyniku esu zależy również odpowiedni mnożnik przy obliczaniu minimalnych wymogów kapiałowych dla banków zgodnie z rozporządzeniami Komieu Bazylejskiego. Insyucja 1 Okno o szerokości 150 obserwacji dobrane zosało eksperymenalnie, aby dla próbki uczącej orzymać jak najlepsze oszacowanie VaR.

9 wdrażająca swój wewnęrzny sysem VaR zaineresowana powinna więc być akim wyborem modelu, aby sprawdzał się jak najlepiej. Odpowiedzi na pyania, czy dany model w sposób wysarczająco dobrze mierzy ryzyko udzielają odpowiednie esy. Najprosszym esem jes es ilości przekroczeń (failure es) [5]. Dla danej wielkości próby eoreyczna liczba przekroczeń N ma rozkład dwumianowy. Odpowiednią saysykę esową zaproponował w 1995 roku Kupiec. Ma ona posać: T N N [( 1 p) p ] T N N N N LRuc = ln + ln 1 (11) T T gdzie: N - ilość przekroczeń VaR, T- długość próby esowej, p - poziom olerancji VaR przyjęy w modelu. Saysyka LR uc ma rozkład χ z jednym sopniem swobody. Dla T=750, poziomu olerancji VaR 0,05 oraz poziomu isoności esu 0.05, ilość przekroczeń wyznaczająca obszar niekryyczny (przyjęcia hipoezy o poprawności modelu) wynosi 7 N 49 wobec warości oczekiwanej ilości przekroczeń wynoszącej 37,5. Tes ilości przekroczeń nie jes jedynym esem, kóremu należy poddać weryfikowany model. Trudno zgodzić się, że model jes poprawny jeśli rzeczywiście w ciągu 750 esowanych dni, liczba przekroczeń wynosi 37, ale 15 przekroczeń wysąpiło w ciągu osaniego miesiąca. Do esu na ilość przekroczeń należy dołączyć es, czy przekroczenia są niezależne w czasie. Opracowano różne akie esy, ale największą popularność zdobył es niezależności przekroczeń Kupca LR ind [5] opary na dwóch esach - eście do pierwszego przekroczenia (Time unil Firs Failure Tes) [5] oraz eście czasu pomiędzy kolejnymi przekroczeniami (Time beween Failures Tes) [5] dany wzorem (1): LR ind p(1 p) = ln pˆ 1(1 pˆ ν 1 1 ν1 1 1) + N i= p(1 p) ln pˆ i(1 pˆ i) ν 1 i ν 1 i (1),

10 gdzie: ν 1 - czas w dniach do pierwszego przekroczenia, ν i - czas pomiędzy (i-1)-ym i i-ym przekroczeniem, 1 pˆ i = (13) ν Saysyka i LR ind ma rozkład χ z N sopniami swobody. Ponieważ saysyki LRuc oraz LR ind są niezależne, zaproponowano es mieszany przekroczeniami: LR mix uwzględniający zarówno ilość przekroczeń oraz czas pomiędzy mix = LRuc + LRind ~ N +1 LR χ (14) Poniżej przedsawiono wyniki esów dla poszczególnych modeli przy założeniu, że hipoezy esowana są dla poziomu isoności 0,05. AR(0)-GARCH(0,0) AR(1)-GARCH(0,0) AR(0)-GARCH(1,1) AR(1)-GARCH(1,1) LR CV LR CV LR CV LR CV LR uc 0,179 3,8415 3,4148 3,8415 0,0639 3,8415 0,0070 3,8415 LR ind 59,684 49,80 5,6 40,113 8,199 50,998 33,609 53,384 LR mix 59,864 50,998 55,641 41,337 8,63 5,19 33,616 54,384 źródło - obliczenia własne gdzie: LR - uzyskana warość saysyki esowej dla danego modelu, CV - warość kryyczna esu dla poziomu isoności 0,05. Zaznaczone zosały esy, sanowiące podsawę do odrzucenia hipoezy o poprawności modelu. Podsumowanie Na podsawie uzyskanych wyników można swierdzić, że dla żadnego modelu nie ma podsaw do odrzucenia go ze względu na ilość przekroczeń,

11 jednak esy niezależności nakazują odrzucenie modeli nie uwzględniających efeku GARCH. Analogiczne badania można przeprowadzić dla poziomu olerancji przy wyznaczaniu miary VaR na poziomie 0,01. Także w ym przypadku esy niezależności przekroczeń odrzucają modele bez heeroskedasyczności, lecz ze względu na niewielką długość szeregu esowego i niewielka liczbę przekroczeń należy formułować wnioski bardziej osrożnie. W wielu przypadkach szczególnie dla poziomu olerancji 0,01 miara VaR niedoszacowuje w sposób sysemayczny ryzyka i liczba pojawiających się przekroczeń jes większa od oczekiwanej. Dobre efeky uzyskuje się wedy sosując rozkład warunkowy o grubszych ogonach aniżeli rozkład normalny. Najczęściej sosuje się rozkłady warunkowe -Sudena, General Error Disribuion, α-sabilne lub rozkłady zdarzeń eksremalnych [14]. Poprawę uzyskiwanych wyników uzyskuje się również sosując modele heeroskedasyczne uwzględniające (w przeciwieńswie do modelu GARCH) asymerię informacji, czyli fak, że realizowane jednego dnia dodanie lub ujemne sopy zwrou w różny sposób wpływają na zmiany wariancji w dniu kolejnym [11]. Wyniki badań nad skuecznością sosowania meody VaR dla polskich szeregów czasowych znaleźć można również w pracach [8][9][1][13]. Lieraura [1] P. Bes, Warość narażona na ryzyko, Oficyna Ekonomiczna, Kraków, 000 [] T. Bollerslev, Generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 31, 1986 [3] G. Box, J. Jenkins, Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i serowanie, Pańswowe Wydawnicwo Naukowe, Warszawa, 1983 [4] R. Engle, Auoregressive condiional heeroskedasiciy wih esimaes of he variance of UK inflaion, Economerica, 50, 198

12 [5] M. Haas, New Mehods in Backesing, Financial Engineering Research cener, Bonn, February 001 [6] K. Jajuga, Nowe endencje w zarządzaniu ryzykiem finansowym, Rynek Terminowy 3, 5/1999 [7] K. Jajuga, Miary ryzyka rynkowego - część III. Miary zagrożenia., Rynek Terminowy 8, /000 [8] K. Jajuga, K. Kuziak, D. Papla, Ryzyko wybranych insrumenow polskiego rynku finansowego - cz. I, Rynek Terminowy 10, 4/000 [9] K. Jajuga, K. Kuziak, D. Papla, P. Rokia, Ryzyko wybranych insrumenow polskiego rynku finansowego - cz. II, Rynek Terminowy 11, 1/001 [10] P. Jorion, Value a Risk, nd ediion, McGraw-Hill, 001 [11] J. Knigh, S. Sachell, Forecasing volailiy in he financial markes, Buerworh-Heinemann, 1998 [1] J. Leśkow, S. Iwański, Obliczanie warości narażonej na ryzyko z wykorzysaniem algorymu geneycznego, Rynek Terminowy 1, /001 [13] M. Łach, A. Weron, Skueczność wybranych meod VaR dla danych finansowych z polskiego rynku, Rynek Terminowy 9, 3/000 [14] A. McNeil, R. Frey, Esimaion of Tail-Relaed Risk Measures for Heeroskedasic Financial Time Series: an Exreme Value Approach, Deparmen Mahemaik, ETH Zenrum, Zurich, April 000 [15] K. Pionek, Modelowanie finansowych szeregów czasowych z warunkową wariancją, "Inwesycje finansowe i Ubezpieczenia - endencje świaowe a rynek polski, październik 000, Szklarska Poręba [16] A. Welfe, Ekonomeria, Pańswowe Wydawnicwo Ekonomiczne, Warszawa, 1995