Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR

Transkrypt

1 Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a rynek polski Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Wsęp Konieczność modelowania zmian poziomu sóp procenowych jes zagadnieniem dosrzeganym zarówno przez eoreyków, jak i prakyków rynków finansowych. Znajomość procesu sóp procenowych umożliwia wycenę prosych insrumenów zerokuponowych, insrumenów kuponowych, insrumenów pochodnych na sopy procenowe 1, a akże bywa wykorzysywana w modelach wyceny insrumenów pochodnych na inne insrumeny niż sopy procenowe (akcje, indeksy akcji, waluy, owary ip.), gdy zakłada się że wolna od ryzyka sopa procenowa nie jes sała (por. np. Wilmo (1999)). Prawidłowe określenie i wyznaczenie paramerów modelu sóp procenowych umożliwia uzyskiwanie wyższych dochodów lub skueczniejsze zarządzanie ryzykiem. Celem pracy jes przedsawienie pewnych uogólnień (odnośnie modelowania zmienności procesu) znanej klasy modeli szeregów chwilowej, naychmiasowej sopy procenowej. Uogólnienia e opierają się na podejściu sosowanym zazwyczaj przy opisie szeregów sóp zwrou dla akcji, walu oraz owarów a mianowicie na modelach klasy GARCH (por. Pionek (2002)). W części empirycznej pokazane zosanie wykorzysanie zaprezenowanych modeli do opisu zmian poziomu wybranej dla rynku polskiego sopy procenowej jednomiesięcznej sopy pożyczek międzybankowych WIBOR 1M (Warsaw Inerbank Offered Rae). Celem ej części pracy jes odpowiedź, kóry z zaprezenowa- 1 Jes o używany skró myślowy, gdyż właściwie mówimy o insrumenach pochodnych wysawionych na insrumeny umowy) zależne od poziomu sóp procenowych. 1

2 nych modeli najlepiej opisuje zmienność poziomu sóp procenowych na rynku polskim 2. Praca w żaden sposób nie preenduje do przedsawienia wszyskich możliwości w zakresie opisu zmian sóp procenowych. Skoncenrowano się na modelowaniu zmienności procesu. Wybrano najpopularniejsze podejście w oparciu o modele chwilowej sopy naychmiasowej. Popularność ego rozwiązania wynika z prosoy modelu oraz możliwości sosunkowo ławego uwzględnienia ych modeli w wycenie insrumenów zerokuponowych i pochodnych. 1. Modelowanie sóp procenowych W prakyce wyróżnia się i analizuje czery podsawowe rodzaje sóp procenowych: sopę naychmiasową (spo ineres rae) R(T), sopę erminową (forward ineres rae) F(,T), naychmiasową chwilową sopę procenową (insananeous spo rae) r() oraz chwilową sopę erminową (insananeous forward rae) f(,t). Definicje oraz związki łączące poszczególne sopy procenowe znaleźć można na przykład w pracach Werona i Werona (por. Weron i Weron (1998)), Hulla (por. Hull (1999)) oraz Wilmoa (por. Wilmo (1999)). Modelowanie zmian sóp procenowych rozważa się przede wszyskim w konekście sóp chwilowych (spo lub forward), gdyż pozwala o zasosować do opisu zmian procesów, jak i do wyceny insrumenów dłużnych i insrumenów pochodnych na sopę procenową całego aparau maemaycznego związanego z procesami klasy Iô (por. Musiela i Rukowski (1999)). Ze względu na znacznie ławiejszą aplikację, częściej wykorzysuje się modele chwilowej, naychmiasowej sopy procenowej. Na akim eż podejściu będzie skupiać się uwaga w ej pracy, a w r, dalszej części zaprezenowane zosaną klasyczne i rozszerzone modele sopy ( ) kóra odpowiada oprocenowaniu pożyczki/lokay rozpoczynającej się naychmias i rwającej eoreycznie nieskończenie króki okres [,+d]. W ramach akiego podejścia rozróżnia się zw. modele równowagi (equilibrium models) oraz zw. modele braku arbirażu (no-arbirage models) (por. Hull (1999)). W modelach braku arbirażu, dzisiejsza krzywa dochodowości jes paramerem wejściowym procedury szacowania modelu, przez co krzywa dochodowości modelu dopasowuje się do rzeczywisej krzywej obserwowanej na rynku. Modele równowagi nie dopasowują się auomaycznie do akualnej srukury sóp procenowych (krzywej dochodowości) i odpowiednia krzywa pojawia się dopiero na wyjściu procedury, gdy dla oszacowanych paramerów modelu dokona się wyceny insrumenów zerokuponowych, a nasępnie wyznaczy się odpowiednie sopy w erminie do wykupu. Co ważne, orzymana w en sposób krzywa dochodowości nie musi się zgadzać z akualnie obserwowaną na rynku krzywą dochodowości (por. 2 Uzasadnienie sosowania modeli sopy chwilowej do opisu sopy jednomiesięcznej przedsawione zosanie w dalszej części pracy. 2

3 Wilmo (1998), Hull (1999)). Prezenowane w dalszej części pracy rozszerzenia klasycznego modelu równowagi mogą zosać zaimplemenowane również w modelach braku arbirażu. Podejście o jes jednak znacznie bardziej skomplikowane. Ponieważ cel pracy ograniczony zosał jedynie do opisu zmian poziomu sopy WIBOR dla pożyczek o erminie jednego miesiąca (jednego erminu zapadalności), wykorzysane zosaną modele równowagi. 2. Klasyczny model sóp procenowych Jednoczynnikowy model równowagi dla chwilowej sopy naychmiasowej r() dany jes nasępującym równaniem: dr( ) = m( r) + s( r) db( ) (1) gdzie m(r) i s(r) są funkcjami zmiennego w czasie poziomu sóp procenowych, ale paramery modelu są sałe. Jedynym źródłem losowości jes w ym modelu różniczka procesu Browna - db(). Warość obligacji zerokuponowej w chwili, kóra w chwili T wypłaca jednoskę pieniężną dana jes nasępującym wzorem: T P(, T ) = E exp r(s)ds. (2) ( ) Dla niekórych szczególnych posaci modelu (1) znane są dość prose rozwiązania równania (2) umożliwiające wycenę insrumenów zerokuponowych (por. np. Hull (1999)). Szerokiego przeglądu i porównania modeli naychmiasowej, chwilowej sopy procenowej dokonali w 1992 roku Chan, Karolyi, Longsaff i Sanders (por. Chan, Karolyi, Longsaff i Sanders (1992)). Analizowali oni modele zaware w szerokiej klasie modeli możliwych do opisania poprzez równanie (3) zwane modelem CKLS: ( ) d dr( ) = a + br( ) d + σ r( ) db( ). (3) Posać modelu dana wzorem (3) umożliwia rozparywanie wielu sandardowych, prosych modeli. W ablicy 1. przedsawiono ypowe modele chwilowej sopy procenowej możliwe do orzymania w ramach modelu CKLS ( r = r( ) ). Można zauważyć, że w ogólnej posaci model CLKS umożliwia modelowanie powrou do średniej, a akże zakłada, że zarówno warunkowa warość oczekiwana, jak i warunkowa wariancja może zależeć (lub nie) od warości procesu. W lieraurze rozważa się oczywiście również modele, kóre w ogólności nie zawierają się w modelu CKLS (por. np. Weron i Weron (1998), Hull (1999)). Model z powroem do średniej przedsawiany jes zwykle w posaci: dr = η r r d + σ r db, (4) ( ) d gdzie paramer η określa szybkość powrou do średniej, a r o średni poziom sopy procenowej, do kórego powraca proces. 3

4 Nierudno zauważyć, że pomiędzy paramerami η i r z równania (4) i paramerami a i b z wzoru (4) jes nasępująca zależność: a η = b, r =. (5) b Proces powraca do średniej dla b<0. Założenie, że sopy procenowe powracają do swojego poziomu średniego czynione jes bardzo częso. W dalszej części pracy posługiwać będziemy się posacią (3) modelu CKLS. Tabela 1. Prose modele chwilowej, naychmiasowej sopy procenowej Model Posać Resrykcje 1. Meron dr = ad + σ db b=d=0 2. Vasicek dr = ( a + br) d + σdb d=0 3. CIR-SR 0.5 dr = ( a + br) d + σr db d= Dohan dr = σ rdb a=b=0, d=1 5. Rendleman, Barer dr = ad + σ rdb b=0, d=1 6. Brennan, Schwarz dr = ( a + br) d + σrdb d=1 7. CIR-VR 1.5 dr = σ r db a=b=0, d= CEV d dr = brd + σ r db a=0 Źródło: CKLS (1992). Analizie, analogicznie jak w przypadku modeli cen insrumenów finansowych, poddaje się modele w wersji z czasem dyskrenym. W celu uzyskania modelu z czasem dyskrenym wykorzysuje się zazwyczaj schema Eulera ( r = r( ) ): d r r 1 = a + br 1 + σ r 1z, z ~ D (0,1), (6) gdzie D(0,1), o dowolny rozkład o zerowej średniej i jednoskowej wariancji. Najczęściej sosuje się rozkład normalny. W powyższej dyskreyzacji pominięo dla wygody zapisu sały przyros czasu będący odpowiednikiem czynnika d dla modelu z czasem ciągłym. Nie ma o oczywiście znaczenia dla jakości modelu, modyfikuje jedynie (o czym rzeba pamięać) warości niekórych paramerów. Równanie (6) przedsawiane bywa również częso w posaci: r r = a + br + ε, (7) 1 1 [ ε ] E I = 0, (8) 1 E 2 2 2d ε 1 I 1 = h = σ r 1, (9) gdzie równania (8) i (9) opisują warunkową warość oczekiwana oraz warunkową wariancję reszy modelu ε, a I 1 o informacja dosępna do chwili -1(włącznie). Takie przybliżenie procesy czasu ciągłego dla czasu dyskrenego jes najczęściej rozważane, choć w 1997 roku Nowman wykazał, że lepszą dyskreyzację 4

5 uzyskuje się poprzez dyskreyzację rozwiązania równania różniczkowego, co prowadzi do modelu (por. np. Mendoza (2004)): a b b r = ( e 1) + e r 1 + ε, b (10) gdzie: E ε I = 0 (11) [ ] σ 2b 2d E ε 1 I 1 = h = ( e 1) r 1. (12) 2b W większości prac wykorzysuje się jednak wzory (7), (8) i (9) powsałe z zasosowania schemau Eulera do równania (3). Takie eż podejście wykorzysane zosanie w dalszej części pracy. Paramery modelu esymuje się zazwyczaj meodą największej wiarygodności zakładając pewien rozkład resz modelu oraz ich niezależność, bądź meodą uogólnionych momenów zaproponowaną przez Hansena w 1982 roku (por. Chan, Karolyi, Longsaff i Sanders (1992), Mc Manus, Wa (1999)). Jako przybliżenie chwilowej naychmiasowej sopy niezbędnej do oszacowania paramerów modelu, sosuje się sopy w erminie do wykupu bonów skarbowych o erminie nie dłuższym niż rzy miesiące lub noowania oprocenowana loka/pożyczek z rynku międzybankowego. Im dłuższy ermin do wykupu wykorzysanych insrumenów, ym większy błąd przybliżenia, gdyż esymacji modelu nieobserwowalnej chwilowej sopy naychmiasowej dokonuje się na podsawie sóp zwrou z insrumenów o znacznie dłuższych erminach wykupu. Rozważania na ema wpływu ego przybliżenia znaleźć można w pracy Mc Manusa i Waa (por. Mc Manus i Wa (1999)). Wykazali oni, że wykorzysanie noowań insrumenów nawe o erminie zapadalności równym 3 miesiące nie wprowadza znaczącego błędu oszacowania modelu naychmiasowej sopy procenowej. Na dane zagadnienie można parzeć więc z dwóch sron. Bądź o do esymacji paramerów modelu chwilowej sopy procenowej używać szeregów np. sóp jednomiesięcznych z rynku międzybankowego, lub do opisu zmian sóp z rynku międzybankowego sosować modele sopy chwilowej. Zależy do oczywiście od celu analizy. Kluczowym paramerem w obu przypadkach jes paramer d odpowiadający w modelu za opis zmienności sóp procenowych (por. wzór (9)). W przeprowadzonych badaniach empirycznych dla rynku amerykańskiego Chan, Karolyi, Longsaff i Sanders powierdzili, że najważniejszym paramerem deerminującym jakość modeli okazuje się paramer d, kórego warość oszacowana zosała (dla modelu bez resrykcji) na d 1,5, co oznacza, że warunkowa wariancja zależy (poprzez równanie (9)) silnie od poziomu procesu. Jes o znacznie silniejsza wrażliwość wariancji warunkowej na zmiany poziomu procesu niż w modelach najczęściej przyjmowanych w analizach, np. Vasicka, czy Coxa-Ingersolla-Rossa (CIR-SR). Badania e powierdzone zosały akże przez innych badaczy (por. m.in. Mc Manus 5

6 i Wa (1999) oraz Ferreira (2001)), kórzy uzyskali paramer d zbliżony do 1,5 dla szeregów sóp procenowych z rynku amerykańskiego, francuskiego i niemieckiego. Jedynie dla danych pochodzących z rynku kanadyjskiego paramer d pozosawał mniejszy od jedności. Zaprezenowane powyżej modele noszą w lieraurze nazwę modeli zależnych od poziomu (Level models), gdyż h zmienia się jedynie pod wpływem zmian poziomu procesu. Modele e kryykowane były za fak, że h nie zależy od napływających informacji, kórych miarą (analogicznie jak w przypadku modeli sóp zwrou) jes resza modelu ε. Modele e nie uwzględniają akże obserwowanej w szeregach sóp procenowych auokorelacji warunkowej wariancji. Rozwiązaniem było zaproponowanie specyficznej klasy modeli, w kórych warunkowa wariancja procesu opisywana jes drugim równaniem. 3. Modele uogólnione Najprosszym uogólnieniem uwzględniającym zmiany warunkowej wariancji pod wpływem dopływającej informacji jes klasyczny model GARCH(1,1), w kórym wzór (9) przyjmuje posać: 2 h = ω + αε 1 + βh 1. (13) Jako proces (13) może posłużyć każdy z modeli szerokiej klasy GARCH, zarówno o symerycznym, jak i asymerycznym wpływie informacji na poziom przyszłej wariancji (por. Bollerslev, Engle, Nelson (1994), Pionek (2002)). Ferreira posuluje wykorzysanie modelu GJR-GARCH, kóry dodakowo (w sosunku do modelu (13)) umożliwia modelowanie asymerii wpływu informacji. Modele akie, w kórych warunkowa wariancja dana jes procesem GARCH i nie zależy od poziomu procesu, nazwano ogólnie modelami z efekem GARCH (GARCH Models). Okazało się jednak, że brak bezpośredniego wpływu poziomu procesu na warunkową wariancję dyskredyuje aki model w sosunku do szeregów niekórych sóp procenowych. Nauralnym rozwiązaniem było zaproponowanie modelu, w kórym warunkowa wariancja zależałaby zarówno od poziomu procesu, jak i resz modelu, czyli dopływających informacji. Modele akie nazwano modelami z efekem poziomu oraz efekem GARCH (GARCH-Level Models). Podsawowe akie rozwiązania zaproponowali w sosunku do sóp procenowych Brenner, Harjes, Kroner (por. Brenner, Harjes, Kroner (1996)) oraz Koedijk, Nissen, Schoman i Wolff (por. Koedijk, Nissen, Schoman i Wolff (1997)). W najpopularniejszym modelu ej klasy, modelu GJR-GARCH-Levels, warunkowa wariancja procesu sóp procenowych dana jes układem równań: 2 2 2d h = E ε I 1 = σ r 1, (14) 6

7 ( I( ε ) ) 1 < 0 σ = ω + α + α ε + βσ, (15) ; gdy p = prawda gdzie I( p) =. 0; gdy p = falsz Warunkowa wariancja zależy zarówno od poziomu procesu r, jak i resz modelu ε. Dodakowo model umożliwia uwzględnienie asymerii wpływu informacji,,negaywnej'' i,,pozyywnej'' na zmianę wariancji warunkowej 3. Model dany wzorami (14) i (15) może zosać zapisany akże w posaci: 2 h 1 2d h = ω + ( α + α I( ) ) ε β r ε + < 2d 1 = r 2d 2 r = ωr + β h + αε r + α ε I r 2d 1 2 2d 2 2d ( ε 1 < 0) 1 r 2, (16) kóra umożliwia prosszą analizę współzależności warunkowej wariancji procesu od h 1, ε 1, r 1 i r 2. Model GJR-GARCH-Level zawiera w sobie czysy model zależny ylko od poziomu ( α = α = β = 0 ) oraz model GARCH ( α = d = 0 ). Analizując dane empiryczne dla rynku francuskiego oraz niemieckiego, Ferreira wykazał przydaność modelu GJR-GARCH-Levels dla rynku francuskiego oraz GARCH-Levels dla rynku niemieckiego (por. Ferreira (2001)). W modelu danym wzorami (14) i (15) dopływająca do rynku informacja ε ma zawsze silniejszy wpływ na wariancję, gdy poziom sóp procenowych jes wysoki. Cechy ej nie posiada zaproponowany przez Brenera, Harjesa i Kronera (por. Brener, Harjes, Kroner (1996)) model zwany w lieraurze GARCH-X-Level model, w kórym wrażliwość warunkowej wariancji na napływającą informację nie zależy od poziomu sóp procenowych. Model en zadany jes równaniem: 2 2d h = ω + ( α + α I( ) ) ε βh γ r ε + +. (17) < Także en model przy pewnych resrykcjach redukuje się do czysego modelu o wariancji zależnej ylko od poziomu procesu ( ω = α = α = β ) lub czysego modelu GARCH ( γ = 0 ). Model (17) może być zarówno w wersji z symerycznym, jak i asymerycznym wpływem informacji dobrych i złych na warunkowa wariancje procesu. 3 Pozosajemy przy sandardowym określeniu, że w przypadku ε > 0 mamy do czynienie z informacjami,,pozyywnymi'', a w przypadku ε < 0 - z informacjami,,negaywnymi'', choć w przypadku sóp procenowych podział en nie jes już ak przejrzysy jak dla modeli sóp zwrou z akcji, walu, czy owarów. 7

8 Modele GJR-GARCH-Level oraz GJR-GARCH-X-Level będą rozparywane w przykładzie empirycznym odnośnie szeregu sóp WIBOR 1M. Odmiennym obszarem badań są analizy deerminisycznej części modelu związanej z przeszłymi poziomami sóp procenowych. Rozważa się przede wszyskim modele z nieliniową posacią części modelu odpowiadającą za powró do średniej (por. Ai-Sahalia (1996)): 1 2 r r 1 = a 1r 1 + a0 + a1r 1 + a2r 1 + ε, (18) lub w ogóle analizuje się zmiany poziomu sóp procenowych w konekście wcześniejszych zmian (por. np. Karanasos (2001)): r = α0 + α1 r 1 + ε. (19) Zagadnienia e nie są jednak obszarem zaineresowania niniejszej pracy. Analizie poddano jedynie wybrane uogólnienia najpopularniejszego modelu CKLS odnośnie możliwości modelowania warunkowej wariancji procesu. Waro pamięać, iż o osaecznym wyborze modelu decyduje akże możliwość wykorzysania go w bardziej skomplikowanych zagadnieniach. Znaczenie modelu sóp procenowych wzrasa bowiem wraz z możliwością (w miarę ławej) wyceny w jego ramach insrumenów dłużnych oraz insrumenów pochodnych na sopę procenową. Technika wyceny akich insrumenów przy założeniu, że naychmiasowa, chwilowa sopa procenowa opisywana jes modelem uwzględniającym zarówno efek poziomu procesu, jak i efek GARCH (GARCH-Level model) przedsawiona zosała w pracy Cvsa i Richkena z 2000 roku (por. Cvsa, Richken (2000)). 4. Przykład empiryczny Analizie poddane zosały dzienne noowania jednomiesięcznej sopy WIBOR z okresu od do (966 obserwacji) 4. Rysunki 1. i 2. przedsawiają odpowiednio poziomy analizowanej sopy oraz zmiany warości w kolejnych dniach. Analizie poddano 5 modeli: czysy model zależny ylko od poziomu, modele GARCH (symeryczny i asymeryczny) oraz dwa modele zależne od poziomu i napływającej informacji. We wszyskich modelach założono, że sandaryzowane reszy modelu ( z ) mają rozkład normalny. Paramery modeli wyesymowano meodą największej wiarygodności wykorzysując auorskie procedury napisane w środowisku MATLAB 6.0. Za kryerium oceny modelu przyjęo warość kryerium Akaike a: 4 Dane pochodzą z poralu hoga.pl. 8

9 2LLF 2(liczba paramerów modelu) AIC = +, (20) liczba obserwacji gdzie LLF o warość logarymu funkcji największej wiarygodności. Rys. 1. Poziomy sopy WIBOR 1m Źródło: opracowanie własne Rys. 2. Zmiany poziomu sopy WIBOR 1m Tabela 2. prezenuje uzyskane wyniki. Tabela 2. Jakość dopasowania poszczególnych modeli Model LLF liczba paramerów AIC 1. CKLS (Level) 5033, , GARCH 5206, , GJR-GARCH 5207, , GARCH-Level 5207, , GARCH-X-Level 5221, ,8190 Źródło: obliczenia własne. Najlepszym modelem okazał się być model GARCH-X-Level. Można więc przyjąć, że dla sopy WIBOR 1M wysępuje efek zależności warunkowej wariancji od poziomu sóp procenowych, ale nie obserwuje się wpływu poziomu procesu na siłę oddziaływania dopływających informacji (paramery d oraz γ są isonie różne od zera dla poziomu isoności 0,05). Współwysępowania efeku GARCH można było spodziewać się już po wizualnej ocenie rys. 2., na kórym widać ypowy dla modeli ej klasy efek gromadzenia zmienności (por. np. Pionek (2002)). Zaskoczeniem może wydawać się jednak fak, że żaden z modeli nie powierdza efeku powrou do średniej (paramery a i b nieisonie różne od zera dla poziomu isoności 0,05). Przeczy o inuicyjnej ocenie na podsawie rys. 1. Waro jednak zaznaczyć, że powró do średniej charakeryzuje się nie ylko powroem do pew- 9

10 nej warości, ale akże ym, że im dalej proces odbiegnie od ej średniej, ym silniej do niej powraca (por. wzór (4)). Tego efeku nie obserwuje się w szeregu sopy WIBOR 1M w analizowanym okresie. Badania doyczące innych sóp procenowych powierdzają, że efek powrou do średniej o ile wysępuje, o jes bardzo słaby (por. np. Ferreira (2001)). Dla szeregu WIBOR 1M nie obserwuje się również znaczącej poprawy jakości modelu po uwzględnieniu asymerycznego wpływu informacji dobrych i złych w modelu GARCH. Jeszcze słabszy efek asymerii obserwuje się w modelach GARCH-Level, z ego eż powodu wyniki nie zosały nawe przedsawione. Dla czysego modelu CKLS paramer d ma warość 0,68 (12,58) 5, naomias dla modelu GARCH-Level d=-,0111 (-0,28), czyli jes nieisonie różny od zera. Powierdza o również przewaga modelu GARCH nad modelem GARCH-Level. Model 5. z Tab. 2. w sposób najlepszy opisuje zmiany w poziomie sopy WIBOR 1M. Model en można poprawić dodakowo poprzez przyjęcie, że rozkład sandaryzowanych resz modelu może posiadać grube ogony. Podejście akie uzasadnia choćby rys. 3. Analizie poddano więc model GARCH-X-Level, w kórym sandaryzowane reszy modelu mają rozkład -Sudena. Tabela 3. prezenuje wyniki. Model en w znaczny sposób przewyższa model 5. z Tab. 2. Rozkład sandaryzowanych resz modelu 6. może być opisany rozkładem -Sudena z liczba sopni swobody równa 2,71. Jes o więc model o znacznie grubszych ogonach niż rozkład normalny. Rys. 3. Hisogram sandaryzowanych resz modelu nr 5 Źródło: obliczenia własne Tab. 3. Jakość dopasowania dla modelu z rozkładem -Sudena Model LLF liczba paramerów AIC 6. GARCH-Level-X-Sud 5451, ,2943 Źródło: obliczenia własne. 5 W nawiasach podawana będzie warość saysyki. 10

11 Podsumowując można swierdzić, że do opisu zmian sopy WIBOR 1M najlepszym okazał się model GARCH-X-Level, kórego jakość można dodakowo poprawić poprzez uwzględnienie grubych ogonów w rozkładzie sandaryzowanych resz modelu. Wysępuje więc zależność warunkowej wariancji procesu zarówno od poziomu procesu, jak i od napływającej informacji, lecz siła wpływu informacji nie zależy od poziomu sopy procenowej. Nie swierdzono asymerii we wpływie informacji na warość warunkowej wariancji oraz nie swierdzono liniowego powrou do średniej. Lieraura Ai-Sahalia Y., Tesing Coninuous-Time Models of he Spo Ineres Rae, Review of Financial Sudies, Vol. 9 (2) pp , 1996, Bolleslev T., Engle R., Nelson D., ARCH Models (w: Engle, MacFadden (red.), Handbook of economerics), Norh-Holand, Amserdam, 1994 Brener M., Harjes R., Kroner K., Anoher Look a Models of he Shor-Term Ineres Rae, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, 31, sr , 1996 Brailsford T., Maheswaran K., The Dynamics of he Ausralian Shor-Term Ineres Rae, Ausralian Journal of Managemen, vol. 23, no. 2, 1998, hp:// Chan K., Karolyi G., Longsaff F., Sanders A., An Empirical Comparison of Alernaive Models of he Shor-Term Ineres Rae, Journal of Finance, vol. 47, nr 3, sr , 1992 Cvsa V., Richken P., Pricing Clims under GARCH-Level Dependen Ineres Rae Process, 2000, Ferreira M., Tesing Models of he Spo Ineres Rae Volailiy, CEMAF/ISCTE Working Paper 05/01, 2001, cemaf.isce.org/invesigacao/down/esing.pdf Hull J., Fuures, opions and oher derivaives. Prenive-Hall, New York, 1999 Karanasos M. Garch modeling of volailiy, 2001, hp://www-users.york.ac.uk/~mk16/finec/garch.pdf Koedijk K., Nissen F., Schoman P., Wolff C., The Dynamics of Shor-Term Ineres Rae Volailiy Reconsidered, European Finance Review, 1, 1997, pluo.mscc.huji.ac.il/~efr/1-1/ pdf Mc Manus D., Wa W., Esimaing One-Facor Models of he Shor-Term Ineres Raes, Bank of Canada Working Paper 99-18, 1999, Mendoza D., The Dynamics of he Shor-Term Ineres Rae in he UK, 2004, Musiela, Rukowski, Maringale Mehods in financial modelling, Springer Verlag, Berlin, 1998 Pionek K., Modelowanie i prognozowanie zmienności insrumenów finansowych, praca dokorska, Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Wrocław,

12 Wilmo P., Derivaives. Theory and Pracice of Financial Engineering. Willey and Sons, Chicheser, 1999 Weron A., Weron R., Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa,