OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO ZE WZGLĘDU NA MINIMALNY POZIOM TOLERANCJI DLA USTALONEGO VaR

Transkrypt

1 Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach OPTYMALIZACJA PORTFELA IWESTYCYJEGO ZE WZGLĘDU A MIIMALY POZIOM TOLERACJI DLA USTALOEGO VaR Wprowadzenie W osanich laach bardzo popularną miarą ryzyka sała się warość zagrożona (warość narażona na ryzyko, Value a Risk lub w skrócie VaR). Definicja warości zagrożonej VaR ( α,) z poziomem olerancji α dla usalonego czasu jes nasępująca [1; 7]: ( S S VaR( α ) ) = α P 0,, (1) gdzie: S 0, S warość począkowa i końcowa procesu ceny insrumenu finansowego (porfela), α poziom olerancji (poziom isoności) dla szacowanej warości VaR. Warość zagrożona o aka sraa warości insrumenu finansowego, że sray większe lub równe VaR mogą wysąpić z zadanym prawdopodobieńswem (poziomem olerancji) α. W arykule opisano model opymalizacji srukury porfela inwesycyjnego, w kórym dla założonego poziomu akcepowalnej sray (warości zagrożonej) minimalizowano poziom olerancji α (czyli prawdopodobieńswo, że sray w porfelu będą większe od założonej). Rozkłady użye do opisu logarymicznej sopy zwrou z porfela były rozkładami empirycznymi wyznaczanymi meodą hisoryczną (na podsawie danych hisorycznych) oraz jej rozszerzeniem uwzględniającym jednodniową pamięć. Pamięć modelowano procesem Markowa [2; 3; 6], w kórym san był deerminowany znakiem osaniej sopy zwrou.

2 50 Daniel Iskra 1. Tes zgodności poziomu olerancji warości zagrożonej Weryfikację, czy prognozowany poziom olerancji α (dla usalonego poziomu warości zagrożonej) jes zgodny z rzeczywisym prawdopodobieńswem, można oprzeć na szeregu przekroczeń VaR. iech I będzie zmienną zero-jedynkową, kóra przyjmuje warość 1 z prawdopodobieńswem α ( P( = 1) = α ), jeżeli spadek warości porfela jes I równy lub większy od usalonej warości VaR w dniu i 0 w przeciwnym przypadku ( P( = 0) = 1 α ). ależy podkreślić, że dla usalonej warości VaR I (jednakowej dla każdego ), prawdopodobieńswo α w każdym dniu może być i w prakyce jes różne. Konsrukcję esu weryfikującego, czy poziom olerancji α (warość eoreyczna obliczona na podsawie przyjęego w pracy modelu) jes zgodny z rzeczywisym prawdopodobieńswem przekroczeń usalonej warości VaR, oparo na porównaniu isonych różnic pomiędzy oczekiwanym odsekiem przekroczeń a średnim odsekiem przekroczeń (policzonym z próby). Rozparując -elemenowy szereg ( dni), warość oczekiwaną ilości przekroczeń usalonej warości VaR zapisuje się jako: naomias: E [ = 1 I ] = = α 1, (2) 1 1 E[ I = = ] α 1 = 1 (3) * jes oczekiwanym odsekiem ilości przekroczeń usalonej warości zagrożonej w ciągu dni. Przez I oznaczono funkcję przyjmującą warość 1, jeżeli w dniu zaobserwowano przekroczenie usalonej warości VaR (ex pos), i zero w przeciwnym przypadku. Wówczas średnia warość odseka przekroczeń policzona z -elemen-owej próby ( dni) jes opisana wzorem: 1 = 1 I *. (4) Sąd eż w przeprowadzonym eście hipoeza zerowa ma posać: 1 * 1 H 0 : I = [ ] = 1 E I = 1, (5)

3 Opymalizacja porfela inwesycyjnego ze względu na minimalny poziom 51 gdzie: ilość próbek użyych w eście. Opisana hipoeza zerowa zakłada, że rzeczywisy odseek przekroczeń policzony z próby nie różni się isonie od warości eoreycznej. Saysyka użya w opisywanym eście przyjmuje posać: 1 * 1 I [ = 1 E 1 D[ I = 1 ] = 1 I ], (6) gdzie: E ( ), D ( ) warość oczekiwana i odchylenie sandardowe. Jeżeli przyjmie się, że suma zmiennych losowych (niezależnych) I ma asympoyczny rozkład normalny, wówczas saysyka (6) opisywanego esu powinna pochodzić z zesandaryzowanego rozkładu normalnego (0,1). 2. Efek pamięci modelowany procesem Markowa W badaniach efek pamięci modelowano procesem Markowa, w kórym san rynku był określony znakiem osaniej logarymicznej sopy zwrou (badania oparo na jednodniowych logarymicznych sopach zwrou) [4; 5]. W zależności od sanu rynku (od znaku osaniej logarymicznej sopy zwrou) kolejna sopa zwrou pochodzi z innego rozkładu. Dla insrumenów finansowych noowanych na polskim rynku należy wyróżnić rzy sany [4; 5]: minus gdy osania odnoowana sopa zwrou ma znak ujemny, zero gdy osania odnoowana sopa zwrou jes równa zero, plus gdy osania odnoowana sopa zwrou ma znak dodani. Wprowadzenie sanu zero jes uzasadnione ze względu na ilość wysąpień sopy zerowej w hisorycznych noowaniach insrumenów (na GPW w Warszawie), kóra jes saysycznie isona. Zazwyczaj w 75% badanych spółek wysępuje co najmniej 8% sóp zerowych [4; 5]. Aby móc rozważać wysępowanie efeku pamięci w insrumenach finansowych, należy zdefiniować, jak jes rozumiane pojęcie pamięci [4; 5]: Powiemy, że wysępuje efek pamięci, jeżeli przynajmniej dwa rozkłady sóp zwrou będą isonie różne od siebie. Jeżeli rozkłady sóp zwrou w każdym sanie nie są saysycznie isonie różne od pozosałych rozkładów, wówczas powiemy, że nie wysępuje efek pamięci.

4 52 Daniel Iskra W opisywanym podejściu szereg logarymicznych sóp zwrou dzieli się na rzy rozkłady: minus, zero i plus (nazwy analogiczne do sanów). Każdy z ych rzech rozkładów składa się z części ciągłej i części dyskrenej w zerze (aom w zerze). W każdej parze rozkładów porównywano ze sobą części ciągłe i części dyskrene. Powiemy, że wysąpiła isona różnica pomiędzy dwoma rozkładami sóp zwrou w dwóch różnych sanach, jeżeli wysąpiła isona różnica pomiędzy częściami ciągłymi lub pomiędzy częściami dyskrenymi ych rozkładów [4; 5]. Wysępowanie opisanego powyżej efeku pamięci sprawdzono dla badanych insrumenów. Do symulacji wybrano insrumeny finansowe (akcje) noowane na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie w okresie od począku 2000 roku do końca 2011 roku, kórych średnia ilość noowań w badanym okresie wynosiła co najmniej 240 na rok. Do weryfikacji isonych różnic pomiędzy ciągłymi częściami rozkładów użyo esu Kołmogorowa-Smirnowa [8] z poziomem isoności 0,05, pomiędzy dyskrenymi częściami rozkładów esu wskaźnika srukury [8] również z poziomem isoności 0,05. W abeli 1 przedsawiono srukurę isonych różnic pomiędzy poszczególnymi rozkładami. Można było zaobserwować brak isonych różnic (brak pamięci) do 6 isonych różnic (różnice w 3 parach części ciągłych i 3 parach części dyskrenych). Ilość isonych różnic pomiędzy rozkładami Ilość isonych różnic Ilość insrumenów Odseek insrumenów 0 2 2,44% 1 3 3,66% ,39% ,83% ,27% ,20% 6 1 1,22% Tabela 1 Z abeli 1 wynika, iż efek pamięci zaobserwowano w około 97% spółek; ylko w 2 insrumenach (z 82) pamięci nie zaobserwowano. Podobne wyniki były obserwowane we wcześniejszych badaniach. Zazwyczaj najwięcej obserwowano 2 lub 3 isone różnice pomiędzy rozkładami, a akże nieznacznie większą ilość różnic pomiędzy dyskrenymi częściami rozkładów niż ich częściami ciągłymi. Opisywany przypadek akże nie odbiega od ego schemau. Opisany model można zasosować również do porfela inwesycyjnego. W arykule w modelowaniu efeku pamięci porfela wyróżniono ylko dwa sany: minus i plus. W pojedynczej spółce wysępowało średnio około 13%

5 Opymalizacja porfela inwesycyjnego ze względu na minimalny poziom 53 sóp zerowych w badanym okresie, co przekłada się w przypadku porfela dwuskładnikowego na średnio około 1,7% sóp zerowych. Skukiem małej ilości danych w sanie zero są gorsze wyniki (badania empiryczne) niż w przypadku modelu z dwoma sanami: minus i plus. Sąd eż w arykule zrezygnowano ze sanu zerowego w przypadku porfela inwesycyjnego. Jeżeli jednak wysąpiła sopa zerowa, przydzielano ją losowo do jednego z rozkładów minus lub plus (obecnie oba rozkłady są ciągłe, nie ma w ym przypadku części dyskrenych w zerze). Zważywszy na fak, iż w porfelu inwesycyjnym wysępują ylko dwa sany: minus i plus i oba rozkłady w ych sanach są ciągłe, isnieje największa szansa wysąpienia efeku pamięci w porfelu, jeżeli wysępują isone różnice pomiędzy ciągłymi częściami rozkładów minus i plus insrumenów wchodzących w jego skład. Badania wykazują, że pamięć insrumenów w ym przypadku przenosi się na porfel inwesycyjny (dwuskładnikowy) w około 50% symulacji. Jeżeli rozkłady wyznaczano w porfelach zawierających spółki bez pamięci, efek pamięci wysępował bardzo rzadko lub wcale. W pozosałych przypadkach wyniki były pośrednie. 3. Efek pamięci modelowany procesem Markowa minimalizacja poziomu olerancji dla usalonej warości VaR Opisany model zosanie użyy do wyznaczania srukury porfela inwesycyjnego o minimalnej olerancji α dla usalonej jednodniowej warości zagrożonej (dokładniej dla względnej warości zagrożonej w sosunku do począkowej warości porfela, kóra dalej będzie oznaczana jako wzvar). Zosanie on porównany z ypowym modelem, w kórym rozkłady empiryczne wyznacza się na podsawie danych hisorycznych, nie uwzględniając efeku pamięci. Modele e w dalszej części będą króko nazywane modelem z pamięcią i modelem bez pamięci. a porzeby symulacji skonsruowano 50 porfeli o losowo dobranych dwóch spółkach. Dla każdego z 50 porfeli inwesycyjnych minimalizację poziomu olerancji przeprowadzono dla warości wzvar usalonej na poziomie 0,01, 0,03 oraz 0,05. Empiryczne rozkłady sóp zwrou dla każdego możliwego składu porfela (w obu przypadkach, model z pamięcią i bez pamięci) wyznaczano na podsawie 250 oraz 500 noowań. W symulacjach dla każdego możliwego składu porfela wyznaczano rozkład logarymicznych sóp zwrou, nasępnie na jego podsawie poziom olerancji dla usalonej jednodniowej względnej warości zagrożonej. Skład porfela zmieniano co 1%, czyli co 1 akcję, zakładając, że w porfelu jes w sumie 100 akcji. Urzymując sały sosunek ilości akcji jednej spółki do ilości akcji drugiej spółki, można orzymać porfel o dowolnej warości począkowej i zawsze akich samych sopach zwrou. Kolejnym eapem

6 54 Daniel Iskra był wybór składu, dla kórego poziom olerancji α był minimalny. Jeżeli rozkład sóp zwrou był wyznaczany np. z 250 danych, wówczas jego posać była urzymywana przez kolejne 10 dni (z 500 danych przez 20 dni). Po ich upływie szereg noowań przesuwano o 10 dni (20 dni) i procedurę powarzano od począku. W modelu uwzględniającym pamięć procedura opymalizacji srukury porfela była analogiczna. Różnica kwiła w wyznaczaniu dwóch rozkładów logarymicznych sóp zwrou porfela: plus i minus. asępnie sprawdzano, czy rozkłady e isonie się różnią, zn. czy wysępuje pamięć (za pomocą esu Kołmogorowa-Smirnowa z poziomem isoności 0,05). Jeżeli dla danej srukury porfela nie wysępowała pamięć, porfel o ej srukurze pomijano. Z wszyskich możliwych składów porfela, dla kórych zaobserwowano pamięć, wybierano porfel o minimalnym poziomie olerancji α. Do weryfikacji zgodności oszacowanego minimalnego poziomu olerancji użyo esu opisanego w rozdziale 2 z poziomem isoności 0,05. Z przeprowadzonych badań wynika, że najlepsze wyniki uzyskano odpowiednio w przypadku modelu z pamięcią konsruowanego na podsawie 250 logarymicznych sóp zwrou i dla modelu nieuwzględniającego pamięci na podsawie 500 logarymicznych sóp zwrou. Uzasadnione będzie zaem porównanie ych dwóch przypadków. W abeli 2 przedsawiono syneyczne wyniki, odseek porfeli, w kórych minimalny poziom olerancji α dla usalonego wzvar (VaR w sosunku do warości począkowej porfela) był pozyywnie zweryfikowany z poziomem isoności 0,05 (za pomocą esu opisanego w rozdziale 2). Zgodność prognoz poziomu olerancji. Porównanie Tabela 2 Odseek porfeli, w kórych poziom olerancji przeszedł pozyywnie es zgodności (wzvar względna warość VaR do począkowej warości porfela) Zgodność prognoz poziomu olerancji (dla poziomu wzvar = 0.01 ) (500 DAYCH) (250 DAYCH) 52% 70% Zgodność prognoz poziomu olerancji (dla poziomu wzvar = 0.03) (500 DAYCH) (250 DAYCH) 58% 86% Zgodność prognoz poziomu olerancji (dla poziomu wzvar = 0.05) (500 DAYCH) (250 DAYCH) 68% 88%

7 Opymalizacja porfela inwesycyjnego ze względu na minimalny poziom 55 a podsawie uzyskanych wyników można swierdzić, że model uwzględniający pamięć zdecydowanie lepiej prognozuje (co do esu zgodności) poziom olerancji warości zagrożonej. Uzyskane wyniki o od 70% do 88% porfeli, kórych prognozy poziomu olerancji były zgodne z rzeczywisym prawdopodobieńswem przekroczenia usalonej warości zagrożonej. W modelu bez pamięci odseek porfeli o pozyywnie zweryfikowanym poziomie olerancji wynosi od 52% do 68%. Model z pamięcią ma ę przewagę, iż wykorzysuje efek pamięci, czyli różnicę pomiędzy rozkładami konsruowanymi na podsawie znaku osanio zaobserwowanej sopy zwrou. Oba modele są nieparameryczne, co jes niewąpliwie zarówno ich zaleą (pomija się esymację paramerów), jak i wadą. Cała informacja o rozkładzie sóp zwrou, kóra jes dosępna za pomocą empirycznej dysrybuany, doyczy danych zawarych pomiędzy minimalną i maksymalną sopą zwrou zaobserwowaną w okresie, z kórego wyznaczano rozkłady. ie są uwzględniane poencjalne skrajne warości, kóre eoreycznie mogą wysąpić, a kórych doąd nie zaobserwowano. W abeli 3 przedsawiono wyniki kolejnych symulacji, w kórych część danych empirycznych (lewy ogon) był aproksymowany ogonem rozkładu normalnego. Podano najlepsze wyniki dla modelu z pamięcią i bez pamięci dla poszczególnych względnych warości zagrożonych. Modelowanie przeprowadzano dla lewego ogona rozkładu empirycznego do kwanyla 25% w przypadku usalonej warości wzvar = 0,03 i wzvar = 0,05 oraz do kwanyla 50% w przypadku wzvar = 0,01 (w ym przypadku prawdopodobieńswo spadku warości porfela większego od usalonego 1% zazwyczaj było większe niż 0,25). Paramery warunkowych rozkładów eoreycznych szacowano meodą największej wiarygodności, esując każdorazowo zgodność dopasowania rozkładu warunkowego do danych empirycznych. Tesy oparo na saysyce Kołmogorowa-Smirnowa wyznaczanej meodą Mone-Carlo na podsawie 5000 symulacji. Zgodność prognoz poziomu olerancji. Porównanie Tabela 3 Model, w kórym lewy ogon rozkładów empirycznych aproksymowano warunkowym rozkładem normalnym Odseek porfeli, w kórych poziom olerancji przeszedł pozyywnie es zgodności (wzvar względna warość VaR do począkowej warości porfela) Zgodność prognoz poziomu olerancji (dla poziomu wzvar = 0.01 ) (500 DAYCH) (250 DAYCH) 78% 70% Zgodność prognoz poziomu olerancji (dla poziomu wzvar = 0.03)

8 56 Daniel Iskra cd. abeli 3 (250 DAYCH) (250 DAYCH) 92% 88% Zgodność prognoz poziomu olerancji (dla poziomu wzvar = 0.05) (250 DAYCH) (250 DAYCH) 58% 72% Symulacje wykazały, że modelowanie ogona rozkładu empirycznego rozkładem normalnym w modelu z pamięcią nie wpłynęło pozyywnie na wyniki, wręcz nawe zosały one nieznacznie pogorszone. Zdecydowanie poprawiły się naomias wyniki uzyskane z modelu bez pamięci. Jeżeli rozkłady empiryczne były wyznaczane na podsawie 250 sóp zwrou, odseek porfeli o pozyywnie zweryfikowanym poziomie olerancji wzrósł do warości od 66% do 92%. Można swierdzić, że model bez pamięci z ogonami modelowanymi rozkładem normalnym daje równie dobre rezulay, jak model z pamięcią (nieparameryczny, bez modelowania ogona rozkładu). W obu modelach (nieparamerycznym z pamięcią i bez pamięci z ogonami normalnymi) do wyznaczania rozkładów empirycznych sóp zwrou w prawie wszyskich przypadkach należało użyć 250 danych. Można porównać obie meody ze względu na odseek czasu, w kórym można było aplikować oba modele. ieznaczna przewaga jes na korzyść modelu z pamięcią, w kórym średnio w 80% dni badanego okresu można było go zasosować (w ylu przypadkach wysąpił efek pamięci) w porównaniu do około 70% dla modelu bez pamięci (w ylu przypadkach można było użyć rozkładu normalnego do modelowania ogona rozkładu empirycznego, co do esów zgodności rozkładów). Podsumowanie iniejszy arykuł koncenruje się na wykorzysaniu warości zagrożonej w opymalizacji srukury porfela inwesycyjnego. Przedsawiono w nim sraegię opymalizacji srukury porfela inwesycyjnego ze względu na minimalny poziom olerancji usalonej warości zagrożonej. Do opisania rozkładów logarymicznej sopy zwrou z porfela zosały użye rozkłady empiryczne szacowane meodą hisoryczną oraz jej rozszerzeniem uwzględniającym jednodniową pamięć. W przypadku wyznaczania minimalnej warości zagrożonej na podsawie kwanyla rozkładu empirycznego w modelu z pamięcią, model en wykazuje się dobrą skuecznością (pomiędzy 70% a 88%, zależy od usalonego poziomu

9 Opymalizacja porfela inwesycyjnego ze względu na minimalny poziom 57 wzvar). W modelu bez pamięci dopiero próba modelowania ogona rozkładu empirycznego rozkładem normalnym znacząco poprawiła prognosyczne własności modelu (skueczność pomiędzy 66% a 90%). Można akże nadmienić, że nieparameryczny model z pamięcią przełącza się całkowicie losowo pomiędzy rozkładami minus i plus. Lieraura 1. Alexander C., Marke Risk Analysis: Value a Risk Models, Vol. IV, John Wiley & Sons, England Gillespie D.T., Markov Processes. An Inroducion for Physical Scieniss, Academic Press IC., San Diego Iosifescu M., Skończone procesy Markowa i ich zasosowania, PW, Warszawa Iskra D., Czernik T., Warość zagrożona insrumenu z uwzględnieniem efeku pamięci modelowanym wielosanowym procesem Markowa. Badania symulacyjne, w: Maemayczne aspeky ekonomii. Ryzyko reasekuracja równowaga, red. W. Kulpa, Wydawnicwo Uniwersyeu Kardynała Sefana Wyszyńskiego, Warszawa Iskra D., Czernik T., Jednookresowy efek pamięci modelowany rzysanowym procesem Markowa. Analiza insrumenów noowanych na GPW w Warszawiei, w: Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a polski rynek, red. W. Ronka-Chmielowiec, K. Jajuga, Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego, Wrocław Kowalenko I.., Kuzniecow.J., Szurienkow W.M., Procesy sochasyczne, PW, Warszawa 1989, 7. Wilmo P., Paul Wilmo On Quaniive Finance, Vol. 1, John Wiley & Sons, England Wywiał J., Wprowadzenie do wnioskowania saysycznego, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej, Kaowice 2004.

10 58 Daniel Iskra THE MIIMUM LEVEL OF SIGIFICACE FOR FIXED VaR PORTFOLIO OPTIMIZATIO Summary The paper presens he opimizaion of securiies porfolio. Taking ino accoun level of accepance α for fixed Value a Risk he opimizaion concerns he porfolio srucure. The paper proposes a modeling of he memory effec using he muli-sae Markov process where he sae is deermined by he sign of he las hisorical growh rae.