Krzysztof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu. Modelowanie stóp procentowych a narzędzia ekonometrii finansowej

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Modelowanie sóp procenowych a narzędzia ekonomerii finansowej. Modelowanie sóp procenowych wprowadzenie W osanich dwudziesu laach obserwowany jes dynamiczny rozwój meod ekonomerii finansowej. Meody e znalazły zasosowanie w analizie wielu finansowych szeregów czasowych, przede wszyskim szeregów cen akcji i kursów waluowych. W osanim okresie można zaobserwować sopniowe zbliżanie się meod wypracowanych na gruncie klasycznej ekonomerii finansowej, przede wszyskim szeroko rozumianych modeli klasy ARIMA-GARCH mającymi u podsaw procesy sochasyczne w czasie dyskrenym, z meodami wypracowanymi na gruncie maemayki finansowej mającymi u podsaw procesy sochasyczne w czasie ciągłym. Niezależnie od ego, obie grupy meod w coraz większym sopniu odnoszą się do ekonomii finansowej, zawierającej eorie kszałowania się zjawisk finansowych, w ym również eorie dynamiki cen i sóp zwrou cen na rynkach finansowych. Spośród wszyskich cen finansowych, sopy procenowe są niewąpliwie najrudniejsze w modelowaniu. Jedną z głównych przyczyn jes o, iż ak naprawdę modelowaniu podlega nie jedna sopa procenowa, lecz wiele powiązanych ze sobą sóp procenowych, doyczących różnych okresów jes o modelowanie zw. srukury erminowej sóp procenowych (erm srucure of ineres raes), zwane również zagadnieniem krzywej dochodowości lub krzywej sopy dochodu (yield curve). Srukura erminowa sóp procenowych jes o zależność sóp procenowych (w szczególności sóp dochodu dłużnych insrumenów finansowych) od erminu do wykupu, czyli od długości okresu inwesycji. Zagadnienie o jes kluczowym problemem o charakerze eoreycznym i prakycznym. Teoreyczne znaczenie ego zagadnienia jes duże, gdyż, po

2 8 Krzyszof Jajuga pierwsze, nie zosało ono rozwiązane w sposób zadowalający, po drugie, modele srukury erminowej sóp procenowych są wykorzysywane w wielu innych zagadnieniach eoreycznych, np. w wycenie insrumenów dłużnych i insrumenów pochodnych na sopę procenową. Również w prakyce znajomość srukury erminowej sóp procenowych jes isona, gdyż pozwala na podejmowanie efekywnych decyzji doyczących inwesowania, finansowania i zarządzania ryzykiem sopy procenowej. W eorii sóp procenowych modelowane są nasępujące sopy: sopa naychmiasowa (spo rae); sopa erminowa (forward rae); chwilowa sopa naychmiasowa (insananeous spo rae), inaczej zwana sopą krókoerminową (shor rae); chwilowa sopa erminowa (insananeous forward rae). W prakyce właściwie większość powyższych sóp nie jes obserwowana bezpośrednio. Do określenia sóp spo, a nasępnie na ich podsawie sóp forward, wykorzysywane są sopy procenowe obserwowane bezpośrednio na rynku. Zaliczamy do nich: w przypadku okresów krószych niż rok: sopy rynku międzybankowego (np. WIBOR, LIBOR, Euribor), sopy renowności bonów skarbowych, sopy ransakcji repo na rynku pieniężnym; w przypadku okresów dłuższych niż rok: sopy dochodu obligacji, czyli Yield To Mauriy (YTM), sopy konraków swap. Modelowanie srukury erminowej sóp procenowych jes przeprowadzane najczęściej w odniesieniu do sóp dochodu dłużnych insrumenów skarbowych. Są o zaem sopy wolne od ryzyka. Oprócz ego krzywe dochodu można wyznaczać dla sóp dochodu innych insrumenów dłużnych. Są o sopy zawierające premię za ryzyko, np. za ryzyko kredyowe emiena posiadającego kaegorię raingową BB. Jeśli dla dowolnego momenu wyznaczy się różnice między sopami dochodu insrumenów dłużnych emiena kaegorii BB a sopami dochodu wolnymi od ryzyka, wówczas orzymujemy zw. srukurę erminową spreadu kredyowego (erm srucure of credi spread). Wszyskie powyżej przedsawione pojęcia doyczą poziomu sóp procenowych. W modelach sóp procenowych (podobnie jak w modelach innych insrumenów finansowych, akich jak akcji czy walu) isoną rolę odgrywa również zmienność (volailiy) ych sóp. W akiej syuacji każda sopa procenowa rakowana jes jako zmienna losowa, zaś odchylenie sandardowe ej zmiennej informuje o zmienności. Określając dla każdego momenu o odchylenie sandardowe orzymuje się nową konsrukcję, zw. srukurę erminową zmienności sóp procenowych (erm srucure of volailiy of ineres raes). W en sposób każdej krzywej sóp dochodu odpowiada krzywa zmienności ych sóp.

3 Modelowanie sóp procenowych a narzędzia ekonomerii finansowej 9 Obserwacje hisorycznych sóp procenowych wysępujących na rynkach finansowych doprowadziły do wyodrębnienia kilku prawidłowości doyczących ych sóp. Są one nasępujące: sopy procenowe w długim okresie charakeryzują się efekem powrou do średniej, zn. powroem do pewnego przecięnego długookresowego poziomu; zmiany sóp procenowych doyczących różnych okresów nie są z sobą bardzo mocno skorelowane; zmienność sóp procenowych krókoerminowych jes większa niż zmienność sóp procenowych długoerminowych; wysępuje skorelowanie między poziomem sóp procenowych i zmiennością sóp procenowych. 2. Modelowanie srukury erminowej sóp procenowych klasyfikacja Jak już wskazywaliśmy, powsało bardzo wiele modeli srukury erminowej sóp procenowych. Modele e mają różny rodowód, różny sopień skomplikowania, różne koncepcje u ich podsaw. Analiza modeli proponowanych w lieraurze, a również ych sosowanych w prakyce, doprowadziła nas do wyróżnienia dwóch podsawowych klas modeli:. modele aproksymacji krzywej dochodowości. 2. modele dynamiki sóp procenowych. Modele aproksymacji krzywej dochodowości polegają na wyznaczeniu pewnej funkcji, kóra przybliża dane empiryczne, zn. sopy dochodu odpowiadające pewnym okresom. Orzymana funkcja umożliwia określenie sóp dochodu dla dowolnych okresów. Można powiedzieć, że są o w pewnym sensie modele sayczne, wyjaśniające obecną srukurę erminową sóp procenowych. Modele dynamiki sóp procenowych wychodzą od pewnego ogólnego modelu, opisującego dynamikę sóp procenowych, a nasępnie na podsawie danych empirycznych dokonuje się wyznaczenia paramerów. Są o modele dynamiczne, wyjaśniające zmiany srukury erminowej sóp procenowych. Przejdziemy eraz do syneycznej prezenacji modeli należących do ych dwóch klas. W klasie modeli esymacji krzywej dochodowości wyróżnić można rzy podsawowe rodzaje modeli: modele bezpośrednie; modele aproksymacji segmenowej; modele aproksymacji całej krzywej dochodowości.

4 0 Krzyszof Jajuga Modele bezpośrednie polegają na wyznaczeniu sóp spo na podsawie sóp dochodu obligacji z odsekami. Modele aproksymacji segmenowej polegają na podziale przedziału czasowego na kilka segmenów, a nasępnie konsrukcji krzywej dochodowości na podsawie danych empirycznych dla każdego segmenu. Przy ym najczęściej dzieli się przedział czasowy na rzy segmeny, odpowiadające odpowiednio: sopom krókoerminowym ( dzień rok), sopom średnioerminowym ( rok 0 la), sopom długoerminowym (powyżej 0 la). Jeśli zaś chodzi o funkcje aproksymujące, o najczęściej sosowane są wielomiany lub funkcje wykładnicze. Modele aproksymacji całej krzywej dochodowości polegają na zasosowaniu pewnej funkcji opisującej wszyskie sopy procenowe, przy czym paramery ej funkcji mają klarowną z prakycznego punku widzenia inerpreację. Można uaj wyróżnić wiele możliwych modeli, jednym z najbardziej popularnych jes model Nelsona-Siegela (Nelson, Siegel (987)), dany wzorem: exp( m / δ) exp( m / δ) r m = β 0 + β exp + m + u m β 2 exp exp( / δ m / δ / δ gdzie u jes o składnik losowy, zaś poszczególne paramery mają nasępującą inerpreację: β 0 długoerminowa sopa procenowa, β spread między sopą długoerminową a sopą krókoerminową, β 2 sopień krzywizny krzywej dochodowości, δ prędkość, z jaką składnik krókoerminowy i średnioerminowy krzywej zdążają do zera. W klasie modeli dynamiki sóp procenowych można wyróżnić: klasyczne modele ekonomerii finansowej; modele drzew dwumianowych z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych; modele sochasycznych równań różniczkowych z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych; modele drzew dwumianowych wynikające z koncepcji arbirażu; modele sochasycznych równań różniczkowych wynikające z koncepcji arbirażu. Klasyczne modele ekonomerii finansowej są o znane modele klasy ARI- MA-GARCH służące do modelowania finansowych szeregów czasowych rozparywanych w czasie dyskrenym. W zakresie modelowania poziomu są o modele warunkowej warości oczekiwanej ARIMA oraz ich modyfikacje i uogólnienia. W zakresie modelowania zmienności są o modele warunkowej

5 Modelowanie sóp procenowych a narzędzia ekonomerii finansowej wariancji GARCH oraz ich modyfikacje i uogólnienia. W ym wypadku modelowana zmienna jes o oczywiście sopa procenowa. Nasępne dwa rodzaje modeli charakeryzują się zw. endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych. Oznacza o, że jes zadany pewien hipoeyczny model, zaś jego paramery szacowane są na podsawie danych empirycznych. W pierwszej grupie ego ypu modeli dynamika sóp procenowych opisywana jes za pomocą drzew dwumianowych. Zakłada się, że na koniec każdego okresu należącego do rozparywanego przedziału czasowego sopa procenowa może przyjąć dwie warości (każdą z jednakowym prawdopodobieńswem). Przy rozparywaniu wielu okresów dynamika sóp procenowych może być w sposób graficzny przedsawiona za pomocą drzewa, co wyjaśnia nazwę meody. W drugiej grupie modeli z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych dynamika a jes opisana modelem w posaci sochasycznego równania różniczkowego. Z kolei dwa osanie rodzaje modeli charakeryzują się ym, iż wywodzą się z koncepcji braku arbirażu. Koncepcja braku arbirażu oznacza, iż dokonuje się wyceny insrumenów finansowych w aki sposób, aby nie był możliwy arbiraż, zn. sraegia, kóra nie wymaga nakładów, jes wolna od ryzyka i daje dodani przychód. Przy ym orzymany model jes zgodny z obserwowanymi rzeczywisymi sopami procenowymi, a nie wynika z endogenicznie określonej dynamiki sóp. Również uaj można wyróżnić dwa rodzaje modeli. Pierwszy rodzaj do opisu dynamiki wykorzysuje drzewa dwumianowe. Z kolei drugi rodzaj wynika ze sochasycznych równań różniczkowych. 3. Modele dynamiki sóp procenowych wynikające ze sochasycznych równań różniczkowych Najbardziej zaawansowane modele srukury erminowej o e, w kórych dynamika sóp procenowych opisana jes za pomocą sochasycznego równania różniczkowego. Przedsawimy eraz rzy najczęściej w finansach sosowane ypy modeli zapisanych w posaci sochasycznych równań różniczkowych. Przy ym oprócz klasycznej posaci modelu podamy również wersje dyskreną, w kórej zakłada się, że czas może się zmieniać o jednoskę. Podsawowe modele są nasępujące (dla uproszczenia nie wprowadza się w oznaczeniach osobnego indeksu dla okresu, kórego doyczy sopa, zaś indeks przy sopie procenowej oznacza dany momen czasowy):. Geomeryczny ruch Browna, dany wzorem: dr = µ r d + σr dz. zaś w wersji dyskrenej (po przekszałceniach):

6 2 Krzyszof Jajuga r + = ( + ) r + σr ε + µ. 2. Proces pierwiaskowy, dany wzorem: dr = µ r d + σ r dz. zaś w wersji dyskrenej (po przekszałceniach): r + = ( + ) r + σ r ε + µ. 3. Proces Ornseina-Uhlenbecka (charakeryzujący się właściwością powrou do średniej), dany wzorem: dr = κ ( θ r ) d + σdz. zaś w wersji dyskrenej (po przekszałceniach): r + = + ( κ ) r + σε + κθ. Jak wynika z osaniego wzoru, proces Ornseina-Uhlenbecka charakeryzuje się właściwością powrou do średniej sopa procenowa w danym momencie jes skorygowaną o składnik losowy ważoną średnią dwóch wielkości: długoerminowej sopy procenowej oraz sopy procenowej z poprzedniego momenu. Przy ym waga przyporządkowana długoerminowej sopie procenowej jes inerpreowana jako prędkość powrou do ej średniej długookresowej. Powyżej przedsawione modele znalazły swoje poczesne miejsce w konkrenych wersjach modele sóp procenowych z endogenicznie określoną dynamiką. Modeli ych jes wiele, a dzieli się je zazwyczaj w zależności od liczby czynników, kóre są modelowane. W szczególności w najwcześniej zaproponowanych modelach jednoczynnikowych jedynym czynnikiem jes zw. krókoerminowa sopa procenowa, czyli chwilowa sopa spo. Jeśli modelowanych czynników jes więcej, wówczas pod uwagę bierze się na przykład zmienność krókoerminowej sopy procenowej i średnią sopę długookresową. Przedsawimy eraz kilka najbardziej popularnych modeli, wskazując na modelowane czynniki.. Modele jednoczynnikowe modelowana jes krókoerminowa sopa procenowa: model Vasicka (Vasicek (977)): dr = κ ( θ r ) d + σdz. model Coxa-Ingersolla-Rossa (Cox, Ingersoll, Ross (985)): dr = κ ( θ r ) d + σ r dz. 2. Modele dwuczynnikowe modelowana jes krókoerminowa sopa procenowa i zmienność ej sopy: model Fonga i Vasicka (Fong, Vasicek (99)):

7 Modelowanie sóp procenowych a narzędzia ekonomerii finansowej 3 dr = κ( θ r ) d + dv v dz = γ ( ϑ v ) d + ξ v dz Modele rójczynnikowe modelowana jes krókoerminowa sopa procenowa, zmienność ej sopy oraz średnia długoerminowa: model Chena (Chen (996)): dr = κ( θ r ) d + dθ = ϕ( λ θ ) d + η dv = γ ( ϑ v ) d + ξ v dz v r dz 2 θ dz 3. Jak widać, we wszyskich powyżej przedsawionych modelach rozparywane procesy są o kombinacje procesów Ornseina-Uhlenbecka z procesami pierwiaskowymi. Pewną wadą przedsawionych modeli jes jednak o, iż dynamika sóp procenowych jes określana endogenicznie, co oznacza, że nawe w przypadku wieloczynnikowych modeli obecna srukura erminowa sóp procenowych, dana w posaci sóp dochodu obligacji, niekoniecznie musi być odzwierciedlona w sposób dokładny. Z ą niedogodnością próbują sobie radzić modele arbirażowe. Jak już wskazywaliśmy, są dwie grupy akich modeli. Jedna grupa wykorzysuje wspomnianą już koncepcję drzew dwumianowych. Pierwszy i najbardziej znany model ej klasy zosał zaproponowany przez Ho i Lee (Ho, Lee (986)). Druga grupa modeli arbirażowych wykorzysuje sochasyczne równania różniczkowe. Pierwszym i najbardziej znanym modelem ej klasy jes model Heaha-Jarrowa-Morona (Heah, Jarrow, Moron (992)). W modelu ym przedmioem zaineresowania jes chwilowa sopa erminowa, a zaem ak naprawdę modelowana jes jednocześnie cała srukura erminowa sóp procenowych. Okazuje się przy ym, że wiele modeli powsałych wcześniej może być porakowanych jako szczególne przypadki modelu Heaha-Jarrowa-Morona. W najbardziej ogólnej wersji model en można zapisać nasępująco: dr =, T ) dz., T µ (, T ) d + σ ( Jak widać, w ym modelu zmiany chwilowej sopy forward są funkcją chwilowego dryfu i chwilowej zmienności ej sopy. Przedsawione powyżej modele muszą być wyznaczone w prakyce, zn. esymowane i/lub kalibrowane na podsawie danych obecnych i hisorycznych. Prowadzi o do konkrenych wyzwań pod adresem ekonomerii. To właśnie ekonomeria dosarcza przecież narzędzi służących do weryfikacji hipoez sawianych przez eorię ekonomii w ym wypadku modeli sóp procenowych zaproponowanych przez maemaykę finansową i ekonomię finansową.

8 4 Krzyszof Jajuga Lieraura Chen, L. (996), Sochasic mean and sochasic volailiy a hree facor model of he erm srucure of ineres raes and is applicaions in derivaives pricing and risk managemen, Financial Markes, Insiuions and Insrumens, vol. 5, 87. Cox, J. C., Ingersoll, J. E., Ross, S. A. (985), A heory of erm srucure of ineres raes, Economerica, vol. 53, Fong, H. G., Vasicek, O. A. (99), Fixed-income volailiy managemen, Journal of Porfolio Managemen, vol. 7, Heah, D., Jarrow, R. A., Moron, A. (992), Bond pricing and he erm srucure of ineres raes: a new mehodology for coningen claim valuaions, Economerica, vol. 60, Ho, T. S. Y., Lee, S. B. (986), Term srucure movemens and pricing ineres rae coningen claims, Journal of Finance, vol. 4, Nelson, C. R., Siegel, A. F. (987), Parsimonious modeling of yield curves, Journal of Business, vol. 60, Vasicek, O. A. (977), An equilibrium characerizaion of he erm srucure, Journal of Financial Economics, vol. 5,